十字交叉法在平均数问题中的应用

“十字交叉法”的原理及应用

“十字交叉法”的原理及应用摘要：本文分析了学生不易掌握“十字交叉法”的原因。

应用平均值概念推导出“十字交叉法”原理，从平均值概念分析“十字交叉法”应用的条件和范围，给出了一种适用解答格式，并从三类二元混合体系和平均值角度对常见题型进行了归纳。

关键词：十字交叉法、平均值“十字交叉法”是平均值法的技巧方法，即利用平均值求解二元混合体系的混合比的一种图解方法。

利用此法求解二元混合体系的混合比具有准确、简便、快速的特点。

因此，它是高考化学计算重要方法之一。

教学实际中，许多同学对此法掌握得不好。

学生出现的问题主要有两种情况：一种情况是遇到可用“十字交叉法”求解的问题，却不知道怎样用“十字交叉法”来求解；第二种情况是虽然知道用“十字交叉法”求解，但却不明确所得到的比值的化学意义，得出错误的计算结果。

我们认为主要原因是在教学中没有抓住平均值概念去推导“十字交叉法”原理、分析应用范围和应用条件，没有给出解题的规范格式，也没从二元混合体系及其平均值角度来归纳常见题型。

本文应用平均值概念推导“十字交叉法”原理、分析其应用条件和范围、归纳主要应用题型，并给出一种较适用的解题规式。

一、“十字交叉法”原理1．用平均值概念推导“十字交叉法”原理以A、B二组分混合物的平均摩尔质量为例推导“十字交叉法”原理。

设混合物平均摩尔质量为M，A、B的物质的质量分别为n(A)和n(B)，摩尔质量分别为M(A)和M(B)混合物的总质量为：m(混)= n(A)×M(A) + n(B)×M(B)混合物的总物质的量为：n(混)= n(A) + n(B)根据摩尔质量定义可知混合物的平均摩尔质量为：…… ①将A 和B 混合物的总物质的量n(混)和总质量m(混)代入①式得：)B (n )A (n )B (M )B (n )A (M )A (n M +⨯+⨯= …… ②将②式变形得混合物中两种成分的物质的量之比的数学表达式：M)A (M )B (M M )B (n )A (n --= …… ③ 将③式写成直观的图解形式，即“十字交叉法”的形式：A ：M(A) |M - M(B)|╲ ╱ …… ④╱ ╲B ：M(B) |M(A) - M |2．“十字交叉法”的应用条件从上述二组分混合物平均摩尔质量推导“十字交叉法”原理得出其应用条件为： ⑴n(A)和n(B)具有加合性，即n(混)= n(A) + n(B)。

十字交叉法解平均数问题

十字交叉法解平均数问题在数学中，平均数问题是一个常见的主题，而使用十字交叉法来求解平均数问题是一种非常有效的方法。

这种方法适用于处理简单的平均数计算问题，并且可以快速准确地得出结果。

首先，我们需要了解什么是十字交叉法。

这种方法是通过比较两个垂直条形图的高度，来计算两个数的平均值。

这两个数通常代表两个集合的元素数量，而条形图的高度代表这些集合的元素数量。

这种方法也被称为“求和法”或“交叉相乘法”。

首先，我们需要假设两个未知数的平均值，即第一个未知数的平均值和第二个未知数的平均值。

这两种未知数的数量可以表示为“部分数量”和“总数”，这些数值将通过十字交叉法来确定。

假设我们有两个未知数x和y，我们可以通过对x进行计数并计算y的数量来确定x和y的平均值。

将两个集合的元素数量分别标记为部分数量a和部分数量b，总数为总和a+b。

通过十字交叉法，我们可以得到以下步骤：1. 将部分数量a和部分数量b相加，得到总数总和a+b。

2. 将总和除以总数总数量a+b的值（总和除以总数）。

3. 将步骤2中得到的数值分别乘以部分数量a和部分数量b的值（两个新平均数乘以两个部分数量）。

这些步骤可以帮助我们得到第一个未知数的平均值和第二个未知数的平均值。

这两个平均值可以通过交叉相乘法来验证是否满足原始条件。

这种方法非常适合于解决简单的平均数问题，因为它不需要复杂的数学公式或技巧。

通过使用十字交叉法，我们可以快速准确地得出结果，并且可以很容易地解释给其他人听。

总的来说，十字交叉法是一种非常有用的方法，可以帮助我们解决平均数问题。

这种方法不需要复杂的数学公式或技巧，并且可以通过简单的解释来理解。

因此，这种方法对于学生和教师来说都是一个非常有用的工具。

在实践中，十字交叉法也经常被用于解决更复杂的平均数问题。

例如，当涉及到多个集合的平均数时，可以使用这种方法来简化计算过程。

通过比较垂直条形图的高度并应用十字交叉法，我们可以轻松地确定多个集合的平均值。

【学习技巧】小学数学中十字交叉法的巧妙运用

【学习技巧】小学数学中，十字交叉法的巧妙运用很好的运用十字交叉法，有助于快速准确的解决数学问题。

那么，我们小学数学如何运用到十字交叉法呢？题型一：比较分数的大小我们知道在分数的比较中，同分母分数，分子大的分数值大；同分子分数，分母小的分数值大；异分母分数则要把分母化为同分母分数才能进行比较。

在教学中，我发现让学生记住这几条并不难，可是却非常容易混淆，或者是根本就不会运用。

但是如果运用十字交叉相乘法，学生不但都能很快的得出答案，而且不管什么分数间进行比较都能够通用。

注：所得的积必须写在分数线上方（即作为新分子）。

从上例很明显可以看出，十字交叉法比较两分数的大小的实质上就是通分。

不过，却省去了学生对分数进行通分的过程和时间，从而一步到位，更简单更直接，只要会乘法的学生，在比较分数之间的大小时基本上都不费吹灰之力了。

题型二：解比例很多老师和学生都知道，解比例的依据是比例的基本性质，即在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。

可当比例变化为a/b=c/d(a≠0，c≠0)这种形式时，有些学生便找不着内外项了，或者有某些学生还要把上式化为a：b=c：d(a≠0，c≠0)的形式，这就走了弯路，浪费了时间不说而且变换后也很容易出错。

可见，利用此方法既直观又便于记忆，而且在较复杂的比例中，更能体现出些法的简便性与适用性，由于篇幅有限，在此就不一一介绍了。

题型三：解归一问题或正比例问题其实正比例问题也就是归一问题，此类应用题中暗含着单一量不变，文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以它为标准，根据题目要求算出所求量。

这种解法主要是有时候有的学生找不到到底怎样去求出单一量（也就是标准量），如果找不到标准量，那么对于这类问题学生就无法进行求解。

若是采用十字交叉相乘法设未知数进行列方程求解，此类问题就会变得简单明了。

例3：小明10分钟走750米，照这样计算，从学校到家小明需要走24分钟，从学校到小明家的路程有多少米？解析：方法一：先根据速度＝路程÷时间算出小明的速度，再根据路程＝速度×时间计算出学校到小明家的路程。

”十字交叉法“的原理和应用

化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用一. “十字交叉法”简介“十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。

十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。

下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。

例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？采用十字交叉法计算的格式如下：设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式：10%的溶液 10 30 — xX30%的溶液 30 x — 1050g(10%的溶液质量) 150(30%的溶液质量)由此可得出x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。

以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。

然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。

针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。

由于十字交叉法常用于：①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算；②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算；③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。

因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。

这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。

实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。

然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。

要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。

运用十字交叉法处理一类加权平均数问题

运用十字交叉法处理一类加权平均数问题（济南市长清第一中学高二李胜妲 250399）加权平均数是不同比重数据的平均数，就是把原始数据按照合理的比例来计算.假设在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次......，xi出现fi次，f1+f2+f3+....fi=n，那么这个n个数的平均数为X= (x1f1+x2+f2+.......+x i f i)/n.下面研究二元加权平均数问题：设a出现f1次，b出现f2次，加权平均数为c，c=(af1+bf2)/ (f1+f2), ∴cf1+cf2= af1+bf2,∴（c-a）f1=(b-c)f2,∴f1：f2=(b-c):(c-a),为便于记忆，可以记为f1：f2=｜b-c｜:｜c-a｜.a b\ ∕c∕ \｜b-c｜｜c-a｜上面的方法是经过数学运算得出的，适用于所有的二元加权平均数.(一)十字交叉法在中学化学中的应用举例：例1:常温下，H2和CO混合气体的平均相对分子质量为20，求H2和CO的体积比.解： 2 28\ ∕20∕ \818 ∴，H2和CO的体积比为4:9.例2：常温下，N2与CO2混合气体的平均相对分子质量为34，求N2与CO2的物质的量之比.解： 28 44 \ ∕34∕ \10 6 ∴N2与CO2的物质的量之比为5:3.例3：已知自然界Cl有两种同位素35Cl和37Cl，Cl的平均相对原子质量为35.5，求两种同位素的物质的量之比.\ ∕35.5∕ \1.5 0.5 ∴同位素35Cl和37Cl的物质的量之比为3:1.例4:现在5mol/L的Nacl溶液与mol/L的Nacl溶液混合后，假设体积不变，物质的量浓度为5.8mol/L，求两溶液的体积之比.解： 5 7\ ∕5.8∕ \1.2 0.8∴ 5mol/L与7mol/L的Nacl溶液的体积之比为3：2例5 ：现在10%NaOH与7%的NaOH溶液混和后溶液的质量分数为8%，求两溶液的质量之比解： 10% 7%\ ∕8%∕ \1% 2%∴10%的NaOH与7%的NaOH溶液的质量之比为1：2例6 已知CH4与C2H2的混和物中氢元素的质量分数的10%，求CH4与C2H2质量之比.解：CH4中氢元素的质量分数为1/4，C2H2氢元素的质量分数为1/13, 1/4 1/13\ ∕1/10∕ \3/130 3/20∴CH4与C2H2质量之比为3/130: 3/20=2:13.例7 已知C2H6与C2H2的混和物中C与H的原子个数之比为2：5，求C2H6和C2H4的物质的量之比.\ ∕ 2/5∕ \1/10 1/15∴ C2H6与C2H4的物质的量之比为3：2.例8:在标准状况下O2的密度为1.43g/L,N2的密度为1.25g/L，现有标准状况下，O2与N2的混和气体，密度为1.29g/L，求O2与N2的体积之比(即物质的量之比).解： 1.43 1.25 \ ∕1.29∕ \0.04 0.14 ∴ O2和N2的体积之比(物质的量之比)为2：7.练习：1、已知下列两个热化学方程:2H2(g) + O2(g) = 2H2O(l) +571.6kJC 3H8(g) +5O2(g) = 3CO2(g) + 4H2O (l) + 2220kJ, 实验测知氢气和丙烷的混和气体共5摩尔完全燃烧时放热3847千焦, 则混和气体中氢气和丙烷的体积比是A. 1:3 B. 3:1 C.1:4 D. 1:12、已知白磷和氧气可发生如下反应：P4 +3O2= P4O6，P4+5O2= P4O10在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P4O10与P4O6的物质的量之比为A. 1:3B. 3:2C. 3:1D. 1:1。

2015河北公务员考试行测高端技巧：十字交叉法

2015河北公务员考试行测高端技巧：十字交叉法十字交叉法主要是解决行测数量关系中混合平均问题的，混合平均问题主要包括平均数、利润、浓度等的混合问题。

解题过程是将几个部分的平均量进行混合，得到一个整体的平均量。

而十字交叉法是由盈亏思想得到的，即多的总量等于少的总量，比如：70与80两个数的平均数为75，这里70比75少5，80比75多5，多的5等于少的5，才保证了70 与80的平均数为75;80、80、50三个数的平均数为70，这里80比70多10，共2个80，所以共多了20，50比70少了20，多的总量20= 少的总量20，才保证了三个数的平均数为70。

而十字交叉法的具体形式比较简单，包括五部分：部分平均量、总体平均量、交叉作差、对应比、对应实际量。

大家记住这五部分就能解决相应的题了，河北华图教育专家带大家来看一个比较简单的例子。

例1：已知一个班级的一次考试成绩，男生的平均分为70分，女生的平均分为80分，整体的平均分为74分，求这个班级的男女生人数比为多少?【河北华图解析】设男生人数为x人，女生人数为y人，则利用十字交叉法在运用十字交叉法时，大多数考生比较困惑的是利用十字交叉后得到的比是什么比，这里为什么3:2就是对应的男生人数与女生人数之比。

这就需要我们回归到十字交叉法的思想——盈亏思想来说明十字交叉法的原理。

男生的平均量是70分，整体的平均量是74分，说明每个男生比整体少4分;而女生的平均量是80分，说明每个女生比整体多6分。

要想保证整体的平均分是74分，得多的总量与少的总量达到平衡，即多的总量=少的总量。

而这里每个男生比整体少4分，男生共有x人，即总共少4x人;每个女生比整体多6分，女生共y人，既总共多6y人;故需4x=6y，得到x:y=6:4=3:2，也即交叉作差之比。

而男生平均量=男生的总分数/男生人数;女生平均量=女生总分数/女生人数。

所以交叉作差之比也是再求两个平均量时的分母之比。

资料分析：速算技巧之十字交叉法

资料分析：速算技巧之十字交叉法今天带大家一起学习一个特殊的速算技巧——十字交叉法，这种方法主要用于解决两个部分混合成一个整体的题型。

满足关系式：，则可写成十字交叉的形式，常见应用：（1）已知两部分平均数和整体平均数，求两部分人数之比；（2）已知两部分某指标的占比和整体中该指标的占比，求两部分数量之比；（3）已知两部分增长率和整体增长率，求两部分基期量之比或者某部分基期量占比。

练习题：【例1】2018 年国家统计局组织开展了第二次全国时间利用的随机抽样调查，共调查48580 人。

结果显示，受访居民在一天的活动中，有酬劳动平均用时4 小时24 分钟。

其中，男性 5 小时15 分钟，女性 3 小时35 分钟；城镇居民 3 小时59 分钟，农村居民 5 小时1 分钟；工作日4 小时50 分钟，休息日3 小时19 分钟。

受访的男性居民约有：A.2.38 万人B.2.43 万人C.2.65 万人D.2.91 万人【例2】2018 年11 月中旬，某市统计局对全市2000 名18~65 周岁的常住居民进行了有关“双11”网购情况的电话调查。

调查结果显示，47.5%的受访者参与了2018 年“双11”的网购，其中64.4%的男性和67.2%的女性表示“有实际购物需求”是其参与“双11”网购的原因之一。

该市参与2018 年“双11”网购的受访者中，男、女人数的比值最接近：A.0.47B.0.51C.0.59D.0.65【例3】2017 年1—12 月，全国内燃机累计销量5645.38 万台，同比增长 4.11%，累计完成功率266879.47 万千瓦，同比增长9.15%，其中柴油内燃机功率同比增长34%。

从燃料类型来看，柴油机增幅明显高于汽油机，柴油机累计销量556 万台，同比增长13.04%；汽油机累计销量5089 万台。

2017 年，汽油内燃机累计销量同比增速：A.低于−4%B.在−4%~0%之间C.在0%~4%之间D.超过4%答案【例1】【答案】A【解析】出现了两个部分和一个整体的平均数，求解某部分人数。

平均值法与十字交叉法的综合应用

（固定、夹持仪器除外）
④在转移溶液时，如溶液转移不完全，则Na2O2质量分数的测定
结果（填偏大、偏小或不变）。偏大
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7
例8
化学计算中各种计算方法的综合应用
（平均值法、摩尔质量法与十字交叉法）
平均值法是巧解方法，它也是一种重要的解题思维和解题技能。混合物中某一量的平均值，必大于各组分中相应量的最小值而必小于相应量中的最大值，这一原理称为平均值原理。
平均值法就是根据上述原理进行求解的一种方法，这种方法对于有关混合物的计算，只要设法找出各组分的平均值，并根据题意迁移平均值含义，就会大大简化解题步骤，做到化繁为简。
例题3现有某氯化物与氯化镁的混合物，取3.8g粉末完全溶于水后，与足量的硝酸银溶液反应后得到12.4 g氯化银沉淀，则该混合物中的另一氯化物是（）A
A．LiClB．KClC．CaCl2D．AlCl3
例题4已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均相对原子质量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为（）A
A．NaHCO3B．KHCO3C．K2CO3D．NH4HCO3
84 100 138 79
例题7实验室将9g铝粉跟一定量的金属氧化物粉末混合形成铝热剂。发生铝热反应之后，所得固体中含金属单质为18g，则该氧化物粉末可能是( ) AD(V-51 Mn-55 Fe-56 Cr-52)
A． B．和 C．和 D 和FeO
56/3 55/4 55/4 51/5 52/3 51/556/8/356/2
Me=[18-(9-x)]/(x/9) (x-参加反应的铝)
例题8
2004-26．某种含有少量氧化钠的过氧化钠试样（已知试样质量为1．560g、锥形瓶和水的质量

国家公务员考试行测备考：十字交叉法

国家公务员考试行测备考：十字交叉法
国家公务员考试行测备考：十字交叉法
十字交叉法主要解决公务员考试行测数量关系中的混合平均量问题，运用过程中往往涉及到五列数字：第一列：部分的平均量;第二列：总体的平均量;第三列：部分平均量与总体平均量交叉做差的差值;第四列：差值的最简比;第五列：求得部分平均量的分母所对应的实际量。

若题中已知其中四个量，对应其位置，便可以求出五个量中的任意一个量，是解决数量关系问题中非常实用的一种方法，下面中公教育专家为大家进行详细讲解。

一、两者十字交叉
常见题型一：平均分问题
[模板] 已知一个班级，男生人数为x 人，平均分为A，女生人数为 y 人，平均分为 B，求这个班级的总体平均分。

(A>B)
[例题] 某学校对其120 名学生进行随机抽查体能测验，平均分是73 分，其中男生的平均分是 75 分，女生的平均分是 63 分，男生比女生多多少人?
A.70
B.80
C.60
D.85
常见题型二：溶液问题
【模板】已知A瓶溶液的浓度为 A%，B瓶的溶液浓度为 B%，分别取 x 和 y 份进行混合，求得到的溶液浓度为多少。

(A>B) 【例题】已知在浓度为90%的甲瓶中取40g 溶液，在浓度为60%的乙瓶中取 20g 溶液，进行混合，得到的溶液的浓度为多少?
A.75%
B.80%
C.85%
D.90%。

公务员行测资料分析技巧：十字交叉法

公务员行测资料分析技巧：十字交叉法行测资料分析技巧有哪些？正在备考行测考试的朋友可以来看看，下面由小编为你准备了“公务员行测资料分析技巧：十字交叉法”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！公务员行测资料分析技巧：十字交叉法在行测资料分析中应用时，主要有三层结论，前两层结论主要用于定性判断，而第三层结论用于定量计算。

在前两篇文章中，我带着考生们分别探讨了十字交叉法在资料分析中的应用环境以及两层应用技巧，今天带大家一起来学习学习资料分析的最后一层应用，定量计算：结论一：整体平均数处在部分平均数之间，即部分平均数有些比整体平均数大，有些比整体平均数小。

结论二：整体平均数靠近“分母”较大的那个分平均。

结论三：求部分量分母之比今天我们要讨论的结论三，关于它的内容表述方式和前两种有所不同，我们上面的黑字是在说明它的作用，是用来求部分量的分母之比。

而具体怎么求，因为不太好用一句话的文字表述。

所有并没有表述在上面的黑体字中。

具体内容展开详解：1.解决问题：求部分量分母之比我们知道，十字交叉法是用来解决研究整体平均数和部分平均数之间的关系的题目的。

比如进出口总额的增长率和进口与出口的增长率，就分别是整体平均数和部分平均数。

由于任何一个平均数都是除法计算得来，比如出口的增长率=出口的增长率/出口的基期量、进口的增长率=进口的增长率/进口的基期量，则每一个平均数在求解时都有其分母。

当一个整体只分成两个部分，如果题目让我们求这两个部分的平均数，分母的量的比，即为求部分量分母之比，也就是我们结论三的应用环境。

如下题：例题：2018年某市中学生有13.2万人，增长率1.2%，其中女生人数增长了0.8%，男生人数增长了1.5%。

问：2017年该市中学生男生人数与女生人数的比例是？A.4：3B.3：4C.5：5D.5：6解析：题目中的“平均数”概念是增长率，全体中学生人数和女生人数男生人数构成了整体和部分间的关系。

公务员—行测—十字交叉法的原理

一、十字交叉法的原理（这个有的前辈和大侠有比较详细的讲解，简单易懂，在这里就直接用前辈写的东西来说明了，但是为了符合我的一些习惯，还是做了一定的修改）首先通过例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。

男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。

月月讲解：这个就是咱常用的特殊值法吧，不过思路稍微特殊一点。

方法二：假设男生有X,女生有Y。

有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。

月月讲解：这个就是常用的列方程法方法二：假设男生有X,女生有Y。

男生：X 75 85-80=580女生：Y 85 80-75=5男生：女生=X：Y=1：1。

月月讲解：这一步前辈说的不是很清楚，补充修正了一下，其实说白了，十字交叉的左侧是各部分的量，右侧是混合后的量。

总结一下，一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。

月月讲解：这个是大侠的，不过我个人觉得，十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。

有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有：X*x+Y*y=（X+Y）*r整理有X（x-r）=Y（r-y）；所以有X：Y=（r-y）：（x-r）上面的计算过程就抽象为：X x r-yrY y x-r这样就看着清楚多了吧，知道是哪个比哪个等于什么值了。

“十字交叉法”的原理及应用

“十字交叉法”的原理及应用摘要：本文分析了学生不易掌握“十字交叉法”的原因。

应用平均值概念推导出“十字交叉法”原理，从平均值概念分析“十字交叉法”应用的条件和范围，给出了一种适用解答格式，并从三类二元混合体系和平均值角度对常见题型进行了归纳。

关键词：十字交叉法、平均值“十字交叉法”是平均值法的技巧方法，即利用平均值求解二元混合体系的混合比的一种图解方法。

利用此法求解二元混合体系的混合比具有准确、简便、快速的特点。

因此，它是高考化学计算重要方法之一。

教学实际中，许多同学对此法掌握得不好。

学生出现的问题主要有两种情况：一种情况是遇到可用“十字交叉法”求解的问题，却不知道怎样用“十字交叉法”来求解；第二种情况是虽然知道用“十字交叉法”求解，但却不明确所得到的比值的化学意义，得出错误的计算结果。

我们认为主要原因是在教学中没有抓住平均值概念去推导“十字交叉法”原理、分析应用范围和应用条件，没有给出解题的规范格式，也没从二元混合体系及其平均值角度来归纳常见题型。

本文应用平均值概念推导“十字交叉法”原理、分析其应用条件和范围、归纳主要应用题型，并给出一种较适用的解题规式。

一、“十字交叉法”原理1．用平均值概念推导“十字交叉法”原理以A、B二组分混合物的平均摩尔质量为例推导“十字交叉法”原理。

设混合物平均摩尔质量为M，A、B的物质的质量分别为n(A)和n(B)，摩尔质量分别为M(A)和M(B)混合物的总质量为：m(混)= n(A)×M(A) + n(B)×M(B)混合物的总物质的量为：n(混)= n(A) + n(B)根据摩尔质量定义可知混合物的平均摩尔质量为：)()(混混n m M = …… ①将A 和B 混合物的总物质的量n(混)和总质量m(混)代入①式得：)B (n )A (n )B (M )B (n )A (M )A (n M +⨯+⨯= …… ②将②式变形得混合物中两种成分的物质的量之比的数学表达式：M)A (M )B (M M )B (n )A (n --= …… ③ 将③式写成直观的图解形式，即“十字交叉法”的形式：A ：M(A) |M - M(B)|╲ ╱ …… ④╱ ╲B ：M(B) |M(A) - M |2．“十字交叉法”的应用条件从上述二组分混合物平均摩尔质量推导“十字交叉法”原理得出其应用条件为： ⑴n(A)和n(B)具有加合性，即n(混)= n(A) + n(B)。

数量关系解题技巧之十字交叉法

数量关系解题技巧之十字交叉法十字交叉法是进行两部分混合物的平均量与分组计的一种简便方法。

只要满足A ×R1+B×R2=（A+B ）×R 的计算问题，都可以使用十字交叉法去计算。

比如：平均数问题、混合溶液问题、混合增长率问题等。

A+B 表示两部分混合构成的整体，A 、B 则表示两组分对应的量。

如在平均数中，A+B 表示的整个的总数，A 、B 表示整体分成的两部分各自的数目是多少，R 表示整体的平均数，R1和R2则表示两部分的平均数；在溶液中，A+B 表示的混合溶液的质量，那么，A 、B 则分别表示A 溶液的质量和B 溶液的质量，R 表示混合之后的浓度，那么R1和R2表示两部分溶液的浓度；在两部分混合增长率中，A+B 表示整体的基期量，A 、B 分别代表两部分的基期量，R 表示混合两部分混合增长率，那么R1和R2表示两部分的增长率。

那么为什么称之为十字交叉法呢？在满足上述等式的前提下，我们可以采用画线段十字的形式进行表示。

如下图：A R1 R1-RR21R R R R --=B AB R2 R-R2下面我们来应用十字交叉法来做个题目某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。

A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁。

该单位全体人员的平均年龄为多少岁？A.34B.36C.35D.37A 38 630B A =43B 24 8B 24 834C B =54C 42 10可得，A:B:C=3：4：5设A 、B 、C 部门的人数为3M 、4M 、5M ，则所求为：MM M M M M 543542424338++⨯+⨯+⨯=35，选择C 选项。

注意的是A 、B 位置一定是题目中涉及的量的分母，交叉的右侧一定是用大值减去小值。

在做一题看一下关于溶液问题如何使用十字交叉法。

120克浓度为50%的溶液，加入浓度为40%的溶液混合之后形成46%的溶液，求加入的溶液为多少克？A.60B.70C.80D.90120 50% 46%-40%46%46=x 120x 40% 50%-46%解得，x=80。

十字交叉法在数学运算以及资料分析中的妙用

十字交叉法在数学运算以及资料分析中的妙用一、十字交叉法的原理首先通过例题来说明原理。

例题：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。

方法一：特殊值法男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。

方法二：列方程法假设男生有X，女生有Y。

有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。

方法三：十字交叉法假设男生有X,女生有Y。

男生：X7585-80=580女生：Y8580-75=5男生：女生=X：Y=1：1。

******************************************************************************十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。

有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r 的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有：Xx+Yy=（X+Y）r，整理有X（x-r）=Y（r-y）；所以有X：Y=（r-y）：（x-r）上面的计算过程就抽象为：Xxr-yrYyx-r******************************************************************************十字相乘法使用时要注意几点：第一、用来解决两者之间的比例关系问题。

第二、得出的比例关系是基数的比例关系。

第三、总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

二、十字交叉法在数学运算中的应用十字交叉在数学运算中相对比较简单，主要是直接根据材料中的数量关系来计算，下面的这些试题，具有一定的代表性，速速的呈现给大家。

******************************************************************************【例1】要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克，问5%的食盐水需要多少克？A．250 B．285 C．300 D．325【分析】这个很简单吧，就是咱们上面讲解到的内容，直接将试题中的数量嵌套在十字交叉表。

十字交叉法推导

十字交叉法的原理、应用和推导十字交叉法是一种常用的解决比值混合问题的方法，它可以简化方程的求解过程，提高计算的效率和准确性。

本文将从以下几个方面介绍十字交叉法的原理、应用和推导：十字交叉法的定义和公式十字交叉法的适用条件和题型十字交叉法的例题和解析十字交叉法的定义和公式十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法⁴。

它可以用以下公式表示：A B =r−b a−r其中，A和B分别表示两种组分的数量，a和b分别表示两种组分对应的某一属性（如浓度、利润率、增长率等），r表示混合后的平均属性。

这个公式可以通过以下步骤推导得到：设有两种质量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r，则由溶质质量不变可列出下式：Aa+Bb=(A+B)×r将上式变形可得：A B =r−b a−r这就是十字交叉法的公式。

十字交叉法的适用条件和题型十字交叉法实本质上是方程法的一种简化，当我们遇到给出两个量和他们的平均值，求两个量之间的比例时，这种问题都可以用十字交叉法¹。

比较常见的题型包括：平均数，得到总数之比增长率，得到基期量之比利润率，得到成本之比浓度，得到溶液之比折扣，得到原价之比十字交叉法的例题和解析下面我们来看两个十字交叉法的例题和解析：1. 一个班男生的平均身高是170 厘米，女生的平均身高是160 厘米,全班的平均身高是166 厘米,问男生与女生人数之比为:A.2:1B.3:2C.5:3D.1:2解析：这是一个求平均数对应的总数之比的问题，可以用十字交叉法。

设班级里男生为x，女生为y，可得公式：x y =166−160170−166=64=32所以男生与女生人数之比为3:2，答案为B。

2. 某单位为全体员工进行体检，平均体重是57.5 公斤。

其中，男员工的平均体重为62.5 公斤，女员工的平均体重为55.5 公斤。

则该单位的男、女员工人数比为。

A.2:5B.2:7C.7:2D.5:2解析：这也是一个求平均数对应的总数之比的问题，可以用十字交叉法。

事业单位考试行测十字交叉法在资料分析中的应用

事业单位考试行测十字交叉法在资料分析中的应用十字交叉法是解决平均量混合问题的一种常用方法。

在行测考试数学运算中常常出现平均量混合问题。

平均量混合问题，即是有两个部分平均量混合成一个总体平均量，总体平均量是介于两个部分平均量之间。

下面中公教育专家就用几道例题来为大家解析十字交叉法在资料分析中的应用。

例1.某人用60000元进行投资，一部分买股票，年终的收益率是6%，一部分买债券，收益率是8%。

今年一共收入4000元，他用多少钱买债券。

A.10000B.15000C.18000D.20000【答案】D。

解析：收益率相当于平均量。

6000元投资收益4000元，则总的收益率是4000÷6000=2/3;总体收益率是由股票和债券两部分混合达到的，故用十字交叉法：交叉作差后的最简比为2：1，即原60000元中用于买股票和买债券的钱数之比为2：1，则用于买债券的钱数为20000元，故选D。

十字交叉法的本质是盈亏思想，即比总体平均量少的和多的平衡的思想，且若不平横的话，总体平均值会靠近于在总体中所占比例较大的一方。

而次思想及方法在资料分析中也常用到。

例 2.材料：2010年6月份，某省居民消费价格总水平同比下降1.7%。

其中，城市下降1.8%，农村下降1.4%;食品价格下降1.1%，非食品价格下降1.9%;消费品价格下降1.8%，服务项目价格下降1.3%。

从月环比看，居民消费价格总水平比5月份下降0.5%;食品价格下降1.3%，其中鲜菜价格下降9.5%，鲜蛋价格下降0.5%。

问题：在该省居民消费价格总水平中，2009年6月城市居民消费价格水平的比重约为多少。

A.25%B.33%C.50%D.75%【答案】D。

解析：增长率也相当于平均量。

由材料第一段可知“2010年6月份，某省居民消费价格总水平同比下降1.7%。

其中，城市下降1.8%，农村下降1.4%，用十字交叉法：由此可知城镇居民消费价格总水平：农村居民消费价格总水平=3:1，故城镇居民消费价格总水平的比重为75%，故选D。

《十字交叉法》

十字交叉法的运用推广对于数学运算部分中的浓度问题以及涉及到平均的问题，虽然能用方程法进行求解，但是较复杂，不利于迅速作答，特别是浓度问题中的三者及以上的溶液混合时的问题就更繁杂了。

鉴于此，特为各位考生推荐十字交叉法的推广应用，可以很好地克服上述问题。

1．十字交叉法的实质很多朋友由于对该方法的实质不是很清楚，所以往往不能熟练运用，甚至还容易出错。

其实，涉及到几者的平均数问题，那么对平均数而言，几者中一定有些多，有些少，多出的量和少的量一定是相等的。

如，考试中有10人得80分，10人得60分，他们的平均分是70分。

这是因为80分的比平均分多10×10=100，而60分的比平均分少（70-60）×10=100，多的100刚好弥补不足的100。

2．涉及两者的十字交叉法这是该方法运用最多的情况。

注意两者中必有一大一小。

某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？解析：设低于80分的人的平均分是m，所以 90 ↘↗ 85-m 1/385m ↗↘ 90-85 2/3 （85-m）×1/3=（90-85）×2/3，m=75甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？解析：设乙容器中的浓度是m，所以 4% ↘↗ m-8.2% 4508.2%m ↗↘ 8.2%-4% 150即（m-8.2%）×450=（8.2%-4%）×150，m=9.6%3．涉及三者的运用根据所有多出量之和等于所有少的量之和。

20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。

已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升？解析：设浓度为30%的溶液的用量是m，所以20% ↘↗ 50%-36% 50-m-m/230% → 36% → 36%-30% m50% ↗↘ 36%-20% m/2即（50%-36%）×（50-m-m/2）=（36%-30%）×m+（36%-20%）×（m/2），m=20 只要掌握了十字交叉法的实质，对于三者以上的相关问题都可以迎刃而解。