(word完整版)导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介:

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim 0x a

f x →= 及()lim 0x a

g x →=;

(2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()

()

lim

x a

f x l

g x →'=', 那么 ()

()lim x a f x g x →=()

()

lim

x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1)()lim 0x f x →∞

= 及()lim 0x g x →∞

=;

(2)0A ∃f ,f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导,且g '(x)≠0;

(3)()

()

lim

x f x l g x →∞'=', 那么 ()()

lim

x f x g x →∞

=()

()

lim

x f x l g x →∞

'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim x a

f x →=∞及()lim x a

g x →=∞; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()

()

lim

x a

f x l

g x →'=', 那么 ()

()lim x a f x g x →=()

()

lim

x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ○

1将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a

+

→,x a

-

洛必达法则也成立。

2洛必达法则可处理00,∞∞

,0⋅∞,1∞,0

∞,00,∞-∞型。 ○

3在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞

,0⋅∞,1∞,0

∞,00,∞-∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。

4若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 二.高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数2

()1x

f x e x ax =---。

(1) 若0a =,求()f x 的单调区间; (2) 若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 原解:(1)0a =时,()1x

f x e x =--,'()1x

f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在

(0,)+∞单调增加

(II )'()12x

f x e ax =--

由(I )知1x

e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-,

从而当120a -≥,即1

2

a ≤

时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x

e x x >+≠可得1(0)x

e x x ->-≠.从而当1

2

a >

时,

'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--,

故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.

综合得a 的取值范围为1,

2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

原解在处理第(II )时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II )当0x =时,()0f x =,对任意实数a,均在()0f x ≥;

当0x >时,()0f x ≥等价于2

1

x

x a e

x

--≤

令()2

1

x

x g x e

x

--=

(x>0),则3

22

()x

x

x x g x e e x

-++'=

,令()()220x

x

h x x

x x e

e =-++>,

则()1x

x

h x x

e

e '=-+,()0x

h x x e ''=>,

知()h x '在()0,+∞上为增函数,()()00h x h ''>=;知()h x 在()0,+∞上为增函数,

()()00h x h >=;()0g x '∴>,g(x)在()0,+∞上为增函数。

由洛必达法则知,

2

0001

1

22

2lim

lim lim x

x x

x x x x x e

e e x

+

++→→→--===,

故1

2

a ≤

综上,知a 的取值范围为1,

2⎛⎫-∞ ⎪⎝

。 2.(2011年全国新课标理)已知函数,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (Ⅰ)求a 、b 的值;

(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k

f x x x

>

+-,求k 的取值范围。 原解:(Ⅰ)22

1(ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=-

+

由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,

1'(1),2

f f =⎧⎪

⎨=-⎪⎩即

1,

1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩

解得1a =,1b =。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1

f ()1x x x x

=

++,所以

22

ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >,则22

(1)(1)2'()k x x

h x x

-++=。 (i )设0k ≤,由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h (x )递减。而(1)0

h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得

2

1

()01h x x

>-; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,可得

2

11

x

- h (x )>0 从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-(

1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x +x

k

. (ii )设0

(1)(1)2k x x -++=2

(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且

244(1)0k ∆=-->,对称轴x=

111k >-.

当x ∈(1,k -11)时,(k-1)(x 2 +1)+2x>0,故'h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1,

k -11)时,h (x )>0,可得2

11x

-h (x )<0,与题设矛盾。

(iii )设k ≥1.此时212x x +≥,2

(1)(1)20k x x -++>⇒'

h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈

(1,+∞)时,h (x )>0,可得

2

11

x

- h (x )<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(-∞,0]

原解在处理第(II )时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II )由题设可得,当0,1x x >≠时,k<

2

2ln 11x x

x +-恒成立。

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