工程数学知识点

工程数学知识点

第一篇 线性代数

第１章 行列式

1．二阶、三阶行列式的计算Ｐ2

2． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4 3．行列式展开（代数余子式）Ｐ7

4． 利用性质及行列式展开法则计算四阶行列式（造零降阶法）P51：3（2）（3） 5． 矩阵的定义、方阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别

6．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、方阵的行列式、乘法不满足交换律和消去律）P53——8（1）（2）

（n n kD k D =）

7．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 8． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 9．逆矩阵的定义、运算性质 10． 伴随矩阵Ｐ38

11． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 12． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩

第２章 线性方程组

1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P83：1（2），P65例3、例4

第３章

特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ120：1（1）（2）

第二篇 概率论

第4章 概率的基本概念及计算

１、基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间P145：1、样本点、

随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130（人分房间，信投邮筒）、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、P145——9、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例 ２、基本公式：

概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-U 击落飞机问题 事件A 、B 及和事件AB 、积事件A B U 的概率间的大小关系P145：4 条件概率公式()()

()

P AB P A B P B =

，概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =

P146：16

逆事件的概率()

()1P A P A =-

事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：

当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。

第5章 随机变量

１、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分

布律P184：1、5、概率分布函数（{}(),F x P X x x =≤-∞<<+∞）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（{}()(),x P X x F x f t dt x -∞

≤==-∞<<+∞?

，{}{}1P X x P X x >=-≤）Ｐ

158、Ｐ161——例20，P185：14、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P193定理）

２、基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数

服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例25

３、 基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即 {}0P X x ==

第6章 随机变量的数字特征、几个极限定理

１、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190例2和红灯问题（加

求方差）、方差Ｐ198及其性质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k 阶（原点）矩、k 阶中心矩 ２、基本公式：

（1） 数学期望（平均值、期望值、均值）： １）{}1

1

()i i i i i i E X x P X x x p ∞

∞

=====∑∑，()()E X xf x dx +∞

-∞

=?

２）1

(),()(())(),()(())()()i i i Y g X E Y E g X g x p E Y E g X g x f x dx ∞

+∞

-∞

======∑?

(),()(),()()(),()()()E C C E CX CE X E X Y E X E Y E XY E X E Y X Y ==+=+=（,独立）

（2） 方差：

１）2

2

21

()[()][()][()]()i i i D X E X E X x E X p x E X f x dx ∞

+∞

-∞

==-=-=-∑?

２）22()()[()]D X E X E X =-

2()0,()(),()()()D C D CX C D X D X Y D X D Y X Y ==+=+（,独立）

（3） 标准差（均方差）

：X σ（）（与随机变量有相同的量纲） ３、基本结论：

（1）0－1（p ）分布：（Ｐ151表格形式）{}1(1),0,1k k P X k p p k -==-=

()E X p =，()(1)D X pq p p ==-

（2）n 重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：

{}(1),0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=L Ｐ153——例10，P185：5

()E X np =，()(1)D X npq np p ==-

（3）泊松公布（Poisson ()πλ）：{},0,1,2,!

k

e P X k k k λλ-===L ()E X λ=，()D X λ=

***在实际计算中，当10,0.1n p ≥≤时，我们有如下的泊松近似公式

(1)

, !

k k k

n k

n

e C p p np k λλλ---≈=

（4）指数分布（(),0E λλ>）：0

()00x

e x

f x x λλ-?>=?

≤?，10

()0

x e x F x x λ-?->=?≤? 1

()E X λ

=

，2

1

()D X λ=

（5）均匀分布（(,)U a b ）：1

()0

a x

b f x b a

?<

=-???其它

，0()1

x a x a F x a x b b a x b

≤??-?

=<

-?≥?? ()2

a b

E X +=

，2()()12b a D X -= （6）正态分布（2(,)N μσ）

：22

()2(),x f x x μσ--

=

-∞<<+∞

()E X μ=，2(),()D X X σσσ==

（7）标准正态分布（(0,1)N ）

：2

2

(),x x x ?-=-∞<<+∞，()()1x x Φ+Φ-=

第三篇 数理统计

第7章 数理统计的基本概念 １、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单

随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布 ２、基本公式：

（1） 样本平均值：1

1n

i i X X n ==∑

（2） 样本方差：22

22

11

11()()11n n

i i

i i S X X X nX n n ===-=---∑∑ （3） 样本均方差（标准差）

：S ３、基本结论： （1） 定理2：

122

2

222

2

1

2

(0,1),,,,,,()

n n

X N X X X X X X X n χχχ~=+++~L L 设为的一个样本，它们的平方各也是一个随机变量，记则

（2） 定理5：

2212,,(,),(,)n X X X N X N n μσμσ~L 若为总体的一个样本则样本均值 （3） Z

分布：2

2

()x x x ?-=-∞<<+∞

Z 的上侧α分位点Z α：{}(),b P Y b f y dy b Z αα+∞

>==?B Z 的下侧α分位点1Z α-：

{}{}10(),()1,a

a

P Y a f y dy P Y a f y dy a Z ααα+∞-≤==>==-??

B 或

Z 的双侧α分位点/2Z α，1/2Z α-：

{}1/2/2/2()1,,b

a P a Y

b f y dy a Z Z b Z αααα-<<==-=-?B B

第8章 参数估计

１、基本概念：置信区间（置信度） ２、基本结论：

（1）

22/2

/2

(,)1,

(X N X Z X Z ααμσασμ~--+若总体，置信度已知，则未知参数

的置信区间为2/2/2((1),(1))X n X n αασμ-+-未知，则未知参数的置信区间为

Ｐ241——例18，例20，P249：17，18

第9章 假设检验

１、基本概念：原（零）假设与备选假设、临界值、接受域、拒绝域、显著性水

平、双边假设检验、 ２、基本公式： ３、基本结论：

（1） 单个正态总体的参数假设检验：

１）

22

0/2

0/2

(,),(X N X Z Z U ααμσαμσμμ~-+若总体，显著性水平的双边假设检验，

已知，则的接受域为——检验

P251：例1，例3，P263：1

常用的excel 命令：

二项分布：=BINOMDIST(x,n,p,01)（0—概率密度，1—累积分布）返回概率、 =CRITBINOM(n,p,临界值)返回成功次数 泊松分布：=POISSON(x,均值,01) 指数分布：=EXPONDIST(x,参数,01)

正态分布：=NORMDIST(x,均值,标准差,01)、=NORMINV(p,均值,标准差) 标准正态分布：=NORMSDIST(x)、=NORMSINV(p)

样本方差：=V AR 样本标准差：=STDEV

样本协方差：=COV AR 样本相关系数：=CORREL （分析工具——相关分析）

卡方分布：=CHIDIST(x,自由度)（单尾）返回α值、 CHIINV(p,自由度) （单尾）返回卡方值

t 分布：=TDIST(x,自由度,12) （1—单尾，2—双尾）返回概率、 =TINV(p,自由度) （p —双尾）返回t 值

F 分布：=FDIST(x,自由度1,自由度2) （单尾）返回α值、 =FINV(p,自由度1,自由度2) （单尾）返回概率F 值