四种傅里叶变换

傅里叶变换

对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n的函数，这里n可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。

在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。

在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。

傅里叶变换的几种可能形式

对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。

一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换

在“信号与系统”课程中，这一变换对为

X a（j」）= ：©Xa（t）e jt dt

X a（t）= * ；：Xa（W）e jt dJ

lXa(t) |X a(jf»|

i JI

这一变换对的时频域示意图（只说明关系，不表示实际的变换对）如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。

二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示

在“信号与系统”课程中，如果X(t)是一个周期为T 的连续时间信号，则X(t)可以展开成

傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为

X n ，X n 是离散频率的非周期函数。X(t)与X n 组成周期 连续时间信号的傅里叶级数变换对为

1 T

Xn = - ^x(i)e^di

T -

x(t)八一 X n e jn i t

n =.：:

这一变换对的时频域示意图如图所示。 可以看出时域上是周期连续信号， 频域上是离

散非周期的频谱。也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波

另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变 换仍可以表示。对周期信号X(t)，其傅里叶变换X(j 「)表示为

□0

X( j 「)=2二 V X n 、C - n 「)

n 二■::

三. 非周期序列的傅里叶变换

序列的傅里叶变换，即

X(e j )二 &x(nh n

n =JOO A x(n

)\-： =X(e j )e j i

这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是非周期离散时间信号，频域上 是连续周期的频谱。

频率分量为蔦

2~ T

|X(e j )

|

非周期序列及其频谱

序列的傅里叶变换是序列的频谱，也就是时域离散信号的频域特征。在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到，因此是数字信号处理的重要工具之一。X (e j ) 一般是复函数，可以写成模和辐角，或者实部和虚部的形式。

X(e j°°)= X(e^)e j*°^ =XR(e^H jXi(e j^) (325) 其中| X(e八)卜• ‘称为序列的幅度频谱，而(称为序列的相位频谱；X R(e j ) ~

称为序列的实部频谱，X I (e j称为序列的虚部频谱。经常用| X(e j ) |~ ■和：(■)〜•■来表示信号的频谱。

四•周期序列的离散傅里叶级数

上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现，因为它们在时域连续或者频域连续，或者时域和频域都是连续的。如果要用数字计算机对信号进行频谱分析，也就是要计算信号的傅里叶变换，必须要求输入时域信号是离散的，而计算机得到的频谱值也应该是离散的。

由上面三种情况，不难发现以下规律：一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。所以，可以大胆推断出第四种情况，也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。示意图如图所示。表1对四种傅里叶变换形式的特点作了简要

归纳。这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中，只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数，也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换 (DFT 的过渡形式。

周期序列及其频谱

表1四种傅里叶变换形式的归纳

时间函数 频率函数

连续和非周期 非周期和连续

连续和周期 非周期和离散

离散和非周期 周期和连续

离散和周期

周期和离散

设~(n)是以N 为周期的周期序列，与连续时间信号的傅里叶级数展开类似，

由于~(n)是 周期的，必然可以进行傅里叶级数展开。离散傅里叶级数变换对:

〜 N 4 斗兰“

X(k)二 DFS [〜(n)] 7 〜(n)e N

n=0

〜 1 N

/ 〜j ^NTkn 〜(n) =IDFS[X(k)] X(k)e N

N & 这里的x(n)和X(k)都是以N 为周期的周期序列，时域和频域都是周期离散的，也是傅

里叶变换的第四种形式。其有很明显的物理意义，它表示周期序列〜(n)可以分解成N 次谐波, 第k 次谐波频率为 —k ，k =0,1,2,…，N -1，谐波的幅度为—|)〜(k)|。其中k = 0，表示直流

N

N

1 〜 1 N d

分量，其幅度为一|X(0)|二一〜(n)|。 '仕

一 k J

-：：:::n ：：：：：

i |X~(k)|