导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

k(x2
1) (x 1)2 x2
知，当
x
1时，h '(x)
0 ，h（x）递减。而 h(1)
0
故当 x (0,1) 时，
h(x)
0
，可得
1
1 x
2
h(x)
0
；
当
x
（1，+
）时，h（x）<0，可得
1
1 x
2
h（x）>0
从而当
x>0,且
x
1
时，f（x）-（
ln x x 1
+
k x
）>0，即
f（x）>
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○2 步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析
难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介：
法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
，x
洛必达法则也成立。
（II） f '(x) ex 1 2ax
由（I）知 ex 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立.故
f '(x) x 2ax (1 2a)x ， 从而当1 2a 0 ，即 a 1 时， f '(x) 0 (x 0) ，而 f (0) 0 ，
2 于是当 x 0 时， f (x) 0 .
1k .
1 k
而
h（1）=0，故当
x
（1，
1
1
k
1 ）时，h（x）>0，可得 1 x2
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(e x 1) e x (ex 1)(ex 2a) ，
故当 x (0, ln 2a) 时， f '(x) 0 ，而 f (0) 0 ，于是当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 .
xe x
2ex x3
x
2
，令
h x xex 2ex x 2 x 0 ，则 h x xex ex 1 ， h x xex 0 ，
知 h x 在 0, 上 为 增 函 数 ， h x h 0 0 ； 知 h x 在 0, 上 为 增 函 数 ，
h x h 0 0 ； g x 0 ，g(x)在 0, 上为增函数。
（2） 若当 x 0 时 f (x) 0 ，求 a 的取值范围
原解：（1） a 0 时， f (x) ex 1 x ， f '(x) ex 1.
法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
x
x
(2) A 0 ，f(x) 和 g(x)在 , A 与 A, 上可导，且 g'(x)≠0；
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0；
f x
(3) lim xa
gx
l
，
f x f x
那么
lim
xa
g x
= lim xa
gx
l
。
1 0 ○2 洛必达法则可处理 0 ， ， 0 ，
，
0 ， 0 ， 型。
0
1 0 ○3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 ， ， 0 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) ln x 1 ，所以 x 1 x
f
(x)
(
ln x x 1
k) x
1 1 x2
(2 ln
x
(k
1)( x x
2
1))
。
考虑函数 h(x)
2ln x
(k
1)( x 2 x
1)
(x
0) ，则 h '(x)
(k
1)(x2 1) 2x x2
。
（i）设 kHale Waihona Puke 0 ，由 h '(x)
e e e 由洛必达法则知， lim x lim lim x0
x x 1
x
x
1，
2
2x 2 x0
x0
2
故
a
1 2
综上，知
a
的取值范围为
,
1 2
。
2．已知函数，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 。（Ⅰ）求 a 、 b 的值；
（Ⅱ）如果当
综合得
a
的取值范围为
,
1 2
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当 x 0 时， f (x) 0 ，对任意实数 a,均在 f (x) 0 ；
e x 当 x 0 时， f (x) 0 等价于 a
x x 1
2
令
g
x
ex
x
x2
1
(x>0), 则
g ( x)
x
0
，且
x
1时，
f
(x)
ln x x 1
k x
，求
k
的取值范围。
原解：（Ⅰ）
f
'(x)
( x 1 ln x (x 1)2
x)
b x2
由于直线
x 2y 3 0 的斜率为 1 2
，且过点 (1,1) ，
f (1) 1,
b 1,
故
f
'(1)
1, 2
即a 2
b
1, 2
解得 a 1， b 1。
ln x x 1
+
k x
.
（ ii ） 设 0<k<1. 由 于 (k 1)( x2 1) 2x = (k 1)x2 2x k 1 的 图 像 开 口 向 下 ， 且
4 4(k 1)2 0 ，对称轴 x= 1 1 当 x（1， 1 ）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 h' （x）>0,
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0；
(3) lim xa
f x gx
l
，
那么
lim
xa
f g
x x
= lim xa
f x gx
l
。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
a a ○1 将上面公式中的 x→a，x→∞换成 x→+∞，x→-∞， x
当 x (, 0) 时， f '(x) 0 ；当 x (0, ) 时， f '(x) 0 .故 f (x) 在 (, 0) 单调减少，在 (0, ) 单调增加
(3) lim x
f x gx
l
，
那么
lim
x
f g
x x
= lim x
f x gx
l
。
法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 及 lim g x ；
，
0 ， 0 ， 型定式，
0
否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法
则不适用，应从另外途径求极限。
○4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.设函数 f (x) ex 1 x ax 2 。
（1） 若 a 0 ，求 f (x) 的单调区间；