人教版高中数学选修2-2(理)推理与证明

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_高中数学第二章推理与证明2

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(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相加得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版选修2-2
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=，展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式：（1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值；（2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。

高中数学PPT课件-综合法和分析法

•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是 b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-

人教版高中数学选修2-2《推理与证明小结》

3．平面图形与空间图形,圆与球中，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：
平面图形点直线边长面积三角形线线角空间图形直线平面面积体积四面体面面角
第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5 －1)＋1个圆圈；……
由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝ (n2－n＋1)个圆圈．
归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
方法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；
第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有 3×(3－1)＋1个圆圈；
第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有 4×(4－1)＋1个圆圈；
（3）类比推理问题例4.(1)在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？【提示】四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？【提示】四面体的体积等于底面积与高的积
2．已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式) 中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式) 中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论．

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（） A ．AB ．BC ．CD ．D4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．16．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（） A ．aB ．bC ．cD ．d10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）．（1）求证：1+≠n n a a ；（2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．设a ，b 均为正数，且ab ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2）a b a b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【分析】结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快；开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快；开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快；综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142，故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯，第2行的从右往左第一个数为：032⨯，第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ，表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n -；由n=k ，末项为121k-到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+， ∴应增加的项数为2k ．故选C ．9．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是cc ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A. 点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．10．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线．故选C ．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=；据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1，第2个等式开头为2，第3个等式开头为3，第4个等式开头为4，则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数，第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数，则第n 个等式左侧有2n -1个数，据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9，第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49，则第n 个等式右侧为()221n -，据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案．【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217；故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

高中数学选修2-2推理与证明合情推理

2.1.1合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.
知识点一推理的定义与结构形式
1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的
思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌
握的未知知识.
2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.
思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？
(2)推理一般用哪些关联词？
答案(1)不一定完全可靠.
(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所
以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”．
知识点二归纳推理与类比推理
定义特征一般模式思维过程
归纳推理由某类事物的部分对象具
有某些特征，推出该类事物
的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实
概括出一般结论的推理
归纳推理是
由部分到整
体、由个别到
一般的推理
S1具有性质P
S2具有性质P……
S n具有性质P(S1，S2，…，
S n是A类事物对象)
所以A类事物具有性质P
实验观察→
概括推广→
猜测一般性
结论
类比推理由两类对象具有某些类似
特征和其中一类对象的某
类比推理是
由特殊到特
A类事物具有性质a，b，c，
d
观察、比较
――→
联想、类比
1。

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第2章《推理与证明》综合检测(含答案)

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D. 4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( ) A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”C ．“若a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 [答案] C[解析] A 中“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件，故A 错；B 中“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；C 正确；D 中p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错． 5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．故命题对任何k ∈N *都成立．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A ．13B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设n ∈N ＋[解析] 记f (n ) 则f (1)＝11－2＝3，f (2)＝1111－22＝1089＝33，f (3)＝111111－222＝110889＝333.猜想f (n )＝333…3n个. [点评] f (n )＝333…3n个可证明如下： ∵111…12n 个＝19(102n －1)，222…2n 个2＝29(10n －1)，令10n ＝x >1，则f (n )＝19(x 2－1)－29(x －1)＝19(x 2－2x ＋1)＝13(x －1)＝13(10n －1)，即f (n )＝33…3n个. 19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2 ∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k， ① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项 D ．第11项[答案] B [解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n －1)×3得n ＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案] 丙[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a 、b 、c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________． [答案] ②③[解析] (a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立，其左边为平行于c 的向量，右边为平行于a 的向量，即命题(1)不正确；由a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，则数列{a n ＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＋2＝2n ，即a n ＝2n －2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明；综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 5．已知a 是正整数，且a 3是偶数，求证：a 也是偶数．[分析] 已知a 3的奇偶性研究a 的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a 的奇偶性研究a 3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明] 假设a 不是偶数，则a 必为奇数，设a ＝2k ＋1(k ∈N )，则a 3＝(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1，由于k ∈N ，所以4k 2＋6k 2＋3k ∈N ，故2(4k 3＋6k 2＋3k )是偶数，2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1为奇数，即a 3为奇数，这与a 3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a 也是偶数．6．我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n . ② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．。

2021_2022年高中数学第二章推理与证明1

面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．
④平面上，“在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 将三角形分成两部分的面积比SS△ △ABEECC＝ABCC”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥 A－BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－CD－B，且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比 VA－CDE＝S△ACD”． VB－CDE S△BDC
• 1．类比推理 • 由两类对象具有某些__类__似____特征和其中一类对象的某些
_已__知__特__征_____，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊____到 __特__殊____的推理． • (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
牛刀小试
• 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“ 锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B说法都不对
• [答案] B
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
• [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
• 弦 ↔ 截面圆， • 直径 ↔ 大圆， • 周长 ↔ 表面积， • 圆面积 ↔ 球体积， • 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.

人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质

例.已知a、b、c 为不相等正数，且abc 1， 1 1 1 证求：a b c . a b c
a、b、c 为不相等正证法2 :
数，且abc 1，
1 1 1 a b c bc ca ab
1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c c a a b . 2 2 2 a b c
2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，矛盾最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
基础知识梳理
（一）.综合法例.已知a、b、c 为不相等正数，且abc 1，
1 1 1 证求：a b c . a b c
06 0 6 成立.
a - 5 - a - 3 a - 2 - a 成立.
（三）反证法
例：已知a>0,b>0,且a+b>2,
1 b 1 a 求证: a , b
中至少有一个小于2.
分析命题中有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.
B
O
O
D
C
例3：用三段论证明函数y＝－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．证明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x＋2x2) ＝(x2－x1)(x2＋x1－2). 因为x1<x2，所以x2－x1>0；因为x1<x2≤1，所以x2＋x1－2<0. 因此，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1] 上是增函数.
证法1: a、b、c 为不相等正数，且abc 1，

高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件

1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出判断.
5. 三段论大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第二章小结
本章小结
知识要点例题选讲
复习参考题自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的求 a2, b2 时解方程组的思想)

高中数学选修2-2推理与证明

高中数学选修2-2推理与证明
推理与证明是高中数学选修课的重要组成部分。

由于高中生往往拥有非常有限的数学基础，因此学习推理与证明往往可能会比较困难。

学习推理与证明时，首先需要建立正确的几何空间概念，理解如何正确地绘制几何图形，进而学习如何确定几何对象的形状和大小，以及如何使用几何图形的特性来解决问题。

其次，要学习如何从给定的数学定义或公式中发现与几何推理和证明相关的定理。

学习上述概念并不容易，但一旦熟练掌握之后，学习者就可以以正确的方式证明和推理几何数学定理。

此外，学习者还需要学会如何构建论证，通过比较分析几何关系来推导证明结果。

另外，学习者还需要学习利用经典几何定理和性质（如三角形不等式）这些定理，从而推导出结论并证明这一结论的准确性。

总的来说，学习推理与证明要求学习者有坚实的数学基础知识，需要学习者对几何空间概念有深入理解，并学习构建论证的基本方式，还需要学习者的思维逻辑能力和分析能力尤为重要。

人教A版选修2-2《数学选修2-2》推理与证明

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件Ｂ.必要条件Ｃ.充要条件Ｄ.等价条件 3、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //cB.同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .C.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.5、(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,则可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212l Ｃ.12rl Ｄ.不可类比8、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 9、观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A.2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C.2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D.2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )A.22009B.22010C.20092010+D.20092010⨯12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .15、已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文已知:23150sin 90sin 30sin 222=++2223sin 10sin 70sin 1302++=23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BDBC =·;若类比该命题,如图(2),三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数a b cd ，，，满足1a b c d +=+=,1ac bd +>,求证a b c d ，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+∈≠N n m n m ,则m n ma nba m n+-=-”.现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列,且,a b m =b b n =),,(+∈≠N n m n m.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在A 上定义一个运算,记为,对于A 中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=(,)ad bc bd ac +-.(1)计算:)3,2()4,1(-;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A 中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有α=I I αα=成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A 由分析法的定义知A 正确.3.B 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.4.D 若向量b =0,则a //c 不正确;空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确; 方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,得222x y z r ++=,D 正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p6.Ｃ由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A 表示“︱”,B 表示“□”,C 表示“－”,D 表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++ (1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010⨯.12.C 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .13.32 1547,1220,91120,6511,325=-=-∴=-=-=-x x ,∴32x =14.一般不等式为:1111()23212n n n *++++>∈-N . 15.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n +++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首项,2d为公差的等差数列. 16.2()22n f n n +=+ 22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1=+==+==+=a a a 1211113(1)11(1)(1),22222f a =-=-=-+=⨯ 同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233f a a =--=--=⨯⨯⨯123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344f a a a =---=---=⨯⨯⨯⨯⨯∴222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311n n =-+-+⋅⋅⋅-+++ 1324322 (223341122)n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ 17.解:一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题.证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交BC 于E ,连结AE ,则有DE BC ⊥.因为AD ⊥面ABC ,,所以AD AE ⊥. 又AM D E ⊥,所以2AE EM ED =·. 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····. 19.证明:假设a b c d ，，，都是非负实数,因为1a b c d +=+=, 所以a b c d ，，，[01]∈，,所以2a c ac ac +≤≤,2b cbd bd +≤≤, 所以122a cb dac bd ++++=≤, 这与已知1ac bd +>相矛盾,所以原假设不成立,即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数. 20.解:(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 21(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k21, 当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k ∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n21都成立. 21.解:(1)因为在等差数列{a n }中,由等差数列性质得⎩⎨⎧+=+=++mda a nda a n n m m n m ,又,m n a a ab ==,∴m n m n a a nd a b md++=+⎧⎨=+⎩,得m n m n ma ma mndna nb mnd ++=+⎧⎨=+⎩,两式相减得()m n m n a ma nb +-=-, ∴m n ma nb a m n+-=-.(2)在等比数列{}n b 中,由等比数列的性质得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=++mn n m nm n m qb b qb b , 又,m n b a b b ==, ∴n m n m m n b a q b b q ++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,得m m mnm n n n mnm n b a q b b q++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,两式相除得m m nm n n a b b -+=, ∴mm n m nn a b b-+=.22.解:(1))3,2(⊙)14,5()4,1(=-. (2)交换律:αββα=,证明如下:设(,)a b α=,(,)c d β=,则αβ=(,)ad bc bd ac +-,βα=(,)c d (,)a b =(,)cb da db ca +-=(,)ad bc bd ac +-.∴αββα=.(3)设A 中的元素(,)I x y =,对A α∀∈,都有α=IIαα=成立,由(2)知只需I ⊙αα=,即),(y x ⊙=),(b a ),(b a (,)(,)bx ay by ax a b ⇔+-= ①若)0,0(=α,显然有I ⊙αα=成立; ②若)0,0(≠α,则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩,∴当对A α∀∈,都有α=IIαα=成立时,得(0,0)I =或(0,1)I =,易验证当(0,0)I =或(0,1)I =时,有对A α∀∈,都有α=IIαα=成立∴(0,0)I =或(0,1)I =.。

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人教版高中数学选修2-2(理)推
理与证明
选修2-2(理) 选修1-2(文)
推理与证明
一
二三
作用地位
结构体系教学建议
（一）课时安排
（二）知识解读（三）问题探讨
一
作用地位
问题一为什么要将《合情推理》写进课标教材？问题二证明方法在大纲教材里基本上是分散的，为什么要将它们整合在一块？
第二,类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能，是一种具有创造性的推理. 第三, 用集合论的观点解释.
A
P Q
B
P Q?
例1 探测火星是否有生命,科学家把火星与地球作类比.
如果没有类比推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.----波利亚
说明: 第一,演绎推理是一种必然性推理，只要大前提是正确的，小前提是正确的，且推理形式正确，则结论必定是正确的。引起结论错误的有三种情况： ①大前提错误； ②小前提错误; ③ 推理形式错误。
例4
三段论例子
大前提: 高风中学是一所省二级重点中学，小前提小前提: : 结论: 结论: 张某是高风中学的教师，张某不是高风中学的教师，张某是一位省二级重点中学的教师。张某不是一位省二级重点中学的教师。
教学功能 • 是归纳与引领 • 培养创新精神 • 教性的归纳科学。 ------波利亚
二
结构体系
推理分类
演绎推理论证推理完全归纳推理逻辑推理归纳推理不完全归纳推理类比推理
观察、实验非逻辑推理比较、猜想灵感、顿悟
合情推理
二
结构体系
三
教学建议 (一)课时安排(约8课时)
2.1.1 2.1.2 2.2.1 2.2.2 2.3
合情推理演绎推理综合法和分析法反证法数学归纳法(文科无) 小结
1课时； 2课时； 2课时； 1课时； 1课时； 1课时。
三
教学建议 (二)知识解读
例5
3、如何理解合情推理中的“合情”？
合情推理是根据已有的事实，经过观察，分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，通俗地讲，是指“合乎情理”的推理．
4、数学归纳法是归纳法还是演绎法?
观点一数学归纳法是一种演绎法.
观点二数学归纳法是数学归纳——演绎法. “ ,已明确指 “早在五十年代的苏联的教学法书籍中从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发 “按现代逻辑的观点 ,将前提与结论之间有必然性联出数学归纳法是演绎法的特殊形式，八十年代的中展了的形式 ,其严密性与演绎推理相同” .（平辛伦. 系的推理称为演绎推理 , 则数学归纳法当然是一种演绎国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点，数学归纳法史述,数学教学,1995,1）法 . 但是我们还应看到数学归纳法中是以有限的步骤去 , 不能不令人遗憾，如实地确认数学归纳法是演绎法概括无穷多个结论 , 那就有归纳的成分. 因此可以说 ,数大有助于提高这一部分的教学质量。” (重庆师范学归纳法的实质是数学归纳 ——演绎法”(赵龙山.有关学院唐以荣教授)
《证明》教学中的几个注意点：
教学应以具体问题的讲练为主，让学生掌握方法，体会书写，培养思维，学以致用为主。
(三)问题探讨 1、怎么论证你所猜想的命题是错误的？
• 找反例
• 如何找反例？
（1）利用特位构建;（2）利用特值构建;（3）利用特形构建参阅《合理构建反例七则》《数理天地》 05年第12期
2、如何确定类比对象?
就形式而言, • 平面与空间之间的类比规律: 由条件的相似类比结论的相似; 由命题结论的相似类比推理方法的相似 …… 平面中的点----空间中的点或线；就内容而言 , ----空间中的线或面；平面中的线形与形类比；数与数类比；数与形类比, 式与式类比；平面图形----平面或空间图形数与式类比; 运算类比；低维与高维(平面与空间类比); 有限与无限类比; 抽象与具体的类比……
第二,以实际问题与已学问题为主要素材展开教学，教学时可以通过实例来归纳相应的方法，然后再通过实例体会方法，应用方法; 第三,要控制难度，体现新课程螺旋上升的特点.
2
证明
• 分析法和综合法 “两头挤”
2.1 直接证明
• 数学归纳法难点：在第二步中，为什么能在假设下进行证明？
2.2 间接证明
• 反证法（体现一种正难则反的思想）
S
A
B
1.2 类比推理
(1)定义：在两类不同的对象之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其他方面也可能存在相同点的一种推理模式。(特点：由特殊到特殊) (2)思维过程：（“三步曲”）
实验、观察
联想、比较
猜想新的结论
(3)难点:类比对象的确定
说明:
第一,掌握归纳推理特点，了解思维过程“三步曲”.
• 类比的风险
例2
E
G D
例3
1.3 演绎推理
（1）定义：从一般性的原理(包括定义、公理、定理等)出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.（特点:由一般到特殊）（2）模式：三段论（大前提、小前提、结论）. （3）作用：演绎推理具有证明结论作用，整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.
说明: 第一, 只要大前提是正确的，小前提是正确的, 且推理形式是正确的，则结论必定是正确的。第二,有些数学命题的演绎证明过程实质是一连串三段论的有序组合, 只是为了简洁,往往略去大前提或小前提. 第三,集合论的观点解释：
M是P S是P
推理教学的三个注意点：
第一,合情推理与演绎推理并重，不追求对概念的抽象表述，但要理解各种推理的特点；
1
推理
1.1 归纳推理
(1)定义:从个别事实中概括出一般结论的推理模式。（特点：由特殊到一般）
(2)分类：完全归纳与不完全归纳。
(3)思维过程：（“三步曲”）
实验、观察概括、推广猜测一般性结论
说明: 第一,掌握归纳推理特点，体会思维过程“三步曲”. 第二,不完全归纳法的结论未必正确，但有发现新结论、探索解决问题的作用. 第三,用集合论的观点解释.