第六章 MATLAB在高等数学中的应用举例

% V0=30
alfan=input('初始角alfan=');
alfan1=alfan*pi/180; t=0:0.1:2*V0*sin(alfan1)/9.8; x=V0*cos(alfan1)*t; y=V0*sin(alfan1)*t-9.8*t.*t/2;
% alfan=45
plot(x,y);
x=sym('x'); y=x^3+3*x-2;
直线y=100x-1
f=diff(y );
x1=solve(f-100); y1=x1.^3+3*x1-2;
c=y1-100*x1;hold on;
plot(eval(x1),eval(y1),'*') %把串当作指令执行
实例分析
绘图
x=-100:0.1:100; y1=100*x+ eval(c(1)); y2= 100*x+ eval(c(2)); plot(x,y1,x,y2,'r') y3=x.^3+3*x-2; y4=100*x-1;
|z1-z2|<r
求解程序
clf; [x,y]=meshgrid(-10:0.2:10); z1=(x.^2-2*y.^2); a=input('a=?'); z2=a*ones(size(x)); subplot(1,2,1), %a=20
mesh(x,y,z1);
hold on; mesh(x,y,z2);
y=symsum((-1)^(n+1)*x.^n/n,1,inf) eval(y) y =[ log(11/10), log(6/5), log(13/10), log(7/5)] ans = 0.0953 0.1823 0.2624 0.3365
第四节 数值方法和符号积分
4.1 求f(x)=0的解
实例分析
实例分析
例6.2 求点u=(1,2,3)到平面3x-2y+z=4的距离
（提示：点(u,v,w)到面Ax+By+Cz=D公式为 r=|Au+Bv+Cw+D|/(A2+B2+C2)1/2 )
u=input('点的坐标u[]='); v=input('直线方程系数v[]='); 点的坐标u[]=[1,2,3]
1.1 单变量函数的计算和绘图
2t 例6.1 已知 y 5 3e sin(4t 3 / 3)
要求以0.01秒为间隔，绘出y及其导数的曲线。
分析： 用diff(y,n)求dy；
每求导一次，y的维数减一；
dy=diff(y)结果为dy=y1-y2，
故 y'=dy/dx= diff(y)/dx
数值结果 y = 0.1000 0.0950 0.0953 0.0953 0.0953 0.0953 0.0953 0.2000 0.1800 0.1827 0.1823 0.1823 0.1823 0.1823 0.3000 0.2550 0.2640 0.2620 0.2625 0.2623 0.2624 0.4000 0.3200 0.3413 0.3349 0.3370 0.3363 0.3365
limit(y,x,a,'s')
极限函数
s=right，left或空；x可缺省，a的缺省为0
实例分析
例6.6 求下列极限 1)
syms x;
1 12 y lim ( 3 ) f=1/(x+2)-12/(x^3+8) ; x 2 x 2 x 8
limit(f,x,-2)
2)
(a x) a y lim x 0 x
MATLAB及其在理工课程中 的应用指南
CH6、MATLAB在高等数学中的应用举例 1、函数、极限和导数 2、空间解析几何 3、数列和级数 4、数值方法和符号积分
5、线性代数
本章简介
了解MATLAB的数值计算和符号计算
熟悉极限、导数、积分和线性代数的求解 重点掌握空间解析几何中曲面交线的求解与绘图
解题步骤
1）建模：确定解题的方法 （idea)
2）编写程序：编写文本文件（.m)
3）验证：将所编程序调入MATLAB调试
关于运算

Matlab 具有出色的数值计算能力，占据世 界上数值计算软件的主导地位

Matlab 不仅具有数值运算功能，还开发了在 Matlab环境下实现符号计算的工具包 Symbolic Math Toolbox
x
>>x=solve('x+x*exp(x)-10', 'x')
第二节 空间解析几何
2.1 求切点
例6.7 求曲线y=x3+3x-2上与直线y=100x-1平行的切线的 切点，并绘出曲线和切线。
建模： 切点是其导数值为100的点； 求导用函数diff()；
求根用函数solve()。
实例分析
已知：曲线y=x3+3x-2
实例分析
第一节 函数、极限和导数
1.2 参变方程函数的计算和绘图
例6.4 已知炮弹初速为V0，发射角为alfa，画出其alfa为 25、45、75度时的轨迹。
x v0 cos( t ) 1 2 y v0 sin( t ) gt 2
实例分析
V0=input('初始速度V0=');
y1=100*x+ eval(c); plot(x,y1,'r')
plot(x,y3,x,y4,‘b')
axis([-10,10,-500,500])
图形结果
第二节 空间解析几何
2.2 求截面
例6.8 绘出用平行截面法后，与方程Z=x2-2y2 构成的 马鞍面形状。 建模： 1) 定义网格函数meshgrid() [X,Y]= meshgrid(x,y) 2) 如何判断相交
图形结果
实例分析
例6.9 绘出空间任意两曲面的交线。（z1=x2-2y2 , z2=2x-3y）
求解程序
z1=input('输入方程z1=：','s'); z2=input('输入方程z2=：','s'); [x,y]=meshgrid(-10:0.2:10); z1=eval(z1); z2=eval(z2); mesh(x,y,z1); hold on; mesh(x,y,z2); r0=abs(z1-z2)<=1; xx=r0.*x;yy=r0.*y;zz=r0.*z2; plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'*');
n=sym('n');
s=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf)
实例分析
n 1 例6.10 求数列 (1)
xn ，当x=1.2时的前6项。 n
x=1.2; n=1:6; y=(-1).^(n+1).*x.^n./n
1.200 -0.720 0.576 -0.5184 0.498 -0.498
.*sin(w*t+pi/3)+60*exp(-2*t)…
.*cos(w*t+pi/3); hold on ; plot(t,y1,'r') legend('y','Dy1', 'Dy2', 'y1')
Dy=diff(y)/b;
plot(t(1:length(t)-1),Dy,'*')
y ' 10 3e2t sin(4t 3 / 3) 60e2t cos(4t 3 / 3)
实例分析
例6.11 求数列 (1) n 1 的前n项和与极限。
建模： 1）循环累加
xn ，当x=0.1，0.2，0.3，0.4时 n
2）向量运算
3）有限级数求和函数symsum(a,n,n0,nn)
求解程序
x=input('x='); %x=0.1:0.1:0.4 n=input('n='); %n=10 for i=1:length(x) for j=1:n y(j,i)=(-1).^(j+1).*x(i).^j./j; if j>1 y(j,i)=y(j-1,i)+y(j,i); end end end y
plot(x,a*x.^3+x);
hold on; end
end
axiΒιβλιοθήκη Baidu equal; axis([-3,3,-3,3])
axis equal;
axis([-3,3,-3,3])
实例分析
第一节 函数、极限和导数
1.3 极限
符号对象的建立： x=sym('x') syms var1 var2 var3…… U=sym('3*x^2+5*y') 单个符号变量函数 多个符号变量函数 符号表达式
第一节 函数、极限和导数
求导函数：
diff(y,x,n) = dny(x)/dxn，即函数y对变量x的n阶导数
注意： 1) x可缺省，n的缺省为1； 2) 当x为数值时， diff用来求差分，dy=diff()， y'=dy/dx； 3) 当x为符号时， diff用来求微分，y'=diff()。
第一节 函数、极限和导数
求解程序
v=[-10,10,-10,10,-100,100];
axis(v); grid on;
%绘交线 subplot(1,2,2), plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz (r0~=0),'*'); axis(v); grid;
hold off;
r0=abs(z1-z2)<=1; xx=r0.*x; yy=r0.*y; zz=r0.*z2;
求解符号函数 solve('eqn1','eqn2',...,'var1,var2,...) 例：求解 x2+xy+y=3
x2-4y+3=0
[x,y] = solve('x^2 + x*y + y = 3',… 'x^2 - 4*y + 3 = 0')
实例分析
例6.12 求曲线f(x)=x3-2x2-x+2的过零解，并绘图 建模：
输入方程z1=：x.^2-2*y.^2 输入方程z2=：2*x-3*y
图形结果
第三节 数列和级数
3.1 有限级数求和函数
symsum(a,n,n0,nn)
a 表示级数的通项，n 是求和变量，n0 和 nn 是求和的 开始项和末项。
1 1 1 n 1 1 如：s 1 (1) 2 3 4 n
直线方程系数v[]=[3,-2,1,-4]
r= 0.5345
r=abs(u*v(1:3)'+v(4))/…
sqrt(sum(v(1:3).^2))
实例分析 例6.3 已知y=sinx，求其导数？
>> t=0:0.1:2*pi;
>> y=sin(t); >> plot(t,sin(t),'r',t,cos(t)) ; >> dy=diff(y)/0.1; >> hold on ; >> plot(t(1:length(t)-1),dy,'g') ;
0.0953
0.0953 0.0953
0.1823
0.1823 0.1823
0.2624
0.2624 0.2624
0.3365
0.3365 0.3365
第三节 数列和级数
3.2 求级数
symsum(a,n,n0,nn)
syms n;
ln(1 x) (1)n1
n 1

xn n
x=[0.1,0.2,0.3,0.4];
3
3
syms x a ; f=((a+x)^3-a^3)/x ; limit(f,x,0)
第二节 空间解析几何
非线形方程组的求解函数： solve('eqn1', 'eqn2',---, 'var1',---) eqn1, eqn2---方程组，var1---求解变量
求
x xe 10 0 的解
实例分析
b=0.1;t=0:b:1.5;w= 4*sqrt(3); y=5*sqrt(3)*exp(2*t).*sin(w*t+pi/3); plot(t,y); title('单变量绘图'); xlabel('x');ylabel('y(t)'); grid on;hold on; plot(t(2:length(t)),Dy,'p') y1=-10*sqrt(3)*exp(-2*t)…
axis('equal')
实例分析
实例分析
例6.5 三次抛物线方程y=ax3+cx，讨论参数a，c对 其图形的影响。
x=-3:.01:3; subplot(1,2,1); for c=-3:3 plot(x,x.^3+c*x); hold on; subplot(1,2,2); for a=-3:3
1）过零解：f(x)=0
求解符号函数是solve() 2）求解曲线交线 f(x)=x3-2x2-x+2=y y=0
求解程序
x=sym('x'); y=x^3-2*x^2-x+2; z=solve(y); plot(eval(z),[0,0,0],'*r') hold on;x=-7:5; y=x.^3-2*x.^2-x+2;