动态平衡中的三力问题

动态平衡中的三力问题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是
动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的
一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

根据现行高考要求，物体受到往往是
三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学
因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常
为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发
生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。

然后
将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个
闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的
大小及变化就一目了然了。

例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上
有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，
问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。

F 1
的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。

F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动
时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。

由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。

同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，
斜面倾角为θ
方法二：相似三角形法。

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力
的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相
似的几何三角形的问题
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合
图1-1 图1-2 F 1
G
F 2 图1-3 图1-4
三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，
把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例2．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细
绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。

现将细绳缓慢往左拉，
使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变
化情况是( )
A ．F N 先减小，后增大
B .F N 始终不变
C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变
解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂
重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图2-2所示，
将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA 相似，
利用相似三角形对应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长
l ,)l
F L F H
G N ==，式中G 、
H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。

正确答案为选项B
同种类型：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地
面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放
在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓
慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小
球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。

(A)N 变大，T 变小， (B)N 变小，T 变大
(C)N 变小，T 先变小后变大
(D)N 不变，T 变小
方法三：作辅助圆法
特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时
两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但
动态平衡时两个力的夹角不变。

②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且
其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向
都改变，
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三
角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢
量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作
图2-1
图
2-2 图2-3
一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从
而轻易判断各力的变化情况。

例3、如图3-1所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时
针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变)90(0
>α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，则（ ）。

(A)F 1先减小后增大
(B)F 1先增大后减小
(C)F 2逐渐减小
(D)F 2最终变为零
解析：取绳子结点O 为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F 1、F 2
、F 3，
将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F 3大小、方向不变，角
∠ CDE 不变(因为角α不变
)，由于角∠DCE 为直角，则三力的几何关系可以从以DE 边为直
径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。

由此可知，
F 1先增大后减小，F 2随始终减小，且转过90°时，当好为零。

正确答案选项为B 、C 、D
另一种类型：如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M 、N 两
个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O 点，此时α+β= 90°．然后保持M 的读数
不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。

(A)减小N 的读数同时减小β角
(B)减小N 的读数同时增大β角 (C)增大N 的读数同时增大β角 (D)增大N 的读数同时减小β角
方法四：解析法 特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力
的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。

当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。

例4．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的
轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论：
（1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？
（2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
图3-1
图3-2 图3-3
图3-4
解析：取绳子c 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。

设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：θ
sin 21G F = ；在三角形AOD 中可知，AD
OD =
θsin 。

如果A 端左移，AD 变为如图4－3中虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD ′减小，θsin 减小，F 1变大。

如果B 端下移，BC
变为如图4－4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。

同种类型：如图4－5所示，
长度为5cm 的细绳的两端分
别系于竖立地面上相距为4m
的两杆的顶端A 、B ，绳子上
挂有一个光滑的轻质钩，其
下端连着一个重12N 的物体，
平衡时绳中的张力多大？
图
4－1
图4－2 图4－3
′ 图4－
4
图4－5。