广义相对论_ppt02

N维空间中的张量：
标量：n0个分量； 一阶张量：n1个分量； 二阶张量：n2个分量； 高（m）阶张量：nm个分量。
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混合张量：既有逆变指标又有协变指标。最低阶的混合张量为二阶， 变换规则如下 一般讲，一个张量可有p个逆变指标，q个协变指标，即有形式 称它为（p,q）阶张量。 对称张量：一个二阶的或者更高阶的逆变张量或协变张量，如果由任 何两个指标相互对调而产生的两个分量都是相等的，那么就说它是对 称的。 反对称张量：分量都是反号等值的。 在16个分量 当中，有四个分量 等于零；其余的都一对对反 号等值，这样就只存在6个数值上不同的分量（六元矢量）。同样， 三阶的只有四个不同的分量，四阶的只有一个分量。在四维时空连续 区内，不存在高于四阶的反对称张量。
因为在上面方程中
是任意地自由选定的，由此得到变换规则
（2.1.2）
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2.wk.baidu.com 二阶和更高阶的张量
逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积 和 来构造所有16
（2.1.3）
那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则
（2.1.4）
凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量
张量的内乘：外乘后再缩并。如
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2.3 矢量的平移和仿射联络
若给定一张量场，对不同两点的张量进行加减是进行张量微分运算的 基础。而在曲线坐标系中张量的代数运算必须在同一点进行，对不同 点的张量如何进行加减运算？ 为使微分运算不破坏张量性质，引入一种新的操作，称张量的平移。 为实现张量平移所要的新概念就是仿射联络。 下面以协变矢量的平移来引入仿射联络：
（2.1.1）
来变换的，称为逆变四元矢量。
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2.1 逆变和协变四元张量
协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量 ，有四个量 ，使
不变量（标量）
则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程
右边的
代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到
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二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量
.
逆变四元矢量 线元由四个“分量”
来定义的，这些分量的变换规则
这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量。 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则
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仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
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。引力场也是同样的方法描述。
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2.5
引力
（2.5.1）
考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个 自由降落的坐标系 ，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中 的一条直线，即
其中
是原时
（2.5.2）
现在假设采用任意别的坐标系 ，它可以是静止于实验室的 Descartes坐标系，也可以是曲线的、加速的、旋转的或我们想要的 任何其它的坐标系，自由降落坐标 是 的函数，（2.5.1)变为
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2.4 张量的协变微商
在张量平移的基础上，对张量场定义一种新的微商，称为协变微商。 张量场求协变微商后，仍将具有张量的性质。 标量的微商：
上式表明标量的的普通微商自动具有张量的性质。 协变微商用 表示，则标量的协变微商
（2.4.1）
协变矢量的普通微商
显然不再是一个张量。
（2.3.1）
这里的比例系数 就叫做P点的仿射联络。要求 Q点具有协变矢量的性质，即
在
（2.3.2）
利用变换矩阵的微分关系
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则（2.3.1）式可写作
把关系式
带入上式，略去坐标微分的二级小量，并注意所得的式子对任意的 和 适用，得到
即
（2.3.3）
（2.3.3）式就是仿射联络的变换公式。 逆变矢量，有
（2.1.5） （2.1.6）
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2.1 二阶和更高阶的张量
任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别在于变换规则：每一个指标的变换规 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。
，它与两个任意矢量
和
（2.4.5）
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作业
推导书中p17中的 （1.4.9）、（1.4.10）、（1.4.11）
（2.4.6）
（2.4.7）
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2.5
引力
等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义 相对论规律的局部惯性系。 前面提到，Gauss曾假设在曲面的任一点上，可建立一个使距离遵从 毕达哥拉斯定理的局部Descartes（笛卡尔）坐标系。 两者的深刻类比，我们可以预期引力定律和Riermann几何公式之间 存在相似。Gauss假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过 把曲面上某个一般坐标系 变到局部Descartes坐标系 的变换 的 的函数 的偏导数 来描写。而等效原理告 诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标系 到 局部惯性坐标系 的偏导数 来描写。 前面给出曲面上两点之间的距离为 简写为 几何上与偏导数有关的函数就是
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2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
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为使协变微商后仍是张量，利用平移操作，定义为
（2.4.2）
其中， 代入（2.4.2），则得到
（2.4.3）
（2.4.3）式即为协变矢量的协变微商公式。 逆变矢量的协变微商公式： 把式 代入 得到，
为二阶协变张量。
（2.4.4）
协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。
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逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量 与任意协变矢量 可构成标量 协变微商公式（2.4.1），有 即： 对 考虑到 利用协变矢量的微商公式，则得 为任意矢量，于是有
，利用标量的
高阶张量的协变微商： 类似上面的作法。如对二阶混合张量 可构成标量 。因此有 可导出：
广义相对论简介
授课教师： 范忠辉
fanzh@ynu.edu.cn
云南大学物理科学技术学院
“产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量 同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理 的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦 “广义协变原理的意义在于它关于引力效应的表述，即一 个物理方程如果在没有引力时是正确的，由于它的广义协 变，在有引力场时也是正确的。” ——温伯格
（2.3.4）
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仿射联络的性质
仿射联络的唯一限制是它必须满足变换式（2.3.3） 联络的对称组合
也是一种联络，它叫对称联络，即其下标是对称的。 联络的反称组合
是一个下标反称的张量，称为仿射空间的挠率张量。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 一个非对称的联络总可表示为对称联络和挠率张量之和
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张量（tensor）
张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。
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第二章
广义相对论的数学基础
第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何
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一. 广义协变原理的基本思想
广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（covariant）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。
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2.5
乘以 就得到运动方程：
引力
（2.5.3）
，利用乘积规则：
其中，
是仿射联络，定义为
（2.5.4）
原时（2.5.2）也可以用任意的坐标系表示成
（2.5.5）
或 其中，
（2.5.6）
是度规张量，定义为
（2.5.7）
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