人教版高中数学必修三单元测试抛物线及答案

人教版高中数学必修三单

元测试抛物线及答案 The document was prepared on January 2, 2021

（11）抛物线

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为

（ ） A ．（1, 0）

B ．（2, 0）

C ．（3, 0）

D ．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （

）

A ．x 2+ y 2-x -2 y -4

1=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0

D ．x 2+ y 2-x -2 y

+4

1=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是

（ ）

A ．（1，1）

B ．（4

1,21）

C ．)4

9,23(

D ．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ．6m

B ． 26m

C ．

D ．9m

5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是

（ ） A ． y 2=－2x

B ． y 2=－4x

C ．y 2=－8x

D ．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是

（ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x

C ． y 2=2x

D ． y 2=-4x 或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=

（ ）

A ．8

B ．10

C ．6

D ．4

8．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（ ）

A ．)2(4)3(2--=-x y

B ．)2(4)3(2+-=-x y

C ．)2(4)3(2--=+x y

D ． )2(4)3(2+-=+x y

9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条

10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q

p 1

1+等于

（ ）

A ．2a

B ．

a 21 C ．4a D ． a

4 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．

12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．

13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．

14．抛物线的焦点为椭圆14

92

2=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

．

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆

圆心M 的轨迹方程．(12分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到

焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分）

17．动直线y =a ，与抛物线x y 2

1

2 相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求

线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽

4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航(12分)

19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段

C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，

|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方

程．(14分)

20．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该

抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤．

（Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ∆面积的最大值．(14分)

参考答案（11）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．4

k

x

=

13．（1，0） 14．x y 542-= 三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直

线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x

122

-=．

16． (12分)[解析]：设抛物线方程为)0(22

>-=p py x ，则焦点F （0,2

p

-

），由题意可得 ⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=5

)23(62

22p m p m ，解之得⎩⎨⎧==462p m 或⎩⎨⎧=-=462p m ，

故所求的抛物线方程为y x

82

-=，62±的值为m

17．（12分）[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （2

2a ，a ），又B )3,0(a 得 ⎩

⎨⎧==a y a x 22

消去a ，得轨迹方程为4

2

y x =

，即

x y 42=

18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，

设桥拱抛物线方程为)0(22

>-=p py x

，由题意可知，

B （4，-5）在抛物线上，所以

6.1=p ，得y x 2.

32-=，

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ’，则A （A y ,2），由

A y 2.322-=得4

5

-

=A y ，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以75.0+=A y h =2米 19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．由题意

可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为

)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，