2021年中考数学复习：与平行四边形相关的二次函数综合型压轴题解题技巧(含练习题及答案)

2021年中考数学复习：与平行四边形相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼：

1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。

2、探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。

典例引领：

例：如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．

（1）求a，k，b的值．

（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；

（3）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据待定系数法得出a，k，b的值；

（2）观察函数图象，即可得出不等式的解集；

（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；

（4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．

解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，

把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得，

∴a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2；

（2）观察函数图象可知，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2；

（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，

设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．

过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），

∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．

∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，

＝×AC•PD+×BC•PE﹣×BC•AC，

＝×3×（m+1）×3×（﹣m2+4）﹣×3×3，

＝﹣m2+m+3．

∵﹣＜0，m＝﹣＝，

而﹣1＜m＜2，

∴当m＝时，S△APB的最大值为，此时点P的坐标为（，﹣）；（4）存在三组符合条件的点．

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，

∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

可得坐标如下：

①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，

解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；

②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，