梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种
常用技巧
Prepared on 22 November 2020
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
浙江唐伟锋
梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——
一、平移一腰
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm
，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm
∴EC=BC－BE=7－2=5cm
在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰
将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为
大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决
梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=
∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA、CD，使它们交于E点，
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）
又∵B=∠C
∴∠EAD=∠EDA
∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E
∵AD∥BC，DE∥AC
∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平
行的四边形是平行四边形）
∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm
∵AC ⊥BD
∴DE ⊥BD
∴S 梯形ABCD =111()()222
AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22
BD DE =⨯=⨯⨯= 。

四、作高线
从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。

例4、如图④，已知梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB 于A ，DC=1，DA=2，AB=3，求∠B 的度数。

解：过C 点作CE ⊥AB ，E 为垂足，
∵DC ∥AB ，DA ⊥AB
∴DA ⊥DC
又∵CE ⊥AB
∴四边形AECD 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴AE=DC=1，CE=DA=2
∵AB=3
∴EB=AB －AE=3－1=2=CE
∴∠B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。

五、作对角线
在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。

例5、如图⑤，已知梯形ABCD中，DC∥AB，
AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，求证：
AC=CE。

证明：连结BD，
∵AD与BC是腰且AD=BC
∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）
∴AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）
∵DC∥AB即DC∥BE，BE=CD
∴四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）
∴BD=CE（平行四边形对边相等）
∴AC=CE。

六、过一顶点和一腰中点作直线
过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。

例6、如图⑥，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，DE⊥CE，求证：CD=AD＋BC。

证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置，使AE
与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，∠
A=∠EBF，
∵AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠EBF＋∠ABC=180°，即FB与BC在同一条直线上
∵CE⊥DE，ED=EF
∴CE是DF的中垂线
∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD（线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等）。