中国古代数学中的极限思想[含论文、综述、开题-可编辑]

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（20 届）中国古代数学中的极限思想

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摘要：“极限”是高等数学中最基础和最重要的概念之一，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。其中，中国古代数学中的极限思想对整个数学的发展起到了非常重要的作用。本文在中国古代数学中前人研究的基础上，结合国外古代极限思想，介绍极限思想的萌芽、发展到完善的整个过程，并对其相应的应用和影响做较为全面的探讨。我们首先介绍中国古代的极限思想，接着从三个角度对中西方的极限思想进行比较，最后总结中国古代极限思想对后世数学的影响极其在文学、哲学和实际生活中的应用。

关键字：古代数学；极限思想；割圆术；圆周率；微积分

The Ancient Chinese Mathematics Limit Thought Abstract：" Limit " is one of the most basic and most important concepts in the field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications are extension and deepening of limit. Especially the ancient Chinese limit thought plays a very important role during the whole development of mathematics. Based on the ancient Chinese mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas, in this paper we will introduce the whole process of limit thought from embryonic, development to perfect and make a comprehensive discussion about its corresponding applications and impact. First of all, we introduce the ancient Chinese limit thought. Then, we compare the Chinese and the west limit thought from three aspects. Last, we summarize the influence of the ancient Chinese mathematics limit thought on mathematics and the application in literature philosophy and actual life.

Key words：Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; π; calculus .

目录

1 绪论 (1)

1.1 问题的背景和意义 (1)

1.2 极限相关概念 (2)

1.2.1 数列极限 (2)

1.2.2 函数极限 (2)

2 中国古代的极限思想 (4)

2.1 极限思想的萌芽 (4)

2.2 关于数π (4)

2.2.1 π的来历 (4)

2.2.2 π的数值精确度的发展 (4)

3 中西方极限思想的比较 (7)

3.1 割圆术与穷竭法 (7)

3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较 (8)

3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较 (8)

3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较 (8)

3.3 从中西方哲学传统看微积分的创立 (9)

4 对后世数学的影响及其应用 (10)

4.1 对后世数学的影响 (10)

4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响 (10)

4.3 极限思想在古代的应用 (11)

5 结论 (13)

致谢 (14)

参考文献 (15)

1 绪论

1.1 问题的背景和意义

微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无限性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件。（参见文献[1]）

作为数学中最重要的思想和方法之一，极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面，对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。

微积分的形成与发展是数学界的重要话题。但翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者，无论是过去，还是现在，大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，中国古代数学对微积分形成所做出的贡献，理应受到世人的承认与尊重。众所周知，在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式数学所不及的。

学习和研究中国古代极限可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少, 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用”。因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想