高中数学北师大版必修四第一章：§3 弧度制
1-3 弧度制 课件高中数学必修4(北师大版)
3 3 180 (2)10π＝10π· π ° ＝54° . π 3 (3)67° 30′＝67.5° ＝180 rad×67.5＝8π rad. (4)－2
180 rad＝(－2)× π ° ≈－57.30° ×2＝－114.60° .
规律方法
(1)进行角度与弧度换算时， 要抓住关系： π rad＝180° ；
180 π ° (2)度数× ＝弧度数，弧度数 × ＝度数； 180 π
(3)特殊角的度数与弧度数对应值要记熟．
5 【训练 1】 (1)把 112° 30′化成弧度；(2)把－12π 化成度． 解
225 225 π 5π (1)112° 30′＝ 2 ° ＝ 2 ×180＝ 8 .
题型三 用弧度表示区域角 【例 3】 (12 分)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非 负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所 示)．
题型一
角度制与弧度制的互化
【例 1】 将下列角转化为另一种形式表示： 3 (1)－18° ；(2) π；(3)67° 30′；(4)－2 rad. 10
180 π [思路探索] 直接利用 1° ＝ rad,1 rad＝ π ° 进行转化． 180
解ห้องสมุดไป่ตู้
π π (1)－18° ＝180 rad×(－18)＝－10 rad.
5π 180 5π (2)－12＝－12× π ° ＝－75° .
题型二
弧长公式与扇形面积公式的应用
【例 2】 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形 的面积． [思路探索] 设出扇形的半径和弧长，利用弧长公式和扇形的周 长求出半径，问题即可解决．
解 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad，依 据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8，解得 r＝2，则 l＝4. 1 1 故扇形的面积 S＝2rl＝2×2×4＝4(cm2)． 规律方法 有关扇形的弧长 l，圆心角 α，面积 S 的题目，一般
高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
10 < r < 10．于是扇形的面积为 π+1 1 10 S = (20 − 2r)r = −(r − 5)2 + 25( < r < 10)．当 r = 5 时，l = 10 ，α = 2，S 取得 2 π+1 最大值，此时最大值为 25cm2 ．故当扇形的圆心角 α 等于 2 弧度时，这个扇形的面积最大， 最大面积是 25cm2 ． 1 （2）设扇形的半径是 r ，弧长是 l ，扇形的周长为 y ，则 y = l + 2r．由题意得 lr = 25，则 2 50 50 ，所以 y = l= + 2r．利用函数单调性的定义可证明：当 0 < r ≤ 5 时，函数 r r 50 50 y= + 2r 是减函数；当 r > 5 时，函数 y = + 2r 是增函数．所以，当 r = 5 时，y r r l 取得最小值 20，此时 l = 10 ，α = = 2 ，即当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形周长取最小值为 r 20． 0 < 20 − 2r < 2πr，所以
π rad 的角的正弦．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度 3 数是 0 ．如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ，那么角 α 的弧度数的绝对值是 l ．这里， α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定． |α| = r
角度与弧度的换算
π 表示 3
360 ∘ = 2πrad, 180 ∘ = πrad π rad ≈ 0.01745rad 1∘ = 180 180 ∘ 1rad = ( ) ≈ 57.30∘ = 57∘ 18 ′ π
解：15∘ = 15 × （1）一个扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形面积的最大值． （2）一个扇形的面积为 25cm 2 ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？并求 出这个扇形周长的最小值． 解：（1）设扇形的半径为 r ，则弧长为 l = (20 − 2r)．由 0 < l < 2πr ，得
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》弧度制
7
抽象概括
4、任意一个0°～ 360°的角的弧度数为：
0 X 2
5、弧度制的定义：用弧度做单位来度量角的
制度叫做弧度制。 6、角度与弧度可以互化：
360 2 rad ;
1
180 rad ;
180 180 1rad ( ) 57.30 5718
得出结论：当圆的半径为1个单位长度时， 圆心角所对的弧长就是一个角的弧度数。所以， 我们可以用角的弧度数来度量角的大小。
6Hale Waihona Puke 抽象概括1、1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧 所对的圆心角叫做1弧度的角.符号是rad。
2、正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
正数
负数 零
3、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所 对的弧长（即圆周长）为2 ，所以周角的 弧度数是2 。
6 4
3
2
3
4
6
2
弧度制下的角与实数建立 一一对应关系
10
弧长与扇形面积公式
1、角度制下的弧长公式 弧度制下的弧长公式
l
n r 180
lr
n r
2
2、角度制下的扇形面积公式 S扇 弧度制制下的扇形面积公式 S 扇
360
1 lr 2
11
练习
2、把下列各弧度化成角度。
（1） 2 ; 2 （ 3） ; 3
换算关系
180 rad
基本关系
180 1rad 57.30 5718 13 导出关系
作业：
课本P11习题1-3 3、7
14
1、1º 的角是怎样规定的？
规定周角的1/360叫做1度的角。
高中数北师大必修四：第1章 §3 弧度制
解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，圆心角α＝rl＝41＝4；
当r＝2时，l＝2，圆心角α＝rl＝22＝1. 故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
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[构建·体系]
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1．下列说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 【答案】 D
【提示】 S＝12lr.
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如图1－3－3，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角 α(0<α<2π)的弧度数．
图1－3－3 【精彩点拨】 S＝12lr，l＋2r＝周长→求l，r值→α＝rl
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【自主解答】 设 长为l，扇形半径为r，由题意得：
l＋2r＝10， 12lr＝4，Leabharlann 上一页返回首页下一页
2．角度制与弧度制的互化 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个 正数 ； ②负角的弧度数是一个 负数 ； ③零角的弧度数是 0 ； ④弧度数与十进制实数间存在 一一对应关系 ．
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(2)弧度数的计算
l |α|＝ r .如图1－3－1：
图1－3－1
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已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
角度制
弧度制
弧长公式
l＝1|n8|π0r°
l＝|α|r
扇形面积公式 S＝|3n6|π0r°2 S＝12l·r＝12|α|r2
北师大版高中数学必修四课件§3弧度制
kp p 与 k p + ，k ? Ζ C． 2 2
D．
(2k + 1)p与 3k p，k Î Ζ
2.如图，已知角的终边区域，求出角的范围. y y
0 (1)
45
0
0
45
(2)
0
x
x
禳 p 镲 (1) 睚 a | 2k p + ＃a 4 镲 铪 答案： 镲
禳 p 镲 (2) 睚 a | k p + ＃a 镲 4 镲 铪
︱ α︱ =
l r
其中l为以角α 作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.
这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.
由180°=π 弧度还可得
π 1°=——弧度≈ 0．01745弧度 180
180 1弧度=（——）°≈57． 30°=57°18′ π
例1把45°化成弧度. 解45°=
3 5
写，但用“度”（°）为单位时不能省. 3.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π ”的形式.
4.用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一 一对应的关系：
正角 零角
正实数
对应角的 弧度数
零
负实数
负角
角的集合
实数集R
1.下列各选项中角的终边相同的是（ B ）．
p p A． k p + 与2k p 蔽 ，k Ζ 4 4 p 2p B． 2 k p 与 p + ，k ? Ζ 3 3
若l=2π r，
l = 则∠AOB=2π 弧度 r l=2πr 2π弧度 O r A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r， 则∠AOB的弧度数的绝对值是
l
即∠AOB=－
高中数学北师大版必修4第1章3《弧度制》ppt课件
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第一章§3弧度制含答案
［核心必知］1．度量角的单位制（1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2）弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制．2．角度与弧度的互化（1）角度制与弧度制的互化（换算)180°＝π_rad;1°＝错误!rad＝0.017 45 rad；1 rad＝错误!＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l，α为其圆心角，则［问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式｜α|＝错误!中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。
3．390°可以写成360°＋错误!吗?提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．（1）把112°30′化为弧度；（2)－错误!rad化为度．［尝试解答］(1）∵1°＝错误!rad，∴112°30′＝112。
5°＝112.5×π180rad＝错误!rad.（2）∵1 rad＝错误!°，∴－错误!rad＝－错误!×错误!°＝－75°.1．将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时，应先将它们统一转化为“度”,再利用1°＝错误!rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1）20°；（2)错误!；（3）8 rad解:（1)20°＝20×错误!＝错误!，(2)错误!＝错误!×180°＝165°。
2019-2020学年高中数学北师大版必修四教学案：第一章 §3 弧度制 Word版含答案
[核心必知]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝π_rad；1°＝π180rad＝0.017 45 rad；1 rad＝180°π＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝lr中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°. 3．390°可以写成360°＋π6吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－5π12rad 化为度． [尝试解答] (1)∵1°＝π180rad ，∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad ＝5π8rad. (2)∵1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°， ∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数． 练一练1．将下列角度与弧度互化． (1)20°； (2)11π12； (3)8 rad 解：(1)20°＝20×π180＝π9，(2)11π12＝1112×180°＝165°. (3)8 rad ＝8×⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°. [尝试解答] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数； (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位． 练一练2．(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上，y 轴的非正、非负半轴上，x 轴上，y 轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合． 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋3π2，k∈Z ； 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }； 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π＋π2，k∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k∈Z ；第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k∈Z ； 第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k∈Z ； 第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k∈Z .讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积． (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [尝试解答] (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2) 故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0， 解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4； 当r ＝2时，l ＝2， 圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想． 练一练3．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ， ∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R ＝－(R －C 4)2＋(C 4)2， ∴当R ＝C 4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解] (1)图①中，S 1＝{θ|2k π＋330°<θ<2k π＋75°，k ∈Z }； (2)图②中，S 2＝{θ|2k π＋225°<θ<2k π＋135°，k ∈Z }；(3)图③中，S 3＝{θ|2k π＋30°<θ<2k π＋90°或2k π＋210°<θ<2k π＋270°，k ∈Z }．[错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S 1，S 2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， ∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ <2k π＋5π12，k∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝3π4， ∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k∈Z .(3)图③中，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪（2k ＋1）π＋π6<θ<（2k ＋1）π＋π2，k∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k∈Z .1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( )A.163B.323C.16π3 D.32π3解析：选D ∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180rad ＝32π3rad. 3．－29π12的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D －29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角． 4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________． 解析：由l ＝|α|×r ，得弧度数为4. 答案：45．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________． 解析：设扇形的弧长为l . ∵72°＝72×π180rad ＝2π5rad ， ∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)， ∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 答案： 80π cm 26．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9， 又0≤16π9<2π， ∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π. (2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同， ∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z . 又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析：选D 由弧度制定义知D 正确． 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad. 4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k∈Z ，B ＝错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π2，k∈Z ，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C. 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n∈Z . 答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10， 故扇形的周长为20. 答案：20 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )． ∴阴影部分内的角的集合为 {α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z . 不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝ {α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，2π3×4＝8π3.Q点走过的弧长为。
高中数学北师大版必修4 1.3 教学课件 《弧度制》(数学北师大高中必修4)
22
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探究点2 弧度制与角度制的换算 因为周角的弧度数是2 π，而在 角度制下它是360°，所以
360°= 2π rad
l=2 π r O r A (B)
180°= π rad
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由180°=πrad还可得
把角度换成弧度
π
1°= —1— 80 rad ≈ 0．017 45 rad.
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心
角为1__弧__度__的__角__，它的单位符号是rad,读作弧度. B l=r
则∠AOB= l = 1弧度. r
1弧度
Or A
若l=2r， 则∠AOB= l =2弧度.
r
B
l=2r
2弧度
Or A
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若l=2πr， 则∠AOB= l =2π弧度.
把弧度换成角度
1rad =（—18—0 ）°≈ 57．30°=57°18′.
π
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例1 把45°化成弧度.
解: 45°= 45 rad rad.
180
4
例2 把 3 rad 化成度.
5
解: 3 rad 3 180 108 .
5
5
方法：用弧度与角度的相互转化公式求解
第一章 · 三角函数
弧度制
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
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在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十 进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位， 使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
(北师大版)数学必修四：1.3《弧度制》ppt课件(1)
复习：
①小学:角度制:用度数做单位度量角的方 法. 单位(1°角):圆周角的1/360为1°. 圆周长L=2πR ②初中: 圆心角所对的圆弧长。
正 ③上节:角 零 负
2R L 0 360
都是以度数形式给出的。
n
m A P
④单位圆: 半径长为一个单位的圆。
B O
r
L A
B
Q
O
知识点：
1、 弧度数: 圆心角所对的弧长与半径的比值. 记为α
L 则 当圆的半径为1个单位长度时，圆心角 R
所对的弧度数就是这个角的弧度数.即α=L
知识点：
2、 1弧度的角(单位)：在单位圆中长为1个单位长
度 的弧所对应的圆心角称为1弧度的角，记为
1rad (即在单位圆中,弧长为1的弧所对应的圆心角
,1rad (
180
) 57018'
0
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写， 弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
1 2) 扇形面积公式: S LR 2
二、例题： 例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 3 2) 把 rad化成度数；
0
解:1)
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？ 解:2) 设圆半径为R, 则
1 1 LR (20 2 R) R (10 R R) R 2 2 10 R 2 10 R ( R 5) 2 25. R 10 当R 5时，即L 10 R 5 1 2时，Smax 25 L 20 2 R R, S
第一章3弧度制-北师大版高一数学必修4课件(共19张PPT)
正角 零角 负角
角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
三、新旧融合 知识重建
一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
数 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 360o
弧
0 度
0
数
64
3
2
2 3 5 346
2
注：1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程 北师大版 高中数学 必修4
第一章 三
角度制
用周角的 1 作为一个单位，称为 1 度角，
360
用度作为单位来度量角的单位制，就叫角度制.
扇形弧长、面积公式
l nR 180
S nR2 360
一、回忆旧知 提出问题
省略不写，但用“度（ o）”为单位时不能省略;
2.用弧度制表示角时，通常写成“多少 ”的形式，如
无特别要求，不用将其化成小数;
3.弧度与角度不能混用．即不可写成
形式.
四、巩固新知 加深理解
例 （1）把 45化成弧度；（2）把 600化成弧度．
解 (1)45o 45 rad rad；
180
4
(2)-600o （-600） rad 10 rad.
180
3
四、巩固新知 加深理解
例 (1)把 3 π rad 化成度；（2）把 9 π rad化成度．
5
5
解
3
3 180o
(1) rad
108o;
5
5
(2) 9 rad 9 180o 324o.
5
5
注：角度制与弧度制互化时要抓住 180o rad 这个关键．
北师大版必修4高中数学第1章三角函数3蝗制
A．π6 rad C．1π2 rad
B．－6π rad D．－1π2 rad
B [时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.]
3．若 θ＝－5，则角 θ 的终边在( )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
D [2π－5 与－5 的终边相同，
∵2π－5∈0，π2， ∴2π－5 是第一象限角，则－5 也是第一象限角．]
(3)注意点： ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不 写； ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少 π 的形式， 如无特别要求，不必把 π 写成小数； ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－151π. [解] (1)20°＝20×1π80 rad＝9π rad. (2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad. (3)172π rad＝172×180°＝105°. (4)－151π rad＝－151×180°＝－396°.
[解] (1)∵1°＝1π80 rad， ∴α1＝510°＝510×18π0＝167π， α2＝－750°＝－750×1π80＝－265π. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第四象限．
(2)β1＝45π＝45π×18π0°＝144°. 设 θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°， ∴－360°≤k·360°＋144°＜360°. ∴k＝－1 或 k＝0. ∴在－360°～360°范围内与 β1 终边相同的角是－216°.
第一章 三角函数
§3 弧度制
学习目标
高中数学第一章三角函数3弧度制课件北师大版必修4
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×1π80°＝72°， ∴终边与25π角的终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
A.2
B.sin2 1
C.2sin 1
√D.sin4 1
解析 连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度
的线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半
径长为sin2 1. 这个圆心角所对的弧长为 2×sin2 1＝sin4 1.
解析 答案
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2， 二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把 度化为弧度，再计算.
解答
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； 解 ∵－1 480°＝－1 480×1π80＝－794π， 而－749π＝－10π＋169π，且 0≤α≤2π，∴α＝169π. ∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.
π rad＝_1_8_0_°_
1°＝
π 180
rad≈ 0.017 45
rad
1 rad＝18π0°≈ 57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30°_4_5_°_ 60°_9_0_°_ 120°_1_3_5_°_ 150°180°_2_7_0_°_ 360°
高一数学北师大版必修4课件1.3 弧度制
1 2
1 2
是弧长.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 弧度制和角度制的区别和联系
1.弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的单位制,角度制是以 “度 ”为单位 度量角的单位制,因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法. 2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省略不写;以度数为 单位表示角的大小时,度(° )不能省略不写. 3.弧度制比角度制有以下优点 :其一是在进位制上,角度制在度、分、 秒 上是 60 进位制,不便于计算,而弧度制是十进位制,给运算带来方便 ;其二是 在弧长公式与扇形面积公式的表达上,弧度制下的公式远比角度制下的公 式简单,运算起来也方便.
1 1 所对的圆心角,1 弧度的角是圆周的 所对的圆 360 2π
点评 分析判断概念问题,深刻地理解概念的内涵与实质是解决问
题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 弧度制和角度制的互化
将角度制化为弧度制时,应用公式 1° =
π 180
rad;
180 π
将弧度制化为角度制时,应用公式 1 rad=
180 π π 180
rad 转化为弧度即可,
° 转化为度即可,单位“° ”不能省略.
(3)当角 α 用度表示时,终边与角 α 终边相同的角的集合可以表示为 S={β| β=α+k×360° ,k∈ Z},当角 α 是用弧度表示时,终边与角 α 终边相同的角 的集合可以表示为 S={β|β=α+2kπ,k∈ Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列说法不正确的是(
)
A.“度”与“弧度 ”是度量角的两种不同的度量单位 B.1 度的角是圆周的 心角 C.根据弧度的定义,180° 一定等于 π rad D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关 解析:根据角度、弧度的定义,无论是角度制还是弧度制,角的大小都与 圆的半径长短无关,而与弧长和半径的比值有关,所以 D 选项错误. 答案:D
高中数学 1.3 弧度制课件 北师大版必修4
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad ＝180°是解题的关键．
2．一些特殊角 30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与 度数的对应制今后常用，应熟记．
3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如 β＝ 2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．
把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π. 【解】 ∵－1 480°＝1π80×(－1 480)＝－794π. 又∵－749π＝－10π＋196π，且 0≤196π<2π. ∴－1 480°＝2×(－5)π＋196π.
一般地对于概念客观题的判定，要紧扣概念的本质及概 念中的易错、易混的词，同时要区分相近概念的异同点．
下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
【解析】 根据 1 rad 的定义：我们把长度等于半径长的 弧所对的圆心角叫 1 rad 的角．
对照选项，知 A、B、C 正确，D 项错误．
【答案】 D
角度制与弧度制的互化
将下列各角度与弧度互化． (1)22.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)－3 rad. 【思路探究】 依据换算关系 π rad＝180°逐个角进行转 化．
【自主解答】 (1)22.5°＝1π80rad×22.5＝π8rad. (2)112°30′＝112.5°＝1π80rad×112.5＝58πrad. (3)94π＝94×180°＝405°. (4)－3 rad＝－3×(1π80)°≈－3×57.30°＝－171.90°.
弧度制
弧长公式
2019-2020学年北师大版必修4 第1章3 弧度制 课件(38张)
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个_正__数___；任一负角的弧度数都 是一个_负__数___；零角的弧度数是__0__.
(4)角的弧度数的计算
设 r 为圆的半径，l 是圆心角 α 所对的弧长，则角 α 的弧度 l
数的绝对值满足|α|＝_r_.
所以－20 是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π
－20)，k∈Z}．
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第一章 三角函数
【方法总结】 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的 互化关系：π rad＝180°，再由公式18π0°＝这这个个角角的的弧度度数数 得：
(1)度数×1π80＝弧度数； (2)弧度数×1π80°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制
第一章 三角函数
)
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第一章 三角函数
类型 2 弧长公式及扇形面积公式的应用 例 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的
弧度数． 【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝12lR，
得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
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第一章 三角函数
解：设圆的半径为r，A︵CB的长为l，则l＝23πr， ∵OA＝OB，OC与弦AB垂直， ∴∠AOC＝π3， ∴△AOC为等边三角形， ∵AD⊥OC，∴OD＝CD，
栏目 导引
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∴r＝2CD＝2a，
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2 B.sin 1 4 D.sin 1
连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的
线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半径长 2 为sin 1.
2 4 这个圆心角所对的弧长为 2×sin 1＝sin 1.
解析 答案
反思与感悟
1 1 2 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝ lr＝ |α|r ，二是l＝|α|r， 2 2
1 答案 周角的 360 等于1度.
答案
思考2
在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ 答案 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.
答案
思考3
“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ 答案 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心
角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常
弧 度
π 0 180 ___
π 6 ___
π 4
π 3 ___
π 2
2π 3 ___
3π 4
5π 6 ___
π
3π 2
2π
知识点三
扇形的弧长及面积公式
思考
扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
1 答案 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝2 lr， l＝αr.
答案
梳理
α为度数 α为弧度数
A.π 3π C. 3 5π B. 4
2 3π D. 9 2π 解析 扇形的中心角为 120° ＝ 3 ，半径为 3， 1 2 1 2π 所以 S 扇形＝2|α|r ＝2× 3 ×( 3)2＝π.
解析
答案
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为
A.2 C.2sin 1
解析
2π 2π 180 解 ∵ 5 ＝ 5 ×( π )° ＝72° ， 2π ∴终边与 5 角相同的角为 θ＝72° ＋k· 360° (k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
2π ∴在[0° ，720° ]内与 5 角终边相同的角为 72° ，432° .
解答
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为 3，则此扇形的面积为
例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
π 67π 7π 解 2 010° ＝2 010×180＝ 6 ＝5×2π＋ 6 ， 7π 3π 又 π< 6 < 2 ，
7π ∴α 与 6 终边相同，是第三象限的角.
解答
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
第一章 三角函数
§3
弧度制
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
角度制与弧度制
思考1
在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
180°＝ π rad
π 1°＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad
π rad＝_____ 180°
180° 1 rad＝ ≈ 57.30° ＝57°18′ π
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 45° 60° ____ 90° 120° _____ 135° 150° 180° _____ 270° 360° 度 0° 1° 30° ____
扇形的弧长
απr l＝ 180°
l＝αr
扇形的面积
απr2 S＝ 360°
1 2 1 S＝ lr＝2 αr 2
题型探究
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；
解
20π π 20° ＝180＝9.
(2)－15°；
解 15π π －15° ＝－180＝－12.
解答
7π (3)12；
解
7π 与 α 终边相同的角可以写成 γ＝ 6 ＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
29π ∴当 k＝－3 时，γ＝－ 6 ；
17π 当 k＝－2 时，γ＝－ 6 ； 5π 当 k＝－1 时，γ＝－ 6 .
解答
反思与感悟
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不 是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
解
7π 7 ＝ × 180° ＝ 105° . 12 12
11π (4)－ 5 .
解
11π 11 － 5 ＝－ 5 ×180° ＝－396° .
解答
反思与感悟
将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 π rad 180° ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 π 即可.
知识点二
角度制与弧度制的换算
思考
角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案
π 180° 利用 1° ＝180 rad 和 1 rad＝ π 进行弧度与角度的换算.
答案
梳理
(1)角度与弧度的互化 角度化弧度 360°＝ 2π rad 弧度化角度 360° 2π rad＝_____
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
解 π 74π ∵－1 480° ＝－1 480×180＝－ 9 ，
74π 16π 16π 而－ 9 ＝－10π＋ 9 ，且 0≤α≤2π，∴α＝ 9 . 16π ∴－1 480° ＝ 9 ＋2×(－5)π.
解答
2π (2)在[0°，720°]内找出与 5 角终边相同的角.
跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；
解
225 225 π 5π 112° 30′＝ 2 ° ＝ 2 ×180＝ 8 .
5π (2)把－12化成度.
解
5π 180 5π × －12＝－ ＝－75° . ° 12 π
解答
类型二 用弧度制表示终边相同的角
数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.
答案
梳理
(1)角度制和弧度制
用 度 作为单位来度量角的单位制叫作角60
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位
弧度制 符号是rad，读作弧度.以 弧度 作为单位来度量角的单位制叫作
弧度制
(2)角的弧度数的计算 设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足 l |α|＝r .