高中全程复习(文科数学)大题规范满分练(一)

大题规范满分练(一)

函数与导数综合问题

1.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f=.

(1)求曲线y=f在点处的切线方程.

(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.

【解析】(1)f(x)的定义域为R,

f′(x)=,

显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,

所求切线斜率为k=f′(0)=2,

所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),

即2x-y-1=0.

(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,

当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,

由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,

x,f′(x),f(x)的关系如表:

x - 2 (2,+∞)

f′(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘

极小

值↗

极大

值

↘

①若x∈(-∞,2],f(x)≥f=-,又因为a≥1,

所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,

②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,

所以f(x)=>0,f(x)+e≥0,

综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.

方法二(充要条件):

①当a=1时,f(x)=.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,

h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,

x,h′(x),h(x)的关系如表:

x (-∞,-1) -1 (-1,+∞)

h′(x) - 0 +

h(x) ↘极小值↗

所以h(x)有最小值h(-1)=0,

所以h(x)≥0,即f(x)+e≥0.

②当a>1时,由①知,≥-e,又显然ax2≥x2,

所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=≥≥-e,即f(x)+e≥0.

综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.

方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.

当x≠0时,f(x)+e≥0等价于≥-e,

等价于ax2+x-1≥-e·e x,

即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥=k(x),等价于k(x)max≤1.

k′(x)=,

令k′(x)=0得x=-1,2.

x,k′(x),k(x)的关系如表:

x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,2) 2 (2,+∞) k′(x) + 0 - + 0 - k(x) ↗极大值↘↗极大值↘

又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,

所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,

综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.

2.已知函数f(x)=e x-a(x-1),其中a>0,e为自然对数的底数.

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.

【解析】(1)因为f′(x)=e x-a,因为a>0,

由f′(x)=0得,x=ln a,

所以当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,

f(x)单调递减;

当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

综上可得,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).

(2)因为a>0,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,

得b≤f(x)min,

因为f(x)min=f(ln a)=2a-aln a,

所以b≤2a-aln a.

所以ab≤2a2-a2ln a,

设g(a)=2a2-a2ln a(a>0),

所以g′(a)=4a-(2aln a+a)=3a-2aln a,

由a>0,令g′(a)=0,得ln a=⇒a=,

当a∈0,时,g′(a)>0,g(a)单调递增;

当a∈,+∞时,g′(a)<0,

g(a)单调递减,

所以g(a)max=,即ab的最大值为,

此时a=,b=.

3.已知函数f(x)=4aln x-ax-1.

(1)若a≠0,讨论函数f(x)的单调性.

(2)若函数f(x)>ax(x+1)在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)依题意,f′(x)=-a=,

若a>0,则函数f(x)在(0,4)上单调递增,

在(4,+∞)上单调递减;

若a<0,则函数f(x)在(0,4)上单调递减,

在(4,+∞)上单调递增.

(2)因为f(x)>ax(x+1),

故4aln x-ax2-2ax-1>0,①

当a=0时,显然①不成立;

当a>0时,①化为:<4ln x-x2-2x;②

当a<0时,①化为:>4ln x-x2-2x;③

令h(x)=4ln x-x2-2x(x>0),则

h′(x)=-2x-2=-=-,所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0,x∈(1,

+∞)时,h′(x)<0,

故h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,

所以h(x)max=h(1)=-3,

因此②不成立,要③成立,只要>-3,a<-,所以所求a的取值范围是-∞,-.

关闭Word文档返回原板块