横波和纵波横波质元的振动方向与波动的传播方向垂直纵波
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波射线(波线)：波的传播方向
在各向同性媒介中，波线与波面 垂直
波阵面 波射线
波阵面 波射线
球面波
平面波
四.弹性体的变形规律
弹性：外力去除后，物体的变
形随之消失的性质
f
基本变形：
f
拉伸、压缩、剪切 f V f
1.弹性体的体积变形 f V0 f 立方体受正压力f 作用 体变
胁强(应力) p f
f
x
u
----t’ 时刻波线上各质点的位移
波动方程的其他形式
y A2cosTt2xuu T
Acos2 t T x
Acos2 t x
Acos t kx
其中 k 2 ----角波数
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
波动沿 x 轴负向传播，波动方程为
y Acos[ (t x u) ]
解：在真空中有
D
E
0
B
BH0D
t t
且 D 0E B 0H
( E) ( E) 2E 2E
又
(
E)
B
B
t t
2
E
00
0 0
2E
t 2
2E t 2
同样可得
2B
00
2B t 2
沿x方向传播时
2E x 2
00
2E t2
2B x 2
00
2B t2
----平面电磁波波动方程 真空中波速
S
fV f
胁变(应变) V V V0 V0 f
V0
V0
体变
定义 B p V /V0
----体变弹性模量
Βιβλιοθήκη Baidu
2.弹性体的拉伸和压缩变形
设柱体受拉力作用
l
胁强 f
S
f
胁变 l
l
定义 Y
l / l
S
f
l l
长变
----杨氏模量
3.弹性体的剪切形变
f
设柱体受切向力作用
胁强 f
S
f
胁变
切变
当x 一定时(设为x’)
u
y(t) Acos[ (t x') ]
u y 振动曲线
令 ' x' u
O
t
y(t) Acos( t ')
---- x’处质点的谐振动
当 t 一定时(设为t’)
y( x) Acos[(t' x ) ]
令 ' t'
u
y
t’时刻的 波形曲线
y( x) Acos( x ') O
x)]
u
2y 1 2y x2 u2 t2
----平面波波动方程的微分形式
上式反映一切平面波的共同特 征
服从该式的任何物理量或系 统，一定是以u速度沿x方向 传播的平面波
波线上任一点的振动速度v是 t 的函数。而波的传播速度u(即相 速)，与 t 无关
[例1]由麦克斯韦方程组说明真空 中电磁波为平面波。
---- 经t波形沿波线传播了x的距离
y x x
AB
A' t t
0
tx
振动状态传输A B
波动方程 y x x
反映了各质 元的振动
0
t t t
AB
A' t t
tx
质元相位
(t x ) (t t x )
u
u
质元的振动 A A'
y( x, t) Acos[(t x ) ]
二.波动方程的微分形式 波线上任一点的振动速度
v y Asint x u
t
v y Asint x u
t
加速度
2y v a t2 t
2 Acos[(t x ) ]
u
y Acos[ (t x u) ]
2 y t2
2 Acos[(t
x) u
]
又
2 y x 2
2
u2
Acos[(t
x
x
y( x, t )
y0 (t
) u
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
----平面谐波的波动方程
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
波动方程反映了波形的传播
(t x ) (t t x ut )
u
u
(t t x x )
u
y(x, t) y( x x, t t)
§16-1 机械波的产生和传播
一.机械波产生的条件----波源和介质 机械波源：作机械振动的物体 弹性介质：质元之间彼此有弹性 力联系的物质
二.两类机械波----横波和纵波 横波：质元的振动方向与波动 的传播方向垂直
纵波：质元的振动方向与波 动传播方向平行
三.波阵面和波射线 波阵面(波面)： 某一时刻振动相 位相同的各点连成的面(同相面) 波前：波面中最前面的波面
c 1 2.9979 108 m/s
00
[例2]沿x轴正向传播的平面余弦波,原点 的振动方程为
y 6102 cos( t 9 3)米
波长=36米，试求： 波动方程；
x=9米处质点的振动方程； t =3秒时 的波形方程和该时刻各波峰的位置坐标
解： 设所求波动方程为
y(x, t) Acos[(t x u) ]
波峰处有
cos( 2
3 x)
18 1
3 18
2 x 2k
3 18
得 x (12 36k) k 0,1,2
----各波峰的位置坐标
[例3]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求： a,b两点的振动方向；
在均匀各向同性的固体介质中
横波 u G
纵波 u Y
液体和气体只有体变弹性，只能 传播纵波，即
u B
对理想气体，其中的声速
u p RT Mmol
: 比热比
在紧张的柔软绳中，横波的波速
u
T
T ：绳中的张力
：单位长度的质量
§16-2 平面简谐波 波动方程
简谐波：谐振动在弹性媒质中的 传播所构成的波
----波源和媒质中各质元 作同频率的谐振动
波动方程：描述波动沿波线传 播的解析表达式
一.平面简谐波的波动方程
设波源在原点O作谐振动
y0(t) Acos t y
u
P
Ox
x
原点的振动状态传输到
x 处的 P点需时间 x / u
P点在t 时刻的位 y u
移和原点在(t x / u)
P
时刻的位移相同,即 O x
A 6102 m 9 3 u 36 2 m s
2 9 2 y( x, t) 6102 cos[ (t x ) ] m
9 23
x=9m时，其振动方程
y(t) 6102 cos( t ) m
96
t =3s时，波形方程
y( x) 6102 cos(2 x) m
定义 G ----切变弹性模量
讨论：
弹性模量的大小决定于材料的 弹性，它反映了材料抵抗形变 的能力
液体和气体只能发生体积形变 ，因此只有体变弹性模量
五.波速与弹性模量的关系
波速(相速)：单位时间内一定的 振动位相传播的距离
----振动状态传播的快慢程度
弹性波的波速由介质的弹性模量
和密度()所决定
在各向同性媒介中，波线与波面 垂直
波阵面 波射线
波阵面 波射线
球面波
平面波
四.弹性体的变形规律
弹性：外力去除后，物体的变
形随之消失的性质
f
基本变形：
f
拉伸、压缩、剪切 f V f
1.弹性体的体积变形 f V0 f 立方体受正压力f 作用 体变
胁强(应力) p f
f
x
u
----t’ 时刻波线上各质点的位移
波动方程的其他形式
y A2cosTt2xuu T
Acos2 t T x
Acos2 t x
Acos t kx
其中 k 2 ----角波数
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
波动沿 x 轴负向传播，波动方程为
y Acos[ (t x u) ]
解：在真空中有
D
E
0
B
BH0D
t t
且 D 0E B 0H
( E) ( E) 2E 2E
又
(
E)
B
B
t t
2
E
00
0 0
2E
t 2
2E t 2
同样可得
2B
00
2B t 2
沿x方向传播时
2E x 2
00
2E t2
2B x 2
00
2B t2
----平面电磁波波动方程 真空中波速
S
fV f
胁变(应变) V V V0 V0 f
V0
V0
体变
定义 B p V /V0
----体变弹性模量
Βιβλιοθήκη Baidu
2.弹性体的拉伸和压缩变形
设柱体受拉力作用
l
胁强 f
S
f
胁变 l
l
定义 Y
l / l
S
f
l l
长变
----杨氏模量
3.弹性体的剪切形变
f
设柱体受切向力作用
胁强 f
S
f
胁变
切变
当x 一定时(设为x’)
u
y(t) Acos[ (t x') ]
u y 振动曲线
令 ' x' u
O
t
y(t) Acos( t ')
---- x’处质点的谐振动
当 t 一定时(设为t’)
y( x) Acos[(t' x ) ]
令 ' t'
u
y
t’时刻的 波形曲线
y( x) Acos( x ') O
x)]
u
2y 1 2y x2 u2 t2
----平面波波动方程的微分形式
上式反映一切平面波的共同特 征
服从该式的任何物理量或系 统，一定是以u速度沿x方向 传播的平面波
波线上任一点的振动速度v是 t 的函数。而波的传播速度u(即相 速)，与 t 无关
[例1]由麦克斯韦方程组说明真空 中电磁波为平面波。
---- 经t波形沿波线传播了x的距离
y x x
AB
A' t t
0
tx
振动状态传输A B
波动方程 y x x
反映了各质 元的振动
0
t t t
AB
A' t t
tx
质元相位
(t x ) (t t x )
u
u
质元的振动 A A'
y( x, t) Acos[(t x ) ]
二.波动方程的微分形式 波线上任一点的振动速度
v y Asint x u
t
v y Asint x u
t
加速度
2y v a t2 t
2 Acos[(t x ) ]
u
y Acos[ (t x u) ]
2 y t2
2 Acos[(t
x) u
]
又
2 y x 2
2
u2
Acos[(t
x
x
y( x, t )
y0 (t
) u
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
----平面谐波的波动方程
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
波动方程反映了波形的传播
(t x ) (t t x ut )
u
u
(t t x x )
u
y(x, t) y( x x, t t)
§16-1 机械波的产生和传播
一.机械波产生的条件----波源和介质 机械波源：作机械振动的物体 弹性介质：质元之间彼此有弹性 力联系的物质
二.两类机械波----横波和纵波 横波：质元的振动方向与波动 的传播方向垂直
纵波：质元的振动方向与波 动传播方向平行
三.波阵面和波射线 波阵面(波面)： 某一时刻振动相 位相同的各点连成的面(同相面) 波前：波面中最前面的波面
c 1 2.9979 108 m/s
00
[例2]沿x轴正向传播的平面余弦波,原点 的振动方程为
y 6102 cos( t 9 3)米
波长=36米，试求： 波动方程；
x=9米处质点的振动方程； t =3秒时 的波形方程和该时刻各波峰的位置坐标
解： 设所求波动方程为
y(x, t) Acos[(t x u) ]
波峰处有
cos( 2
3 x)
18 1
3 18
2 x 2k
3 18
得 x (12 36k) k 0,1,2
----各波峰的位置坐标
[例3]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求： a,b两点的振动方向；
在均匀各向同性的固体介质中
横波 u G
纵波 u Y
液体和气体只有体变弹性，只能 传播纵波，即
u B
对理想气体，其中的声速
u p RT Mmol
: 比热比
在紧张的柔软绳中，横波的波速
u
T
T ：绳中的张力
：单位长度的质量
§16-2 平面简谐波 波动方程
简谐波：谐振动在弹性媒质中的 传播所构成的波
----波源和媒质中各质元 作同频率的谐振动
波动方程：描述波动沿波线传 播的解析表达式
一.平面简谐波的波动方程
设波源在原点O作谐振动
y0(t) Acos t y
u
P
Ox
x
原点的振动状态传输到
x 处的 P点需时间 x / u
P点在t 时刻的位 y u
移和原点在(t x / u)
P
时刻的位移相同,即 O x
A 6102 m 9 3 u 36 2 m s
2 9 2 y( x, t) 6102 cos[ (t x ) ] m
9 23
x=9m时，其振动方程
y(t) 6102 cos( t ) m
96
t =3s时，波形方程
y( x) 6102 cos(2 x) m
定义 G ----切变弹性模量
讨论：
弹性模量的大小决定于材料的 弹性，它反映了材料抵抗形变 的能力
液体和气体只能发生体积形变 ，因此只有体变弹性模量
五.波速与弹性模量的关系
波速(相速)：单位时间内一定的 振动位相传播的距离
----振动状态传播的快慢程度
弹性波的波速由介质的弹性模量
和密度()所决定