抛物线解答题讲义

第一节基础知识

1过焦点直线相关性质

2．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝(

)A ．0B ．3

C ．2

D ．43．若抛物线x y 32=上一点P （非原点）到x 轴的距离是到y 轴距离的3倍，那么它到抛

物线准线的距离是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于B A ,两点,则=

AB （

）

A ．8

B ．6

C ．12

D ．

5．已知),2(m M 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（

）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．66.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()

A.334

B.938

C.6332

D.947.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则

BF =____________.

8.过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。

9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB = ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为(

)A．33B．833C．433D．23310.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=3，则

△AOB 的面积为（

）A．22B．2C．2

23D．2211．已知,A B 是过抛物线px y 22=(0>P )焦点F 的直线与抛物线的交点，

O 是坐标原点，且满足FB AF 2=，AB S OAB 32=

∆，则抛物线的标准方程为（）A ．x y 42=B ．x y 412=C ．x y 82=D ．x y 8

12=2几个圆

1.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为()．

A．x y 42=或x y 82=B．x y 22=或x y 82

=

C．x y 42=或x y 162=D．x y 22=或x y 162

=3交点坐标

4切线与切点弦

5抛物线上点的设法，与斜率表示

过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000≠y y x P 分别作斜率为k 和k -的直线21,l l ，设21,l l 分别与抛物线px y 22=交于B A ,两点，证明直线AB 的斜率为定值6顶点垂直弦

例.设A ，B 是抛物线()220y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）.

（1）求证：A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值；

（2）求证：直线AB 经过一个定点；

（3）求证：作OH AB ⊥于H ，求点H 的轨迹方程；

（4）求弦AB 中点P 的轨迹方程；

（5）求AOB ∆面积的最小值；

第二节抛物线的弦长

1设抛物线2

4(0)y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以12,F F 为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为226,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

；自1F 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设11F P FQ λ= .

（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若1,12λ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.2．已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12

，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D .

（1）若D 的坐标为()0,2，求a 的值；

（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为()0,a -，过()0,2M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，证明：

PQ

MG =

3.已知抛物线E 的顶点为平面直角坐标系xOy 的坐标原点O ，焦点为圆034:22=+-+x y x F 的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于D A ,两点，交圆F 于C B ,两点，B A ,在第一象限，D C ,在第四象限.

（1）求抛物线E 的方程；

（2）是否存在直线l 使BC 2是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

4.已知动圆M 与直线03=+x 相切，且与01582

2=+-+x y x 外切.

(1)求动圆M 的轨迹C 的方程；

(2)若直线m x y l +=:与曲线C 交于B A ,两点，且曲线C 上存在两点E D ,关于直线l 对称，求实数m 的取值范围及DE AB -的取值范围.5.已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32

，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .

（1）求直线AP 斜率k 的取值范围；（2）求PQ PA ⋅的最大值.

6.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2

4x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-

，证明：直线l 过定点；（2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(22)4y x x =--<<上，求AB 的最大值.

7.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2

:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34

OA OB ⋅=- .(1)求抛物线C 的方程；

(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点,R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22

d AB =，求k 的值.