福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学理试题

福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查

数学（理）试题

（满分：150分；完卷时间：120分钟）

参考公式：

用最小二乘法求线性回归方程系数公式12

21

,n

i i

i n

i

i x y nx y

b a y bx x

nx

==-=

=--∑∑

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一

个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．i 是虚数单位，复数21i

i

-+在复平面上的对应点所在直线的方程是 A ．x+y －2 =0 B ．x －y+2 =0 C ．x+y+1 =0

D ．x －y －1=0

2．如图设全集U 为整数集，集合{|18},{0,1,2}A x N x B =∈≤≤=则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 3．在2012年第30届伦敦奥运会上，中国队教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团

体比赛，不同选法有

A ．35种

B ．53种

C ．3

5A 种

D ．3

5C 种

4

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧

∧

=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为

A ． 210

B ．210．5

C ．211．5

D ．212．5

5．函数

21,0()2,0x

og x x f x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是

A ．0a <

B ．102

a <<

C ．

1

12

a << D ．01a a ≤>或

6．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是

A ．2012

2011 B ．

2011

2012 C ．2012

2013

D ．20132012

7．已知函数()sin()(0,0,||2

f x M x M π

ωϕωϕ=+>><

半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为

A ．()2sin()6

f x x π

=+

B ． ()2sin(2)6

f x x π

=-

C ．()2sin()6

f x x π

=-

D ．()2sin(2)6

f x x π

=+

8．若函数2(),()1||(0,1),x f x a g x og x a a -==>≠且(3)f ·(3)0g -<则函数()f x 、()g x 在

同一坐标系内的大致图象是

9．设向量a ，b 是非零向量，若函数()()f x xa b =+ ·()()a xb x R -∈

的图象不是直线，且在x=0

处取得最值，则必有 A ．a ⊥b

B ．a ∥b

C ．a ，b 苫不垂直且||||a b =

D ．a ，b ，不垂直且||||a b ≠

10．能够把圆O ：x 2 +y 2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”，

下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是 A ．3

()4f x x x =+ B ．5()15x

f x n

x

-=+

C ．()tan

2

x f x =

D ．()x

x

f x e e

-=+

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）

11．设不等式组01,

01

x y ≤≤⎧⎨

≤≤⎩ 表示平面区域为M ，在区域M 内随机取一个点（x ，y ），则此点满足

不等式210x y +-≤的概率是 。

12．已知双曲线22

21(0)x y a a

-=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的离心

率为 。 13．若2

(21)n

x dx +⎰，且()n a x x

-的展开式中x 2

的系数是15，则a 的值为 . 14．△ABC 中，若sinB 既是sinA ，smC 的等差中项，又是sinA ，sinC 的等比中项，则∠B 的大小是

____． 15．已知点1212(,)(,)x x A x a B x a 是函数(1)x

y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线

段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论

12

12

22

x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点A （x 1，sinx l ）、B （x 2，sinx 2）是函数y=sinx （z ∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有____成立．

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16．（本小题满分13分） 已知数列*11{}1,(,)32().n n n a a a a y x n N +==+∈中点在函数的图象上 （I ）证明：数列{1}n a + 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和．

17．（本小题满分13分）

2013年将在沈阳举行第12届全运会，乒乓球比赛会产生男子个人、女子个人、男子团体、女

子团体共四枚金牌，保守估计，福建乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为3

4

，福建乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为

45

， （I ）记福建乒乓球男队获得金牌总数为X ，按此估计，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）按此估计，求福建乒乓球女队比福建乒乓球男队多获得一枚金牌的概率，