高考数学复习 5.5 解三角形 角化边、边化角问题练习 文

5.4 解三角形 角化边、边化角问题

总纲：条件中同时含有 边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边”），或者都化成角（即“边化角”）来处理。 第一阶：

典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改编）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22232330a ab b c ++-=,则C cos =

典例2：（不能直接使用定理） 在ABC ∆中，

（1） 已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状 （2） 已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状

第二阶：

方法指导：含有x sin 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 ， 角化边。

例3：（2013年高考天津卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知

sin 3sin b A c B =, a = 3, 2

cos 3

B =

. (Ⅰ) 求b 的值;

(Ⅱ) 求sin 23B π⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值.

练习3．（2013年高考江西卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知

12cos sin sin sin sin =++B C B B A

(1) 求证: ,,a b c 成等差数列; (2) 若C =23

π

,求

a

b

的值.

方法指导：含有a ,b ,c 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 边化角。

例4．（2013年高考陕西卷（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

练习4．（2013年辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 而且

1

sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b += a b >,则B ∠=

A.6π

B.3π

C.23π

D.56

π

方法指导：含有x cos 的式子，优先考虑 余弦定理 角化边。

例 5.（2011山东理17）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ，已知

b a

c B C A -=-2cos cos 2cos ．

（I ）求A C sin sin 的值； （II ）若4

1

cos =B ，b =2，ABC ∆的面积S 。

第三阶：

方法指导： 代数变形 或者 三角恒等变形后置 例6：已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状

练习6：（2011山东理17）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ，已知

b a

c B C A -=

-2cos cos 2cos ． （I ）求A C sin sin 的值； （II ）若4

1

cos =B ，b =2，ABC ∆的面积S 。

方法指导：代数变形 或者 三角恒等变形 前置

例7(代数变形前置)：（2013年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为

,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若1

sin sin 4

A C =

,求C

例8（三角恒等变形前置）：（2013年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,

且3

cos()cos sin()sin()5

A B B A B A c ---+=-. (Ⅰ)求sin A 的值;

(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu

r 方向上的投影.

方法指导：含有 面积公式 的问题，要考虑可能结合 余弦定理 使用。

例9：2012年江西卷16.（本小题满分12分）

△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知C B C B cos cos 61)cos(3=-- （1）求cosA ；

（2）若3=a ，△ABC 的面积为b 、c 。

方法指导：同时出现 两个自由角（甚至三个自由角）的时候，要用到π=++C B A

例:10：2011（湖南理17）△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足C a A c cos sin = （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求)4

cos(sin 3π

+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。

（提示：A 、B 两个角可以消掉一个角）

练习10：（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知

cos sin a b C c B =+.

(Ⅰ)求B ；（提示：使用π=++C B A ）

(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.（法1：可以结合余弦定理，使用基本不等式，）（法2：使用π=++C B A 消元，化为一元函数）

参考答案： 典例1：

3

1

典例2：（1）等腰三角形 （2）等腰三角形 或 直角三角形 例3 : (1) 6=

b (2) 18

3

54)3

2sin(+=

-

π

B

练习3： （1）b c a 2=+，故c b a ,,成等差数列 （2）5

3=b a 例4： A 例5： 2sin sin )

1(=A

C

（2）415=S 例6：等腰三角形 或 直角三角形 练习6： 2sin sin )

1(=A

C

（2）415=S 例7：（1）32π=

B （2）12π=

C 或4

π

=C