2015高考数学(理)一轮课程案例：10-4圆锥曲线热点问题

所以|MN|＝ x2－x12＋y2－y12
＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝2
1＋k24＋6k2
1＋2k2
.
又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ 1|＋k| k2，
所以△AMN 的面积为 S＝12|MN|·d＝|k|1＋4＋2k62k2.
由|k|1＋4＋2k62k2＝ 310，解得 k＝±1.
辨析感悟
1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解 (1)直线 y＝kx＋1 与椭圆x52＋y92＝1 恒有两个公共点． (√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共
点．
(×)
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共
点．
(√)
2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解
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(4)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直
(1)解 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， 由 e＝ac＝12，得 a＝2c， ∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2， 则椭圆方程变为4xc22＋3yc22＝1. 又椭圆过点 P1，32，将其代入求得 c2＝1， 故 a2＝4，b2＝3， 即得椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
(2)证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝kx＋m，
－844kk22k－ ＋42＋k211－－01＝0x－－01， 解得 N42kk－ ＋21，0. 所以 MN 的斜率为 m＝24kk－＋2k4－12k－1－42kk－ ＋0 21 ＝22k＋41k22－k＋212k－12＝2k＋4 1， 则 2m－k＝2k＋2 1－k＝12(定值)．
规律方法 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得 到定值．
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则O→P＋O→Q＝(x1＋x2，y1＋y2) 由方程①得 x＝－2 21k＋±2k42k2－2，则 x1＋x2＝－14＋22kk2， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝－1＋4 22kk22＋2 2. ∵(O→P＋O→Q)⊥A→B，
∴(x1＋x2)·(－ 2)＋y1＋y2＝0， 即：－14＋22kk2·(－ 2)－14＋22kk22＋2 2＝0.
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1， y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2|x1－x2＝|
所以直线 AB 的方程为 12x－2y－9＝0，弦 AB 的长为 2 37.
考点三 圆锥曲线中的定点、定值问题 【例 3】(2013·江西卷)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝ 23，
a＋b＝3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，A、B、D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外 的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M， 设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m.证明：2m－k 为定值．
于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为x42
＋y32＝1.
(√)
(5)已知点(2,1)是直线 l 被椭圆x42＋y22＝1 所截得线段的中点，
则 l 的方程为 x＋4y－6＝0.
(×)
(6)(2014·潍坊一模改编)直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x
交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到直线 x＋12＝0
综合①②，解得k＝ 22， 或k＝－ 22，
m＝ 2
m＝－ 2.
所以直线 l 的方程为 y＝ 22x＋ 2或 y＝－ 22x－ 2. 规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判 断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系 的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时， 要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练 3】 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆 经过点 P1，32且离心率为12. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是 左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证： 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
1＋k12·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ，θ 为 弦 AB 所在直线的倾斜角)．
3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求 解．在椭圆ax22＋by22＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的 斜率 k＝－ba22xy00；在双曲线ax22－by22＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的 弦所在直线的斜率 k＝ba22xy00；在抛物线 y2＝2px(p＞0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝yp0.
规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求 解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的 关键是设出交点的坐标，利用求根公式得到弦长，将已知弦长 的信息代入求解．
【训练2】 已知点Q(1，－6)是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)上异于 坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线 分别交抛物线C1于点A，B. 求直线AB的方程及弦AB的长． 解 由 Q(1，－6)在抛物线 y2＝2px 上，可得 p＝18，所以抛 物线 C1 的方程为 y2＝36x. 设抛物线 C2 的切线方程为 y＋6＝k(x－1)．
1(a>b>0)的左焦点为 F1(－1,0)，且点 P(0,1)在 C1 上． (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程．
解 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(－1,0)，所以 c＝1. 把点 P(0,1)代入椭圆ax22＋by22＝1，得b12＝1，即 b＝1， 所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C1 的方程为x22＋y2＝1. (2)由题意可知，直线 l 的斜率显然存在，且不等于 0，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m. 联立x22＋y2＝1， 消去 y 并整理得
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线 C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲 线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物 线的对称轴的位置关系是平行．
(2)证明 因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 y ＝k(x－2)(k≠0，k≠±12)，① ①代入x42＋y2＝1，解得 P84kk22－ ＋21，－4k42＋k 1. 直线 AD 的方程为 y＝12x＋1.② ①与②联立解得 M42kk＋－21，2k4－k 1. 由 D(0,1)，P84kk22－ ＋21，－4k42＋k 1，N(x,0)三点共线知
a＝2，
解 (1)由题意得ac＝ 22， a2＝b2＋c2，
解得 b＝ 2.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
y＝kx－1， (2) 由 x42＋y22＝1
得 (1 ＋ 2k2)x2 － 4k2x ＋ 2k2 － 4 ＝ 0. 则 x ＝
2k2± 6k2＋4 1＋2k2 .
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k42.
y＝kx＋m， (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线 l 与椭圆 C1 相切， 所以 Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0， 整理得 2k2－m2＋1＝0.① 联立yy2＝＝k4xx＋，m， 消去 y 并整理得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切， 所以 Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0. 整理得 km＝1.②
联立yy＝＋26x＝2，kx－1， 消去 y， 得 2x2－kx＋k＋6＝0，Δ＝k2－8k－48.
由于直线与抛物线 C2 相切，故 Δ＝0，解得 k＝－4 或 12. 由yy2＋＝63＝6x－，4x－1， 得 A14，－3；
由yy2＋＝63＝6x1，2x－1， 得 B94，9.
|AB|＝
14－942＋－3－92＝2 37，
解得 k＝－ 42，由(1)知 k2＞12，与此相矛盾， 所以不存在常数 k 使O→P＋O→Q与A→B垂直．
考点二 圆锥曲线中的弦长问题 【例 2】 (2012·北京卷)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个顶
点为 A(2,0)，离心率为 22.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同 的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
第4讲 圆锥曲线的热点问题
知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y) ＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一 元方程．
即AFxx＋，Byy＋＝C0，＝0， 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
的距离等于94.
(√)
[感悟·提升] 两个防范 一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别 注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)； 二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).
考点一 直线与圆锥曲线位置关系 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝
解 (1)由已知条件，直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程得x22＋(kx＋ 2)2＝1，
整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于①中
Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
解得
k＜－
22或
k＞
2 2.
即 k 的取值范围是－∞，－ 22∪ 22，＋∞.
联立x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 则 x＝－4mk±23＋124kk22－3m2＋9.
Δ＝64m2k2－163＋4k2m2－3＞0，
x1＋x2＝－3＋8m4kk2，
①
x1·x2＝43m＋24－k23.
又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m3＋2－4k42k2. ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， ∴3m3＋2－4k42k2＋43m＋2－4k32 ＋31＋6m4kk2＋4＝0， ∴7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
审题路线 (2)写出直线BP的方程⇒与椭圆方程联立解得P点坐
标⇒写出直线AD的方程⇒由直线BP与直线AD的方程联立解得M
点坐标⇒由D、P、N三点共线解得N点坐标⇒求直线MN的斜率
m⇒作差：2m－k为定值．
(1)解
因为
e＝
23＝ac，所以
a＝
23c，b＝
1 3c.
代入 a＋b＝3 得，c＝ 3，a＝2，b＝1. 故椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是 否存在常数 k，使得向量O→P＋O→Q与A→B垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．