数学建模考查试题

数学建模考查试题提醒注意：本次竞赛共有16道题，三人一组，请在16个题中，任选一题，题目自拟，请按时完成论文，A4纸打印上交，并同时上交电子档于oymath@.一、某公司计划在P旅游区的一条河上扩展游船业务。

河流的旅游段从A地开始，经过景点B地到达C地结束。

其中A地到B地的距离为70公里，B地到C地的距离为90公里。

目前有A-B，B-C，A-C 三种游船。

近几年的数据表明，5月份每天购买A-B，B-C，A-C三种游船的乘坐人数服从正态分布，其中均值和方差由表1给出表1游船的票价为每公里1元。

根据估算，上座率65% 可以保本。

(1)如果同时开通三种不同的游船，分析三种游船的最佳业务规模。

（业务规模指船的最大载人数量）。

(2)为了管理方便和河道的畅通，公司考虑只开通由A至C的游船，而把B作为中间的停靠站。

该船同时出售A-B，B-C，A-C三种船票。

分析该游船的最佳业务规模。

(3)设公司按照问题(2)中求出的最佳规模建造了游船并开始运营。

当天票的售票时间为每天的上午8：00-8：30. 也可以提前一天在网上订票。

公司经理注意到，如果A-B，B-C的订票人数差距过大，会影响游船的上座率。

例如，如果游船规模是800人，A-B 订票150张，B-C订票530张，则A-C最多出售270张，A-B会空余380个座。

请你给出一个订票策略，尽可能减少空座。

二、某景区由5个海岛A,B,C,D,E组成。

海岛之间及与大陆港口P的距离由表2给出表2岛屿及港口之间距离（km）每个海岛的游览时间为半天。

C,D两个岛屿有旅馆可供住宿。

游览的过程为：游船凌晨由港口P出发，每半天游览一个景点。

如果行程超过一天，则晚上选择岛屿C或D住宿。

游览结束后回到港口P。

景点每次接待游客的能力由表3给出表3目前旅行社计划购买大、小两种游船用于旅游。

大型可载乘客100人，小型40人。

大型游船的每公里客均费用是小型游船的85%，但景点E只能停泊小型游船。

客均旅行费用正比于船的行程。

游船少载一个人的损失相当于客均旅行费用的1.5倍。

（1）旅行社经理希望你综合考虑景点的接纳能力，设计出不超过六种一日游和2日游套餐以及与之相配套的购船计划。

使得游览总费用尽可能低。

（不考虑游船购置费用）（2）据调查，有50%的游客希望在岛上过夜。

但住宿容纳能力明显不足。

因此，有人提议在B,C,D三个海岛之一兴建一个新的旅馆。

试分析应该在哪一个海岛兴建，规模多大？旅游套餐是否应该作相应调整？三、住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是近几年住宅的价格上涨太快。

买房还是租房，于是成了困扰很多人的问题。

从租售比的角度看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此对大部分年轻人来讲，比较理性的行为应该是租房。

但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。

买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。

租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。

把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。

当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别。

那么到底应该买房还是租房呢？请你以长沙市为背景，建立数学模型，解决下面问题：1. 从一个居住者的角度，分析在长沙市租房和买房哪个合算。

2. 请从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等），建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。

3. 根据你们建模分析的结果，给正受到买房还是租房所困扰的人们写一份建议书。

四、2011年9月，国家税务局公布了新的个税缴纳方案。

网上盛传，年终奖在18000元时，多发1元钱，可能多收1000多元个人所得税。

甚至有人以“新个税：年终奖多给1元到手收入或少8万”为标题写出了相关新闻来。

(参考网址：/china/20111207/106970.shtml)问题1. 那么这样的新闻报到正确吗？请查找税务局关于年终奖个税缴纳计算方法，并加以验证。

问题2. 那么为什么会出现这样的情况呢？有没有什么方案可以避免上述情况的出现？请找出问题所在，并拟一封给税务局的信，给出你的合理化建议。

问题3. 在现行税收政策下，个人该如何规划，才能使效益最大化？给出不同情况下，你的不同方案。

你的方案必须考虑到实际的可操作性。

问题4. 完成一篇可供报社发表的小短文，向普通大众介绍你们的研究成果。

五、为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.现考虑一座林场，种植香樟树，其中的树木按高度划分成不同的等级，当这些树木被采伐出售时，不同的等级有不同的经济价值。

取某一适合的时间作为初始时刻，此时所有的树木，给出一个分布，称之为初始分布。

经过一个生长周期后，树木按高度的分布不同了，然而为了使林场能持续存在，要求经过采伐与栽种，树木的高度恢复成原来的初始分布。

试建立模型得到既不破坏森林资源，又能给出最优收益的方案。

六、太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。

在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。

订购的食用油可以即时送达。

工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包食用油的库存成本为每星期11元。

（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。

（2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为2200元/桶。

建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

七、一西部乡镇医院接到一个求救电话，该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故，需要紧急救援。

上级领导要求该医院：派12名医护人员前往救援，并且要求医护人员在3小时内赶到。

该乡镇距离医院40公里。

该医院只有1辆小汽车，连同司机一次最多拉5人（司机不是医护人员），汽车的速度为60公里/小时，试研究以下问题：1、一次一次接送，12名医疗人员能否全部按时赶到？2、为了节省时间，在汽车拉着4人走的时候，其余医护人员步行往前赶，这种方式能否赶到？假定人步行的速度为5公里/小时。

3、在没有其它辅助条件的前提下，有没有更快、更保险的方案？八、近几年我国居民活水平有了显著提高，我校有越来越多的教师购置了汽车，为了解决停车问题，在图书馆前面造了一个地下车库。

车库面积有限，问题是如何利用车库高效地停车，即在保证安全的情况下，尽可能多地停车。

为简单起见，我们假设该车库是一个100x100米的正方形，见下图教师的车都是标准的轿车2x3米,车的最小转弯半径为４米，试设计一个最佳停车方案（只考虑平面）。

九、随着科学技术的飞速发展，社会竞争日益激烈，创新在人类文明进步中已处于举足轻重的地位。

当今时代，创新价值更是日益凸现，放眼全球，各国综合国力的竞争集中表现为科学与技术的竞争，而科学技术的竞争实质是知识的创新与运用能力的竞争。

创新能力成为决定一个国家、民族前途和命运的重要因素，正如江泽民同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”，“一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界先进民族之林”。

教育部文件明确指出“推进人才培养模式和机制改革，着力培养学生创新精神和创新能力”，并在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020)》中提出了 “牢固确立人才培养在高校工作中的中心地位，着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新入口出口人才.”培养和提高全民族的创新素质，已经成为时代对当今教育的新要求，也是提高教学质量的重点和难点. 在此背景下，大学生科技创新活动已成为我国高校发展最快、潜力最大的一项学生活动，大力培养大学生的科技创新能力，是高等学校适应时代要求的全新人才培养模式的重要手段和内容，也是高校校园文化建设的新理念。

长期以来，四川理工学院始终把培养和提高学生科技创新能力放到重要位置，实行了一些激励机制措施，充分调动了广大师生的积极性，取得许多优异的成绩。

但是，校方主管部门也发现了一些的问题，如竞赛活动出现一些“锦标主义”、“功利色彩”等不良现象，致使目前竞赛项目繁多，潜在的影响到正常的教学秩序.为此，校方想通过了解各项竞赛的影响力，对于培养学生创新能力的影响等因素，在经费及资源有限的情况下，拟重点参加20项科技竞赛活动。

附件中列出目前学校参加的56项大学生科技竞赛及名称。

请你回答如下几个问题：1、调查各项竞赛主管部门、主办单位、初次举办时间、竞赛规模、报名费用、设立奖项类别等信息。

2、根据你的调查结果对各项竞赛进行定性、定量分析，并对此分类，根据影响力对各项竞赛进行排序。

3、如果校方拟将竞赛控制在20项以内，建立数学模型，为校方提供有益的决策。

十、现某民间小额借贷公司，拥有流动资金2000万元，为了规避风险，主要进行有抵押的短期小额贷款，抵押实物主要有汽车（分全额付款与按揭汽车）和房产（分全额付款与按揭房产），它们的贷款利息如表1：请查找资料，分析民间贷款的现状，结合房产市场和二手汽车（抵押的汽车均为二手车）的价格走势，在贷款合同里已规避了国家规定的利息不高于银行利率4倍的问题，建立该公司风险评估模型，确定折价率和月利息，使得风险最小，收益最高。

十一、一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。

由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。

为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。

数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。

目前选拔队员主要考虑以下几个环节数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。

然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。

各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。