北师版数学八年级下册课时练 第一章 三角形的证明 专项3 构造等腰三角形的常用方法

北师版数学八年级下册第一章三角形的证明

类型1利用平行线构造等腰三角形

1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BD＝EC，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF.

证明：如图，作EG∥AB交BC于点G，则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D，∠DBF＝∠EGF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG.

∵CE＝BD，∴BD＝GE.

∴△DBF≌△EGF(ASA)，

∴DF＝EF.

2．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.

(1)若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE；

(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论．(提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F)

解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC.

∵D为AC的中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC.

∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°.

∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，

∴CD＝CE.∵AD＝DC，∴AD＝CE.

(2)AD ＝CE .

证明：如图2，过点D 作DF ∥BC ，交AB 于点F ，

则∠ADF ＝∠ACB ＝60°.

∵∠A ＝60°，∴△AFD 是等边三角形，

∴AD ＝DF ＝AF ，∠AFD ＝60°，

∴∠BFD ＝∠DCE ＝180°－60°＝120°.

∵DF ∥BC ，∴∠FDB ＝∠DBE ＝∠E .

在△BFD 和△DCE 中，⎩⎨⎧∠FDB ＝∠E ，

∠BFD ＝∠DCE ，BD ＝DE ，

∴△BFD ≌△DCE ，∴CE ＝DF ＝AD ，即AD ＝CE .

类型2 利用角平分线及垂线构造等腰三角形

3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.

证明：如图，作CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E .∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形．又∵DE ⊥BC ，∴BC ＝2CE .又BC ＝2AC ，∴AC ＝EC ，∴△ACD ≌△ECD ，∴∠A ＝∠DEC ＝90°.

类型3 利用倍角关系构造等腰三角形

4．已知AD 是△ABC 的角平分线，∠ABC ＝2∠C .求证：AB ＋BD ＝AC .

证明：如图，在边AC 上截取AP ＝AB .∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠P AD .又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△APD (SAS)，∴∠APD ＝∠B ，PD ＝BD .∵∠B ＝2∠C ，∠APD ＝∠PDC ＋∠C ，∴∠PDC ＝∠C ，∴PD ＝PC ，∴AB ＋BD ＝AC .

类型4 利用截长补短法构造等腰三角形

5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)

解：方法1(截长法)：如图1，在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，则CE＝AB＝AE.∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°.∴∠C＝20°.

方法2(补短法)：如图2，延长DB至点F，使BF＝AB，

连接AF，则AB＋BD＝DF＝CD.∴AF＝AC，∠C＝∠F＝1

2∠ABC.

∵∠BAC＝120°，

∴∠ABC＋∠C＝∠ABC＋1

2∠ABC＝60°.∴∠ABC＝40°，∴∠C＝20°.

6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.证明：BF＝2CD.

证明：如图，延长BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠DBC＝∠DBE，∠BDC＝∠BDE＝90°.

又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.

又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，

∴∠ABF＝∠ACE.

又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，

∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.

∴BF＝2CD.