(word完整版)导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介:
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim 0x a
f x →= 及()lim 0x a
g x →=;
(2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()
()
lim
x a
f x l
g x →'=', 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()
lim
x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1)()lim 0x f x →∞
= 及()lim 0x g x →∞
=;
(2)0A ∃f ,f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导,且g '(x)≠0;
(3)()
()
lim
x f x l g x →∞'=', 那么 ()()
lim
x f x g x →∞
=()
()
lim
x f x l g x →∞
'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim x a
f x →=∞及()lim x a
g x →=∞; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()
()
lim
x a
f x l
g x →'=', 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()
lim
x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ○
1将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a
+
→,x a
-
→
洛必达法则也成立。
○
2洛必达法则可处理00,∞∞
,0⋅∞,1∞,0
∞,00,∞-∞型。 ○
3在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞
,0⋅∞,1∞,0
∞,00,∞-∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。
○
4若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 二.高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数2
()1x
f x e x ax =---。
(1) 若0a =,求()f x 的单调区间; (2) 若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 原解:(1)0a =时,()1x
f x e x =--,'()1x
f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在
(0,)+∞单调增加
(II )'()12x
f x e ax =--
由(I )知1x
e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-,
从而当120a -≥,即1
2
a ≤
时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x
e x x >+≠可得1(0)x
e x x ->-≠.从而当1
2
a >
时,
'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--,
故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.
综合得a 的取值范围为1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
原解在处理第(II )时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II )当0x =时,()0f x =,对任意实数a,均在()0f x ≥;
当0x >时,()0f x ≥等价于2
1
x
x a e
x
--≤
令()2
1
x
x g x e
x
--=
(x>0),则3
22
()x
x
x x g x e e x
-++'=
,令()()220x
x
h x x
x x e
e =-++>,
则()1x
x
h x x
e
e '=-+,()0x
h x x e ''=>,
知()h x '在()0,+∞上为增函数,()()00h x h ''>=;知()h x 在()0,+∞上为增函数,
()()00h x h >=;()0g x '∴>,g(x)在()0,+∞上为增函数。
由洛必达法则知,
2
0001
1
22
2lim
lim lim x
x x
x x x x x e
e e x
+
++→→→--===,
故1
2
a ≤
综上,知a 的取值范围为1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
。 2.(2011年全国新课标理)已知函数,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k
f x x x
>
+-,求k 的取值范围。 原解:(Ⅰ)22
1(ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=-
+
由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,
1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =,1b =。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1
f ()1x x x x
=
++,所以
22
ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >,则22
(1)(1)2'()k x x
h x x
-++=。 (i )设0k ≤,由22
2
(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h (x )递减。而(1)0
h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得
2
1
()01h x x
>-; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,可得
2
11
x
- h (x )>0 从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-(
1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x +x
k
. (ii )设0 (1)(1)2k x x -++=2 (1)21k x x k -++-的图像开口向下,且 244(1)0k ∆=-->,对称轴x= 111k >-. 当x ∈(1,k -11)时,(k-1)(x 2 +1)+2x>0,故'h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1, k -11)时,h (x )>0,可得2 11x -h (x )<0,与题设矛盾。 (iii )设k ≥1.此时212x x +≥,2 (1)(1)20k x x -++>⇒' h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈ (1,+∞)时,h (x )>0,可得 2 11 x - h (x )<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(-∞,0] 原解在处理第(II )时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II )由题设可得,当0,1x x >≠时,k< 2 2ln 11x x x +-恒成立。