(word完整版)高中数学必修三期末测试题
高中数学必修3综合测试题
正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c . 解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______a ＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【训练2】 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0， 得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故△ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.高中数学必修3综合测试题一、选择题1、已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A、中位数 >平均数 >众数B、众数 >中位数 >平均数C、众数 >平均数 >中位数D、平均数 >众数 >中位数2、某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（）A、抽签法B、随机数法C、系统抽样法D、分层抽样法3、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、60人C、80人D、20人4、一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（）A、1/6B、1/3C、1/2 D 5/65、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A、角度和它的正切值B、人的右手一柞长和身高C、正方体的棱长和表面积D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间6、为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面列出了每一种轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（）A、轮胎AB、轮胎BC、都一样稳定D、无法比较7、我们对那大中学高二（1）班50名学生的身高进行了调查，按区间145--150，150--155，…，180—185（单位：cm）进行分组，得到的分布情况如下图所示，由图可知样本身高在165--170的频率为（）A、0.24B、0.16C、0.12D、0.208、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A、命中环数为7、8、9、10环B、命中环数为1、2、3、4、5、6环C、命中环数至少为6环D、命中环数至多为6环9、从一副标准的52张的扑克牌中随机地抽取一张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（）A、1/26B、13/54C、1/13D、1/410、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
北京市顺义区2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析).doc
北京市顺义区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合()(){}=310M x x x -+<，{}04N x x =<<，则M N =（ ）A. ()0,3B. ()1,4-C. 0,1D. ()1,3-【答案】A 【解析】 【分析】先化简M ,再和N 求交集.【详解】解：()(){}{}=310|13M x x x x x -+<=-<<, 又因为{}04N x x =<< 所以{}|03M N x x =<<,即()0,3.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题. 2.设复数121iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化成z a bi =+的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：()()()()21211212213131112222i i i i i i i z i i i i ++++++-+=====-+--+ 所以z 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题. 3.若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解. 【详解】解：33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b ,即a c b <<. 故选：A【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用.4.若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A. 2ab >B. 2a b +<C.11a b< D.2b aa b+> 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题. 【详解】因为：1b a >> 对于A ：当34,23ab ,所以34223ab ,故A 错误；对于B ：因为1b a >>,所以2a b +>,故B 错误； 对于C ：因为1b a >>,所以1101b a<<<,故C 错误；对于D ：因为1b a >>,所以2b a a b +≥=, 又因为1b a >>,则b aa b ≠,故不取等,即2b a a b+>,故D 正确；【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.5.抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. 22B. 8C. 4D. 1【答案】B 【解析】 【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出p 的值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, 双曲线22x y p -=,为221x y p p-=, 则22c p =,2c p =,焦点为：()2,0p 或()2,0p -,所以有22pp =,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =. 故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 43+B. 12C. 43D. 8【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，所，所以该几何体的侧面积为1=224=82s ⨯⨯⨯． 考点：三视图；四棱锥的侧面积．点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．7.设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先根据()2a b a -⊥求出当“a b =”时a 与b 的夹角,再判断命题间的关系. 【详解】因为设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥,所以()20a b a -⋅=,即220a b a -⋅=，即22cos 0a b a a b -⋅<⋅>= 若 “a b =”时，1cos 2a b <⋅>=,3a b π<⋅>=, 即a 与b 的夹角为3π. 反之，若a 与b 的夹角为3π，则222cos 0a b a a b a b a a b -⋅<⋅>=-⋅=⇒=，所以“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”充分必要条件.故选：C【点睛】本题考查向量垂直的定义和命题间的基本关系,属于基础题. 8.当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(][)20,1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,由二次函数的性质分析可得()()21f x mx =-为二次函数,在区间10,m ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m为增函数,分01m <≤和1m 两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数m 的取值范围.【详解】解：当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数, 函数()()21f x mx =-的图象二次函数, 在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数. 最小值为min2mg x ,最大值为max12m g x ; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m 时,函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数, ()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭. 故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数m 的分类讨论. 二、填空题9.sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭____ 【答案】12- 【解析】 【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值. 【详解】解：1sin sin 662ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10.设n S 为公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和,且13a ，22a ，3a 成等差数列，则q =__________,42S S =________. 【答案】 (1). 3 (2). 10 【解析】 【分析】先设等比数列的通项公式11n n a a q -=,再根据13a ,22a ,3a 成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入42S S 即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式11n n a a q -=,又因为13a ,22a ,3a 成等差数列,所以213322a a a =+⨯,即211143q a a a q =+,又因为等比数列中10a ≠,则243q q =+,解得1q =或3q =,又因为1q ≠,所以3q =.所以()()4144422221111380110113811a q S q q S q a q q-----=====-----. 故答案为：(1).3 (2). 10【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前n 项和公式,属于基础题.11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】 【分析】先令()1y f x =-等于0,再根据分段函数分情况求解. 【详解】解：要求函数()1y f x =-的零点,则令()10y f x =-=,即1f x,又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =.综上所以,函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题. 12.在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.【答案】5 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】解：因为在ABC ∆中,8ac =,7a c +=,3B π=,由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-, 2222cos3b ac ac ac ,22172828252b所以5b =. 故答案为：5【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________. 【答案】±1【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心O 坐标和半径r ,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O 到直线的距离d ,即为圆O 中弦AB 的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦AB 的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦AB 的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除2,用含有d 的式子表示出三角形AOB ∆的面积,2a b+<求出面积的最大值,以及面积取得最大值时d 的值,从而列出关于k 的方程,求出方程的解即可得到面积最大时k 的值. 【详解】解：由圆22:1O x y +=, 得到圆心坐标为()0,0O ,半径1r =, 把直线的方程为:1l y kx =+,整理为一般式方程得：:10l kx y -+=, .圆心()0,0O 到直线AB 的距离211dk弦AB 的长度AB ==2222111212111AOBk k Sk k k k k, 又因为1122k kkk,12AOBS当且仅当1kk时取等号,AOB S 取得最大值,最大值为12. 解得1k =± 故答案为：±1【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本, 由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k 和b 对一次函数图象的影响,是基础题. 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.函数23()sin cos 3sin 2f x x x x ωωω=⋅-+（0>ω）的部分图象如图所示.（1）求ω的值； （2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值. 【答案】（1）1ω=（2）最大值为1，最小值为3【解析】 【分析】 先用降幂公式将23()sin cos 32f x x x x ωωω=⋅+化为()1333sin 222f x x x ωω=-+,再利用三角函数的和差公式化为()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据图象可得最小正周期,利用2T |2|πω=求出ω即可. （2）由,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得出2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,即可求出3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则得到最大最小值.【详解】解：（1）23()sin cos 3f x x x x ωωω=⋅-+11cos 232sin cos 322x x x ωωω-=⋅⋅-⋅+1333sin 2cos 22222x x ωω=-++13sin 2cos 222x x ωω=+ sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期25T 2(0)|2|63πππωω⎛⎫==-> ⎪⎝⎭∴1ω= （2）∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为1,最小值为3-【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.16.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;（2）求二面角E AD B --的大小;（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）45︒（3）AE 与平面PCD 不平行,详见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ,又因为BC ⊂平面PBC ,所以可以证得平面PBC ⊥平面PCD .（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面ADB的法向量(0,0,1)DP =,设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =,求出法向量(0,1,1)n =-,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角E AD B --的大小.（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ,则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =,又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭,则AE 与DA 不垂直,证得AE 与平面PCD 不平行.【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥ ∵PD ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥ ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ∴BC ⊥平面PCD 又∵BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PCD（2）∵PD ⊥平面ABCD , ,AD CD ⊂平面ABCD ∴,PD AD PD CD ⊥⊥ 又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥ ∴,,DA DC DP 两两垂直∴以D 为原点如图建系,设1PD AB∴0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭又∵PD ⊥平面ABCD∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP = 设平面ADE 的法向量(,,)n x y z = 则DA n ⊥,DE n ⊥∴01110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令1z =,得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =- ∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅∴二面角E AD B --的大小为45︒（3）∵PD AD ⊥,AD CD ⊥ ,PD CD D ⋂= 又,PD CD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥平面PCD ∴平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭∴AE 与DA 不垂直,∴AE 与平面PCD 不平行【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.17.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数. （2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人 （2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为()30.30.9E X np ==⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差. 18.已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈（1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤. 【答案】（1）230x y +-=（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将2a =代入函数2()2ln f x x a x =-,对函数求导,将1x =代入导函数求斜率,将1x =代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（2）先求导得()22()(0)x a f x x x-'=>,讨论当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值.当0a >时,令()0f x '=得x =x =分别讨论(x ∈时和 )x ∈+∞时的单调性,得出所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为1,则1Q ≤得证.【详解】解：（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=> ①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x 在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x )+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属于中档题,分类讨论是关键.19.已知椭圆C ：223412x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论. 【答案】（1）12（2）以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0,证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将223412x y +=转化为22143x y +=,根据椭圆的性质得到,,a b c ,即可求出离心率.（2）根据椭圆方程求出(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=①,分别求出直线AP 和BP 的方程,再分别与4x =相交于点 M 0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭和N 0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥,即0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-②,将①代入②得()2149x -= 解得11x =或17x =,得出MN 为直径的圆是过定点()1,0和()7,0.【详解】解：（1）由223412x y +=得22143x y +=,那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=① 直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =-- 令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -=解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ,且1241,3,1,a a a ===67819a a a ++=,求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是等比数列,141b c ==,4164b c ==,n n n a b c =+.判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由； （3）设{}n b 是无穷数列,已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）315a =（2）{}n a 不具有性质P ,详见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 具有性质P ,且14=1a a =,可得25=3a a =,又因为36a a =,471a a ==,583a a ==,则367845a a a a a a =++--,代入数据即可得结果.（2）141b c ==,4164b c ==得出{}n b 的公差和{}n c 的公比,即可设{}n b 和{}n c 的通项公式,得出421204nn n n a b c n -=+=-+.因为1465a a ==,则238a =,53414a =,得出25a a ≠,所以{}n a 不具有性质P .（3）先证充分性：当{}n b 为常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=.充分性得证.再证必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N ,使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,再根据条件类推,得出{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证即可得出结论.【详解】解：（1）因为14=1a a =,所以25=3a a =,36a a =,471a a ==,583a a ==. 所以678313a a a a ++=++,又因为67819a a a ++=,解得315a = （2）{}n b 的公差为21,所以()12112120n b n n =+-=-,{}n c 的公比为14,所以1416444n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭所以421204n n n n a b c n -=+=-+.所以1465a a ==,238a =,53414a =,因为25a a ≠, 所以{}n a 不具有性质P . （3）证明充分性： 当{}n b 常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=. 充分性得证.证明必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N , 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,则()0f m m b ππ=->,()0f m m b ππ-=--<,故存在c 使得()0f c =.取1a c =,因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤）,所以21sin a b c c a =+==,依此类推,得121k a a a c +==⋅⋅⋅==.但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+,即21k k a a ++≠.所以{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证.综上,“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修3：阶段质量检测(三) 概 率 Word版含解析
阶段质量检测（三） 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝ 错误!.因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。
高中数学必修3 测试题2
1a = 3b = a a b =+ b a b =-PRINT a ，b必修3 测试题(二)一、选择题(每题5分,共12小题,满分60分)1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）．A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,01.B 解析:把1赋给变量a ,把3赋给变量b ,把4赋给变量a ,把1赋给变量b ,输出,a b ．A.9%B.18%C.27%D.82% 2.B 解析:优秀的学生共9人,该班总人数为50人,故优秀率为918%50=.3.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( ) A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B.一个城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为21的样本C.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况3.C 解析:A 项,总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法;B 项,总体中的个体有明显的层次,不适宜用系统抽样法;C 项,总体容量较大,样本容量也较大,可用系统抽样法;D 项,总体容量较大,样本容量较小,可用随机数表法.4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么样本容量n 为( ) A ．50B ．60C ．70D ．804.C 解析:由分层抽样方法得：33＋4＋7×n ＝15,解得n ＝70.5.若由图中输出的y 值为18,则输入的实数x 的值为( )A.34B.34或3 C.2或3 D. 34或25.A 解析:若输入的实数0x >,则21218x -=,34x =;若0x ≤,则11()28x =,3x =舍去.6. 在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为（ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m6.B 解析:根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比.23009660401632()300m -⨯⨯=．7.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:㎝).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中,底部周长小于110㎝的株树大约是A.3000B.6000C.7000D.80007.C 解析:底部周长小于110cm 的树木所占的频率为:(0.010.020.04)100.7++⨯=,则10000株树木底部周长超过110cm 的有7000株.8.某品牌产品,在男士中有10%使用过,女士中有40%的人使用过,若从男女人数相等的人群中任取一人,恰好使用过该产品,则此人是位女士的概率是( ) A.51 B.52 C.53 D.548.D 解析:假设有100男士和100女士,则使用过该品牌的男士有10人,女士有40人,从这些人中选出一人,是女士的概率为40410405=+.9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第i 次观测得到的数据为i a ，具体如下表所示：乙甲7518736247954368534321在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A.8B.7C.6D.59.B 解析:易求22212844,()()()56.a a a a a a a =∴-+-++-= 故输出的结果为7.10.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当0.5x =时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,510.A 解析:秦九韶算法计算多项式的值运算特点是通过一次式的反复计算,逐步得出高次多项式的值,对于一个n 次多项式,只需做n 次乘法和n 次加法即可.故选A.11.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A.62B.63C.64D.6511.C 解析:甲的中位数为28，乙的中位数为36. 所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.12.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A.13125B.16125C.18125D.1912512.D 解析:从1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）,可以组成5×5×5=125个不同的三位数,其中各位数字之和等于9的三位数可分为以下情形: ①由1,3,5三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531共6个; ②由1,4,4三个数字组成的三位数:144,414,441,共3个; ③同理由2,3,4三个数字可以组成6个不同的三位数; ④由2,2,5三个数字可以组成3个不同的三位数; ⑤由3,3,3三个数字可以组成1个三位数,即333.故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19，所求的概率为19125.二、填空题(每题5分,共4小题,满分20分)13.某校按分层抽样方法从高中三个年级抽取部分学生参加社会实践活动：调查当地农村居民收入来源,三个年级抽取人数比例按如图扇形面积比表示,已知高二年级共有学生1200人,抽取了40人,则这个学校共有学生人数为 . 13.120 解析:扇形面积公式3602R n S π=,因为三个扇形半径相同,所以面积比就是圆心角之比.高一、高二、高三三个年级抽取的人数比为150:120:90=5:4:3,高二抽 取了40人,则高一抽取了50人,高三抽取了30人.共抽取了40＋50＋30＝120人. 14. 给出以下程序: 3x =-IF 0x > THEN (2)y x =+*(2)x + END IF IF 0x = THEN4y =ELSE(2)y x =-*(2)x -︒90︒120︒150高一高二高三END IF PRENT yEND则该程序输出的结果是 .14.25 解析:由于30x =-<,故(2)y x =-(2)x -(23)(23)25=++=.15.已知一组数据1210,,,x x x 的方差是2，且2221210(3)(3)(3)x x x -+-++- =120， 则x = ..15.3±解析:由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++= , ①22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ②将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=,解得3x =+3-16.甲,乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,且,{1,2,3,4}a b ∈.若||1a b -≤,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 . 16.58解析:甲随便想一数字,有4种结果,乙随便猜也有4种结果,故总的情况有4×4=16种;符合条件的有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(4,3),(3,2),(2,1)共10种情况,故概率为105168=.三、解答题(本题共6小题,满分70分)17.(本题满分10分) 移动公司某种通话套餐规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过3分钟,则收取通话费0.22元,如果通话时间超过3分钟,则超过部分以每分钟0.11元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计),如果拨打一次市话. (Ⅰ)试写出话费y 关于通话时长的函数表达式;(Ⅱ)试编写一个计算通话费用的程序.17.解:(Ⅰ)我们用ｙ(单位:元)表示通话费,t(单位:分钟)表示通话时间， 则依题意有 0.22(03)0.220.11(3)(3)t y t t <≤⎧=⎨+⨯->⎩(Ⅱ)程序如下:INPUT “请输入通话时间（单位：分钟）”, t IF t<= 3 THEN y =0.22 ELSEy =0.22＋0.11*(t －3) END IF PRINT ｙ END18.(本题满分12分) 已知x 、y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用最小二乘法判断哪条直线拟合程度更好? 18.解:用y ＝13x ＋1作为拟合直线时,所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73; 用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫9252＝12.∵s 2＜s 1,故用直线y ＝12x ＋12拟合程度更好．19.(本题满分12分) ,b c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.设2{20,}A x x bx c x R =-+<∈求A ≠∅的概率.19.解:∵A ≠∅,即280b c -> ,∴当1c =时,3,4,5,6b =;2c =时,5,6b =; 3c =时,5,6b =; 4c =时,6b =共9种情况,因此A ≠∅的概率为：91364P ==．20.(本题满分12分) 用秦九韶算法求这个多项式8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值.(Ⅰ)用秦九韶算法的方法分析:计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (Ⅱ)试设计一个计算五次多项式在x=x 0值的算法,写出程序框图. 20.解:(Ⅰ)所给多项式可以化为()((((52) 3.5) 2.6) 1.7)0.8f x x x x x x =++-+-从内到外依次计算可知需要进行乘法5次，加法5次.(Ⅱ)可以利用秦九韶算法进行计算,程序框图如图:21.(本题满分12分)某中学高三年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几就选几班.(Ⅰ)任意投掷两个骰子的点数共有36种情况,请用表格列出所有投掷点数的可能性;(Ⅱ)你认为这种方法公平吗?如果不公平,哪个班被选中的概率最小?(Ⅱ)这种方法是不公平的.任意投掷两个骰子共有36种结果,由上表可以看出,在这36种结果中,点数和为2的只有一种情况,故概率为136,也就是说,选二班的概率只有136;点数和为3的有两种情况,即点数和为3的概率为236,以此类推可知每班被选中的可能性是不同的,其中七班被选中的可能性最大为16;其次是六班和八班为536;可能性最小的是二班和十二班,可能性只有136.22.(本题满分12分)某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩统计结果如下表所示:(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率;(Ⅱ)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;(Ⅲ)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分. 22.解:(Ⅰ)分层抽样中，每个个体被抽到的概率 均为样本容量总体中个体总数,故甲同学被抽到的概率110p =;(Ⅱ)由题意1000(6090300160)390x =-+++=. 故估计该中学达到优秀线的人数12011016039029012090m -=+⨯=-（人）;(Ⅲ)频率分布直方图. 该学校本次考试数学平均分6015904530075390105160135100090.x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==估计该学校本次考试的数学平均分为90分.。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
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北京市通州区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分(选择题 共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<,则A B =( )A. {}23x x -<<B. {}11x x -<<C. {}13x x <<D.{}21x x -<<-【答案】A 【解析】 【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<, 则{}23AB x x =-<<.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集. 2.在复平面内,复数1ii-+(其中i 是虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置. 【详解】由题：复数()1111i i i i i i-+--==+⋅-，在复平面内对应的点为()1,1， 位于第一象限. 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3.已知点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点,点F 为抛物线的焦点,则AF 等于( )A. 4B. 3C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上的点到焦点距离公式即可求解. 【详解】由题：点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点, 点F 为抛物线的焦点,所以()1,0F ， 根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=. 故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可. 4.若0x y >>,则下列各式中一定正确的是( )A.11x y> B. tan tan x y >C. 11()()22xy>D.ln ln x y >【答案】D 【解析】 【分析】 若0x y >>，11x y <，11()()22x y <所以AC 错；3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错；若0x y >>，ln ln x y >，所以D 正确.【详解】由题：若0x y >>，根据反比例函数性质11x y<，所以A 错误； 若0x y >>，取3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错； 若0x y >>，根据指数函数性质11()()22x y<所以C 错；若0x y >>，根据对数函数性质ln ln x y >，所以D 正确. 故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A. 7B. 2C. 211D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ， 由图可得：4,23CP AC AB ===，所以27,4227BC AP ==>224421142BP PC BC +==>所以最长的棱长211故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6.甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( ) A. 24 B. 12 C. 8 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解. 【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法； 第三步：排剩下两位同学，2种排法， 所以共8种. 故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7.对于向量a ,b , “a a b =+”是“0b =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则：“a a b =+”不能推出“0b =”， “0b =”能够推出“a a b =+”.【详解】当20b a =-≠时，满足a a b =+，不能推出0b =， 若0b =，则a b a +=，所以a a b =+，所以“a a b =+”是“0b =”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可.8.关于函数()21()1x f x x ax e-=+-有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1； ②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点,则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有( ) A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】函数的零点个数即210x ax +-=的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为10x e ->，方程210x ax +-=，240a ∆+>=，所以关于x 的方程210x ax +-=一定有两个实根，且两根之积为-1，所以21`()(1)x f x x ax e -=+-恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；()()()2121x f x x a x a e -'=+++-，10x e ->，对于()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a ∆=+--=+>，所以()2210x a x a +++-=恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为1a -，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1a -，所以②错误；若2x =-是函数的一个极值点, ()()242410f a a '-=--+-=，则1a =-，()()211x f x x x e -=--，()()()()211221x x f x x x e x x e --'=+-=+-，()()(),21,,0x f x '∈-∞-+∞>，()()2,1,0x f x '∈-<，所以函数的增区间为()(),2,1,-∞-+∞，减区间为()2,1-， 所以函数的极小值为()11f =-，所以③正确. 故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.第二部分(非选择题 共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量()3,2a →=-,()1,b m =,若()a a b →→→⊥-,则m =___________. 【答案】5- 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：()a a b →→→⊥-，所以()0a a b →→→⋅-=，20a a b →→→-⋅= 所以()94320m +--=， 解得：5m =-. 故答案为：5-【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.10.在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,那么数列{a n }的前n 项和n S 等于____________. 【答案】21322n n + 【解析】 【分析】根据a 1,a 3,a 7依次成等比数列,求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,设公差为,0d d ≠ 且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,即()()222226d d +=+，20d d -=，0d ≠，所以1d =，所以数列{a n }的前n 项和()211321222n n n n n n S -=+⨯=+. 故答案为：21322n n + 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为0),且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____. 【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出ba的值，结合焦点坐标即可求解. 【详解】由题双曲线焦点在x 轴，设双曲线方程()22221,0,0x ya b ba -=>>，两条渐近线互相垂直，即1b ba a-⋅=-，得a b =，又因为右焦点坐标为0), 所以222a b +=， 解得1a b ==，所以双曲线的标准方程为：221x y -=. 故答案为：221x y -=【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12.在ABC ∆中, 3a =,b =2B A ∠=∠,则cos B =____. 【答案】13【解析】 【分析】根据正弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】在ABC ∆中,由正弦定理得：sin sin b B a A=，sin 23sin AA=2sin cos 2cos 3sin A A A A==所以cos 3A =261cos cos 22cos 12193B A A ==-=⨯-=.故答案为：13【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13.已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m ba m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等) 【解析】 【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 【详解】已知,,a b a m +均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①a b >，③0m >， 则()()()()0a b mb m b ab am ab bm am bm a m a a a m a a m a a m -++----===>++++， 所以b m ba m a+>+. 故答案为：①③推出⑤【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O ,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l ,花园中间有一条公路AB (AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:道路PB ,QA 不穿过花园.已知OC l ⊥,BD l ⊥(C ､D 为垂足),测得OC =0.9,BD =1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】2.1m 【解析】 【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点B 作直线BP AB ⊥交l 于P ，取BD 与圆的交点M ， 连接,MA MB ，则MA MB ⊥， 过点A 作直线AQ AB ⊥交l 于Q ， 过点A 作直线AC l '⊥交l 于C '，根据图象关系可得，直线上，点P 左侧的点与B 连成线段不经过圆内部， 点Q 右侧的点与A 连成的线段不经过圆的内部， 最短距离之和即PB AC '+，根据几何关系：PBD BAM QAC '∠=∠=∠，3sin 5BAM ∠=， 所以4cos cos cos 5PBD BAM QAC '∠=∠=∠=， 所以 1.5BP =，2BD AC OC '+=，所以0.6AC '=，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m 元. 故答案为：2.1m【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三､解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知函数()2cos()sin 3f x x x π=-.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)π；(2) 最小值01+ 【解析】 【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得()sin(2)32f x x π=-+，即可得最小正周期； （2）整体考虑2π2[,]333x ππ-∈-的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解:1()2cos()sin 2(cos )sin 322f x x x x x x π=-=+1sin 2cos 2)sin(2)23x x x π=+-=-+(1) f (x )的最小正周期T =2=2ππ； (2)因为π[0,]2x ∈,所以2π2[,]333x ππ-∈-所以当233x ππ-=-,即0x =时,f (x )取得最小值(0)0f =；当232x ππ-=,即512x π=时,f (x )取得最大值5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以f (x )在区间π[0,]2上的最小值01+. 【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16.为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ,求X 的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S 12,良好及其以下比例之和的方差为S 22,比较S 12与S 22的大小.(只写出结果) 【答案】(1) 12；(2)见解析； (3)S 12=S 22【解析】 【分析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率； （2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所, 所以X 的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ，根据方差关系可得两个方差相等.【详解】解:( 1)8所学校中有ABEF 四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为12； (2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所,所以X 的取值为0,1,2.25285(0)14C P X C ===11532815(1)28C C P X C ===23283(2)28C P X C ===所以随机变量X 的分布列为：(3)设优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ， 则()()D Y D Z =， 所以：S 12=S 22.【点睛】此题考查简单的几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17.如图,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD //BC ,∠SAD =∠DAB =90︒ ,SA =3,SB =5,4AB =,2BC =,1AD =.(1)求证:AB ⊥平面SAD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值； (3)点E ,F 分别为线段BC ,SB 上的一点,若平面AEF //平面SCD ,求三棱锥B -AEF 的体积.【答案】(1) 见解析；(2) 1213； (3)1 【解析】 【分析】（1）通过证明AB SA ⊥，AB AD ⊥得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F 的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在SAB 中,因为3,4,5SA AB SB ===, 所以AB SA ⊥. 又因为∠DAB =900所以AB AD ⊥, 因为SAAD A =所以AB ⊥平面SAD .(2)解:因为 SA ⊥AD ,AB SA ⊥,AB AD ⊥， 建立如图直角坐标系：则A (0,0,0)B (0,4,0), C (2,4,0),D (1,0,0),S (0,0,3). 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =. 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =所以有·0·0m CD m SD ⎧=⎨=⎩即4030x y x z +=⎧⎨-=⎩,令1x =，所以平面SDC 的法向量为11(1,,)43m =-所以12cos 13m SD m SDθ==(3)因为平面AEF //平面SCD,平面AEF 平面ABCD=AE ,平面SCD 平面ABCD=CD , 所以AECD ,平面AEF 平面SBC=EF ,平面SCD 平面SBC=SC , 所以FE SC ∥ 由AECD ,AD //BC得四边形AEDC 为平行四边形. 所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥, 所以F 为SB 中点. 所以F 到平面ABE 的距离为32, 又ABE △的面积为2,所以1B AEF F ABE V V --==.【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.18.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的长轴长为4,,点P 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点M (4,0),点N (0,n ),若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点,求n 的取值范围.【答案】(1) 22142x y +=； (2) n -≤≤【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；（2）取PN 的中点为Q ，以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，所以MQ ⊥NP ,根据垂直关系建立等量关系，结合点P 的坐标取值范围，即可得解. 【详解】解:( 1)由椭圆的长轴长2a =4,得a =2又离心率2c e a ==,所以c =所以2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.(2)法一:设点00()P x y ，,则2200142x y +=所以PN 的中点00()22x y nQ +， 00(4)22x y nMQ +=-，,00()NP x y n =-，， 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点 所以MQ ⊥NP ,则0MQ NP ⋅=， 即0000(4)()()022x y n x y n +-+-=，又因为2200142x y +=,所以22008202x x n -+-=，所以2200082[22]2x n x x =-+∈-，，，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤所以n -≤≤法二:设点00()P x y ，,则2200142x y +=.设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点 所以MQ 是线段PN 的垂直平分线， 所以MP MN ==所以2200822x n x =-+，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤，所以n -≤≤【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19.已知函数()sin cos f x x x x =+.(1)求曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程； (2)求函数21()()4g x f x x =-零点的个数.【答案】(1) 1y =；(2)零点的个数为2. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，得出(0)0f '=，(0)1f =即可得到切线方程； （2）根据21()()4g x f x x =-为偶函数，只需讨论在(0,)x ∈+∞的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.【详解】解:( 1)因为()cos f x x x '=, 所以(0)0f '=， 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程为1y =； (2)因为21()()4g x f x x =-为偶函数,(0)1g = 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数, 只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可.11()cos (cos ),022g x x x x x x x '=-=->令()0g x '=,得23x k ππ=+,523x k ππ=+，N k ∈ 所以()g x 在(0,)3π单调递增,在5(,)33ππ单调递减,在57(,)33ππ单调递增,在5(2,2)33k k ππππ++单调递减,在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈ 列表得:由上表可以看出()g x 在23x k ππ=+(N k ∈)处取得极大值,在523x k ππ=+(N k ∈)处取得极小值，21()036236g ππ=+->;25125()03236g ππ=+-<. 当*N k ∈且1k时221115(2)(2)(2)(2033243434g k k k k ππππππππ+=+-+=-+-+<(或21()14g x x x <+-,21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<)所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. 【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.20.已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件:①*(1,2,,)n a N n m ∈=；②12m a a a <<<.若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈-,其中1,2,,n m =,则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”,证明:12m b b b >>>；(3)已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ,且11a =,2049m a =,求m 的最大值. 【答案】(1) 不存在“伴随数列”，见解析 ；(2) 见解析；(3)33 【解析】 【分析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论1n n b b +-的符号即可得解；（3）根据数列{}n a 和其“伴随数列”{}n b 项的特征，结合单调性分析出2(1)2048m -≤，即可求解.【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列” 因为*41357979512b N ++++-==∉-,所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. (2)证明:因为111n n n n a a b b m ++--=-,*11,n m n N ≤≤-∈又因为12m a a a <<<,所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-所以12m b b b >>> 成立(3)∀1≤i <j ≤m ,都有1j i i j a a b b m --=-,因为*i b N ∈,12m b b b >>>.所以*i j b b N -∈, 所以*1j i i j a a b b N m --=∈-所以*11204811m m a a b b N m m --==∈-- 因为*111nn n n a a b b N m ----=∈-, 所以11n n a a m --≥-又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++-(1)(1)(1)m m m ≥-+-++-=2(1)m -所以2(1)2048m -≤,所以46m ≤ 又*20481N m ∈-, 所以33m ≤例如:6463n a n =-(133n ≤≤),满足题意, 所以m 的最大值是33.【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
海淀区高一年级练习数 学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1,0A =--，则U A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．()0,2D ．()1,22．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题“,20x x ∃∈+≤R ”的否定是（ ）A ．,20x x ∃∈+>RB ．,20x x ∃∈+<RC ．,20x x ∀∈+>RD ．,20x x ∀∈+<R 4．方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩解集是（ ）A ．()(){}1,1,1,1--B ．()(){}1,1,2,2-C ．()(){}1,1,2,2--D ．()(){}2,2,2,2-- 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[]10,20，并分成[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b >B ．a c b c +>+C ．22a b >D ．22ac bc >7．函数()22x f x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．在同一个坐标系中，函数()()()log ,,x a a f x x g x a h x x -===的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上单调递减的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()11f x x 2=+ D ．()3f x x = 10．已知0.1232,log 3,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>11．已知函数()1212x f x a =-+，则“1a =”是()f x 为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2log 12f x x x =++-，则不等式()0f x <的解集为A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,+∞13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若1D r N=，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．32log 2 14．已知函数()2,,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,4⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ C ．[]4,0 D ．12,4⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分15．函数()()lg 1f x x =-的定义域是__________．16．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =___________．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则a b -=___________．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为12,s s ，则1s ____2s （用“<，>或=”连接）．18．已知函数()4f x x a x=+-没有零点，则a 的一个取值为_______；a 的取值范围是___________．19．已知函数()22,0,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 的单调递增区间为________；满足()4410f x <⨯的整数解的个数为____________（参考数据：lg 20.30≈）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为()()[],0,1,01aa a x S x x a x x =∈>+-（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①()S x 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()S x 在[]0,1上单调递增；③()S x 关于12x =对称； ④取定x ，外部性强度a 越大，()S x 越小．其中所有正确结论的序号是______________．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（本小题12分）化简求值：（I ）()10.530.204640.13π927-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （II ）5log 333325log 2log 59-+ 22．（本小题12分）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x求值：（I ）2212x x +；（II ）1211x x + 23．（本小题9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B ：石窟寺”、“C ：古建筑及历史纪念建筑物”、“D ：石刻及其他”、“E ：古遗址”、“F ：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（I ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（II ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（III ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为1P ，抽不到海淀区的概率记为2P ，试判断1P 和2P 的大小（直接写出结论）．24．（本小题9分）已知集合{}25320,22|A x x x B x x ⎧⎫=--<=-≥⎨⎬⎩⎭（I ）求,R A B A B ；（II ）记关于x 的不等式()222440x m x m m -+++≤的解集为M ，若B M R =，求实数m 的取值范围．25．（本小题11分）已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =-++，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：()()0f x f x +-=条件②：()()0f x f x --=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（I ）求实数k 的值；（II ）设函数()()()11k F x x x =-+，判断函数()F x 在区间上()0,1的单调性，并给出证明；（III ）设函数()()2k g x f x x k =++，指出函数()g x 在区间()1,0-上的零点的个数，并说明理由．26．（本小题11分）已知函数()()(),,f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（I ）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于()2f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（II ）设()()()22()20,1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（III ）在（II ）的条件下，若()g x 与()f x 关于()11x x e x e ω-=+唯一交换，求a 的值．。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
(压轴题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元2．若一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为5，方差为2，则12323,23,23x x x ---，4523,23x x --的平均数和方差分别为（ ）A ．7，-1B ．7，1C ．7，2D ．7，83．已知变量x ，y 的关系可以用模型kx y ce =拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据下：x 16 17 18 19 z50344131由上表可得线性回归方程4z x a =-+，则（ ） A ．4-B ．4e -C ．109D ．109e4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度5．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（ ）A ．48B ．60C ．64D ．726．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．637．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08158．如图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为12s s 、，那么（ ）（注:标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-A ．1212,x x s s >>B ．1212,x x s s ><C ．1212,x x s s <<D ．1212,x x s s9．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，810．某校为了提高学生身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解报名学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12,则该校报名学生总人数（ ）A ．40B ．45C ．48D ．5011．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位12．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．11二、填空题13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.14．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.15．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人. 16．给出下列命题：①若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ②点(2,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,3)；③通过回归方程y bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，所以2()sin(1)f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确. 其中真命题的序号是__________． 17．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．18．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．19．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．20．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．三、解答题21．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份i 7 8 9 10 11 12 销售单价i x （元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5 销售量i y （元）111086514y x （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 22．我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善,也加重了北方地区冬季的雾霾天气.推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容.2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加，下面条形图反映了某省2018年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量.（1）在给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y 随月份t 变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y 与t 之间具有线性相关性；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量.参考数据：7772111y9.24,t39.75,0.53,7 2.646i i ii i iiy=====⋅≈≈∑∑∑（y-y）.参考公式：相关系数()()()()()()11112211,ni i n n nii i i i in ni i ii ii it t y yr t t y y t y t yt t y y======⋅--=⋅--=-⋅-⋅-∑∑∑∑∑∑.回归方程ˆy a bt=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,ni iiniit t y yb a y btt t==⋅--==-⋅-∑∑.23．某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12)[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？24．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x（分钟）时刻的细菌个数为y个，统计结果如下：x12345y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x，y的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y关于x的回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni iiniix y nx yx naxb y bx====---∑∑）25．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度（单位：C︒）212324272932死亡数y（单位：株）61120275777经计算：611266iix x===∑，611336iiy y===∑，()()61557i iix x y y=--=∑，()62184iix x=-=∑，()6213930iiy y=-=∑，()621ˆ236.64iiy y=-=∑，8.0653167e≈，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i=.（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程ˆˆˆy bx a=+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程0.2303ˆ0.06xy e=，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.26．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：221nii xnx s n=-=∑（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．2．D解析：D 【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果. 【详解】令23(1,2,,5)i i y x i =-=1234555x x x x x x ++++==,1234523232323232310375x x x x x y x -+-+-+-+-∴==-=-=，（也可()(23)2()32537E y E x E x =-=-=⨯-=） ()()()2y 232428D D x D x =-==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.3．D解析：D由已知求得x 与z 的值，代入线性回归方程求得a ，再由kxy ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+，结合z lny =，得z lnc kx =+，则109lnc =，由此求得c 值．【详解】 解：1617181917.54x +++==，50344131394z +++==． 代入4z x a =-+，得39417.5a =-⨯+，则109a =．∴4109z x =-+，由kx y ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+， 令z lny =，则z lnc kx =+，109lnc ∴=，则109c e =． 故选：D ． 【点睛】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．4．A解析：A 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．5．B解析：B 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=，【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.8．C解析：C 【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小 【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为： (1)53565758617072，，，，，， (2)54565860617273，，，，，，()()11503678112022617x kg =+⨯++++++=，()()215046810112223627x kg =+⨯++++++=，1s ==，2s == 则1212,x x s s << 故选C 【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图10．C解析：C 【分析】根据频数关系，求出前三段每段的频数，由直方图求出四五组的频率，进而求出前三组的频率和，从而可求该校报名学生的总人数. 【详解】从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12，∴从左到右3个小组的频数分别为6,12,18，共有36人，第4,5小组的频率之和为()0.03750.012550.25+⨯=， 则前3小组的频率之和为10.250.75-=， 则该校报名学生的总人数为360.7548÷=，故选C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.11．C解析：C 【解析】 【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C. 【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.12．D解析：D 【解析】分析：一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；；依此规律求解即可．详解：：∵一组数据12,,,n x x x 的平均数为3， ∴另一组数据1232,32,,32n x x x +++的平均数121211323232[32]33211n n x x x x x x n n n=++++⋯++=++⋯++=⨯+=（）（）， 故选D.点睛：本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．二、填空题13．3【分析】先由频率之和等于1得出的值计算身高在的频率之比根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数【详解】身高在的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【点睛】本题主要考查了根据频率分解析：3 【分析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数. 【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.14．3【分析】根据频率分布直方图求得不小于40岁的人的频率及人数再利用分层抽样的方法即可求解得到答案【详解】根据频率分布直方图得样本中不小于40岁的人的频率是0015×10+0005×10=02所以不小解析：3 【分析】根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案． 【详解】根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2， 所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人， 在[50，60）年龄段抽取的人数为0.0051010012320⨯⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．40【分析】设应从B 校抽取n 人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分层抽样的解析：40 【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果． 【详解】设应从B 校抽取n 人，某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人， 在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为40． 【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．②③【解析】分析：根据函数的周期性可判断①；根据垂直平分线的几何特征可判断②；根据回归直线的实际意义可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义可判断④详解：①若函数满足则函数是周期为2的周期函数但不一定解析：②③ 【解析】分析：根据函数的周期性，可判断① ；根据垂直平分线的几何特征，可判断②；根据回归直线的实际意义，可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义，可判断④.详解：①若函数()y f x =满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 是周期为2的周期函数，但不一定具有对称性，①错误；②点()()2,1?0,3确定直线的斜率为1-，与直线 10x y -+=垂直，且中点()1,2在直线10x y -+=上，故点()()2,1?0,3关于直线10x y -+=的对称，②正确； ③通过回归方程ˆˆˆy bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势，③正确；④正弦函数是奇函数，()()2sin 1f x x =+是正弦函数，所以()()2sin 1f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是小前提不正确，④错误，故答案为②③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的周期性、点关于直线对称、以及回归分析与“三段论”，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤ 【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.18．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1 【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果.详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.19．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率解析：12 【解析】 分析：由频率=频数样本容量，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.20．35【解析】79+78+80+80+x+85+92+967=85解得x=5根据中位数为83可知y=3故yx=35 解析：【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.三、解答题21．（1） 3.240ˆyx =-+；（2）可以认为所得的回归直线方程是理想的；（3）该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大． 【分析】（1）计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数W ，根据二次函数的图象与性质求最大值即可． 【详解】 （1）因为1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，则8( 3.2)00ˆ14a =--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+ （2）剩余数据为12月份，此时8.5x =，14y =，现进行检测，当8.5x =时，ˆ 3.28.54012.8y=-⨯+=，则ˆ||12.814 1.22y y -=-=<，所以可以认为所得的回归直线方程是理想的． （3）令销售利润为W ，则22( 2.5)( 3.240) 3.248100 3.2(7.5)80W x x x x x =--+=-+-=--+．∴当7.5x =时，W 取最大值．所以该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系，如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .22．（1）散点图见解析，y 与t 的线性相关性相当高，理由见解析；（2）0.920.1011 2.02y =+⨯=，2.02万户.【分析】（1）根据表格中对应的t 与y 的关系，描绘散点图，并根据参考数据求r ，说明相关性；（2）根据参考数据求ˆb和ˆa ，求回归直线方程，并令11t =，求y 的预测值.【详解】（1）作出散点图如图所示：由条形图数据和参考数据得()()7722114,0.53iii i t t t y y ===⋅-=⋅-≈∑∑，()()77711139.7549.24 2.79ii i i i i i i tty y t y t y ===⋅--=-=-⨯=∑∑∑，2.790.990.532 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关性相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由9.24 1.327y ==及（1）得()()()717212.79ˆ0.1028iii i i t t y y b t t==⋅--==≈⋅-∑∑， ˆˆ 1.320.1040.92ay bt =-≈-⨯=，所以，y 关于t 的回归方程为：0.920.10y t =+. 将11t=代入回归方程得：0.920.1011 2.02y =+⨯=，所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户. 【点睛】关键点点睛：本题考查回归直线方程，此类问题的关键是根据参考数据和公式相结合，求ˆb和ˆa ，一般计算量较大，需计算严谨，准确. 23．(1) x =0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）23. 【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出x 的值；（2）根据频率分布直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，由最高矩形的数据组中点为众数；中位数两边的频率相等，由此求出中位数；（3）求出抽取比例数，计算应抽取的户数； （4）利用列举法，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x +0.05+0.025)=1， 解得x =0.075；由图可知,最高矩形的数据组为[6,8)，所以众数为()16872+=； (2) [2,6)内的频率之和为 (0.02+0.095+0.11)×2=0.45；设中位数为y ，则0.45+(y −6)×0.125=0.5， 解得y =6.4，∴中位数为6.4；平均数为()210.0230.09550.1170.12590.075110.025 5.36⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (3)月平均用电量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为0.0520.1250.0750.050.02511=+++，∴月平均用电量在[10,12)的用户中应抽取11×211=2(户). （4）月平均用电量在[12,14)的用户中应抽取11×111=1(户)， 月平均用电量在[10,12)的用户设为A 、B , 月平均用电量在[12,14)的用户设为C ，从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户共有 ,,AB AC BC ，3种情况， 其中，抽取的两户不是来自同一个组的有,,AC BC ，2种情况， 所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为23. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.24．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果； （Ⅱ）利用公式代入数据计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑。
高中数学必修3测试题答案详解
4．某市公用电话（市话）的收费标准为： 3 分钟之内（包括 3 分钟）收取 0.30 元；超过 3 分钟部分按 0.10 元/分钟加收费。设计一个程序，根据通话时间计算话费。
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（数学 3 必修）第一章：算法初步
[综合训练 B 组]
一、选择题
1．用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是（ ） A． 3 B． 9 C．17 D． 51
2．当 x 2 时，下面的程序段结果是 ( )
i=1
s=0
WHILE i<=4
s=s*x+1
i=i+1
WEND
PRINT s
END
A． 3 B． 7
C．15
D．17
③求三个数 a, b, c 中输入一个数的最大数.
④求函数
f
(x)
x x
1, x 0 2, x 0
的函数值.
其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3．右边程序执行后输出的结果是（ ）
A. 1 B． 0 C．1 D． 2
4．意大利数学家菲波拉契,在 1202 年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养 到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活 并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应 有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.
本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编 写，每章分三个等级：[基础训练 A 组]，
2019-2020学年高中数学人教版必修三阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二） （A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6. 10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12. 答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57，∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定．16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2， b ^＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．（B卷能力素养提升）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( )A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是( )A．总体B．个体C ．样本D ．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是( )A ．1,2，…，106B ．0,1,2，…，105C ．00,01，…，105D ．000,001，…，105解析：选D 由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s 甲＝3，s 乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②③④解析：选D 运用计算公式x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n ，则n ×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n ＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9. 答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？解：(2)(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487，(1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17xiyi －7x － y－∑i ＝17x2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75.a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－＋0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．。
【人教A版】2019学年高中数学必修三练习全集(Word版,含答案)
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.下列关于算法的说法中正确的个数有 ( B )①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步骤操作之后停止;③x2-x>2 019是一个算法;④算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.42.下列所给问题中,不能设计一个算法求解的是 ( D )A.用“二分法”求方程x2-3=0的近似解(精确度0.01)B.解方程组C.求半径为2的球的体积D.求S=1+2+3+…的值3.( B )A.输出a=10B.赋值a=10C.判断a=10D.输入a=14.如图所示的程序框图,已知a1=3,输出的结果为7,则a2的值是( C )A.9B.10C.11D.125.如图所示的流程图,当输入的值为-5时,输出的结果是 ( D )A.-3B.-2C.-1D.26.根据如图所示的程序框图,使得当成绩不低于60分时,输出“及格”,当成绩低于60分时,输出“不及格”,则 ( A )A.框1中填“是”,框2中填“否”B.框1中填“否”,框2中填“是”C.框1中填“是”,框2中可填可不填D.框2中填“否”,框1中可填可不填7.下面是某人出家门先打车去火车站,再坐火车去北京的一个算法,请补充完整.第一步,出家门.第二步, 打车去火车站.第三步,坐火车去北京.8.使用配方法解方程x2-4x+3=0的算法的步骤是②①④③(填序号).①配方得(x-2)2=1;②移项得x2-4x=-3;③解得x=1或x=3;④开方得x-2=±1.9.执行如图所示的程序框图,则输出的S= 0.99.10.执行如图所示的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= 7.11.设计求1+3+5+7+…+31的算法,并画出相应的程序框图.【解析】第一步:S=0;第二步:i=1;第三步:S=S+i;第四步:i=i+2;第五步:若i不大于31,返回执行第三步,否则执行第六步;第六步:输出S值.程序框图如图.12.设计一个算法求满足10<x2<1 000的所有正整数,并画出程序框图.【解析】算法步骤如下:第一步,x=1.第二步,如果x2>10,那么执行第三步;否则执行第四步.第三步,如果x2<1 000,那么输出x;否则结束程序.第四步,x=x+1,转到第二步.程序框图如图:13.执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的k= ( B )14.如图所示的程序框图所表示的算法的功能是 ( C )A.计算1+++…+的值B.计算1+++…+的值C.计算1+++…+的值D.计算1+++…+的值15.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,最后输出的结果为16.若框图所示程序运行的输出结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是k≤10?或k<11?.17.已知直线l1:3x-y+12=0和直线l2:3x+2y-6=0,设计一个算法,求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积.【解析】算法如下:第一步,解方程组得l1,l2的交点为P(-2,6).第二步,在方程3x-y+12=0中,令x=0,得y=12,从而得到l1与y轴的交点为A(0,12).第三步,在方程3x+2y-6=0中,令x=0,得y=3,从而得到l2与y轴的交点为B(0,3).第四步,求出△ABP的边长AB=12-3=9.第五步,求出△ABP的边AB上的高h=2.第六步,根据三角形的面积公式计算S=·AB·h=×9×2=9.第七步,输出S.18.利用梯形的面积公式计算上底为4,下底为6,面积为15的梯形的高.请设计出该问题的算法及程序框图.【解析】根据梯形的面积公式S=(a+b)h,得h=,其中a是上底,b是下底,h是高,S是面积,只要令a=4,b=6,S=15,代入公式即可.算法如下:第一步,输入梯形的两底a,b与面积S的值.第二步,计算h=.第三步,输出h.该算法的程序框图如图所示:C组培优练(建议用时15分钟)19.执行如图所示的程序框图所表达的算法,如果最后输出的S值为,那么判断框中实数a的取值范围是[2 015,2 016).20.运行如图所示的程序框图.(1)若输入x的值为2,根据该程序的运行过程完成下面的表格,并求输出的i与x的值.(2)若输出i的值为2,求输入x的取值范围.【解析】(1)因为162<168,486>168,所以输出的i的值为5,x的值为486.(2)由输出i的值为2,则程序执行了循环体2次,即解得<x≤56.所以输入x的取值范围是.分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.下列给出的输入、输出语句正确的是 ( D )①INPUT a;b;c ②INPUT x=3③PRINT A=4 ④PRINT20,3A.①②B.②③C.③④D.④2.下列所给的运算结果正确的有 ( B )①ABS(-5)=5; ②SQR(4)=±2;③5/2=2.5;④5/2=2;⑤5MOD2=2.5;⑥3^ 2=9.A.2个B.3个C.4个D.5个3.条件语句的一般形式为:IF A THEN B ELSE C,其中B表示的是( A )A.满足条件时执行的内容B.条件语句C.条件D.不满足条件时,执行的内容4.阅读下面程序:若输入x=5,则输出结果x为 ( B )A.-5B.5C.0D.不确定5.给出如图所示的程序:执行该程序时,若输入的x为3,则输出的y值是 ( B )A.3B.6C.9D.276.下列语句执行完后,A,B的值各为6,10.7.下列程序执行后结果为3,则输入的x值为±1.8.如图所示的程序运行后,输出的值为44.9.运行程序:在两次运行中分别输入8,4和2,4,则两次运行程序的输出结果分别为4,2.10.读如图所示的判断输入的任意整数x的奇偶性的程序,并填空.11.下面程序的算法功能是:判断任意输入的数x,若是正数,则输出它的平方值;若不是正数,则输出它的相反数.12.下面两个程序最后输出的“S”分别等于21,17.13.阅读下列程序:如果输入的t∈[-1,3],则输出的S∈ ( A )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]14.如图所示,如果下面程序中输入的r=,f(r)是用来求圆内接正方形边长a的一个函数,则输出的结果为 ( C )A.4B.6.28C.2.28D.3.1415.读程序,写出程序的意义:16.执行下面的程序,如果输入N=4,那么输出的S=17.某代销点出售《无线电》《计算机》《看世界》三种杂志,它们的定价分别为1.20元、1.55元、2.00元,编写一个程序,求输入杂志的订购数后,立即输出所付金额.【解析】程序如下:18.某城市出租车公司规定在城区内搭乘出租车的收费标准为:不超过3公里收7元,超过3公里的里程每公里收1.5元,另每车次超过3公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素).请画出计算出租车费用的程序框图,并写出程序.【解析】设x为出租车行驶的公里数,y为收取的费用,则y=即y=程序框图如图所示:y=1.5C组培优练(建议用时15分钟) 19.用UNTIL语句写出计算12+22+32+…+n2的值的程序.【解析】20.如图所示,在边长为16的正方形ABCD的边上有一动点P,点P沿边线由B→C→D→A(B为起点,A为终点)运动.若设P运动的路程为x,△APB的面积为y,试写出程序,根据输入的x值,输出相应的y值.【解析】由题意可得函数关系式为:y=显然需利用条件语句的嵌套或叠加编写程序.程序如下:分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下:16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公约数是( A )A.4B.12C.16D.82.在m=nq+r(0≤r<n)中,若k是n,r的公约数,则k m,n的公约数.( A )A.—定是B.不一定是C.一定不是D.不能确定3.有关辗转相除法下列说法正确的是 ( C )A.它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r<n为止C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r(0≤r<n),反复进行,直到r=0为止D.以上说法皆错4.已知7 163=209×34+57,209=57×3+38,57=38×1+19,38=19×2.根据上述一系列等式,可确定7 163和209的最大公约数是( C )A.57B.3C.19D.345.把389化为四进制数,则该数的末位是 ( A )A.1B.2C.3D.46.用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值,当x=x0时,求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( C )A.,n,nB.n,2n,nC.0,n,nD.0,2n,n7.用更相减损术求36与134的最大公约数时,第一步应为先除以2,得到18与67.8.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是2.9.三位七进制数表示的最大的十进制数是342.10.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3,则输出v的值为48.11.将1234(5)转化为八进制数.【解析】先将1234(5)转化为十进制数:1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.再将十进制数194转化为八进制数:所以1234(5)=302(8).12.用秦九韶算法计算多项式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当x=2时的值.【解析】将f(x)改写为f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64, v0=1,v1=1×2-12=-10,v2=-10×2+60=40,v3=40×2-160=-80,v4=-80×2+240=80,v5=80×2-192=-32,v6=-32×2+64=0.所以f(2)=0,即x=2时,原多项式的值为0.B组提升练(建议用时20分钟)13.下列各数中最小的数为 ( A )A.101011(2)B.1210(3)C.110(8)D.68(12)14.《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的一段话“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之”用程序框图表示如图,那么这个程序的作用是( B )A.求两个正数a,b的最小公倍数B.求两个正数a,b的最大公约数C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除D.判断两个正数a,b是否相等15.用秦九韶算法求多项式f(x)=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值,v2的结果是 ( D )A.-4B.-1C.5D.616.396与270的最大公约数与最小公倍数分别为18,5 940.17.已知一个k进制的数123(k)与十进制的数38相等,求k的值. 【解析】由123(k)=1×k2+2×k1+3×k0=k2+2k+3,得k2+2k+3=38,所以k2+2k-35=0,所以k=5或k=-7(舍),所以k=5.18.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6,当x=-4时,v4的值.【解析】依据秦九韶算法有v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×(-4)+5=-7,v2=v1x+a4=-7×(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34×(-4)+79=-57,v4=v3x+a2=-57×(-4)+(-8)=220.C组培优练(建议用时15分钟)19.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值,当x=x0时,框图中A处应填入a n-k.20.三个数168,54,264的最大公约数为6.单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是( B )A.算法就是某个问题的解题过程B.算法执行后可以产生不同的结果C.解决某一个具体问题算法不同,则结果不同D.算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施2.在程序框图中,算法中间要处理数据或计算,可以分别写在不同的( A )A.处理框内B.判断框内C.输入、输出框内D.起、止框内3.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程.从下列选项中选出最好的一种算法 ( C )A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,吃饭.第六步,听广播B.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭.第五步,听广播C.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭同时听广播D.第一步,吃饭同时听广播.第二步,泡面.第三步,烧水同时洗脸刷牙.第四步,刷水壶4.将51化为二进制数得( C )A.11001(2)B.101001(2)C.110011(2)D.10111(2)5.下列是流程图中的一部分,表示恰当的是( A )6.如图所示的程序框图,下列说法正确的是( D )A.该框图只含有顺序结构、条件结构B.该框图只含有顺序结构、循环结构C.该框图只含有条件结构、循环结构D.该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构7.如图所示的程序框图,其功能是 ( C )A.输入a,b的值,按从小到大的顺序输出它们的值B.输入a,b的值,按从大到小的顺序输出它们的值C.求a,b的最大值D.求a,b的最小值8.(2018·哈尔滨高二检测)程序框图如图所示,若输入p=200,则输出结果是 ( B )A.9B.8C.7D.69.如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”.执行该程序框图,若输入的N=3,则输出的i= ( C )A.6B.7C.8D.910.下面的程序运行后的输出结果为( C )A.17B.19C.21D.2311.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n= ( A )A.4B.5C.2D.312.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为43,则判断框内应填入的条件是 ( A )A.z≤42?B.z≤20?C.z≤50?D.z≤52?二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.程序框图如图所示.若输出结果为15,则①处的执行框内应填的是x=3.14.如图所示的程序框图所表示的算法,输出的结果是2.15.如图程序执行后输出的结果是990.16.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x,当x=2时f(x)的值为240.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)10x1(2)=y02(3),求数字x,y的值.【解析】因为10x1(2)=1×20+x×21+0×22+1×23=9+2x,y02(3)=2×30+y ×32=9y+2,所以9+2x=9y+2且x∈{0,1},y∈{0,1,2},所以x=1,y=1.18.(12分)分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数.【解析】(1)辗转相除法:779=209×3+152,209=152×1+57,152=57×2+38,57=38×1+19,38=19×2.所以779与209的最大公约数为19.(2)更相减损术:779-209=570,570-209=361,361-209=152,209-152=57,152-57=95,95-57=38,57-38=19,38-19=19.所以779和209的最大公约数为19.19.(12分)有一堆桃子不知数目,猴子第一天吃掉一半,觉得不过瘾,又多吃了一个.第二天照此办法,吃掉剩下桃子的一半另加一个.天天如此,到第十天早上,猴子发现只剩一个桃子了.问这堆桃子原来有多少个?请写出算法步骤、程序框图和程序.【解析】算法如下:第一步,a1=1.第二步,i=9.第三步,a0=2×(a1+1).第四步,a1=a0.第五步,i=i-1.第六步,若i=0,执行第七步,否则执行第三步.第七步,输出a0的值.程序框图和程序如图所示:20.(12分)设计程序框图,求出××××…×的值.【解析】程序框图如图所示:21.(12分)给出30个数:1,2,4,7,11,…,其规律是:第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3……以此类推,要计算这30个数的和,现在已知该问题的算法的程序框图如图所示.(1)请在图中判断框和处理框内填上合适的语句,使之能实现该题的算法功能.(2)根据程序框图写出程序.【解析】(1)该算法使用了当型循环结构,因为是求30个数的和,所以循环体应执行30次,其中i是计数变量,因此判断框内的条件就是限制计数变量i的,故应为“i≤30?”.算法中的变量p实质是表示参与求和的数,由于它也是变化的,且满足第i个数比其前一个数大i-1,第i+1个数比其前一个数大i,故处理框内应为p=p+i.故①处应填i≤30?;②处应填p=p+i.(2)根据程序框图,可设计如下程序:22.(12分)已知某算法的程序框图如图所示,若将输出的(x,y)值依次记为(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9,t),求t的值.(2)程序结束时,共输出(x,y)的组数为多少?(3)写出程序框图的程序语句.【解析】(1)由程序框图知,当x=1时,y=0;当x=3时,y=-2;当x=9时,y=-4,所以t=-4.(2)当n=1时,输出一对,当n=3时,又输出一对,…,当n=2 017时,输出最后一对,共输出(x,y)的组数为1 009.(3)程序框图的程序语句如下:分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.某校有40个班,每班50人,每班选派3人参加“学代会”,在这个问题中样本容量是( C )A.40B.50C.120D.1502.为了解600名学生的视力情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为20的样本,则需要分成几个小组进行抽取( A )A.20B.30C.40D.503.某客运公司有200辆客车,为了解客车的耗油情况,现采用系统抽样的方法按1∶10的比例抽取一个样本进行检测,将客车依次编号为1,2,…,200,则其中抽取的4辆客车的编号可能是( C )A.3,23,63,102B.31,61,87,127C.103,133,153,193D.57,68,98,1084.下列抽样中,适合用抽签法的是 ( B )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验5.某大学数学系共有本科生1 000人,其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本,则应抽取三年级的学生人数为 ( B )A.80B.40C.60D.206.高三某班有学生56人, 现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( C )A.13B.17C.19D.217.为了了解1 203名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取的样本,则抽样间隔k= 30.8.一个总体分为A,B两层,用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为120.9.某校高三年级共有30个班,学校心理咨询师为了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查,若抽到的编号之和为87,则抽到的最小编号为2. 10.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)(单位:人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为30.11.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?(2)用分层抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?【解析】(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目.所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.(2)应抽取大于40岁的观众×5=×5=3(名).12.某批产品共有1 564件,产品按出厂顺序编号,号码从1到1 564,检测员要从中抽取15件产品做检测,请你给出一个系统抽样方案. 【解析】(1)先从1 564件产品中,用简单随机抽样的方法抽出4件产品,将其剔除.(2)将余下的1 560件产品编号:1,2,3,…,1 560.(3)取k==104,将总体平均分为15组,每组含104个个体.(4)从第一组,即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s,104+s,208+s,…,1 456+s共15个编号选出,这15个编号所对应的产品组成样本.B组提升练(建议用时20分钟)13.将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600,采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300住在第Ⅰ营区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600住在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为 ( B )A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,914.某服装加工厂某月生产A,B,C三种产品共4 000件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是( B )A.80B.800C.90D.90015.已知某种型号的产品共有N件,且40<N<50,现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测,若样本容量为7,则不需要剔除;若样本容量为8,则需要剔除1个个体,则N= 49.16.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为50;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 1 015小时.17.某中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:已知高二女生占全校学生总数的19%.(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应从高三抽取多少名?【解析】(1)因为=0.19,所以x=380.(2)高三学生人数为y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,则应从高三抽取×48=12(名).18.为了适应新高考改革,尽快推行不分文理科教学,对比目前文理科学生考试情况进行分析,决定从80名文科同学中抽取10人,从300名理科同学中抽取50人进行分析.由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取,你能选择合适的方法设计抽样方案吗?试一试.【解析】文科生抽样用抽签法,理科生抽样用随机数表法,抽样过程如下:(1)先抽取10名文科同学:①将80名文科同学依次编号为1,2,3, (80)②将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上,制成号签;③把80个号签放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,每次从中不放回地抽取一个号签,连续抽取10次;④与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本.(2)再抽取50名理科同学:①将300名理科同学依次编号为001,002, (300)②从随机数表中任选一数字作为开始数字,任选一方向作为读数方向,比如从随机数表的第4行第1列的数字1开始向右读(如图所示).每次读取三位,凡不在001～300范围内以及重复的数都跳过去,得到号码125,210,142,188,264,…;③这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本.C组培优练(建议用时15分钟)19.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%),现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过( B )A.6粒B.7粒C.8粒D.9粒20.某合资企业有150名职工,要从中随机抽出20人去参观学习.请用抽签法和随机数法进行抽取,并写出过程.(随机数表见课本附表) 【解析】方法一(抽签法):先把150名职工编号:1,2,3,…,150,把编号分别写在相同的小纸片上,揉成小球,放入一个不透明的袋子中,充分搅拌均匀后,从中逐个不放回地抽取20个小球,这样就抽出了去参观学习的20名职工.方法二(随机数法):第一步,先把150名职工编号:001,002,003, (150)第二步,从随机数表中任选一个数,如第10行第4列数0.第三步,从数字0开始向右连续读数,每3个数字为一组,在读取的过程中,把大于150的数和与前面重复的数去掉,这样就得到20个号码如下:086,027,079,050,074,146,148,093,077,119,022,025,042,045,12 8,121,038,130,125,033.(答案不唯一)分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.画样本频率分布直方图时,决定组数的正确方法是( C )A.任意确定B.一般分为5～12组C.由决定D.根据经验法则,灵活掌握2.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为 ( B )A.4B.8C.12D.163.一个容量为35的样本数据,分组后,组距与频数如下:[5,10),5;[10,15),12;[15,20),7;[20,25),5;[25,30),4;[30,35),2.则样本在区间[20,+∞)上的频率约为 ( C )A.20%B.69%C.31%D.27%4.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( B )A.0.2B.0.4C.0.5D.0.65.为了解学生“阳光体育”活动的情况,随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位:分钟),所得数据都在区间[10,110]内,其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在[10,35)内的频数为80,则n 的值( B )A.700B.800C.850D.9006.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试,现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:据此估计允许参加面试的分数线大约是( B )A.75B.80C.85D.907.如图是100位居民月平均用水量的频率分布直方图,则月平均用水量为[2,2.5)范围内的居民数有25人.8.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学有300名员工参加环保知识测试,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50),得到的频率分布直方图如图所示.现在要从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取16人,则在第4组中抽取的人数为6.9.已知样本:7 10 14 8 7 12 11 10 8 1013 10 8 11 8 9 12 9 13 12那么这组样本数据落在范围8.5～11.5内的频率为0.4.10.空气质量指数(Air Quality Ind,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0～50为优;51～100为良;101～150为轻度污染;151～200为中度污染;201～300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为146.(该年为365天)11.某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30;这20名工人年龄的极差为40-19=21.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图如下:12.张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度,随机对15～65岁的人群抽取n 人,问题是“大佛寺是几A 级旅游景点?”统计结果如下图表.(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人.【解析】(1)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为=25,结合频率分布直方图可知n==100,所以a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27,x==0.9,y==0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人,所以利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为第2组:×6=2(人);第3组:×6=3(人);第4组:×6=1(人).B组提升练(建议用时20分钟)13.AQI是表示空气质量的指数,AQI越小,表明空气质量越好,当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI为201.则下列叙述不正确的是 ( C )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI的中位数是90D.从4日到9日,空气质量越来越好14.某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图如下:分组成[10,20),[20,30),[30,39]时,所作的频率分布直方图是( B )。
江苏省无锡市江阴市2022-2023学年高三上学期期末考试+数学+Word版含解析
江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷数 学2023.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知全集U =R ，集合{}10A x x =－＞，{}02B x x =<<，则()RA B =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}2x x ≤C ．{}1x x ≤D ．{}12x x ≤<2．已知i 为虚数单位，复数()()32i 1i z a =＋＋为纯虚数，则z =（ ）A ．0B ．12C ．2D ．53．给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A ．a b >是33a b >的充分不必要条件 B ．αβ>是cos cos αβ<的必要不充分条件 C ．0a =是函数()()32f x x axx =∈R ＋为奇函数的充要条件D ．()()23f f <是函数()f x =[)0,+∞上单调递增的既不充分也不必要条件4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A B C ．19D ．1275．函数()233x xf x x --=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知一个等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为P ，Q ，R ，则下列等式正确的是（ ） A ．P Q R +=B ．2Q PR =C ．()2P Q R Q +-=D ．()22P Q P Q R +=+7．在平面直角坐标系xOy 中，若满足()()x x k y k y -≤-的点(),x y 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≤≤B ．k ≤≤C ．k -≤≤D ．)(0,2⎡⎤⎣⎦8．设π6a =，cos1b =，1sin 3c =，这三个数的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．)21x y +≥ B ．)21xy ≥C ．)21x y +≤D ．)21xy ≤10．已知一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB 的面积为S ，时间t （单位：时），全科免费下载公众号《高中僧课堂》则以下说法中正确的选项是（ ）A ．时针OA 旋转的角速度为h π6rad/-B ．分针OB 旋转的角速度为2πrad/hC ．一小时内（即[)0,1t ∈时），AOB ∠为锐角的时长是511h D ．一昼夜内（即[)0,24t ∈时），S 取得最大值为44次11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件()1,2,3i A i =相互独立 B ．()1845P A B =C ．()13P B =D ．()2631P A B =12．已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，()4,4Q -在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，()4,3M -，()1,1N -，则（ ） A ．PM PF +的最小值为5B ．若线段AB 的中点为M ．则△NAB 的面积为C ．若NA NB ⊥，则直线的斜率为2D ．过点()1,2E 作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，满足直线GH 的斜率为1-，则EF 平分GEH ∠ 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l y x =+与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为__________．14．()()541213x x -+的展开式中x 的升幂排列的第3项为__________．15．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6，则函数()f x 的极小值为__________．16．（第一空2分，第二空3分）已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为3π4，1m n ⋅=-，则向量n =__________；若向量n 与向量()1,0q =的夹角为π2，向量2πcos 2cos 32x p x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，，其中0x a <<，当n p ∈⎣⎭+时，实数a 的取值范围为__________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题．．卡相应的位置上．．．．．．．．）17．（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()221*n n a a n =+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n n b -=，令n n n c a b =，求数列{}n a 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布()90,100N ，航天员在此项指标中的要求为110ξ≥．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为14，且相互独立．（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X ，请计算X 的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y 的期望值．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X a μσμ-<<+=，()33P X a μσμ-<<+0.9973=．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AP DP ⊥，1AE =，2AP =，DP =3CD =，AB CD ∥，AB ⊥平面P AD ，点M 满足()01AM AD λλ=<<．（1）若14λ=，求证：平面PBM ⊥平面PCM ；（2）设平面MPC 与平面PCD 的夹角为θ，若tan 6θ=，求λ的值． 21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线()1:10x yC a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为，曲线1C 上的点到原点O ．以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为2C ． （1）求椭圆2C 的标准方程：（2）设AB 是过椭圆2C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上的点（与O 不重合），若M 是l 与椭圆2C 的交点，求△AMB 的面积的取值范围． 22．（本题满分12分） 已知函数()e xf x ax =-．（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若方程e ln x x ax a x =+有两个实数根1x ，2x ，且12x x ≠，证明：()1212ln 2ln x x x x a ++<．江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．【答案】A【解析】{}1A x x =>，{}1A x x =≤R，{}02B x x =<<，(){}01A B x x =<≤R ，选A ．2．【答案】D【解析】()()()2i 1i 22i i 221i z a a a a a =-+=+-+=++-为纯虚数， ∴20a +=，∴2a =-，∴5z =，选D ． 3．【答案】C【解析】“a b >”是“33a b >”的充要条件，A 错．“αβ>”是“cos cos αβ<”的既不充分又不必要条件，B 错．0a =时，()3f x x =是奇函数，充分，()32x x x f a =+为奇函数，则0a =，则为充要条件，故答案选C ． 4．【答案】B【解析】设正六边形的边长为a ，设六棱柱的高为3b ，六棱锥的高为b ，正六棱柱的侧面积26318S ab ab =⋅⋅=，正六棱锥的母线长=11632S =⋅⋅=又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则32b a =，∴23b a =1224183S S a a ==⋅，选B ． 5．【答案】C【解析】()()()233x xf x f x x ---==--，∴()f x 为奇函数关于原点对称，排除B ．0x >时，()0f x >，∴排除D ．()1133f =-，()()1271273319729f f -==->，排除A ，选C ． 6．【答案】D【解析】n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，()()2Q P P R Q -=-， ∴222O PO P PR PQ -+=-，∴()22Q P P R Q +=+，选D ．7．【答案】B【解析】()()x x k y k y --≤，则()220x y k x y +<+<，222222k k k x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭，r =(),x y 都在224x y +≤，则两圆内切或内含．2≤，∴k ≤≤B ．8．【答案】C 【解析】πcos1sin 12⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵1ππ01322<<-<，∴1πsin sin 132c b ⎛⎫<-⇒< ⎪⎝⎭11πsin 336c a =<<=，且0x >时，246cos 12!4!6!x x x x >-+-（泰勒展开式求导易证）∴111131πcos110.540.010.54224720247206>-+-=->-=>，∴b a >， ∴b a c >>，选C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．【答案】AB【解析】()214x y x y xy +++=≤，则2x y +≥，A 对，C 错．1xy x y -=+≥)21xy ≥，B 对，D 错，选AB ．10．【答案】ACD【解析】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，A 对．OB 旋转的角速度为2πrad/h -，B 错．11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，k ∈Z ，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ 则3011t <<或9111t <<，39501111111-+-=，C 对． 11π6sin6S t =的周期为611且每个周期仅岀现一次最大值 故最大值取得的次数为2444611=，D 对，选ACD ．11．【答案】BD 【解析】()149P A =，()229P A =，()33193P A == 先1A 发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，()142105P B A ==，先2A 发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，()2310P B A =，先3A 发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，()3310P B A =．()()()1112485945P A B P B A P A ==⨯=，B 对．()()()22232110915P A B P B A P A ==⨯=，()()()33331110310P A B P B A P A ===⨯=，()()()()()()()112233311903P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=≠，C 错．()()()11P A P B P A B ≠，A 错．()()()()()()2222326109313190P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====，D 对．12．【答案】ACD【解析】()4,4Q -在抛物线()220y px p =>上，∴2p =，抛物线：24y x =，()1,0F ．对于A ，过点P 作抛物线的准线1x =-的垂线FD ，垂足为D ，由抛物线定义可知PF PD =，连接DM ，则PM PF PM PD DM +=+≥ M ，P ，D 三点共线时，PM PF +取最小值314+=，A 对．对于B ，∵()3,2M -为AB 中点，则6A B x x +=，28A B AB x x =++=∵()3,2M -，()1,0F 在直线l 上，1l k =-，∴:1l y x =-+， N 到直经l的距离2d ==12NAB S AB d =⋅=△B 错．对于C ，设:1l x my =+代入24y x =得2440y my --=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，124y y m +=，124y y =-，()()11111,12,1NA x y my y =+-=+-，()222,1NB my y =+-()()()()()()()21212121222111215NA NB my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22412145210m m m m =-++-+=-=，12m =，∴12l k m ==，C 对． 对于D ，()1,2E 在抛物线上且EF x ⊥轴，设233,4y G y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y H y ⎛⎫⎪⎝⎭， 易知EG ，EH 斜率存在，323324214EG y k y y -==+-，442EH k y =+，3441GH k y y ==-+， 则344y y +=-，33440242EG EH k k y y +=+=+--+， 则EF 平分GEH ∠，D 对． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．【答案】221520x y -=【解析】由题意22225ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩221520x y-=．14．【答案】226x -【解析】()512x -展开式第1r +项()()155C 2C 2r rr r r r T x x +=-=-()413x +展开式第1p +项()144C 3C 3ppp p p p T x x +==0r =，2p =，()00222254C 2C 354x x -=，1r =，1p =，()11112254C 2C 3120x x -=-， 2r =，0p =，()22002254C 2C 340x x -=，2222541204026x x x x -+=-．15．【答案】26ln3+【解析】切点()1,16a ，()()625f x a x x'=-+，68k a =- 切线：()()16681y a a x -=--过()0,6，∴12a =()265650x x f x x x x-+'=-+==，2x =或3，()f x 在()0,2，()2,3，()3,+∞，()()326ln3f x f ==+极小值．16．【答案】()0,1-；π2π,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设(),n x y =，1m n x y ⋅=+=-，cos ,2m n m n m n⋅=== ∴10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴()1,0n =-或()0,1-，n 与q 夹角的π2，则()0,1n =-∴π2πcos ,2cos 1cos ,cos 323x n p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()2222π114πcos cos 1cos 21cos 23223n p x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos 2cos 22222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭11π1cos 221cos 2423x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭0x a <<，022x a <<，πππ22333x a <+<+，222n p ⎡+∈⎢⎣⎭，∴π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∴π5ππ233a <+≤，∴π2π33a <≤． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 17．【解析】（1）在ABD △和ACD △中，分别由正弦定理,sin sin ,sin sin AB BD ADB BAD AC CD ADC CAD ⎧=⎪⎪∠∠⇒⎨⎪=⎪∠∠⎩①② ∵sin sin ADB ADC ∠=∠，由AD 平分BAC BAD CAD ∠⇒∠=∠， ∴ AB BD AC DC⇒=①②． （2）∵2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，∴BC ==， ∵AD 平分BAC ∠，由（1）知2BD AB DC AC ==，∴23BD BC == 18．【解析】（1）设{}n a 公差为d ，∴()()1121441442221a d a d a a ⎧-+=⋅+⎪⎨⎪=+⎩ ∴111420112a d a a d d -=⎧=⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩，∴()12121n a n n =+-=-． （2）()1213n n c n -=-⋅ ∴()()0122133353233213n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，①()()()12213333253233213n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，②①-②()2121232323213n n n T n -⇒-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()()16132121332213223213n n n n n n T n n n -⋅--=+--⋅=---⋅=-⋅-- ∴()131n n T n =-⋅+．19．【解析】（1）X 的所有可能取值为1，2，3，4，()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()1133344464P X ==⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯= ∴X 的分布列如下：()48641664E X =+++=．（2）()()10.9545110260.022752P P ξξμ-≥=≥+==． ∴符合该项指标的学生人数为：20000.0227545.546⨯=≈人 每个学生通过投的概率对111114444256⨯⨯⨯=， ∴最终通过学校选拔人数1~46,256Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()4623256128E Y ==． 20．【解析】（1）证明：∵2PA =，PD =AP PD ⊥，∴4AD =． ∵14AM AD =，∴1AM =，而60PAD ∠=︒，∴PM =，∴PM AM ⊥． ∵AB ⊥平面P AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD 且平面ABCD 平面PAD AD =， 由PM ⊂平面P AD ，PM AD PM ⊥⇒⊥平面ABCD ，∴PM BM ⊥，且BM =CM =BC ==222BM CM BC +=，∴BM CM ⊥，又∵PMCM M =，∴BM ⊥平面PCM ． 又∵BM ⊂平面PBM ，∴平面PBM ⊥平面PCM ，或由2225PM BM PB +==，∴BM PM ⊥且BM CM BM ⊥⇒⊥平面PCM ， 所以平面PBM ⊥平面PCM ；（2）如图建系，∵AM AD λ=，∴4AM λ=，∴()0,4,0M λ，(P ，()3,4,0C ，()0,4,0D ，∴()3,44,0MC λ=-，(3,3,PC =，()3,0,0CD =-， 设平面MPC 与平面PCD 的一个法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =， ∴()())()11111134404141330x y n x y λλλ+-=⎧⎪⇒=--⎨+=⎪⎩(2222233030x y n x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，∵tan θ=(1221cos 16n n n n θ⋅=== ()()238403220λλλλ-+=⇒--=，∵01λ<<，∴23λ=． 21．【解析】（1）曲线1C 围成的图形如图∴1222S a b =⋅⋅=封闭图形ab =3=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴椭圆2C 的标准方程为2218xy +=．（2）方法一：①若AB 斜率为0，则112AMB S =⋅=△ ②若AB 斜率不存在，则122AMB S =⋅⋅=△ ③若AB斜率存在且不为0，设AB 方程为y kx =()222281888y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，∴AB == ∵OM AB ⊥，OM ==∴1162ABM S =⋅==△ 令1k t k +=，2t ≥，∴ABM S ==△一方面ABM S <=△169ABM S ≥=△ 综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣． 方法二：设()00,A x y ，()00,M y x λλ-，不妨设0λ>，由A ，M 在椭圆上22002222001,81,8x y y x λλ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩①② ()2200AMB S x y λ=+△，而2200218y x λ+=，③ ①+③()220029118x y λ⇒+=+， 220028119x y λ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭且220028117x y λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭28181199AMB S λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 由2220202241411189781414111197x y λλλλ⎧⎧⎛⎫⎛⎫++-≤⎪ ⎪ ⎪⎪≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⎨⎨≤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+--≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩解得4λ≤≤16899AMB S ⎛≤≤= ⎝⎭△综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣．22．【解析】（1）()e xf x a '=-． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上，()f x 不可能有两个零点；当0a >时，令()0ln f x x a '=⇒=且()f x 在(),ln a -∞上；()ln ,a +∞上， 要使()f x 有两个零点，首先必有()()min ln ln 0e f x f a a a a a ==-<⇒> 当e a >时，注意到()010f =>，()ln 0f a <，()2e 0a f a a =->， ∴()f x 在()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点1x ，2x 符合条件． 综上：实数a 的取值范围为()e,+∞．（2）由()ln e ln e ln x x x x ax a x a x x +=+⇒=+有两个实根1x ，2x ， ∴令ln x x t +=，∴e t at =有两个实根111ln t x x =+，222ln t x x =+， 要证：()1212ln 2ln x x x x a ++<只需证：122ln t t a +<由1212e e t t at at ⎧=⎨=⎩，结合①知1122,ln ln e ln ln ,t a t a t a t =+⎧>⇒⎨=+⎩①② ①+②()12122ln ln t t a t t ⇒+=+⇔证：()122ln ln 2ln a t t a +<，即证：121t t <而1211221212ln ln 101ln ln t t t t t t t t t t --=-⇒=>⇒<<-，证毕！。
(完整word版)高中数学必修3统计与概率
统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
高中数学 专题01 流程图与算法语句分项汇编(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题
专题01 流程图与算法语句一、选择题1．【某某自治区北方重工业集团某某第三中学2017-2018学年高二3月月考】如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B第九次，，满足条件，，第十次，，满足条件，；由条件知不满足条件．故判断框内应填入的条件是．选B．2．【某某八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )A . y ＝x 3B . y ＝3－xC . y ＝3xD . y ＝【答案】C3．【某某某某市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图所示，程序框图的输出值S =（ ）A . 15B . 22C . 24D . 28【答案】C【解析】由程序框图，数据初始化： 1,020i S ==<； 第一次循环： 3,320i S ==<；第二次循环： 5,820i S ==<； 第三次循环： 7,15i S ==20<； 第四次循环： 9,2420i S ==>； 此时结束循环，输出S 值为24. 本题选择C 选项.4．【某某省某某市2018届高三教学质量检查第二次统考】执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（ ）A . 7B . 20C . 22D . 54【答案】B5．【某某省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）A . 2014n ≤B . 2015n ≤C . 2016n ≤D . 2018n ≤【答案】A故选A .6．【人教B 版高中数学必修三同步测试】给出一个算法的程序框图如图所示,该程序框图的功能是( )A . 求出a ,b ,c 三数中的最小数B . 求出a ,b ,c 三数中的最大数C . 将a ,b ,c 从小到大排列D . 将a ,b ,c 从大到小排列【答案】A【解析】由图框可知，第一步判断中的较小数，第二步判断中的较小数与的比较后的较小数。
高中数学(人教版A版必修三)配套课时作业：第三章 概率 3.2.2 Word版含答案
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生课时目标 1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质．1．随机数要产生1～n(n ∈N *)之间的随机整数，把n 个____________相同的小球分别标上1,2,3，…，n ，放入一个袋中，把它们__________，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数． 2．伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照__________产生的数，具有________(________很长)，它们具有类似________的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是______，我们称它们为伪随机数．3．利用计算器产生随机数的操作方法：用计算器的随机函数RANDI(a ，b )或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a ，b )可以产生从整数a 到整数b 的取整数值的随机数． 4．利用计算机产生随机数的操作程序每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel 软件为例，打开Excel 软件，执行下面的步骤：(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的0或1.(2)选定A1格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter 键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”按Enter 键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．一、选择题1．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( ) A.310 B.112 C.4564 D.38 2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是( ) A ．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ，如果x ＝2，我们认为出现2点 B ．我们通常用计算器n 记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m 记录其中有多少次出现2点，置n ＝0，m ＝0C ．出现2点，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变D ．程序结束，出现2点的频率mn作为概率的近似值3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( ) A ．0.50 B ．0.45 C ．0.40 D ．0.354．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.155．从1,2,3，…，30这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或能被5整除的数”的概率是( ) A.710 B.35 C.45 D.1106．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率为( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.14507．对一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1,2,3,4顺序的概率等于________．8．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．9．通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________． 三、解答题10．掷三枚骰子，利用Excel 软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．11．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？能力提升12．从4名同学中选出3人参加物理竞赛，其中甲被选中的概率为( ) A.14 B.12 C.34D ．以上都不对 13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．1．(1)常用的随机数的产生方法主要有抽签法，利用计算器或计算机．(2)利用摸球或抽签得到的数是真正意义上的随机数，用计算器或计算机得到的是伪随机数．2．用整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，利用哪个数字代表哪个试验结果： (1)试验的基本结果等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．答案：3．2.2 (整数值)随机数(random numbers )的产生知识梳理1．大小、形状 充分搅拌 2.确定算法 周期性 周期 随机数 真正的随机数 作业设计1．D [所有子集共8个，∅，{a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为38.]2．A [计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数，包括7，共7个整数．]3．A [两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一．它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个，因此所求的概率为1020＝0.5.]4．D [由题意知基本事件为从两个集合中各取一个数，因此基本事件总数为5×3＝15. 满足b>a 的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个，∴所求概率P ＝315＝15.]5．B6．C [N 取[100,999]中任意一个共900种可能，当N ＝27,28,29时，log 2N 为正整数，∴P＝1300.] 7.112解析 用树形图可以列举基本事件的总数． ①②③④ ②①③④ ③①②④ ④①②③ ①②④③ ②①④③ ③①④② ④①③② ①③②④ ②③①④ ③②①④ ④②③① ①③④② ②③④① ③②④① ④②①③ ①④②③ ②④①③ ③④①② ④③①② ①④③② ②④③① ③④②① ④③②①总共有24种基本事件，故其概率为P ＝224＝112.8.12解析 给3只白球分别编号为a ，b ，c,1只黑球编号为d ，基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6个，颜色不同包括事件ad ，bd ，cd 共3个，因此所求概率为36＝12.9.14解析 由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有3个数字在1,2,3,4,5,6中，这样的随机数有3013,2604,5725,6576,6754共5个，所求的概率约为520＝14.10．解 操作步骤：(1)打开Excel 软件，在表格中选择一格比如A 1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的1～6中的数． (2)选定A 1这个格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A 1∶T 3，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A 1∶T 3的数均为随机产生的1～6的数． (3)对产生随机数的各列求和，填入A 4∶T 4中． (4)统计和为9的个数S ；最后，计算概率S /20.11．解我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数：812932569683271989730537925 834907113966191432256393027556755这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为4＝20%.2012．C[4名同学选3名的事件数等价于4名同学淘汰1名的事件数，即4种情况，甲被选中的情况共3种，∴P＝34.]13．解利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．034743738636964736614698637162 332 616 804 560 111 410 959 774246 762 428 114 572 042 533 237 322707 360 751就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为1130≈0.367.。
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必修三期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．如果输入n ＝3，那么执行右图中算法的结果是( ). A ．输出3 B ．输出4 C ．输出5
D ．程序出错，输不出任何结果
2．一个容量为 1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是( ).
A ．400
B ．40
C ．4
D ．600
3．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( ). A ．
6
1
B ．
4
1
C ．3
1
D ．
2
1 4．用样本估计总体，下列说法正确的是( ). A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大，估计就越精确
C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D ．数据的方差越大，说明数据越稳定 5．把11化为二进制数为( ). A ．1 011(2)
B ．11 011(2)
C ．10 110(2)
D ．0 110(2)
6．已知x 可以在区间[－t ，4t ](t ＞0)上任意取值，则x ∈[－2
1
t ，t ]的概率是( ). A ．
6
1
B ．103
C ．3
1
D ．
2
1 7．执行右图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是( ).
第一步，输入n ． 第二步，n ＝n ＋1． 第三步，n ＝n ＋1． 第四步，输出n ．
A．4
B．2
C．±2或者－4 D．2或者－4
8．右图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得
分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动
员得分的中位数分别是( ).
A．31，26
B．36，23
C．36，26
D．31，23
9．按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是( ).
A．3
B．4
C．5
D．6
10．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是( ).
(1)(2)(3)(4)
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3) 11．右图执行的程序的功能是( ).
A．求两个正整数的最大公约数
B．求两个正整数的最大值
C．求两个正整数的最小值
D．求圆周率的不足近似值
12．已知n 次多项式f (x )＝a n x n
＋a n －1x
n －1
＋…＋a 1x ＋a 0，用秦九韶算法求当x ＝x 0时f (x 0)
的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是( ).
A ．n ，n
B ．2n ，n
C ．
2
1＋)
(n n ，n D ．n ＋1，n ＋1
13．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数(y )与当天气温(x ℃)之间的线性关系，其回归方程为y
ˆ＝－2.35x ＋147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是( ).
A ．140
B ．143
C ．152
D ．156
14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，求点P 落在圆x 2
＋y 2
＝16外部的概率是( ).
A ．
9
5
B ．
3
2
C ．
9
7
D ．
9
8 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 16．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
则排队人数为2或3人的概率为 ．
17．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人．
18．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n －n ，计算数列{a n }的第20项．现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)．
为使之能完成上述的算法功能，则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ；在处理框中(B)处应填上合适的语句是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．(本小题满分8分)
从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
0.000 1
0.000 2 0.000 3 0.000 4 0.000 5 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 月收入/元
频率 组距
20．(本小题满分10分)
按右图所示的程序框图操作：
(1)写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出
的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a n}，请写出数列{a n}
的通项公式；
(2)如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图
所输出的数恰好是数列{2n}的前7项？
(3)如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图
所输出的数恰好是数列{3n－2}的前7项？
21．(本小题满分10分)
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
期末测试题
参考答案
一、选择题： 1．C 2．A
3．A
4．B
5．A
6．B
7．B
8．C
9．C
10．D 11．A 12．A 13．B 14．C 解析：
7．解：如x ≥0，则x 2
＝4，得x ＝2；；
如x ＜0，则由y ＝x ，不能输出正值，所以无解．故选B ． 14．解：点P (m ，n )的坐标的所有可能有6×6＝36种， 而点P 在圆x 2
＋y 2
＝16内部只有8种，即
⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ， 故点P 在圆x 2＋y 2
＝16内部概率为92，而点P 落在该圆外部的概率为9
7． 二、填空题：
15． 785，567，199，810． 16． 0.6．
17． 16．
18．n ≤19?(或n ＜20?)；S ＝S －n ．
三、解答题：
19．解：(1)计算得甲x ＝8，乙x ＝8； s 甲≈1.41，s 乙≈1.10．
(2)由(1)可知，甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等，但s 乙＜s 甲，这表明乙的成绩比甲更稳定一些． 从成绩的稳定性考虑，选择乙参赛更合适．
20．解：(1)输出的数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13}； 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *且n ≤7．
(2)将A 框内的语句改为“a ＝2”即可． (3)将B 框内的语句改为“a ＝a ＋3”即可．
m ＝1 n ＝3 m ＝1 n ＝1 m ＝1 n ＝2 m ＝2 n ＝1 m ＝2 n ＝2 m ＝2 n ＝3 m ＝3 n ＝1 m ＝3
n ＝2
21．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ， 用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )＝164＝4
1． 答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
4
1． (2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ， 则B ＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (A )＝
167． 答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
16
7．。