《直线参数方程的应用》
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程及应用word精品文档5页
直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线参数方程的应用
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
1050
Fx Q
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
2
1 2 cos
故 | FP | | FQ |
2
2
1 2 cos1050 1 2 cos1050
4
1 2 cos2 1050
4 cos 2100
8 3 3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
M始(x0 , y0 )
M 0 (x0 , y0 )
M终 (x, y) M (x, y)
x
二、直线参数方程的应用：
(t为参数)
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
y x
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
A.
30 3
B.6
C.12
法3：参数方程+设而不求
D.7 3
由题意得AB：x
3 4
y
t 2
3t 2 (t为参数)
F B
A
直线参数方程的应用
直线参数方程的应用直线是平面几何中最基本的图形之一，具有广泛的应用。
直线参数方程是表示直线的一种常用方法，它通过参数化的方式，将直线上的每一个点表示为一个参数关于坐标的函数。
直线参数方程的应用范围广泛，涉及到建模、计算、曲线运动等多个领域。
下面将介绍一些直线参数方程的应用。
1.绘制直线图形直线参数方程可以用于绘制各种直线图形，如图形学中的线段、射线等。
通过给定直线的起点和终点，可以根据参数方程计算出每一个点的坐标，然后将这些点连起来，就可以得到一条直线。
绘制直线图形在计算机图形学、几何学等领域有广泛的应用，如绘制曲线、图形变换等。
2.直线的交点计算3.直线的切线计算直线参数方程可以用于计算曲线在其中一点的切线。
给定曲线的参数方程，通过对参数进行微分，求解导数，可以得到曲线在其中一点的切线的斜率，然后根据切线方程的形式，可以计算出切线的方程。
直线的切线计算在微积分、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算物体运动轨迹、求解函数的导数等。
4.直线的方向向量计算直线参数方程可以表示直线的方向向量。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数的变化量，得到直线上两个点的连线向量，从而得到直线的方向向量。
直线的方向向量计算在几何学、物理学、机器学习等领域有广泛的应用，如计算导航路径、计算梯度向量等。
5.表示平面内直线的垂线、平行线直线参数方程可以用于表示平面内直线的垂线、平行线。
给定直线的参数方程，可以通过求解两条直线的参数之间的关系，判断它们是否垂直或平行。
垂线、平行线的计算在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算平行导线的电阻、计算直线的交点等。
6.参数方程与一般方程的转化直线的参数方程与一般方程之间可以相互转化。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数表达式，得到直线的一般方程。
同样地，给定直线的一般方程，可以通过求解参数方程的参数，得到直线的参数方程。
参数方程与一般方程的转化在几何学、代数学等领域有广泛的应用，如计算函数的参数表示、计算曲线的方程等。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线参数方程的应用最新版
y
1
t
cos
20
0
(t 为 参 数 ),
经过定点
(2,
-
1) ，
倾 斜 角 为 110°
2
直
线
x
3 1t 2 (t 为 参 数 )方 程 中 ， t 的 几 何 意 义 是
y
1
3t 2
（B）
（ A） （ B） （ C） （ D）
一条有向线段的长度
定 点 P0（ 3 ， 1） 到 直 线 上 动 点 P(x， y)的 有 向 线 段 的 数 量 动 点 P(x， y) 到 定 点 P0（ 3 ， 1） 的 线 段 的 长 直 线 上 动 点 P(x， y) 到 定 点 P0（ 3 ， 1） 的 有 向 线 段 的 数 量
y
B
o
x
C
A
P
直线参数方程的应用（标准形式）
1） 求一端点是M0(x0,y0)的线段长 2) 求弦长 3） 求一端点是M0(x0,y0)的两线段
长 的和与积
练习与作业
1.
直
线
x
2
2t 2
(t 为 参 数 )上 到 点 M(2, 3)距 离 为 2 且
y
3
2t 2
在 点 M 下 方 的 点 的 坐 标 是 __(_3__,___4_)___
例1
已 知 直 线 L 过 点 M 0（ 4 ， 0 ）， 倾 斜 角 为 6
(1 )求 直 线 L 的 参 数 方 程
( 2 ) 若 点 M 的 坐 标
(3 )若 L 与 直 线 y= x + 4 3 交 与 点 M ， 求 M 0M
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
直线的参数方程及其应用
例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。
分
解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。
例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1 =0的对称点A'的坐标。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。
解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2) = 0，
由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。
又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，
∴，即2x2−y2−4x+y= 0为所求的轨迹的方程。
三、求定点到动点的距离
例4．直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线2x+y−2 =0交于点Q，求PQ。
解：将直线l的方程化为标准形式，代入2x+y−2 =0得t' =，
直线的参数方程及其应用
江苏省丹阳高级中学杨松扣
在必修本和选修本中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。
解：由条件，设直线AA'的参数方程为(t是参数)，
∵A到直线l的距离d=，∴t=AA'=，
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例一条直线的参数方程由以下形式给出：x = x₀ + aty = y₀ + bt其中，(x₀,y₀)是直线上的一点，a和b是常数，t是参数。
在这个参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以得到直线上的每一个点的坐标。
例如，考虑一个小车在直线上做匀速运动的例子。
假设小车的初始位置为(x₀,y₀)，它向右移动，速度为v。
那么小车的位置可以用参数方程来描述：x = x₀ + vty=y₀对于给定的t值，我们可以根据这个参数方程计算小车在其中一时刻的位置。
通过改变参数t的值，我们可以得到小车在线上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析小车的运动过程，比如计算其中一点的速度、加速度等。
x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)其中，r是点到原点的距离。
这个参数方程描述了点在以原点为中心的圆上运动的轨迹。
通过改变参数θ的值，我们可以得到圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析旋转体的运动规律，比如计算旋转角速度、加速度等。
此外，直线的参数方程还可以用于表示平面内的曲线。
例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆主轴和副轴的长度，t是参数。
通过改变参数t的值，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程描述了椭圆的形状和位置。
总结起来，直线的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
它可以用于描述物体的运动轨迹、旋转体的轨迹以及平面内的曲线等。
直线的参数方程可以帮助我们分析和理解各种物理现象和几何问题，从而推导出更多的结论和结果。
有关直线的点角式参数方程的推导及应用
直线的点角式参数方程是一个很重要的方程，其参数的几何意义在解题中应用广泛.而很多同学对此方程及其意义理解不清，无法将直线的点角式参数方程正确地应用于解题当中.针对此问题，本文重点讨论一下直线的点角式参数方程的推导过程及其参数的几何意义的应用技巧.一、直线的点角式参数方程的推导过程若直线l过点P(x0,y0)，其倾斜角为α，则l的参数方程为{x=x0+t cosα,y=y0+t sinα，其中t为参数.如图1，当点M(x,y)在点P上方时，过M作MQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，交于点Q.设P到M的位移为t，即x p→M=t(t>0),在ΔPMQ中，∠MPQ=α，cosα=||PQ||PM=x-x0t,sinα=||MQ||PM=y-y0t，所以{x=x0+t cosα,y=y0+t sinα.(∗)图1图2当点M(x,y)在点P下方时，如图2所示，设P到M的位移为t，即x p→M=t(t<0),则cosα=||MQ||PM=x0-x-t=x-x0t,sinα=||PQ||PM=y0-y-t=y-y0t.因此，点M坐标(x,y)满足方程(∗).当点M(x,y)与P重合时，从P到M的位移为x P→M=0，即t=0,x=x0,y=y0，M坐标(x,y)满足方程(∗).因此，不管点M在直线上的什么位置，点M的坐标都满足方程(∗)，所以方程(∗)就是直线的参数方程，t是M所对应的参数，点P对应的参数是0.二、直线的点角式参数方程中参数的几何意义我们可以把直线看成是一条以向上方向为正方向的数轴，P相当于原点，P上方的射线相当于正半轴，P下方的射线相当于负半轴.当M在P上方时，t>0，此时P到M的位移方向与直线的正方向相同，那么P到M的位移取正值，这个正值是P、M之间的距离，即x P→M=||PM=t；当M在P下方时，M所对应的参数t<0，这个负值是P、M之间距离的-1倍，即xP→M=-||PM=t.由上述分析可知，P到M的位移是一个矢量，参数t表示的是点P到点M的位移，其绝对值等于P、M之间的距离，即||PM=||t①，这就是参数t的几何意义.点M离原点越远，对应参数绝对值越大.若点A、B在直线上所对应的参数分别是t1、t2，则点A、B的距离等于两参数之差的绝对值，即||AB=||t2-t1②.例题：已知直线经过点A(1,5)，倾斜角是π3，求这条直线与圆x2+y2=16的两个交点到点A的距离的和与积.解：因为cosπ3=12,sinπ3，所以直线的参数方程是ìíîïïx=1+12t,y=5+，其中t为参数，设直线与圆的两个交点在直线上所对应的参数分别是t1,t2，则两个交点到点A的距离的和是||t1+||t2，积是||t1∙||t2=||t1t2，由直线的参数方程与圆的方程，得t2+(1+53)t+10=0，由韦达定理可得t1+t2=-(1+53),t1t2=10，则t1,t2都为负数，因此||t1+||t2=-(t1+t2)=1+53，||t1t2=10.在解答有关直线上两点间的距离问题时，运用直线的点角式参数方程中参数t的几何意义非常便捷.应用公式①②的前提是直线的方程是点角式方程，在解题时要注意灵活运用一元二次方程根与系数的关系来建立关系式.（作者单位：陕西省神木市第七中学）考点透视40。
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
应用直线的参数方程解题
应用直线的参数方程解题
已知两条直线的参数方程：
第一条直线：x-3y+1=0
第二条直线：2x-5y-2=0
直线的参数方程是用来描述直线的一种方法，它用一个数学公式来表示一条直线，可以用来解决一些问题。
比如，我们可以用参数方程来求解两条直线是否相交，如果相交，它们的交点是什么。
首先，我们将两条直线的参数方程整合为一个方程：x-
3y+1=2x-5y-2
将两边同时乘以2，得到：2x-6y+2=4x-10y-4，减去2x-
6y+2，得到：2x-4y-2=0
将两边同时乘以-1，得到：-2x+4y+2=0
再将两边同时乘以-1/2，得到：x-2y-1=0
因此，两条直线的参数方程经过整合可以得到新的参数方程：x-2y-1=0
从上面的计算可以看出，两条直线的参数方程整合后可以得到一条新的直线。
因此，我们可以得出结论，两条直线整合后，它们的参数方程会形成一条新的直线。
此外，由于两条直线整合后形成一条新的直线，因此它们一定是相交的，且它们的交点就是新直线的端点。
因此，我们可以求出两条直线的交点，将新参数方程x-2y-1=0带入y=1，得到x=3，将其带入x=3，得到y=-1/2，因此两条直线的交点坐标为(3,-1/2)。
综上所述，可以得出，通过参数方程可以求出两条直线的交点，两条直线整合后可以得到一条新的直线，改参数方程可以用来描述这条新的直线。
论文：直线的参数方程在解题中的应用
直线的参数方程在解题中的应用松桃苗族自治县第三高级中学 孙涛摘 要：理解并掌握直线参数的转化，弄清参数t 的几何意义。
直线的参数方程应用十分广泛，特别是在计算直线与圆锥曲线的相交弦的弦长时，不必求出交点坐标，根据参数t 的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，达到事半功倍的效果，优化解题思路。
关键词：直线；参数方程；圆锥曲线；应用在高中数学必修二和选修1-1中都学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。
如果通过直线方程的另一种形式——参数形式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。
直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛.随着新一轮高中教材的改革,它的运用又呈现在人们的视线中.事实上用直线的参数方程表示直线在处理某些直线与圆锥曲线的位置关系等问题时有它独到的优势,下面我通过几道解析几何综合题的解法来谈谈如何用直线的参数方程来优化解题.一、求直线上点的坐标问题例：直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y tx 223222（t 为参数）上到点()3,2-M 的距离为2且在点M 下方的点的坐标是_________.分析：此参数方程并不是直线参数方程的标准形式，因此先化成标准形式。
解：把参数方程化成标准方程为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=t y t x 223222 把t -看作参数，所求的点在()3,2-M 的下方，所以取2-=-t ，即2=t ，所以所求点的坐标为()4,3-.答案：()4,3-例：求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
分析：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。
24.直线参数方程的应用
第19讲:直线参数方程的应用 157第19讲:直线参数方程的应用在课程标准中,直线参数方程是选修内容,被安排在《选修4-4》,是安徽高考的必考内容;直线参数的方程应用非常广泛,它是一种很有效的解析工具,具有独特的功能.1.参数方程:经过点M(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数);2.几何意义:若直线l 上的点P 对应的参数为t,则|PM|=|t|,且①当点P 在点M 上方时,t>0;②点P 与点M 重合时,t=0;③点P 在点M 下方时,t<0;3.基本性质:若直线l 上的点A 、B 对应的参数为t A 、t B ,则:①|AB|=|t A -t B |;②|MA||MB|=|t A t B |;③A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +;④M 是线段AB 中点的充要条件是t A +t B =0; 例1:点的坐标.[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设直线l:x=-1,由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线l 的距离⇒曲线C 是以F 为焦点,直线l 为准线的抛物线,其方程为y 2=4x; (Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧=+=θθsin cos t y t m x (t 为参数,θ∈[0,π)是直线AB 的倾斜角),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,即A(m+t 1cosθ,t 1sin θ),B(m+t 2cos θ,t 2sin θ),把⎩⎨⎧=+=θθsin cos t y t m x 代入y 2=4x 得t 2sin 2θ-4tcos θ-4m=0⇒t 1+t 2=θθ2sin cos 4,t 1t 2=-θ2sin 4m ;所以,FB FA ⋅<0⇔(m-1+t 1cos θ)(m-1+t 2cos θ)+t 1t 2sin 2θ<0⇔(m-1)2+(m-1)(t 1+t 2)cos θ+t 1t 2<0⇔(m-1)2+(m-1)θθ22sin cos 4-θ2sin 4m <0⇔(m-1)(m-5)sin 2θ<4对任意的θ∈[0,π)恒成立⇔(m-1)(m-5)<4⇔m ∈(3-22,3+22).利用直线的参数方程,首先要设点对应的参数,并由此写出对应点的坐标,从而解决相关问题.利用直线的参数方程解题的优势是无需考虑斜率是否存在.[原创问题]:己知点A(4,0),B(1,0),动点P 满足:AP AB ⋅=6||PB .(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设MN 是过轨迹C 的右焦点F 的弦,在x 轴上是否存在定点Q,使得QN QM ⋅是定值.若存在,求点Q 的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设点P(x,y),由AP AB ⋅=6||PB ⇒(-3,0)(x-4,y)=622)1(y x +-⇒4-x=222)1(y x +-⇒3x 2+4y 2=12⇒动点P 的轨迹C 的方程为3422y x +=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知轨迹C 的右焦点F(1,0),设直线MN:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数,θ∈[0,π)是直线AB 的倾斜角),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,即A(1+t 1cos θ,t 1sin θ),B(1+t 2cos θ,t 2sin θ),把⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x 代入3422y x +=1得:(4sin 2θ+3cos 2θ)158 第19讲:直线参数方程的应用t 2+6tcos θ-9=0⇒t 1+t 2=θθθ22cos 3sin 4cos 6+,t 1t 2=-θθ22cos 3sin 49+;假设存在定点Q(q,0),则QN QM ⋅=(1-q+t 1cos θ)(1-q+t 2cos θ)+t 1t 2sin 2θ=(1-q)2+(1-q)(t 1+t 2)cos θ+t 1t 2=(1-q)2+(1-q)θθθ222cos 3sin 4cos 6+-θθ22cos 3sin 49+=(1-q)2+θθ22cos 49cos )1(6---q 是定值⇔(-9):6(1-q)=4:(-1)⇔q=85. 例2:弦长问题.[始源问题]:(2008年安徽高考试题)己知椭圆C:12222=+b y a x (a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)己知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求证:|AB|=θ2cos 224-;(Ⅲ)过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A,B 和D,E,求|AB|+|DE|的最小值.[解析]:(Ⅰ)由22a =4,a 2-b 2=4⇒a 2=8,b 2=4⇒椭圆C:x 2+2y 2=8;(Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t x (t 为参数),代入x 2+2y 2=8得:(1+sin 2θ)t 2-4tcos θ-4=0⇒t 1+t 2=θθ2sin 1cos 4+,t 1t 2=-θ2sin 14+ ⇒|AB|=|t 1-t 2|=θ2sin 124+=θ2cos 224-;(Ⅲ)由|AB|=θ2cos 224-⇒|DE|=)90(cos 22402θ+-=θ2sin 224-⇒|AB|+|DE|=)sin 2)(cos 2(21222θθ--≥42.利用参数方程求弦长,若直线的参数方程代入二次曲线方程后,所得关于参数t 的方程为at 2+bt+c=0,则弦长=||a ∆. [原创问题]:F 为双曲线C:1x 2222=-b y a(a>0,b>0)的右 y 焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方,M 为左 M M 1 P 准线上一点,O 为坐标原点,四边形OFPM 为菱形. H O F x (Ⅰ)求双曲线C 的离心率e;(Ⅱ)经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两 点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程.[解析]:(Ⅰ)由|PF|=|OF|⇒|PF|=c,设点M 1是PM 与双曲线右准线的交点,由|PF|:|PM 1|=e ⇒|PM 1|=e 1|PF|=ec ,又由|PM|=|OF|⇒ec c a +22=c ⇒e 2-e-2=0⇒e=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:e=2⇒c=2a,且|PF|=c ⇒|OM|=c ⇒|MH|=a c a c OH OM 215)(||||22222=-=-⇒P(a a 215,23);设直线AB的倾斜角为θ,则sin θ=410,cos θ=46,直线AB:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t a x 410462(t 为参数),代入132222=-a y a x 得:t 2+66at+18a 2=0⇒|AB|= 12a=12⇒a=1.故双曲线方程为x 232y -=1. 例3:线段的比.第19讲:直线参数方程的应用 159 [始源问题]:(2010年辽宁高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)如果|AB|=415,求椭圆C 的方程. [解析]:(Ⅰ)设F(c,0),直线MN:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t c x 2321(t 为参数),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,代入2222b y a x +=1得:(3a 2+b 2)t 2+ 4b 2ct-4b 4=0⇒t 1+t 2=-22234b a c b +,t 1t 2=-22434b a b +;而AF =2FB ⇔t 1+2t 2=0⇒t 2=22234b a c b +,2t 22=22434b a b +⇒2(22234b a c b +)2=22434b a b +⇒3a 2+b 2=8c 2⇒2a=3c ⇒离心率e=32; (Ⅱ)|AB|=22238ba ab +=415⇒a=3,b=5⇒椭圆C:92x +52y =1. 利用直线参数方程解题的关键是理解、掌握,并灵活利用参数t 的几何意义,而关注参数t 的符号是正确使用直线参数方程解题、防止失分的正确途径.过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点,点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,AP =λPB ,则:t 1+λt 2=0.[原创问题]:设过点P(4,3),且斜率为23的直线l 与椭圆C:3222y a x +=1(a>b>0)交于两个不同的点A 、B,且PA =2PB .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且OB OA OM μλ+=(λ,μ∈R),证明:λ2+μ2为定值.[解析]:(Ⅰ)设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ=23⇒sin θ=73,cos θ=72⇒直线l:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 733724(t 为参数),代入3222y a x +=1得:(73a 2+712)t 2+(76a 2+748)t+48=0⇒t 1+t 2=-123)243(7222++a a ,t 1t 2=1234872+⋅a ;而PA =2PB ⇔t 1=2t 2⇒3t 2=- 123)243(7222++a a ,2t 22=1234872+⋅a ⇒2[-123)243(7222++a a ]2=9⋅1234872+⋅a ⇒8(3a 2+24)2=9⋅48(3a 2+12)⇒a=2⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆方程为3x 2+4y 2=12,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x,y),则由OB OA OM μλ+=⇒x=λx 1+μx 2,y=λy 1+μy 2⇒3(λx 1+μx 2)2+4(λy 1+μy 2)2=12⇒λ2(3x 12+4y 12)+μ2(3x 22+4y 22)2+2λμ(3x 1x 2+4y 1y 2)=12⇒12(λ2+μ2)+2λμ(x 1x 2+4y 1y 2)=12;又由(Ⅰ)知t 1+t 2=-37,t 1t 2=14⇒x 1x 2=(4+72t 1)(4+72t 2)=0,y 1y 2=(3+73t 1)(3+73t 2)=0⇒x 1x 2+3y 1y 2=0⇒λ2+μ2=1为定值.例4:线段的积.[始源问题]:(人教版.《坐标系与参数方程》(选修4-4).习题2.3(P39)第4题)经过抛物线y 2=2px(p>0)外的一点A(-2,-4)且倾斜角为450的直线l 与抛物线分别交于M 1、M 2.如果|AM 1|,|M 1M 2|,|AM 2|成等比数列,求p 的值.[解析]:由题知可设直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数),点M 1、M 2对应的参数为t A 、t B ;把直线l 的参数方程代入y 2=2px 得:t 2-22(p+4)t+8p+32=0⇒t 1+t 2=22(p+4),t 1t 2=8p+32;由|AM 1|,|M 1M 2|,|AM 2|成等比数列⇔|AM 1||AM 2|= |M 1M 2|2⇔|t 1t 2|=|t 1-t 2|2(由点A 在抛物线外⇒t 1与t 2同号⇒t 1t 2>0)⇔(t 1+t 2)2=5t 1t 2⇔8(p+4)2=5(8p+32)⇔p=1. 过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点,点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,则:|PA||PB|=|t 1t 2|;本题为解决抛物线中160 第19讲:直线参数方程的应用三线段长成等比数列问题提供了直线方程的参数解法,具有移植价值.[原创问题]:若直线l 与抛物线C:y 2=2px(p>0)分别交于A 、B 两点,且直线l 分别与x 、y 轴交于点Q 、P.求证:|PA|,|PQ|,|PB|成等比数列.[解析]:设P(0,b),直线l 的参数方程为:⎩⎨⎧+==ααsin cos t b y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;令y=0得:t=-αsin b⇒|PQ|=|t|=αsin b ,把直线l 的参数方程代入y 2=2px 得:t 2sin 2α+2(bsin α-pcos α)t+b 2=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=α22sin b =|PQ|2⇒|PA|,|PQ|,|PB|成等比数列.考虑到求轨迹方程,尤其是轨迹方程为直线的问题是安徽高考命题所寻觅的,构造上题的一个逆命题可得:[原创问题]:已知离心率e=21的椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 1且与x 轴垂的直线l 被椭圆截得的弦长为3.动圆P 过点F 2且与直线l 相切,动圆的圆心P 的轨迹为C. (Ⅰ)求轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点F 2的动直线与轨迹C 交于A 、B 两点,若直线AB 上的点Q,满足:|F 2A||F 2B|=|F 2Q|2,求点Q 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由e=221a b -=21,ab 22=3⇒a=2,b=3⇒直线l:x=-1,点F 2(1,0);由动圆P 过点F 2且与直线l 相切⇒圆心P 到点F 2的距离等于P 到直线l 的距离,由抛物线的定义知,轨迹C 是以F 2为焦点,直线l 为准线的抛物线,其方程为y 2=4x; (Ⅱ)设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ<π),参数方程为:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入y 2=4x得:t 2sin 2θ-4tcos θ-4=0⇒|F 2Q|2=|F 2A||F 2B|=|t 1t 2|=θ2sin 4⇒|F 2Q|=θsin 2⇒|F 2Q|sin θ=2⇒点Q 到x 轴的距离等于2 ⇒点Q 的轨迹方程是y=±2.例5:选择参量.[始源问题]:(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆22ax +22b y =1的左右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由△F 1PF 2为等腰三角形⇒|F 1F 2|=|PF 2|⇒4c 2=(a-c)2+b 2⇒a 2-ac=2c 2⇒2e 2+e-1=0⇒e=21;(Ⅱ)设M(x 0,y 0),因2PF k =ca b-=ca c a --22=c a c a -+=e e -+11=3⇒直线PF 2的倾斜角=600⇒直线PF 2:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y y tx x 232100(t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1,即224c x +223c y =1得:15t 2+4(3x 0+43y 0)t+4(3x 02+4y 02-12c 2)=0⇒t 1t 2=154 (3x 02+4y 02-12c 2);由AM ⋅BM =-2⇒t 1t 2=-2⇒154(3x 02+4y 02-12c 2)=-2;又因2MF k =3⇒cx y -00=3⇒c=x 0-33y 0⇒154[3x 02+4y 02-12(x 0-33y 0)2)=-2⇒18x 02-163x 0y 0-15=0⇒y 0=0203161518x x -⇒c=020481530x x +>0⇒x 0>0⇒点M 的轨迹方程:18x 2-163xy -15=0(x>00). 经过点M(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数),选择始点M(x 0,y 0)和倾斜角α是灵活使用直线参数方程的一条途径.[原创问题]:己知椭圆G:12222=+by a x (a>b>0)过点(1,e)和(2e,21),其中是椭圆的离心率.第19讲:直线参数方程的应用 161(Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过点M(1,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2,设直线l 1与椭圆G 交于A 、B 两点,直线l 2与椭圆G 交于C 、D 两点,求AC ⋅BD 的最大值.[解析]:(Ⅰ)由21a +22b e =1,224a e +41=1⇒b 2+c 2=a 2b 2,c=43a 2⇒b=1,a=2⇒椭圆G:42x +y 2=1;(Ⅱ)设直线AB 的倾斜角为θ,则直线CD 的倾斜角为θ+2π,直线AB:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数),代入42x +y 2=1得:(1+3sin2θ)t 2+2tcos θ-3=0⇒t A t B =-θ2sin 313+⇒t C t D =-)2(sin 3132θπ++=-θ2cos 313+;由AB ⊥CD ⇒MA ⋅MD =MB ⋅MC =0⇒AC ⋅BD =(MC -MA )(MD -MB )=MC ⋅MD +MA ⋅MB -(MA ⋅MD +MB ⋅MC )=MC ⋅MD +MA ⋅MB =t C t D +t A t B =-(θ2sin 313++θ2cos 313+)=-53[(1+3sin 2θ)+(1+3cos 2θ)](θ2sin 311++θ2cos 311+)≤-53(1+1)2=-512;等号当且仅当(1+3sin 2θ)=(1+ 3cos 2θ),即θ=4π时成立. 例6:四点共圆.[始源问题]:(人教版.《坐标系与参数方程》(选修4-4).例4(P38))AB,CD 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的两条相交弦,交点为P,若直线AB 与CD 的倾斜角互补.求证:|PA||PB|=|PC||PD|.[解析]:设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ<π),则直线CD 的倾斜角为π-θ,设P(x 0,y 0),直线AB 参数方程为:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x(t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1得:(a 2sin 2θ+b 2cos 2θ)t 2+2(b 2x 0cos θ+a 2y 0sin θ)t+(b 2x 02+a 2y 02-a 2b 2)=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=θθ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;同理可得:|PC||PD|=)(cos )(sin ||222222202202θπθπ-+--+b a b a y a x b =θθ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+⇒|PA||PB|=|PC||PD|.根据圆幂定理的逆定理,|PA||PB|=|PC||PD|⇔A 、B 、C 、D 四点共圆.自然的想法是考虑逆命题:[共圆定理]:AB,CD 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的两条相交弦,交点为P.求证:A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线AB 与CD 的倾斜角互补.[解析]:设直线AB 的倾斜角为α(0≤α<π),直线CD 的倾斜角为β(0≤β<π,α≠β),设P(x 0,y 0),直线AB 参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1得:(a 2sin 2α+b 2cos 2α)t 2+2(b 2x 0cos α+a 2y 0sin α)t +(b 2x 02+a 2y 02-a 2b 2)=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=αα222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;同理可得:|PC||PD|=ββ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;所以,A 、B 、C 、D四点共圆⇔|PA||PB|=|PC||PD|⇔αα222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+=ββ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+⇔a 2sin 2α+b 2cos 2α=a 2sin 2β+b 2cos 2β⇔a2+(b 2-a 2)cos 2α=a 2+(b 2-a 2)cos 2β⇔cos 2α=cos 2β⇔cos α+cos β=0(cos α-cos β=0舍去)⇔α+β=π.巧妙选取该定理的特殊情况是高考命题的常用手法.如2002年河南、江苏高考试题、2005年湖北高考试题、2011年全国大纲卷高考试题中的四点共圆问题均是该定理的特殊情况,考虑到安徽高考解析几何试题的命题情结,构造如下:[原创问题]:已知椭圆C:22a y +22b x =1(a>b>0)的离心率e=36,经过点P(1,3)的直线与椭圆C 交于A 、B 两点,如果点P162 第19讲:直线参数方程的应用为线段AB 的中点,且|AB|=62. (Ⅰ)求椭圆C 与直线AB 的方程;(Ⅱ)若经过点P 的另一条直线与椭圆C 交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点均在圆Q 上,求直线MN 与圆Q 的方程.[解析]:(Ⅰ)设直线AB 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22ay +22bx =1得:(a 2cos 2α+b 2sin 2α)t 2+2(a 2cos α+3b 2sin α)t+(a 2+9b 2-a 2b 2)=0;由点P 为线段AB 的中点⇒t 1+t 2=0⇒a 2cos α+3b 2sin α=0⇒tan α=-223b a ;又由e=221a b -=36⇒a 2=3b 2⇒tan α=-1⇒直线AB:x+y-4=0;t 1t 2=αα22222222sin cos 9b a b a b a +-+= 23(4-b 2)⇒|AB|=|t 1-t 2|=212214)(t t t t -+=)4(62-b =62⇒b=4⇒椭圆C:482y +162x =1; (Ⅱ)设直线MN 的倾斜角为β(0≤β<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ββsin 3cos 1t y t x (t 为参数),点M 、N 对应的参数为t A 、t B ;代入482y +162x =1得:(48cos 2β+16sin 2β)t 2+96(cos β+sin β)t-16×36=0⇒|PM||PN|=ββ22sin 16cos 483616+⨯;由(Ⅰ)知,|PA||PB|=18;所以,A 、M 、B 、N 四点共圆⇔|PA||PB|=|PM||PN|⇔48cos 2β+16sin 2β=32⇔sin β=22⇔tan β=1⇒直线MN:y=x+2;t 2+32t -18=0⇒MN 的中点Q 对应的参数t=-223⇒点Q(-21,23)⇒|PQ|2=245⇒R 2=245+(32)2=281⇒圆Q:(x+21)2+(y-23)2=281. 例7:共轭点的轨迹.[始源问题]:(2008年安徽高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)过点M(2,1),左焦点为F 1(-2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q,满足:||||||||PB AQ QB AP ⋅=⋅,证明:点Q 总在某定直线上.[解析]:(Ⅰ)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21122222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a ,故所求椭圆C 的方程为2422y x +=1;(Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 4t y t x (t 为参数),点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;把直线l 参数方程的代入2422y x +=1得:(cos 2α+2sin 2α)t 2+4(sin α+2cos α)t+14=0⇒t 1+t 2=-αααα22sin 2cos )cos 2(sin 4++,t 1t 2= αα22sin cos 214+;由||||||||PB AQ QB AP ⋅=⋅⇒||||QB QA =||||PB AP ⇒t t t t --21=21t t ⇒t=21212t t tt +=-ααcos 2sin 7+⇒x=4-αααcos 2sin cos 7+,y=1-αααcos 2sin sin 7+⇒2(4-x)+(1-y)=7(αααcos 2sin cos 2++αααcos 2sin sin +)=7⇒2x+y-2=0.[原创问题]:己知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q,满足:AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0,证明:第19讲:直线参数方程的应用 163点Q 总在某定直线上.[解析]:(Ⅰ)由22a =4,a 2-b 2=4⇒a 2=8,b 2=4⇒椭圆C:x 2+2y 2=8; (Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 4t y t x (t 为参数),点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;把直线l 参数方程的代入x 2+2y 2=8得:(cos 2α+2sin 2α)t 2+4(sin α+2cos α)t+10=0⇒t 1+t 2=-αααα22sin 2cos )cos 2(sin 4++,t 1t 2=αα22sin cos 210+;由AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0⇒||||QB QA =||||PB AP ⇒t t t t --21=21t t ⇒t=21212t t tt +=-ααcos 2sin 5+⇒x=4+tcos=4-αααcos 2sin cos 5+,y=1+tsin α=1-αααcos 2sin sin 5+⇒2(x-4)+(y-1)=-ααααcos 2sin sin 5cos 10++=-5⇒2x+y=4⇒点Q 总在某定直线:2x+y=4上.[始源问题]:(《中学数学研究》.2013年9期P 24)若抛物线y 2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A,过点A 作抛物线的割线交抛物线于B 、C 两点,作倾斜角与BC 互补的割线交抛物线于M 、N 两点,交x 轴于点F,且|FM||FN|=|AB||AC|,则点F 为抛物线的焦点.[解析]:设F(x 0,0),直线BC 的倾斜角为θ,则直线MN 的倾斜角为π-θ,直线BC:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t p x (t 为参数),代入抛物线方程得:t 2sin 2θ-2tcos θ+p 2=0⇒|AB||AC|=t 1t 2=θ22sin p ;同理可得:|FM||FN|=θ20sin 2px ;由|FM||FN|=|AB||AC|⇒θ22sin p =θ20sin 2px ⇒x 0=2p⇒点F 为抛物线的焦点. 推广该命题,考虑到安徽高考命题的轨迹方程情结,使用推广命题的逆命题:[原创问题]:已知点Q(2,1)到抛物线C:y 2=2px(p>0)焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)过点Q 的动直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,倾斜角与直线l 的倾斜角互补的直线MN 交抛物线C 于M 、N 两点.若直线MN 上的点P,满足:PM ⋅PN +QA ⋅QB =0,求点P 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由点Q(2,1)到抛物线C 焦点F 的距离=点Q(2,1)到抛物线C 的准线:x=-2p ⇒2+2p =3⇒p=2⇒抛物线C:y 2= 4x;(Ⅱ)设P(x 0,y 0),直线l 的倾斜角为θ,则直线MN 的倾斜角为π-θ,直线MN:⎩⎨⎧+=-+=-=-+=θθπθθπsin )sin(cos )cos(0000t y t y y t x t x x (t 为参数),代入抛物线方程得:t 2sin 2θ+2(y 0sin θ+2cos θ)t+y 02-4x 0=0⇒PM ⋅PN =|PM |⋅|PN |=t 1t 2=θ2020sin 4x y -;同理可得:QA ⋅QB=-θ2sin 7;由PM ⋅PN +QA ⋅QB =0⇒θ2020sin 4x y --θ2sin 7=0⇒y 02=4x 0+7⇒点P 的轨迹方程:y 2=4x+7.例8:两点参数方程.[始源问题]:(1982年全国高考试题)抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切,证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切.[解析]:不失一般性,设p>0,q>0.设y 2=2px 的内接三角形顶点为A(2pa 2,2pa),B(2pb 2,2pb),C(2pc 2,2pc),则直线AB:y-2pa=ba +1(x-2pa 2)⇒(a+b)y=x+2pab,同理可得直线AC:(a+c)y=x+2pac,直线BC:(b+c)y=x+2pbc;因直线AB 与抛物线x 2=164 第19讲:直线参数方程的应用2qy 相切⇔(a+b)2y 2-2[2pab(a+b)-q]y+4p 2a 2b 2=0有等根⇔[2pab(a+b)-q]2-4p 2a 2b 2(a+b)2=0⇔q=4pab(a+b);同理:直线AC 与抛物线x 2=2qy 相切⇔q=4pac(a+c),直线BC 与抛物线x 2=2qy 相切⇔q=4pbc(b+c);若直线AB 、AC 与抛物线x 2=2qy 相切,则 q=4pab(a+b)=4pac(a+c)⇒(a+b)b=(a+c)c(b ≠c)⇒a+b+c=0⇒q=4pab(a+b)=-4pabc=4pbc(b+c)⇒直线BC 与抛物线x 2=2qy 相切.圆锥曲线的外切三角形有许多优美的性质,他们可能成为今后高考命题的生长点,现给出直线的另一种参数方程的应用例子.[原创问题]:如图,△ABC 为抛物线y 2=2px(p>0)的 y M外切三角形,切点分别为N 、M 、R,若AN =λ1NB ,BR C =λ2RC ,CM =λ3MA ,求证:λ1λ2λ3=1. A R[解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),直线AB 的参 B O x数方程:x=λλ++121x x ,y=λλ++121y y (λ为参数,λ≠-1), N 代入y 2=2px 得:(y 22-2px 2)λ2+2(y 1y 2-px 1-px 2)+(y 12-2px 1)=0,由直线AB 与抛物线y 2=2px 相切于点N,且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1,由韦达定理知,λ12=22212122px y px y --;同理可得:λ22=32322222px y px y --,λ32=12132322px y px y --⇒λ12λ22λ32=1;又因λ1<0,λ2>0,λ3<0⇒λ1λ2λ3>0⇒λ1λ2λ3=1.[原创问题]:如图,△ABC 为椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的 A y 外切三角形,切点分别为N 、M 、R,若AN =λ1NB ,BR = R C λ2RC ,CM =λ3MA ,求证:λ1λ2λ3=1. B M[解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),直线AB 的参数 N O x方程:x=λλ++121x x ,y=λλ++121y y (λ为参数,λ≠-1),代入 2222b y a x +=1得:(b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2)λ2+(2b 2x 1x 2+2a 2y 1y 2-2a 2b 2)λ+(b 2x 12+a 2y 12-a 2b 2)=0;由直线AB 与椭圆2222by a x +=1相切于点N,且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1,由韦达定理知,λ12=2222222222212212b a y a x b b a y a x b -+-+;同理可得:λ22=2223223222222222b a y a x b b a y a x b -+-+,λ32 =2221221222232232ba y a xb b a y a x b -+-+⇒λ12λ22λ32=1;又因λ1<0,λ2>0,λ3<0⇒λ1λ2λ3>0⇒λ1λ2λ3=1.[原创问题]:设椭圆C:2222by a x +=1(a>b>0)过点M(1,23),右焦点为F(1,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于点P,且PA =λAF ,PB =μBF .证明:λ+μ为定值.[解析]:(Ⅰ)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+114912222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a ,故所求椭圆C 的方程为3422y x +=1; (Ⅱ)设P(0,p),由PA =λAF ⇒A(λλ+1,λ+1p ),PB =μBF ⇒B(μμ+1,μ+1p );又由点A 、B 在椭圆C 3422y x +=1上⇒3(λλ+1)2+4(λ+1p )2=12,3(μμ+1)2+4(μ+1p )2=12⇒λ、μ是关于t 的方程3(t t +1)2+4(t p +1)2=12,即9t 2+24t+12-4p 2=0的两根⇒λ+μ=-38为定值.。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用直线的参数方程是解析几何中一个重要的概念，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将以直线的参数方程的应用为主题，探讨其在几何学、物理学和工程学中的应用。
一、直线的参数方程在几何学中的应用直线的参数方程是指通过给定点和方向向量来表示直线的方程。
在几何学中，直线的参数方程可以被用来描述直线的位置、方向和形状。
例如，在平面几何中，我们可以通过直线的参数方程来确定直线的斜率、截距和方向角等属性。
通过这些属性，我们可以更加准确地描述和分析直线在平面上的位置和性质。
二、直线的参数方程在物理学中的应用直线的参数方程在物理学中也有广泛的应用，特别是在描述物体的运动轨迹和路径时。
例如，在力学中，我们可以通过直线的参数方程来描述物体在空间中的运动轨迹。
通过给定物体的初始位置和速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度。
这种方法在研究天体运动、机械运动等领域都有重要的应用。
三、直线的参数方程在工程学中的应用直线的参数方程在工程学中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以使用直线的参数方程来描述物体在机械装置中的运动轨迹。
通过给定装置的初始状态和运动速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度，从而优化机械装置的设计和性能。
以下是一些直线的参数方程的应用案例，以进一步说明其在实际问题中的应用价值。
1. 车辆运动轨迹的计算：通过给定车辆的初始位置和速度，可以使用直线的参数方程来计算车辆在不同时间点的位置和速度，从而更好地分析和优化车辆的行驶路径和效率。
2. 轨道设计与建设：在轨道交通和航天工程中，直线的参数方程可以用来描述车辆或火箭的运动轨迹，从而指导轨道的设计和建设。
3. 机器人运动规划：在机器人控制和路径规划中，直线的参数方程可以用来描述机器人的运动轨迹，从而实现自动化和智能化的机器人操作。
4. 管道布置和优化：在管道工程中，直线的参数方程可以用来描述管道的布置和路径，从而优化管道的设计和布置，提高工程效率和安全性。
直线的参数方程在解题中的应用
Ｉ Ｖ＝ １ ： ８１ ｎ Ｕ
ｓ Ｏ （ ｔ 为参 数 ５ — ５ ０ ＝ ０ 且 △ ＞ ０ ． 设 方 程 的 两 个 根 为 ｔ ＇ ｌ ２ ． Ｉ １ ＋ ｔ ： ＝ 等 ’ ｃ ｌ ｔ
２ ５
＝ 一 — —
．
（ ｂ ２ ｃ ０ ｓ ２ ０ ＋ ａ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ０） ｔ ２ ＋ ２ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ｅ ｔ ＋ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２ ＝ ０
．
设 上 述 方 程 的两 根 为 ｔ 。 ， ｔ ， 由韦 达 定 理 知 ：
由 于 Ｍ 为 线 段 Ａ Ｂ 的 中 点 ， 根 据 ｔ 的 几 何 意 义 ， 得 ｌ Ｐ Ｍ ｌ － Ｉ 竽
ｌ ５
１ ６
｛ ｌ ｔ １ ＋ ｔ 。 一 ２ ｂ ‘ ｃ ｏ ｓ ０ ①
４
・
３
（ Ⅱ） 设 过点Ｆ 的直 线 ｌ 交 椭 圆 于Ａ、 Ｂ 两点． 若 直 线ｌ 绕点Ｆ 任 意转动 ， 恒有Ｉ Ｏ Ａ Ｉ ‘ ＋ Ｉ Ｏ Ｂ Ｉ ‘ ＜ Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ‘ 。 求ａ 的取 值 范 围．
。 舢 了
了’
Ｉ ｘ ： ２ ＋ 三ｔ
・ ．
．
直 线 ｌ 的 参数 方 程 为 ｛ １ ‘ ｄ ‘ （ ｔ 为 参 数） （ ） ．
２
ａ
ｂ
解： （ １ ） 设 直 线 的倾 斜 角 为 ， 依 题 意 可 得ｔ ａ ｎ ａ ＝ ４
，
１ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０） 的一 个 焦 点 是 Ｆ （ １ ， ０ ） ， Ｏ为 坐 标 原 点 ． （ Ｉ） 已 知 椭 圆 短 轴 的 两 个 三 等 分 点 与一 个 焦 点 构 成 正 三 角形 ， 求椭 圆 的方 程 ：
直线的参数方程及应用
教学内容 直线的参数方程及应用教学目标要求1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3． 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；教学重点 理解参数的几何意义 教学难点 理解参数的几何意义教学方法和教具教师主导活动学生主体活动 1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程.设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程xy0P 0P (y x ,)Qlαxy0P (y x ,)P 0Ql α∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点P 0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 建立了 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2所对应的 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？根据直线l 参数方程t 的几何意义，P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P | P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义， ∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23,sin α=211l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线l xyP 1P 0lP 2段MM 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t313y tx 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α(1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1）设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数）∴此直线的倾斜角为110°板书设计教后札记。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t + 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx （t.2中，参数t 的1l 的参数方程 例301，3），倾斜角yx ,为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( )A 65°B 25°C 155°D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离. 二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
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直线参数方程的应用》
教材说明：人教版选修4-4 《直线的参数方程》
课型：习题课
课时：1 课时
学情分析
（一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉.
（二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程, 具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力, 能解决一些实际问题, 并能够进行合作
交流,具备合作探究的能力
（三）学生的思维水平以及学习风格
学生的思维系统不够完善, 缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。
（四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力.
（五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。
授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结.
教学内容分析
（一）教学的主要内容
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。
某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。
学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。
本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合
应用和进一步深化。
学习直线的参数方程为接下来的圆等复杂曲线的参数方程打下基础, 通过对本专题的学习，学生将掌握直线参数方程的基本应用，了解直线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
二）教材编写的特点和设计意图
1、教材特点：
直线参数方程的意义,以及参数的几何的意义的应用,让学生了解参数方程的作用
2、设计意图：
通过具体题让学生明白为何引进参数,以及参数方程的真正用处河意义,培养学生转化的能力和灵活解决问题的能力.
教学目标
（一）知识与技能：
应用直线的参数方程中 t 的几何意义解决求距离，求线段长度、与中点有关的问题。
（二）过程与方法：通过学生联系已有的知识，采用学生探究，观察，讨论的方式，引导学生分析思路，体验解题方法。
（三）情感态度与价值观：通过对教学思维的转变，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，勇于探索的思维品质，培养学生积极探索，勇于钻研的科学精神、严谨求实的科学态度。
教学重点
利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求与中点有关等问题 .
教学难点
对 t 的几何意义的理解和应用。
教学策略的选择与设计为了教给学生学习思路，训练科学方法，发展学生应用知识的能力，以更好地培养他们分析问题和解决问题的能力，使他们能够在较高层次上更加有效地学习。
具体来说，在习题教学中应突出以下策略：
（一）例题精选策略
所选习题应该既要全面，以利于知识技能的巩固，又要具有代表性、典型性，能体现科学方法和观念的渗透以及直线参数方程与实际生活的联系。
（二）思路点拨策略
习题课应该重视解题思路的启迪与解题方法的引导，使学生学会如何审题、如何分析问题、如何找思路、如何选择解题方法、如何规范化地把解决问题的过程呈现出来。
（三）引导反思策略
习题教学应该使学生学会反思自己的解题活动，体验知识的理论价值和应用价值，达成知识的迁移。
（四）借题发挥策略
习题课不能就题论题，重要的是“借题发挥”，挖掘习题的多重价值，对选定的习题进行精心研究与设计，达到巩固知识和提高能力的双重目的。
教学资源与手段
资源：三角板、彩粉笔、多媒体
手段：通过多媒体大屏幕显示，更加直观形象，提高速度•
教学过程设计
大连开发区第八高级中学于丹
教学反思
我感到本节课成功之处在于：教学理念的更新：以人为本，面向全体学生，注重了学习，教学、研究同步协调的原则和“二主” 方针，表现在：
1、由生活实例引入课题收到了良好的效果，由教师举例到学生举例，再由教师点拔的方式，激起了学生强烈的学习欲望，活跃了课堂气氛，同时实现由具体到抽象的自然地过渡。
从简单而又熟悉的标准参数方程开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”。
同时在探求过程中，打破了传统教学中“一言堂”的陈旧模式，由学生分组讨论，给学生展示自己思维成果的时间和空间，再在学生提问，学生解答的互动过程中使学生对问题得到了多层次、多角度地透彻地理解，这对于培养学生的表达能力、
应变能力及数学思维的严谨性等方面都起到了重要作用，真正发挥了学生的主体作用，创造了一种开放、民主、愉悦、和谐的学习氛围。
可以充分调动主体的积极性，学生们都情不自禁地加入到探索、求知的行列中，同时，学生还能从中品味发现新知的乐趣，体会知识的应用价值。
2、在对例 2作进一步研究时，通过对直线的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一问题，可有不同解法，既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识。
3、小结以学生畅谈收获和体会，教师点拔的方式来完成，培养了学生归纳能力，使学生在回忆和归纳中再对本节课的内容和解题思想进行反思，这无疑对学生今后的学习是有指导作用的，而且是学生自我总结的东西，记忆将更为深刻和久远。
通过学生自主探究，合作交流，在学习数学的过程中，培养了学生的综合能力，这也是素质教育对课堂教学的要求。
5 、本课利用了多媒体辅助教学，节省了时间，弥补了传统教学手段的不足。
本节课的不足之处：由于探究性学习会出现许多课前无法估计的因素，如学生的提问的多样性、学生思维水平和表达能力的差异等，所以对课堂时间的把握也并不能如预期所至，若能再有一些时间在例 2 的基础上让学生通过参数方程求解时学生的反应并不如想象中的好。
教学评析
直线参数方程是解析几何中研究曲线及其性质的重要方法。
于丹老师本节课设计的知识目标、能力目标和品质素养目标，体现了以人为本，面向全体学生，学习、教学、研究同步协调的原则，很有新意。
在实施教学和完成教学目标的过程中，教师根据循序渐进的教学原则，从学生既熟悉的问题开始，缩短了学生的思维“跨度”；然后，通过题对知识的再巩固，进一步引导学生研究实际应用中参数方程问题，这样的处理对于发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力是十分有益的。
教师注意到渗透“教学来源于实践又服务于实践” 的数学思想，恰当地选择了风暴的问题，激发了学生的学习兴趣，使课堂教学自然地过渡到直线参数方程的应用上。
于丹老师能将多种教学方法有机地运用于教学实践，例如：将学生分组讨论、师生对话、学生讲授、学生归纳小结等方法服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念。
本课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性。
本课在教学中注意到学生数学素养的形成和培养，例如对直线的参数方程的不同表述和选取不同变数作为参数的研究，体现了教师对学生数学素养形成的重视；在教学中的种方法渗透，培养了学生的综合能力的基本素质，是数学课堂教学中实施素质教育的一次很好的尝试。
由于教师对学生思维水平和表达能力方面的差异估计不足，在时间安排上有点“前松后紧”的感觉；另外对学生思维的进一步延续和开拓的教学设想实施得也不够理想。