七年级下一元一次不等式(组)的典型应用题归纳

（归纳）七年级下数学一元一次不等式（组）的典型应用题

一.列不等式解应用题

类型一

例1.小华家距离学校2.4千米.某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？

解：设，依题意得：

练习一：

1.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?

2.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?

类型二

例2.某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费．

（1）.若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是______．

（2）.根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?

练习二：

1.国庆期间两名家长计划带几个孩子去旅游，他们联系了两家旅行社，报价均为每人500元，经协商甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，孩子均按7折收费；乙旅行社的条件是：家长和孩子均按8折收费。假设两名家长带领x名孩子去旅游，他们应选择哪家旅行社？

类型三

例3.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?

练习三：

1、某商店购进一批衬衫，甲顾客以7折的优惠价格买了20件，而乙顾客以8折的优惠价格买了5件，结果商店都获利200元，那么这批衬衫的进价元，售价元。

二.列不等式(组)解应用题

例1、今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得

4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，解此不等式组，得x≥2，且x≤4，

即 2≤x≤4．

因为x是正整数，所以x可取的值为2，3，4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：

甲种货车乙种货车

方案一2辆6辆

方案二3辆5辆

方案三4辆4辆

（2）方案一所需运费300×2+240×6= 2 040（元）；方案二所需运费 300×3+240×5 =2 100（元）；方案三所需运费300×4 +240×4 =2 160（元）．所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元．

练习一：

1、某工厂现有甲种原料360 kg,乙种原料290 kg,计划用这些原料生产A、B两种产品共50 kg.已知生产一件A种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg;生产一件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg,

(1)设生产x件A种产品,写出x应满足的不等式组?

(2)有哪几种符合题意的生产方案?请你帮助设计.

例2、宁启铁路泰州火车站有某公司待运的甲种货物1580吨，乙种货物1050吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京。已知A、B两种型号的车厢每节配载甲、乙两种货物的装载能力和每节车厢的运费见下表：

A型（单位：节）B型（单位：节）

甲（单位：吨）35 25

乙（单位：吨）15 35

运费（单位：万元/节）0.5 0.8

（1）按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？（6分）

（2）哪种方案的运费最少，最少运费是多少？（4分）

练习二：

2、某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

例3、某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价的售价如下表（：获利= 售价 - 进价）

甲乙

进价（元/ 件） 15 35

售价（元/ 件） 20 45

（1）若商店计划销售完这批商品后，能获得1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案。

解：、(1）设甲种商品进x 件，乙 y件，则

即购进甲100件，乙60件（2）设该商店购进甲x件，乙（160-x）件，则15x + 35（160-x）< 4300

（20-15）x+（45-35）（160-x）>1260

解得 65

方案一甲：66件乙：94件方案二甲：67件乙：93件

获利最大的购货方案是方案一，即购进甲66件，乙94件时获利最大

练习三：

3、新郑绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：

种植户种植A类蔬菜面

积

（单位：亩）

种植B类蔬菜面

积

（单位：亩）

总收入

（单位：元）

甲 3 1 12500

乙 2 3 16500

说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．

⑴求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？

⑵某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.

例4、某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器。现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表。经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．

甲型乙型

价格（万元/台）

产量（吨/月）240 180

（1）求a, b的值；（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；

（3）在（2）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

解：（1）由题意可知：答：a, b的值分别是12,10.

（2）设购买A型设备x台，B型设备(10－x)台，则：

12x＋10(10－x)≤110-∴x≤5，∵x取非负整数∴x＝0，1，2，3，4，5，有6种购买方案

（3）由题意：240x＋180(10－x)≥2040-∴x≥4∴x为4或5．当x＝4时，购买资金为：12×4＋10×6＝108（万元）

当x＝5时，购买资金为：12×5＋10×5＝110（万元）

最省钱的购买方案为，应选购A型设备4台，B型设备6台-

练习四：

4、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某区A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该区的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该区A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．

则

∵A类学校不超过5所∴∴即：B类学校至少有15所．

（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为(6-x)所，

依题意得：解之得

∵x取整数∴x=1，2，3，4 即：共有4种方案．

例5.(桂林)某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．

(1)该校初三年级共有多少人参加春游?

(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．

【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系．

(1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数．

(2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．

【答案与解析】

解：(1)设租36座的车x辆．

据题意得：

3642(1)

3642(2)30

x x

x x

<-

?

?

>-+

?

，解得：

7

9

x

x

>

?

?

<

?

．

由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．

(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，

方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，

方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：

6×440＋1×400＝3040(元) ．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．

练习五：

5…. 5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．

(1) 设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；

(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．

参考答案

练习一：

1、(1)

(2)由(1) 得30≤x≤32,共三种：生产30件A种产品，生产20件B种产品；

生产31件A种产品，生产19件B种产品；生产32件A种产品，生产18件B种产品.

提示：根据题意列出不等式组,由整数解确定方案.

4一元一次不等式的应用．.

方案型；图表型．分析：

（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机100﹣x台，由题意可得：22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；

（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．

练习二：

2、解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30－x）个．由题意，得…1分

…2分解这个不等式组，得18≤x≤20．

由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．…3分

当x=18时，30－x=12；当x=19时，30－x=11；当x=20时，30－x=10．

故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；

方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．…6分

（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；

方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．故方案一费用最低，最低费用是22320元．

练习三：

3、解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．

由题意得：解得：

答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．

（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩．

类别种植面积单位：（亩）

A11 12 13 14

B9 8 7 6

由题意得：解得：10＜a≤14.

∵a取整数为：11，12，13，14.∴租种方案如上表

练习四：

4、解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资

金分别为a万元和b万元．依题意得：解之得

答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．

则

∵A类学校不超过5所∴∴即：B类学校至少有15所．

（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为(6-x )所， 依题意得： 解之得

∵x 取整数 ∴x=1，2，3，4 即：共有4种方案．

练习五： 解：（1）设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -，则：

42(8)3038(8)20

x x x x +-≥??+-≥?，解得：4785x ≤≤，∵x 应为整数，∴7x =或8， 课后练习

1.若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?

2、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？

3、某地区果农收获草莓30吨，枇杷13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往省城，已知甲种货车可装草莓4吨和枇杷1吨，乙种货车可装草莓、枇杷各2吨．

（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案请您帮助设计出来；

（2）若甲种货车每辆要付运输费2 000元，乙种货车每辆要付运输费1 300元，则该果农应选择哪种运输方案才能使运费最少，最少运费是多少元？

4.2008年5月12日，汶川发生了里氏8.0级地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；

信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多300元；

信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元．

请根据以上信息，帮助老师解决：

(1) 二班与三班的捐款金额各是多少元?

(2) 一班的学生人数是多少?

5.在“5·12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务．某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A，B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

问：这

答案

6、某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹集的资金全部用于生产此两型号挖掘机，所生产的此两型号挖掘机可全部售出，此两型号挖掘机的生产成本和售价如下表：

（1）该厂对这两型号挖掘机有哪几种生产方案？

（2）该厂如何生产才能获得最大利润？

7、某地区果农收获草莓30吨，枇杷13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往省城，已知甲种货车可装草莓4吨和枇杷1吨，乙种货车可装草莓、枇杷各2吨．（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案请您帮助设计出来；

（2）若甲种货车每辆要付运输费2 000元，乙种货车每辆要付运输费1 300元，则该果农应选择哪种运输方案才能使运费最少，最少运费是多少元？

8、某校师生积极为汶川地震灾区捐款捐物，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元.学校花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住. 学校准备租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷.

3.（1）设应安排x辆甲种货车，那么应安排（10-x）辆乙种货车运送这批水果，由题意

得： x+2(10-x)≥30

4x+2(10-x)≥13 (2)

解得5≤x≤7，又因为x是整数，所以x=5或6或7…2分

方案：方案一：安排甲种货车5辆，乙种货车5辆；

方案二：安排甲种货车6辆，乙种货车4辆；

方案三：安排甲种货车7辆，乙种货车3辆．……1分

2）在方案一中果农应付运输费：5×2 000+5×1300=16 500（元）

在方案二中果农应付运输费：6×2 000+4×1 300=17 200（元）

在方案三中果农应付运输费：7×2 000+3×1 300=17 900（元）…………3分

答：选择方案一，甲、乙两种货车各安排5辆运输这批水果时，总运费最少，最少运费是16 500元

6.（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机100﹣x台，由题意可得：

22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；

（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．

解：（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机（100﹣x）台，

由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生产成本可得：22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，37.5≤x≤40，

∵x为整数，∴x取值为38、39、40．故有三种生产方案．

即：第一种方案：生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台；

第二种方案：生产A型挖掘机39台，生产B型挖掘机61台；

第三种方案：生产A型挖掘机40台，生产B型挖掘机60台．

（2）三种方案获得的利润分别为：

第一种方案：38×（250﹣200）+62×（300﹣240）=5620；

第二种方案：39×（250﹣200）+61×（300﹣240）=5610；

第三种方案：40×（250﹣200）+60×（300﹣240）=5600．

故生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台的方案获得利润最大．

7、1）设应安排x辆甲种货车，那么应安排（10-x）辆乙种货车运送这批水果，……1分

由题意得： x+2(10-x)≥30 4x+2(10-x)≥13…2分

解得5≤x≤7，又因为x是整数，所以x=5或6或7…2分

方案：方案一：安排甲种货车5辆，乙种货车5辆；

方案二：安排甲种货车6辆，乙种货车4辆；

方案三：安排甲种货车7辆，乙种货车3辆．…1分

2）在方案一中果农应付运输费：5×2 000+5×1300=16 500（元）

在方案二中果农应付运输费：6×2 000+4×1 300=17 200（元）

在方案三中果农应付运输费：7×2 000+3×1 300=17 900（元）…………3分

答：选择方案一，甲、乙两种货车各安排5辆运输这批水果时，总运费最少，最少运费是16 500元．……1分

8、解：（1）设该校采购了x顶小帐篷，y顶大帐篷……1分

根据题意得……3分解这个方程组得……4分

答：该校采购了100顶3人小帐篷，200顶10人住的大帐篷.…5分

9、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．