高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限

n(n 1) 2!
1 n2
n(n 1) (n n 1) 1
n!
nn
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
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类似地：
an1
(1
1 )n1 n 1
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )
2! n 1
n! n 1 n 1
1
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证： 0, 1,2 0
当0 x x0 1时,有 g(x) A
当0 x x0 2时,有 h(x) A 取 min{1,2} 0
当0 x x0 时, 有A- g(x) f (x) h(x) A .
即 f (x) A . lim f (x) A xx0
x0 2
x0
limcos x 1, x0
lim sin x 1. x0 x
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例3： 求 lim sin 3x . x0 sin 2x
解： lim sin 3x
sin 3x 3x lim 3x
x0 sin 2x x0 sin 2x 2x
lim sin 3x x0 3x
2x
A1＝A0＋rA0 ＝ A0(1＋r)
如果一年分两期结算，每期利率为r/2，且前一期的本 利和作为后一期的本金，则一年末的本利和为：
A2
A0 (1
r) 2
A0 (1
r) 2
r 2
A0 (1
r )2 2
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如果一年分n期结算，每期利率为r/n，且前一期的本 利和作为后一期的本金，则一年末的本利和为：
lim
n
an
2.
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2.6.2 两个重要极限 1、 lim sin x 1
x0 x
设OA,OB是单位圆的半径,
圆心角AOB x, (0 x )
2 过A的切线与OB的延长线交于C,
则AOB的面积=
1 2
OA
BD=
1 2
OA
OB sin
x
扇形AOB的面积=
1 2
OA
2
x
AOC的面积=
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第五节 极限存在性定理与两个重要极限
2.5.1 极限存在性定理
定理 : (夹逼定理) 设在x0的某空心邻域内恒有：
(1) g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A
x x0
x x0
那末极限 lim f (x) A 存在. xx0
1 2
OA
AC=
1 2
OA
OA
tan
x.
C
B
o
x
D
A
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则 sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
上式对于 x 0也成立.
2
当
0
x x
时,
2
0
1 cos
x
2 sin 2
x 2
2
x 2
2
x2 2
x2 lim 0,
lim(1 cos x) 0,
a1 a2 an an1 ,单调减少
单调数列
定理（单调有界定理）单调有界数列必有极限.
几何解释:
a1 a2 a3 a4 … an A M
x
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例2：证明数列 an 2 2 2 (n重)的极限存在. 证： an1 2 2 2 2
2 2 2 0 an
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n 1
(1 n 1) n 1
显然 an1 an , an是单调增加的 ;
an
11
1 2!
1 11 1
n!
2
1 2n1
3
1 2n1
3
an 是有界的 ;
lim
n
an
存在.
记为
lim
n
1
1 n n
e
(e 2.71828 )
1 ). n2 n
1
n
n2 n
, n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1
n
lim n lim 1 1
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
4
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考研题欣赏
（2000年3，4）设对任意的x，总有
lim 3x
3
lim sin 2x x0 2x 2
x0 2x
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一般地有：
设α、β、α／、β／在某个极限过程中是无穷小，且α~ α／， β~ β／。则：
lim
lim(
/
/
/ /
)
lim
/
lim /
lim
/ /
lim
/ /
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例4： 求 lim 1 cos x .
x0
解：
lim
x0
1
cos x2
x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
令：t x 2
lim
t0
2 sin 2
2t 2
t
1 2
lim
t0
sin t
t
2
1 2
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一般地有：
设α在某个极限过程中是无穷小，则：
lim sin
令t
lim
sin
t
1
t0 t
称为变量替换法，实际上是复合函数求极限。
x x
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考研题欣赏
（2005年3，4）极限
lim
x
x
sin
1
2
x x2
2x
lim x sin
x
1 x2
lim
x
sin
1 2
2
x
x x2
2x2 1 x2
2
1 x2
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2、
lim
x
1
1 x x
e
先求
lim
n
1
1 n
n
an
(1
1 )n n
1
n百度文库1!
1 n
g(x) f (x) h(x),且 lim h(x) g(x) 0, x x0
则 lim f (x) x x0
（A）存在且一定等于0。
（B）存在但不一定等于0。
（C）一定存在。
（D）不一定存在。
答案: D
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设有数列{an} ： 如果｜an｜≤M , 则称{an}有界。
a1 a2 an an1 , 单调增加
an 是单调递增的
an 2 2 2 2 2 2 22 2
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an 是有界的
lim
n
an
A
存在.
又 an1 2 2 2 2 2 an
即
a2 n 1
2
an ,
于是
lim
n
a2 n1
lim(2
n
an ),
A2 2 A, 解得 A 2, A 1 (舍去)
lim
x
1
1 1 [x] 1
e
lim
x
1
1 x
x
e.
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令 t x,
lim
x
1
1 x
x
lim
t
1
1 t
t
lim
t
1
t
1
t
1
lim
t
1
t
1
1
t
1
1
t
1
1
e.
lim
x
1
1 x
x
e
令 t 1, x
lim(1
x0
1
x) x
lim
t
1
1 t
t
e
1
lim(1 x) x e
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当 x 1 时, 有 [x] x [x] 1,
1
[x]
1
[
x]
1
1
1 x
x
1
[ x]1
1
[
x]
,
而
lim
x
1
1 [x]
[ x]1
lim
x
1
1 [x]
[ x]
lim
x
1
1 [x]
e
lim
x
1
1 [ x] [x] 1
lim
x
1
1 [ x]1 [x] 1
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例5： 求 lim cos x cos a . xa x a
解：
cos x cos a lim xa x a
2sin x a sin x a
lim
2
2
xa
xa
lim
sin
x
2
a
( sin
x
a)
xa x a
2
2
1 (sin a a ) sin a 2
lim sin x ?
x0
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例6:
求
lim
x
1
1 x
x
.
解:
lim
x
1
1 x
x
lim
x
1
1 x
x
1
1. e
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例7:
求
lim
x
3 2
x x
2
x
.
解一:
lim
x
3 2
x x
2x
lim
x
1
x
1
2
x2
2
1
1
4
x 2
e2.
另解:
2x
lim
x
3 2
x x
2
An
A0 (1
r )n n
令n→∞，则表示利息随时计入本金，这样， 一年后 其本利和为：
lim
n
A0 (1
r )n n
lim
n
A0
(1
rn )r
n
r
A0e r
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2
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如果数列 xn , yn及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
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例1： lim( 1 1 n n2 1 n2 2
解：
n 1
n2 n n2 1
x
lim
x
1
x
1
2
x2
x2
e2.
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例8: 求 lim(1 sin x)cot x. x0
解:
lim(1 sin x)cot x
x0
lim
x0
(1
sin
x)
1 sin
x
cosx
e
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例9:连续复利问题
设有一笔本金A0存入银行，年利率为r，则一年末结算时， 其本利和为：