中国邮递员问题 ppt课件

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中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法(1962年)
Edmonds,Johnson(1973年)给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题,可以采用奇偶 点图上作业法:如果在配送范围 内,街道中没有奇点,那么他就 可以从配送中心出发,走过每条 街道一次,且仅一次,最后回到 配送中心,这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中, 要求增加一些重复边,使新图不含奇点,并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行(重复边)方案,使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定? 在确定一个可行方案后,怎么判断这个方案是
否为最优方案? 若不是最优方案,如何调整这个方案?
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长,中国运 筹学会第一、二届常务理 事,山东省数学学会第四 届副理事长,山东省运筹 学会第一届副理事长,山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究,对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(Fleury算法,1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”.
即若已选定迹 W iv0e1v1e2 eivi, 从G Wi 中选 取下一条边e i 1 使得e i 1 与 v i 相关联, 且e i 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
奇点:那个点的角度来看,数有多少条线从连接着那 个点,如果连接那个点的线的数量是奇数条,那这个 点就是奇点,反之,就是偶点。
在一个多重边的连通图中,从某个顶点 出发,经过不同的线路,又回到原出发 点,这样的线路必是尤拉图,即能一笔 画出的图必是尤拉图。
中国邮递员问题
定理:连通的多重图G是尤拉图,当且仅 当G中无奇点。
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G(V,E)中,求一 条回路,使该回路包含G中的每条边至少 一次,且该回路的权最小.(称此回路 为最优回路或者中国邮路)
中国邮递员问题
如果中国邮递员问题中的图是欧拉 图,那么欧拉回路就是最优回路。
一般情形下(不是欧拉图),最优 回路包含某些边至少两次。这时求最优 回路的思想是:在图G中添加一些重复边 使新图G*成为欧拉图,且使得所有添加 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 路得到G的最优回路。
定理:任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
推论:连通的多重图有尤拉链,当且仅 当图中有两个奇点。
中国邮递员问题
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
中国邮递员问题
对于有奇点的街道图,该怎么办呢? 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
中国邮递员问题
如图所示。
v1 2 v3
5 v5
3
4
26 8
v2
4 v4
4 v6
如果在某条路线中,边[vi,vj]上重复走几次, 我们就在图中vi,vj之间增加几条边,令每条 边的权和原来的权相等,并把所增加的边,称 为重复边,于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
中国邮递员问题
中国邮递员问题
(Chinese Postman Problem)
中国邮递员问题
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
中国邮递员问题
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里,有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发,恰好通过每座桥一 次,再回到起点?
一笔画问题:从某一点开始画画,笔不离纸, 各条线路仅画一次,最后回到原来的出发点。
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足:从图中任何一点出 发,途径每条边,最终还能回到出发点?
试想:一个图应该满足什么条件才能达到上面要 求呢?
中国邮递员问题
凡是能一笔画出的图,奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题, 奇点的个数必是0。
欧拉于1736年研究并解决了 此问题, 他用点表示岛和陆
地,两点之间的连线表示连 接它们的桥,将河流、小岛 和桥简化为一个网络,把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文,证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
中国邮递员问题
举个例子
车辆从某配送中心 (v1)出发,给街道
v1 2
边上的超市
5
(v2,v3,v4,vຫໍສະໝຸດ ,v6,v7,v8,v9)送货,如 图1所示。
v2 6
5
9 v3
v8 4
3 v9 4
4 4
v4 图1
v7 3
v6 4
v5
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显然街区图上有奇点(4个),不满足“一笔画” 的条件,则必然有一些街道要被重复走过(添 加重复边)才能回到原出发点。此时得到的图 就无奇点。
上述两算法都是在连通欧拉图中求欧拉 回路的算法.
中国邮递员问题
一个邮递员送信,要走完他负责投递的 全部街道,投完后回到邮局,应该怎样 走,使所走的路程最短?
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的,因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中,经常会遇到 这样的问题,如:每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
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