等差数列前n项求和公式
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sn=604.5
8
典型例题
例1： 2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实 施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时 间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为 了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比 上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内 ，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
S1
a1
47 12
当n>1时
an Sn Sn1
1 n2 2 n 3 [1 (n 1)2 2 (n 1) 3]
4
3
4
3
1 n2 1 (n 1)2 2
4
4
3
n 5
又n2=1时12a1
1 2
5 12
所以 a n
47 n 1 12
n 5 n 1 2 12
18
思考：已知前n项和Sn如何求通项an？
1 2 n1 n n n1 2 1 (n1)(n1) (n1)(n1)
倒序相加法
5
公式的推导
Sna1a2 an1an Snanan1 a2a1
即 sn = a1 + (a1+d)+…… + [a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d] sn = an + (an-d)+…… + [an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]
大家好
1
教学目标
探索并掌握等差数列 的前n项和公式，学会 用公式解决一些实际问 题.
2
重点、难点
等差数列前n项公式推导 思路的获得，及对公式的熟 练应用。
3
导入
1+2+3+……+100=？
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51） =101×50=5050
4
用下面方法计算1,2,3……n的前n项和
⑴当n=1时a1=S1 ⑵当n>1时，an=Sn-Sn-1 ⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相 等，那么得到数列an 的通项公式为 an=Sn-Sn-1， 当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等， 那么数列an 的通项公式要分段表示为
an=
S1 n=1 Sn-Sn-1 n>1
19
2、知道了由Sn如何求an
an= S1
n=1
Sn-Sn-1 n>1
21
作业
课本习题2.3A、B组题
22
所以 2Snn(a1an)
6
公式
公式一：
Sn
n(a1 an) 2
把 ana1(n1)d代入上式可得
公式二： Sn na1n(n2 1)d
7
练习：根据下列各题中的条件，求相应的等 差数列｛an｝的前n项和Sn。
⑴a1=－4，a8=－18，n=8
sn= －88
⑵a1=14.5，d=0.7，an=32
探究
解：由上题思路可得：
P+q+r (n=1) an= 2pn-p+q (n>1)
只有r=0时，数列{an}才是等差数列 首项为：a1=p+q,公差为：d=2p 如果数列{an}的前n项和是常数项为0， 且是关于n的一元二次关系式，那么数 列{an}是等差数列。
20
课堂小结
1、学习了等差数列前n项和的求 和方法及公式
解这个关于a1与d的方程组，得到： a1=4， d=6
所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.
12
针对训练
1、等差数列｛an｝中 ⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n
d=17/13,n=27
⑵d=1/3,n=37,sn=629 求a1及an
a1=11,an=23
13
小结：Sn实质是一个关于a1 ，n， d或a1 ， an ， d的方程。因此对 于等差数列的相关量a1 ，n，d ， an， Sn，已知其中任意三个量， 根据通项公式与求和公式便可确 定其他量。
的总Biblioteka Baidu入是7250万元。
审题—抽象出数学模型—解答
10
例2： 已知一个等差数列｛an｝前 10项的和是310，前二十项的和是 1220。由这些条件能确定这个等差 数列的前n项和的公式吗？
11
解：由题意知: s10=310， s20=1220
将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到: 10a1+45d=310 20a1+190d=1220
=2n－1/2 当n=1时，
……①
a1=s1=12+1/2×1=3/2， 也满足①式。
所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－1/2.
由此可知，数列｛an｝是一个首项为3/2，公差 为2的等差数列。
16
针对练习
已知数列an的前n项和
为 通Sn
1n2 4
2n3 3
，求这个数列的
项公式。
17
解：当n=1时，
14
例3：已知数列｛an｝前n项的和 为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通 项公式。这个数列是等差数列吗 ？如果是，它的首项与公差分别 是什么？
15
解：根据sn=a1+a2+…+an-1+an 与 sn-1=a1+a2+…+an-1（n＞1） 可知，当n＞1时，
an=sn－sn-1 =n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕
9
解：根据题意，从2001 ～ 2010年，该市每年 投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元，所以可以建立一个等差数列{an}， 表示从2001年起各年投入的资金，其中
a1=500， d=50．
那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为 s10=10×500+10×(10－1)×50/2=7250（万元） 答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程
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典型例题
例1： 2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实 施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时 间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为 了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比 上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内 ，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
S1
a1
47 12
当n>1时
an Sn Sn1
1 n2 2 n 3 [1 (n 1)2 2 (n 1) 3]
4
3
4
3
1 n2 1 (n 1)2 2
4
4
3
n 5
又n2=1时12a1
1 2
5 12
所以 a n
47 n 1 12
n 5 n 1 2 12
18
思考：已知前n项和Sn如何求通项an？
1 2 n1 n n n1 2 1 (n1)(n1) (n1)(n1)
倒序相加法
5
公式的推导
Sna1a2 an1an Snanan1 a2a1
即 sn = a1 + (a1+d)+…… + [a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d] sn = an + (an-d)+…… + [an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]
大家好
1
教学目标
探索并掌握等差数列 的前n项和公式，学会 用公式解决一些实际问 题.
2
重点、难点
等差数列前n项公式推导 思路的获得，及对公式的熟 练应用。
3
导入
1+2+3+……+100=？
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51） =101×50=5050
4
用下面方法计算1,2,3……n的前n项和
⑴当n=1时a1=S1 ⑵当n>1时，an=Sn-Sn-1 ⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相 等，那么得到数列an 的通项公式为 an=Sn-Sn-1， 当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等， 那么数列an 的通项公式要分段表示为
an=
S1 n=1 Sn-Sn-1 n>1
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2、知道了由Sn如何求an
an= S1
n=1
Sn-Sn-1 n>1
21
作业
课本习题2.3A、B组题
22
所以 2Snn(a1an)
6
公式
公式一：
Sn
n(a1 an) 2
把 ana1(n1)d代入上式可得
公式二： Sn na1n(n2 1)d
7
练习：根据下列各题中的条件，求相应的等 差数列｛an｝的前n项和Sn。
⑴a1=－4，a8=－18，n=8
sn= －88
⑵a1=14.5，d=0.7，an=32
探究
解：由上题思路可得：
P+q+r (n=1) an= 2pn-p+q (n>1)
只有r=0时，数列{an}才是等差数列 首项为：a1=p+q,公差为：d=2p 如果数列{an}的前n项和是常数项为0， 且是关于n的一元二次关系式，那么数 列{an}是等差数列。
20
课堂小结
1、学习了等差数列前n项和的求 和方法及公式
解这个关于a1与d的方程组，得到： a1=4， d=6
所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.
12
针对训练
1、等差数列｛an｝中 ⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n
d=17/13,n=27
⑵d=1/3,n=37,sn=629 求a1及an
a1=11,an=23
13
小结：Sn实质是一个关于a1 ，n， d或a1 ， an ， d的方程。因此对 于等差数列的相关量a1 ，n，d ， an， Sn，已知其中任意三个量， 根据通项公式与求和公式便可确 定其他量。
的总Biblioteka Baidu入是7250万元。
审题—抽象出数学模型—解答
10
例2： 已知一个等差数列｛an｝前 10项的和是310，前二十项的和是 1220。由这些条件能确定这个等差 数列的前n项和的公式吗？
11
解：由题意知: s10=310， s20=1220
将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到: 10a1+45d=310 20a1+190d=1220
=2n－1/2 当n=1时，
……①
a1=s1=12+1/2×1=3/2， 也满足①式。
所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－1/2.
由此可知，数列｛an｝是一个首项为3/2，公差 为2的等差数列。
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针对练习
已知数列an的前n项和
为 通Sn
1n2 4
2n3 3
，求这个数列的
项公式。
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解：当n=1时，
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例3：已知数列｛an｝前n项的和 为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通 项公式。这个数列是等差数列吗 ？如果是，它的首项与公差分别 是什么？
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解：根据sn=a1+a2+…+an-1+an 与 sn-1=a1+a2+…+an-1（n＞1） 可知，当n＞1时，
an=sn－sn-1 =n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕
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解：根据题意，从2001 ～ 2010年，该市每年 投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元，所以可以建立一个等差数列{an}， 表示从2001年起各年投入的资金，其中
a1=500， d=50．
那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为 s10=10×500+10×(10－1)×50/2=7250（万元） 答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程