幂的运算知识总结
幂的运算知识点总结
1、幕的乘方
2、积的乘方底数不变，指数相乘。
逆运算：a
mn
n
(a m)
即（a m
）n a mn（m, n是正
把每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。
即（abj a n b n（n是正整数）逆运算；
n
(ab)
同底数幕的除法同底数幕相除，底数不
零指数幕的意义：规定
负整指数幕的意义：规
变，指数相减。
即a m a n a m-n（a 0,m, n是正整数,m a01（a 0）。
即
任何不等于0的数的零次幕都等于1
定a"—n（a 0,a是正整数）
a
n) 第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幕相乘
法则：底数不变，指数相加。
即a m a n a m n（m，n是正整数）
逆运算：a m n a m a n
同底数幕的乘法
a a a
正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数知识点二：幕的乘方与积的乘方
知识点三：同底数幕的除法
5 、,
696000 6.96 （10的几次方原数字个数-1）
科学记数法0.0000502 5.02 1。
-5（10的负几次方第一个非0数字前0的个数）
9
1nm m
(1) a m a n a m n(m,n是正整数)
(2) (a m)n a mn(m,n是正整数)
⑶(ab)n a n b n(n是正整数)
(4)a^ a a^ "(a 0, m, n是正整数,m n)。
幂的运算(基础)知识讲解
幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()n mmn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25m x =，求6155m x -的值． 【答案与解析】 解：∵ 25m x =，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m aa a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值． 【答案】解：32323232()()238972a b ab a b x x x x x +===⨯=⨯=． 【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值． 【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n . 类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．。
(完整版)幂的运算总结及方法归纳
幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用n m n m a a a +=•（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n aa 1=-（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。
换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算20052004425.0⨯，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004⨯，再逆用积的乘方法则计算11)425.0(425.02004200420042004==⨯=⨯，由此不难得到结果为1。
◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。
如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅- 简单练习： 一、选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
幂的运算总结知识点
幂的运算总结知识点一、幂运算的基本概念1. 底数和指数在幂运算中，底数表示要进行幂运算的数，指数表示要计算的幂。
例如，在表达式$a^n$中，$a$为底数，$n$为指数。
2. 幂的定义幂的定义是指将一个数与自身相乘若干次的运算。
比如，$a^n$表示$a$与自身相乘$n$次，即$a$的$n$次幂。
3. 幂数的意义幂数的意义是指幂的运算结果。
在数学中，幂的运算结果通常表示一个较大的数，这种表达方式能够简化运算和表示大数，方便计算。
二、幂运算的性质1. 幂运算的乘法法则若$a^m \times a^n = a^{m+n}$，即幂相乘的结果等于底数不变、指数相加的新的指数。
2. 幂运算的除法法则若$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，即幂相除的结果等于底数不变、指数相减的新的指数。
3. 幂运算的乘方法则若$(a^m)^n = a^{m \times n}$，即幂的幂等于底数不变、指数相乘的新的指数。
4. 幂运算的指数为0的规定$a^0=1$，任何数的0次幂都等于1。
5. 幂运算的指数为1的规定$a^1=a$，任何数的1次幂都等于自身。
6. 幂运算的负指数$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即负指数等于底数的倒数。
7. 幂运算的零指数若底数不为0，$0^n=1$，即0的任何次幂都等于1。
8. 幂运算的整数指数当指数为正整数时，幂运算就是简单的重复乘法运算；当指数为负整数时，幂运算就是简单的重复除法运算。
9. 幂运算的分数指数当指数为分数时，幂运算需要借助对数来处理，得到的结果为底数的对数值的指数次幂。
10. 幂运算的根式化简对于幂运算中的根式，可以通过化简和变形得到更简单的表达式。
三、幂运算的应用1. 幂运算在几何中的应用在几何中，幂运算常常用来表示面积和体积。
比如，计算正方形的面积、长方形的面积、立方体的体积等等。
2. 幂运算在代数中的应用在代数中，幂运算常常用来表示变量的幂。
幂的运算
第一节 指数运算（一）【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即 ，可以记作na ．“na ”读作a 的n 次方，乘方的结果叫做幂.“na ”可读作a 的n 次幂．其中，a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法：=⋅n ma a _______ 同底数幂的乘法及推广： _________________;=⋅=⋅⋅p n m pnma a a aa a3．幂的乘方：__________)(=nm a 多重乘方：[]pnm a )(=__________4. 积的乘方:________)(_;__________)(==nnabc ab 学习时对于法则的理解应注意如下的问题：（1）底数不同的幂相乘，不能应用法则，如3232323+≠•；(2) 不要忽视指数为1的因数，如5065+≠=•cc c c ；(3) 底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体，勿犯))(()()(332232y x y x y x y x ++=++这种错误； (4) 2a -和2)(a -不一样，它们互为相反数； (5) 互为相反数的相同偶次方相等，即n na a 22)(=-（n 为正整数）；互为相反数的相同奇次方仍互为相反数，即1212)(++-=-n n a a （n 为正整数）【典型例题】例1 计算 （1）（101）4·（101）3 （2）（2x -y ）3·（2x -y ）·（2x -y ）4（3）32)2(- （4）67])[(x -（5）932])([a a a ⋅- （6）nn n a ab b a )()(2+例2 计算 （1）31222)()(+-⋅n n a a（2）4332])[(])[(y x y x ++（3）25(2)(2)x y y x -- （4）53)2()2(x y y x --（5）mm m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2632435465（6）2222)2()2(n mn mn ⋅--例4 已知105,106a b==，求2310a b+的值.例5 已知n 是正整数，且9)(2=n x ，求nn x x 2223)(3)31(-的值.【初试锋芒】一 选择题1．下列4个式子中结果为1210的是（ ）A 、661010+ B 、21010)52(⨯ C 、6510)1052(⨯⨯⨯ D 、33)10(2．下列计算中，不正确的是（ ）A 、44423a a a =-B 、655222=+C 、655222=⋅D 、632x x x x =⋅⋅ 3．33+n y可以写成（ ）A 、13+n y B 、33y yn+ C 、13+⋅n y y D 、33y y n ⋅4．若2,3==n mx x，则n m x +的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、9 5．若y x ≠，则下列不能成立的等式是（ ）A 、()()22x y y x -=- B 、()()33x y y x --=-C 、()()22y x y x --=+ D 、()()22y x y x +-=+6. 7a 等于（ ）A 、52)()(a a --B 、))((52a a --C 、)()(52a a --D 、6))((a a -- 7．在(1⋅-n x )=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x二．计算 （1）n n nb a a b a b )()()(122-⋅-⋅--（2）n m n m m m p p p p-+-+⋅+⋅11【大展身手】一. 计算： （1）()4232a bc - （2）()()223a aa ⋅-⋅-二. 解答题若327,232x y==，求23x y +值.三.随堂小测（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）24(22)⨯（3）2232)2()2(n mn mn ⋅-- （4）32)(a a -⋅-（5）22101010000⋅+ （6）762)5.0(⨯-（7）64×（22）3（8）9)3()2()3(322234⨯⨯+第二节 指数运算（二）【知识要点】三大指数法则： nm nma a a +=⋅,()m n mna a=,()mmmab a b =⋅（n m ,都是正整数）三大指数法则逆用: n m nm a a a⋅=+, ()()mn m n n m a a a ==, ()m m m a b ab ⋅=1. 同底数幂的除法法则：mnm na a a -÷=（0a ≠，,m n 都是正整数，且m n >）2. 负整数指数幂1p pa a -=（0a ≠，p 为正整数） 任何不等于0的数的p -次幂（p 是正整数），等于这个数的p 次幂的倒数.而10-、30-都是无意义的，当0>a 时，pa -的值一定是正的；当0<a 时，pa-的值可能是正的也可能是负的；如：41)2(2=--，81)2(3-=--3. 零指数幂01a =（0a ≠）. 00没有意义.【典型例题】例1. 计算(1）56x x ÷ (3）15++÷n n a a(2）35)(a a ÷- (4）)1()1(3+÷+a a（5）)()(734x x -÷- （6）67)()(x y y x -÷-例2. 计算（1）24- （2）32-- (3）2)1(-- (4）0)14.3(-π例3. 计算： 451301222222----⎛⎫++⨯⨯+ ⎪⎝⎭例4．求值：（1）若的值求n mn m 231010,0223÷=+-.（2）已知的值求n m n m-==210,210,310.【初试锋芒】1. ÷a 2=a 3. 2. 若53-k =1，则k= .3．31-+（91）0= . 4．用小数表示-3.021×103-= .5．（-a 2）5÷（-a ）3= ，920÷2710÷37= .6．计算 （-a ）6÷（-a ）3的结果是（ ）A ．a 3B.-a 2C.-a 3D. a 27.下列计算正确的是（ ） A.（-0.2）0=0 B.（0.1）3-=10001 C.30÷31-=3 D.a 4÷a 4=a(a ≠0) 8.如果a m÷a x=am3，那么x 等于（ ）A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9.设a ≠0，以下的运算结果：①（a 3）2· a 2=a 7；②a 3÷a 2-=a 5；③（-a ）3÷a 0=-a 3；④（-a ）2-÷a=a1-，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③ 10.计算下列各题：（1）（m-1）5÷（m-1）3； （2）（x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ）；（3）（a m ）n ×（-a m3）n2÷(amn)5; (4) 21--（-32）2-+（23）0.【大展身手】1. 计算52()()x x -÷-=_______, 2. 10234x x x x ÷÷÷ =______.3. 若0(2)x -有意义,则x_________.4. 02(3)(0.2)π--+-=________.5. 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷- =_________. 6. 若5x-3y-2=0,则531010xy ÷=_________.7. 如果3,9mna a ==,则32m na -=________.8. 如果3147927381m m m +++⨯÷=,那么m=_________.9．若2,3==n mx x，则n m x -的值为（ ）A 、5B 、6C 、23D 、9 10．在(1⋅-n x)=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x11. 已知9999909911,99Q =, 证明：P=Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘的法则： 2．单项式与多项式相乘的法则： 3．多项式与多项式相乘的法则：注意：(1).法则中的“每一项”的含义是不重不漏.在运算时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，还要特别注意多项式中的常数项.(2). 在运算过程中，要根据去括号法则和多项式中每一项前面的性质符号来确定乘积中每一项的符号.(3). 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在未合并同类项之前，其积的项数与多项式中的项数相同，若乘积中有同类项时，一定要注意合并同类项！【典型例题】例1．计算．（1）)5(2232xy a ax -⋅ （2）2223)31(32mn n m -⋅例2．计算 )2()1103(32xy y x y x -⋅--例3．计算（1） )3)(32(-+a a （2）)32)(2(2---x x x例4．计算：()()()222322----+a a a a a例5．解方程：()()0536232=----x x x x例6. 已知ax 2+1与2x 2-3x+1的积中不含x 2项,那么a=•_____【初试锋芒】1.填空.(1)=⋅-)2()3(22n m mn _____ _ _ (2)=-⋅-23)52(54a a __________ 2.已知2,2-==+ab b a ，则()()b a 2121--= ． 3.若12412)4()(x x mx k=⋅，适合的m 与k 的值应是（ ）A.3,3==k mB.8,3==k mC.3,8==k mD.8,8-==k m 4.下列运算正确的是（ ）A ．x x x x x x 4128)132)(4(232---=-+- B ．()()3322y xyx y x +=++C ．2161)14)(14(a a a -=--- D ．()()224222y xy x y x y x +-=--5．计算下列各题. （1）2223)23(32xy y x -⋅（2）32432)()(y x z xy -⋅-（3）322)(6)()3(c ab c a ab ⋅-⋅- （4）235)109()1031(⨯⋅⨯6．先化简再求值．（1）()),158(9622-----x x x x x x 其中1-=x（2）2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x ．【大展身手】1．))((c b a n m ++-展开后是（ ）A ．五项式B ．六项式C ．七项式D ．八项式 2．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2D ．23. 自我检测（1）22214.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅xy y x （2）()()()22273xy z x xy -⋅-⋅-（3）()()33222xy x xy y x ⋅--⋅ （4）()()()xy xy y y x -⋅-+-⋅223635（5）232(3)(21)x x x -+- （6）243(142)2x x x x --+-（7）()()b a y x 352-- （8）()()22yxy x y x ++-第四节 平方差公式【知识要点】平方差公式: ()()22b a b a b a -=-+两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1.计算系数变化:（1）)23)(23(b a b a -+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213位置变化:（1）()()ab x x ab -+ （2）（21x+31y ）（31y －21x ）符号变化: （1）()()11--+-x x (2) ()()434322---x x指数变化:（1）)22)(22(22--+-x x （2）()()22225252b ab a --+-增项变化:（1）))((z y x z y x -+++ （2）)93)(93(22+++-x x x x增因式变化:（1）()()()1112+-+x x x （2）))()((2141221++-x x x例4.用平方差公式进行简便运算（1）397403⨯ （2） 2221000252248-例5.综合运用(1)()()()()111142+-++-x x x x ． (2)已知3,2722=-=-y x y x ，求x y +;【初试锋芒】1．在①()22242a a=；②2911311131x x x -=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；③532)1()1()1(-=--m m m ；④322842++=⨯⨯b a b a 中，运算正确的是（ ）A.②①B.②③C.②④D.③④2．计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++3．解方程：()()()x x x x x 4393232-=+---．4．（2005·茂州市）已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B.5．观察下列算式：,483279,382457,281635,188132222222⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来.【大展身手】1．下列计算正确的是（ ）A ．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x 2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ． 2222()()c d d c -+ D ．()()m n m n ---3．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．224b a -B ．224a b -C ．222b a -D ．222a b -4．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．()()a b a b -+-B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+5．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A 、()()x y x y --+-66B 、()()x y x y -+-66C 、()()y x y x 94-+D 、()()x y x y ---666．在①()22293a a=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ；④626442++=⨯⨯n m n m中，运算正确的是（ ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④ 7.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值第五节 完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+.2．完全平方公式相关变形及推广：① ()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ② ab b a b a 4)()(22=--+;③()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ④()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；○5()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++【典型例题】例1．计算：（1）()23a b + （2）()23x y -+（3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd（5） ()22x y z +- （6）)2)(2(4)2(2y x y x y x +---例2.简便计算（1）2199 （2）2102（3）899×901+1 （4）1232-124×122例3．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．例4．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．例5.已知13a a +=，求221a a +和441a a+的值．【初试锋芒】1．（35x + ）2=22962525x xy y ++ 2．22()()a b a b -=+ 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +-4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= 5．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+ B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-6．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b - B 、()2a b -- C 、()2a b -+ D 、()2a b + 7．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 8．根据已知条件，求值：（1）已知x-y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.（2）已知a （a-1）＋（b-a 2）＝-７，求222b a +-ab 的值.【大展身手】1．下列运算中正确的是（ ）A 、22(2)(2)2a b a b a b +-=- B 、22(2)(2)4a b a b a b -+-=-- C 、22(2)(2)4a b a b a b ---=-- D 、224)2)(2(b a b a b a -=--+-2．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b +B 、2214a b -C 、2214a ab b ++D 、221124a ab b ++ 3．运算结果是24221m n mn -+的是（ ） A 、22(1)mn - B 、22(1)m n - C 、22(1)mn -- D 、22(1)mn +4．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ） A 、0 B 、2m nC 、22m n -D 、24m n5．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ） A 、6，-6 B 、12C 、6D 、12，-126. (1)()234x y -- (2) 2)1(+-b a (3)210027. 已知110a a +=，求221a a +和21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．第六节 整式的除法【知识要点】1．单项式除以单项式： 2．多项式除以单项式： 3．多项式除以多项式：点拨：1、单项式除以单项式的实质:转化为同底数幂的除法运算.单项式相除的结果仍然是单项式,其中字母少于或等于被除式的字母而结果为被除式、除式的次数之差.2、多项式除以单项式的实质：利用相应法则,转化为单项式除以单项式的运算.其结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项;结果的次数小于或等于被除式的次数.注意：当多项式的某一项全部除掉后,该项的商为1,而不是0. 被除式=除式⨯商式+余式【典型例题】例1 计算(1)）（2336m m -÷ (2))3()69(22ab ab b a ÷-(3)-a 11÷(-a)6·(-a)5(4)[12(x+y)3(y-x)]3÷[4(x+y)2(x-y)]2(5)236274)31()9132(ab b a b a ÷- (6))1()1()1()1(335+÷+-+÷+a a a a例2.先化简再求值(1)已知52=-b a ,求代数式[])4()()(2)(222b b a b a b b a ÷---++的值.(2)化简求值:[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷14xy,其中x=-2, y=15例3.已知多项式14223--a a 除以一个多项式A,得到的商式为a 2,余式为1-a ,求这个多项式.例4.解方程2)32)(32()524(23=-+-÷+-a a a a a a【初试锋芒】一.选择题1.下列计算正确的是( )A.x 8÷x 4=x 2B.a 5÷a=a 5; C.y 3÷y=y 2; D.(-c)4÷(-c)2=-c 22.计算(-a 4)3÷[(-a)3]4的结果是( )A.-1B.1C.0D.-a 3.下列计算正确的是( ) A.2x 3b 2÷3xb=23x 2b; B.m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12m C.12xy·a 3b÷(0.5a 2y)=14xa 2;D.(ax 2+x)÷x=ax4.计算(14a 2b 2-21ab 2)÷7ab 2等于( )A.2a 2-3 B.2a-3 C.2a 2-3b D.2a 2b-3 5.计算(-8m 4n+12m 3n 2-4m 2n 3)÷(-4m 2n)的结果等于( )A.2m 2n-3mn+n 2; B.2m 2-3mn 2+n 2; C.2m 2-3mn+n 2; D.2m 2-3mn+n6．（-２a ）3b 4÷（１２a 3b 2）的结果是（ ） Ａ.-32b 2 Ｂ.61b 2 Ｃ.-61b 2 Ｄ.-32ab 2二.填空题1.(-x)8÷(-x)5=________; (ab)7÷(-ab)2=________. 2.(-a)6·a 3÷a 2=_________; (x-y)7÷(y -x)3·(y -x)3=______. 3．（ ）÷（-４a 2）＝１２a 4-１６a 3＋４a 2. 4．（６a 2＋４a-１０ab ）÷（２a ）＝ . 5. 与单项式-3a 2b 的积是6a 3b 2-2a 2b 2+9a 2b 的多项式是_______.6. 一个矩形的面积是3(x 2-y 2) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 三.计算题 1．a 3÷a ·1a2.(16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2【大展身手】一.选择题1．下列计算错误的是（ ）Ａ.-６x 2y 3÷（２xy 2）＝-３xy Ｂ.（-xy 2）2÷（－x 2y ）＝-y 3Ｃ.（-２x 2y 2）3÷（-xy ）3＝-２x 3y 3Ｄ.-（-a 3b ）2÷（－a 2b 2）＝a 42．下列计算正确的是（ ）Ａ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a ＋b Ｂ.（a 2-b 2）÷（a-b ）＝a ＋b Ｃ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a-b Ｄ.（a 2-b 2）÷（-a 2b 2）＝a 43．一个多项式除以２x 2y ，其商为（４x 3y 2－６x 3y ＋２x 4y 2），则次多项式为（ ） Ａ.２xy-３x ＋x 2y Ｂ.８x 6y 2-１２x 6y ＋４x 8y 2Ｃ.２x-３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3-１２x 5y 2＋４x 6y 34．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ）Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 5．已知８a 3b m÷２８a nb 2＝72b 2，那么m ，n 为（ ） Ａ.m ＝４，n ＝３ Ｂ.m ＝４，n ＝１ Ｃ.m ＝１，n ＝３ Ｄ.m ＝２，n ＝３第七节 整式综合检测一．填空题 (每空1分，共20分)1. 写出一个系数为-3，且只含有字母,a b 的四次单项式 2．=⨯⨯n 221010100 =⨯-3255 =-32)4(3．32)2(xy -= ._________2432=÷⋅a a a4．=-÷-24)2()2(b a b a .__________)31(92=-⋅y x xy 5．=-+)4)(4(x x =+--2)2(x6．232)(xy y x ÷=7．（2m-n ）2=(2m)2___________+n 2=___________________8．一个边长为a 的正方形边长增加2后，面积增加了9．写出右图所示的阴影部分面积：10．已知161)(22++=-nx x m x ，则n= 11.若2x =164，则3x = 12.若22(4)(3)0,x y x y +-+--=那么22x y -=13.代数式16-2()a b +的最大值是 ，当取最大值时，a 与b 的关系是二．选择题 （每题2分，共24分）1．下列各式中计算过程正确的是( )．A 、63332x xx x ==++ B 、3332x x x =⋅ C 、853053x xx x x ==⋅⋅++ D 、53232)(x x x x -=-=-⋅+ 2．计算)3(232x x -⋅的结果是( )．A 、56x -B 、56xC 、62x -D 、62x3．下列运算正确的是( )．A 、2222)2(4a a a =-B 、632)(a a a =⋅-C 、6328)2(x x -=-D 、x x x -=÷-2)(4．下列计算一定正确的是（ ）A 、6662a a a =⋅B 、10=bC 、36326)2(b a b a =D 、239)3()3(a a a -=÷-5.下面计算错误的是( )A.66a a a =⋅B.224c c c =÷C.2222x x x =+D.6328)2(y y = 6.下面计算正确的是 （ ）A 、a 4- a 4=a 0 B. a 2÷a -2=a 4 C. a 2÷a -2=a 0 D.a 4×a 6=a 247．下列运算正确的是（ ）A 、41)21(22+-=-x x x B 、2229)3(b a b a +=+ C 、22293)3(b ab a b a ++=+ D 、222)2)(2(y x y x y x -=-+8.计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y - 9.计算20231-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的结果是（ ） A 、34 B 、4- C 、34- D 、4110．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则m 、n 的值分别为（ ）A 、5,3-B 、15,2-C 、15,2--D 、15,211．计算()3345)(a a a ---⋅的结果等于（ ） A 、0 B 、92a - C 、92a D 、18a12．多项式5322+-x x 与5342++-x x 的差是（ ） A 、1022+-x B 、x x 662- C 、1062+x D 、x x 622-- 三．计算下列各题（每题3分，共24分）（1）)3(2)32(y x y x +--（2）)36()32(2222xy y x y x y x --+（3）322)()(b b b -⋅ （4）045)3()21(2-++--π（5）)23(2222z y z xy y x -- （6）x x y x y x 2)645(2332÷+-（7）)3)(3()23(2y x y x y x +--- （8）)2)(2(2-+-x x x四.化简求值(每题6分,共12分)1. )2)(12()1()1)(1(2-++---+x x x x x ，其中x=32-2. []5.1,3,2))(()(2-==÷-++-y x x y x y x y x 其中．五．解答题 （20分）1．已知实数a,b 满足25)(,1)(22=-=+b a b a ，求ab b a ++22的值．(7分)2. 已知：a + a 1= 3 , 求221a a + 的值. (5分)a b a b有最小值?最小值是多少? (8分) 3．当a,b为何值时,多项式222610。
整式的乘除知识点总结
整式的乘除知识点总结一、幂的运算1. 同底数幂的乘法- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m· a^n = a^m + n （m，n都是正整数）。
- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。
- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6。
3. 积的乘方- 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)^n=a^nb^n（n是正整数）。
- 例如：(2×3)^2=2^2×3^2 = 4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^mdiv a^n=a^m - n(a≠0,m,n都是正整数,m > n)。
- 例如：5^5div5^3 = 5^5 - 3=5^2。
- 规定：a^0 = 1(a≠0)；a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。
二、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘- 法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如：3x^2y·(-2xy^3)=[3×(-2)](x^2· x)(y· y^3)= - 6x^3y^4。
2. 单项式与多项式相乘- 法则：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即m(a + b + c)=ma+mb+mc。
- 例如：2x(3x^2 - 4x + 5)=2x×3x^2-2x×4x + 2x×5 = 6x^3-8x^2 + 10x。
3. 多项式与多项式相乘- 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即(a + b)(m + n)=am+an+bm+bn。
幂的运算(知识总结)
幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。
用式子表示为：nm nma a a -=÷。
(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。
) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。
幂的知识点
名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质a m a n a m n(其中m, n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（ 1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a p a m n p（m, n,p 都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即a m n a m a n（m, n都是正整数）.要点二、幂的乘方法则( a m )n a mn(其中m, n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：((a m )n ) p a mnp(a 0，m, n, p均为正整数)（ 2）逆用公式：a mn a mna nm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则( ab) n a n b n(其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：(abc)n a n b n c n(n 为正整数).（ 2）逆用公式：a n b n ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计1010算更简便 . 如：121012 1.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加 . 指数为 1，计算时不要遗漏 .（ 3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式( 特别是系数 ) 都要分别乘方 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4243 44；（2） 2a3 a4a5a22a6 a ；（3）( x y)n(x y)n 1(x y)m 1(x y)2 n 1 ( x y)m 1．【答案与解析】解：（ 1）原式423449．（ 2）原式2a3 4a522a6 12a7a72a7a7．（ 3）原式( x y) n n1 m 1( x y)2 n 1 m 1( x y) 2n m( x y)2 n m2( x y) 2n m．【总结升华】（ 2）（ 3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（ 3）小题中把x y 看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）35( 3)3( 3)2；（2）x p(x) 2 p(x) 2 p1（ p 为正整数）；（3）32(2) 2n(2) （ n 为正整数）．【答案】解：（ 1）原式35(3)33235333235 32310．（2）原式x p x2 p(x2 p 1 )x p 2 p 2 p1x5 p 1 ．（3）原式2522n(2)252 n 1262n ．名师总结优秀知识点2、已知2x 220 ，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x 22x 22【答案与解析】解：由 2x 220 得 2x2220 ．∴2x 5 ．【总结升华】（ 1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（ 2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a m n a m a n．类型二、幂的乘方法则3、计算：（ 1）(a m)2；（ 2）[(m) 3 ]4；（3） (a3 m) 2．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（ 1）题中的底数是a，（ 2）题中的底数是m ，（3）题中的底数 a 的指数是3m ，乘方以后的指数应是 2(3 m) 6 2m ．【答案与解析】解：（ 1）( a m)2a2 m．（2）[(m)3 ] 4(m)12m12．（ 3）(a3 m)2a2(3m)a6 2 m ．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆. 幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2 m5，求1 x6m 5 的值．5【答案与解析】解：∵x2m 5 ，∴ 1 x6m51 (x55【总结升华】（ 1）逆用幂的乘方法则：a 举一反三：2m)35135 ．2055mn( a m) n(a n ) m．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．【变式 1】已知x a 2 ， x b 3 ．求 x3a2b 的值．【答案】解：x3a 2b x3a x2b( x a )3( x b )223 3289 72．【变式 2】已知8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【答案】解：因为 83m(8m )34364 ,82n(8n )25225 .所以83m 2 n83 m82 n6425 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)2ab2；（ 2）(4ab)364a3b3；（ 3）( 3x3)29x6．【答案与解析】解：（ 1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：( 3x3)29 x6．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1) (b2)3 (b 2)5(b 2) ；名师总结 优秀知识点(2) ( x 2y)2(2 y x)3 ．【答案与解析】解：（ 1） (b 2)3(b 2) 5 (b 2) (b 2) 3 5 1(b 2)9 ．（ 2） ( x 2y)2 (2 y x)3 ( x 2 y)2 [ (x 2 y)3 ]( x 2 y) 5 ．【总结升华】（ 1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：( a) na n (n 为偶数 ),(a b) n(b a )n n(为偶数 )(b ．a n (n 为奇数 ),a) n ( n 为奇数 )类型二、幂的乘方法则2、计算：b)2 ]3 ；（ 1） [(a（ 2） ( y 3 )2 ( y 2 )3 2y y 5 ；（ 3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 ；（ 4） (x 3 ) 2 ( x 3 )4 ．【答案与解析】解：（ 1） [( a b)2 ] 3( a b)2 3 ( a b)6 ．（2） ( y 3 )2 ( y 2 )32 y y 5y 6 y 6 2 y 62 y 6 2 y 60 ．（3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 x 4(2 m 2) x 2( m 1) x 8m 8 x 2m 2x 10m 6 ．（4） ( x 3 )2 ( x 3 )4 x 6 x 12 x 18 ．【总结升华】 （ 1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（ 2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知 8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【思路点拨】 由于已知 8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入计算 .【答案与解析】 解：因为 83m(8m )3 4364 ,82n(8n )2 52 25 .所以 83m 2 n 83 m 82 n 64 25 1600 . 【总结升华】 运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知 a 3 m2, b2m3，则 a2 m 3b m 6a 2b 3m b m＝【答案】 － 5；提示：原式a 3 m 2b 2m 3a 3 m2b 2 m2∵∴ 原式＝ 2233 22 32 ＝－ 5.类型三、积的乘方法则4、计算：24（ 2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3] 3（ 1） (2 xy )83m 2 n 变成 83m 82 n (8m ) 3 (8n )2 ，再代. 把 8m , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.．【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行计算 .【答案与解析】解：（ 1） (2 xy 2 )4(1)24 x 4 ( y 2 )4 16x 4 y 8 ．（2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3 ]3 (a 2 )3 ( a 12b 9 )3 a 6 ( a 36 ) b 27 a 42b 27 ．【总结升华】 （ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．① 2x 2y3 36x 6 y9②a 2 m3a6 m③ 3a 633a 9④ 51057 107 35 1035⑤0.51000.5 2 10021012名师总结优秀知识点A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 A；提示：只有⑤正确；2x2 y3 38x6 y9；a2 m 3a6m；3a6 327a18；51057107351012 3.51013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（ a ≠0，m、n都是正整数，并且 m n ）要点诠释：（ 1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（ 2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 .（ 3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即a0 1 （ a ≠0）要点诠释：底数 a 不能为0， 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 .要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n 1（ a ≠0， n是正整数） .a n.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立a m a n a m n（ m 、 n 为整数，a0 ）；ab m a m b m（m为整数， a0 ， b 0 ）a m na mn（ m 、 n 为整数，a0 ）.要点诠释： a n a 0是 a n的倒数， a 可以是不等于0的数，也可以是不等于110 的代数式 . 例如2xy2xy（ xy 0 ），51 b 0）.a b5（ aa b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中 n 是正整数， 1| a |10（ 2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：5（ 1）x8x3；（ 2）( a)3 a ；（3） (2 xy) 5(2 xy)2；（ 4）11333．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．( 2) 、 ( 4) 两小题要注意符号．【答案与解析】解：（ 1）x8x3x83x5．（2）( a)3a a3 1a2．（3）(2 xy)5(2 xy) 2(2 xy)52(2 xy) 38x3 y3．535321 ．（4）111133339【总结升华】（ 1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（ 1）( x y)5( x y)（ 2）(5a 2b)12(2b 5a)5名师总结 优秀知识点（ 3） (3 106 )4 (3 106 )2 （ 4） [( x 2 y)3 ]3 [(2 y x)2 ]4【思路点拨】（ 1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如 (5a 2b)12 (2b 5a)12．（ 2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，而不是 0．【答案与解析】解：（ 1） ( x y) 5( x y)( x y) 5 1 ( x y) 4 ．（2） (5a 2b)12 (2b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a) 5 (2 b 5a)7（3） (3 106) 4 (3 106 )2(3 106) 4 2 (3 106)29 1012 ．（4） [( x 2 y) 3 ]3 [(2 y x) 2 ] 4 (x 2 y)9 ( x 2 y)8 ( x 2 y)9 8 x 2 y ． 【总结升华】 底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知 3m2 ， 3n 4 ，求 9m 1 2n 的值．【答案与解析】解：9m 1 2n 9m 1(32 )m 1 32m 2 32 m3232m32 (3m )2 32 ．92n(32 ) 2n 34n34n(3n )4(3n )4当 3m 2 ， 3n4 时，原式22 32 9 ．44 643m ， 3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数【总结升华】 逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含 的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三： 【变式】已知 2 5m 5 2m ，求 m 的值．【答案】5 m 1解：由 25m 5 2m 得 5m 12m 1 ，即 5m 12m 11，1，2∵底数 5不等于 0和 1，2m 1∴55 ，即 m 1 0 ， m 1 ．22类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）2 ；（ 2） a 2 b3 (a 1b)3( ab) 1 ．3【答案与解析】221 1 9 ； 解：（ 1）3244239（2） a 2b 3 (a 1b)3 (ab) 1 a 2b 3 a 3b 3 aba 0b b ．【总结升华】 要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：4【变式】计算： 2 51 2 1 2 3 2 (3.14)0 ．2【答案】1 4解： 252 1 23 2 (3.14)021 24 1 12 1 1 16 1 1 2 1 252 23 32 2 81 116 1 532817321 1 n 5、 已知 3m， 16，则 m n 的值＝ ________．27 2【答案与解析】解： ∵3m11 3 3，∴ m 3 ．27331n∵2 n ， 16 24 ，∴ 2 n24 ， n 4 ．2∴m n ( 3) 4( 1 1 ．3)4 81【总结升华】 先将11 n变形为底数为3 的幂，2 n ， 16 24 ，然后确定 m 、 n 的值，最后代值求 m n ．27 2举一反三：1 b 2c 3 3【变式】计算： （ 1） ( a 1b 2c 3 )2 ；（ 2） b 2 c 3；2【答案】解：（ 1）原式2 4c 6b 46 ． a b2 ca8b8（2）原式b 2 c3 8b 6 c98b 8 c12 ．12c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数： （ 1） 0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（ 3）-0.000135 ；（ 4） 0.00067【答案与解析】解：（ 1） 0.00001 ＝ 10 5；（ 2） 0.000000203 ＝ 2.03 10 7 ； （ 3） -0.000135 ＝ 1.35 10 4 ；（ 4） 0.00067 ＝ 6.7 10 4 .【总结升华】 注意在 a10 n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】 一. 选择题351.cc 的值是 ( ) ．A.c 8B.15C.c 15D. c 8c2． a na n 2的值是() ．A. a n 3B. a n n 2C. a 2 n 2D. a 83．下列计算正确的是( ) ．A. x 2x 2 x 4B.x 3 x x 4x 7C. a 4 a 4 a 16D.a a 2a 34．下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100 × 102 ＝ 103B. 1000 × 1010 ＝ 1030C. 100 × 103 ＝ 105D. 100× 1000＝ 1045．下列计算正确的是 ( )．A. xy 3xy3B. 5xy225x 2 y 4C.3x22 9x4D. 2 xy2 3 8x 3 y66．若 2a m b n 38a 9b 15 成立，则 ( )．A. m ＝ 6， n ＝ 12B. m ＝ 3， n ＝12C. m＝ 3，n＝ 5D. m＝ 6，n＝5二. 填空题7.若 2m6, 2n 5 ，则2m n＝____________．8.若 a3x a a19，则 x ＝_______．9.已知a3n5，那么a6n ______．10．若a3a m a8，则 m ＝______；若33x181 ，则 x ＝______．11.23______；33______ ；3252n＝ ______ ．12. 若 n是正整数，且 a2n10 ，则 (a3n )28(a2 )2n＝ __________.三. 解答题13.判断下列计算的正误．（ 1）x3x3x6()（2）( y3)2y5( )（ 3）( 2ab2)22a 2b4（）（4）(xy 2 )2xy 4() 14. （ 1）x(x3 )8(x4 )3；（2）( 1 a2b3)3(a3b2 )2；3（3）10 ( 0.3103 ) (0.4 105) ；（ 4）b 2a 32a5；b（5）5a6 23a3 3a3；15. （ 1）若x n x3 n 3x35，求 n 的值．（ 2）若a n b m b 3a9b15，求 m 、 n 的值．【答案与解析】一. 选择题1.【答案】 D；35c 35c88.【解析】c c c2. 【答案】 C；【解析】 a n a n 2a n n 2a2n 2 .3.【答案】 D；【解析】 x2x22x2； x3 x x4x8； a4 a4a8.4.【答案】 C；【解析】 100×102＝104； 1000×1010＝1013；100× 1000＝105 .5.【答案】 D；【解析】3x3 y3； 5xy2225x2 y4； 3x224 . xy9x6.【答案】 C；【解析】2a m b n38a3 m b3 n8a9b15 ,3 m 9,3 n 15 ，解得 m ＝3， n ＝5.二. 填空题7.【答案】30；【解析】 2m n2m2n6530 .8.【答案】6；【解析】 a3x 1a19,3 x119, x 6 .9.【答案】25；【解析】 a6n a3 n 25225 .10.【答案】 5； 1；【解析】 a3 a m a3 m a8,3 m 8, m 5 ； 33x 181 34 ,3 x 1 4, x 1.11.【答案】 64；n9；310；12.【答案】 200；【解析】 ( a3 n ) 28( a2 )2n a2 n 328 a2 n1000 800 200 .名师总结 优秀知识点三 . 解答题 13. 【解析】解：（ 1）×；（ 2）×；（ 3）×；（ 4）× 14. 【解析】 解：（ 1） x ( x 3) 8( x 4 )3xx 24 x 12x 37 ； （2） ( 1a 2b 3 )3 ( a 3b 2 )21 a 6b 9 a 6b 4 ；327（3） 10 ( 0.3 103 ) (0.4 105) 0.3 0.4 10103 105 1.2 108 ；（4） b2a 352a 32a 52a8；2a bb b b （5）5a 623a 3 3 a 3 25a 12 27a 9 a 32a 12 .15. 【解析】解：（ 1）∵ x n x 3 n 3x 35∴x 4n 3x 35∴ 4 n ＋3＝ 35 ∴ n ＝ 8（ 2） m ＝ 4， n ＝ 3解：∵ a n b m 3a 9b 15b∴ a 3n b 3m b 3a 3nb 3 m 3 a 9b 15∴ 3 n ＝9 且 3 m ＋ 3＝15 ∴ n ＝ 3 且 m ＝ 4。
幂的运算知识点总结
第八章 幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅==⋅++数数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：是正整数相加。
即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n n ),m (
知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方⎪⎩
⎪⎨⎧==)()(),(a a a a m n m m n mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。
2、
3、积的乘方⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=(ab)(ab)n n n n n n )(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。
即把每一个因式分别乘方
知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯==⨯=≠=≠=>≠=÷-m nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)0010(02.50000502.0)1-10(96.6696000),0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。
即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。
即同底数幂相除，底数不
),,,0a ()4()()3(),()2(),m ()1(n -m n m n n n n (ab))(n m n m n n m m n a a a b a a a a a a mn n n m m >≠=÷⋅===⋅+是正整数是正整数是正整数是正整数。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
幂的运算知识点总结
aa=aaaaaa
各具有怎样的特点和关系。(同学们展开商量)
m 个 an 个 a
例如：10×10=10×10×10=10
=aaa(m+n)个 a=a
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这就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
所以公式可以表述为：aaa=a(m,n,p 都是正整数)
述乘法性质仍旧成立。
例如：aaa=(aa)a=aa=a
(m,n,p 都是正整数)
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多媒体帮助教学 教学过程： 备注 一、复习与质疑： 上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思索： (1)①a+a=?②a+a=? (2)①进行运算的根据是什么? ②不能继续进行运算的缘由是什么? (3)a 表示什么意思?可写成什么形式?
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用式子表示为：aa=a(m,n 都是正整数)
例 2：计算：
这就是同底数幂乘法的运算性质，依据这一性质，我们就可以将上面
(1)aaa;(2)xxxx
遗留下来的问题进行解决。请同学们将其完成。
解：(1)aaa=a=a
四、 1：(1)aa=a=a
留意：x 的指数是 1，不是 0
有一种电子计算机，每秒钟可以做 10 次运算，那么 10 秒可以做多少
依据这一规律，请计算一下的算式：
次运算呢?
aa=____aa=_____aa=_____
依据题意得：10×10=?
例如：aa=aaaaa=a
要丈量一块长方形地块的长是 5 米，宽是 5 米，求长方形地块的面积?
实数指数幂知识点总结
实数指数幂知识点总结一、实数指数幂的定义实数指数幂是指数运算的一种特殊形式，它是指数和幂的运算。
在数学中，我们知道一个数的乘方是指这个数连乘多次自己，而指数运算是一种简便的表示连乘的方法。
当指数为实数时，就形成了实数指数幂。
其定义如下：对于任意实数a和b，其中a称为底数，b称为指数，实数指数幂定义为\[a^b = e^{b\ln a}\]其中e为自然对数的底，ln表示自然对数。
这个定义其实是一个转换的过程，将实数指数幂转化为自然指数幂来表示，e是一个常数，取值约为2.71828。
二、实数指数幂的性质实数指数幂具有很多重要的性质，包括但不限于以下几点：1. 底数为正实数时，指数运算仍然满足指数运算的基本性质，如相同底数相乘，指数相加，指数相减等。
2. 底数为负实数时，指数运算中需要考虑符号，具体运算时需要注意。
3. 底数为0时，指数为正数时结果为0，指数为负数时结果不存在，需要注意0的指数运算的特殊性。
4. 底数为1时，任何指数幂的结果都是1。
5. 底数为自然对数e时，实数指数幂的运算比较简便，易于计算。
6. 实数指数幂的值域是正实数，即结果大于0。
以上是实数指数幂的一些基本性质，这些性质在实际运算中有很大的帮助，可以简化计算，提高计算效率。
三、实数指数幂的运算规则实数指数幂的运算规则也是实数指数幂的重要内容，在实际应用中需要灵活运用这些规则进行计算。
实数指数幂的运算规则主要包括以下几点：1. 底数相同、指数相加：\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]2. 底数相同、指数相减：\[a^m / a^n = a^{m-n}，a!=0\]3. 底数不同、指数相同：\[a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\]4. 底数不同、指数相同：\[a^m / b^m = (a / b)^m，b!=0\]5. 底数相同、指数相乘：\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]6. 底数相同、指数相除：\[(a / b)^m = a^m / b^m，b!=0\]实数指数幂的运算规则在实际运算中非常有用，可以简化运算，减少出错的可能性。
幂的知识点
幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则 ()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+． 【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+． 【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p pp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=． ∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =． （2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25m x =，求6155m x -的值． 【答案与解析】解：∵ 25m x =，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值． 【答案】解：32323232()()238972a b ab a b x x x x x +===⨯=⨯=． 【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值． 【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则 5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+． （2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅． 【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--． （2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=． （4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值． 【思路点拨】由于已知8,8m n 的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入计算.【答案与解析】 解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8m n 当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ． 【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ；如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-． （2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯． （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值． 【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m n n n n n n n ++++-======． 当32m=，34n =时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．【答案】 解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵ 底数52不等于0和1， ∴ 105522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算 4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷． 【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a ba b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三： 【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭． 【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求n m ． 举一反三： 【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法 6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）． 【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )． A. 3n a + B. ()2n n a + C. 22n a+ D. 8a 3．下列计算正确的是( )． A.224x x x += B.347x x x x ⋅⋅= C. 4416a a a ⋅= D.23a a a ⋅=4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )． A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5 二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319xa a a ⋅=，则x ＝_______． 9. 已知35n a=，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______． 11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______． 12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________. 三.解答题13. 判断下列计算的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( ) （3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-； （3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --； （5）()()2363353a a a -+-⋅； 15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b ba b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ； 【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【答案】C ；【解析】2222n n n n n a aa a ++++⋅==. 3. 【答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=. 6. 【答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】30； 【解析】2226530m n m n +==⨯=. 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x aa x x +=+==. 9. 【答案】25；【解析】()2632525n n a a===. 10.【答案】5；1； 【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【答案】64；9n -；103-；12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=.三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x x x +⋅=∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b b a b ⋅⋅=∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4。
第03讲幂的运算(3个知识点+7种题型+过关检测)(教师版) 24-25学年七年级数学上册(沪教版)
【答案】 -a21 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解： a ×-a5 ×-a6 ×-a7 ×-a2 = a ×-a5 ×-a6 ×-a7 ×a2
= -a × a5 × a6 × a7 × a2 = -a1+5+6+7+2
解得： m = 2 ．
故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握 am ´ an = am+n 的运用．
4．（23-24 七年级上·上海闵行·阶段练习）已知 22x+3 - 22x+1 = 192 ，求 x =
．
5 【答案】
2
【分析】 22x+3 - 22x+1 = 22x ´ 23 - 22x ´ 2 = 6 ´ 22x ，据此即可求解．
第 03 讲 幂的运算（3 个知识点+7 种题型+过关检测）
知识点一．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n 是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p 都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 23 与 25，（a2b2）3 与（a2b2）4，（x﹣y）2 与（x﹣y） 3 等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数” 这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
七年级下册数学《幂的运算》知识点整理
七年级下册数学《幂的运算》知识点整理幂的运算
一、本节学习指导
本节知识是数学中的基础部分，在以后的学习中经常会和其他知识结合起来，单独命题频率也相当高，但基本都很容易，一般是选择题、填空题，同学们要牢牢掌握本节涉及的公式。
本节有学习视频。
二、知识要点
nn 1、幂(power):指乘方运算的结果。
a指将a自乘n次(n个a相乘)。
把a
看作乘方的结果，叫做a的n次幂。
2、对于任意底数a,b，当,，,为正整数时，有:
不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数
n 3、科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10的形式(其中1?|a|,10),这种记数法叫做科学记数法.
注:在科学计数法法中如果a的绝对值一定要小于10并且大于1.
例:用科学计数法法表示:25000000;40000000;
76 分析:第一个数字表示为:2.5×10，注意，这里我们没有表示为25×10，后面这种
7表示方法是错误的。
第二个数字很简单，科学计数法表示为:4×10。
三、经验之谈:
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据(所以要求每个学生都要掌握三个运算法则的数学表达
式(“m、n都为正整数)”和语言表述“同底数幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方”。
在运用时要灵活一些。
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幂的四则运算（知识总结）
一、同底数幂的乘法
运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为：n m n m a a a
+=⋅(m 、n 是正整数)
练习：
a 3·a =_______
a ·a 7—a 4 ·a 4 =____
二、同底数幂的除法
运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。
用式子表示为：n m n m a
a a -=÷。
(0≠a 且
m 、n 是正整数，m>n 。
) 补充：
零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
用式子表示为：)0(10≠=a a ，p
p a a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
练习：
1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）236x x x =÷ （2）m m m =÷4
5
（3）33a a a =÷ （4）224)()(c c c -=-÷- 2、计算： 03，15-，310-，27-，101-，0
)2004( 三、幂的乘方
运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：
()n m mn a a =（m 、n 都是正
整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法
练习：
1、计算：
①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅②()()()3
2212m n m a a a a -⋅-⋅ 2、下列各式的计算中，正确的是（ ） A.()235x
x = B.()236x x = C.()2121n n x x ++= D.326x x x ⋅= 补充：
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
幂的运算 指数运算种类 同底数幂乘法
乘法 加法 幂的乘方
乘方 乘法
四、积的乘方
运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为：()n n n b a b a ⋅=⋅(n
是正整数) 扩展
p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp p n m b a b a = (m 、n 、p 是正整数) 提高训练
1.填空
(1) (1/10)5×(1/10)3 =
(2) (-2 x 2 y 3) 2 =
(3) (-2 x 2) 3 =
(4) 0.5 -2 =
(5) (－10)2×(－10)0×10-2 =
2.选择题
(1) 下列说法错误的是.
A. (a －1)0 = 1 a ≠1
B. (－a )n = － a n n 是奇数
C.n是偶数, (－a n ) 3 =a3n
D. 若a≠0 ,p为正整数, 则a p =1/a -p
(2) [(-x) 3 ] 2·[(-x) 2 ] 3的结果是( )
A.x-10
B. - x-10
C. x-12
D. - x-12
(3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )
A. 1.5
B. 6
C. 9
D. 8
3.计算题
(1) (-1/2) 2÷(-2) 3÷(-2)–2÷(∏-2005) 0 = =
(2) (-2 a) 3÷a -2 =
(3) 2×2m+1÷2m=
(4) 已知:4m= a , 8n = b ,
求: ①22m+3n的值.
②24m-6n的值.
4．判断正误
（1）a n·a n=2a n；(2) a6+a6=a12；(3) c·c5=c5；
(4) 3b3·4b4=12b12；(5) (3xy3)2=6x2y6。