2001年高考试题——数学文(江西卷)

数 学 (江西、山西、天津卷)文科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于（A ）0（B ）{0}（C ）φ（D ）{－1，0，1}（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a则满足,0)()1(log)(2>+=的取值范围是（A ）)21,0( （B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4）（D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y（D ）072=-+y xcl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长.棱锥、圆锥的体积公式sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分. 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA （A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜. 记三 种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1 （12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同 的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 ．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个 容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽 取的产品件数为 ． （15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ． （把符合要求的命题序号都填上）（16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550． （Ⅰ）求a 及k 的值； （Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→（18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（19）（本小题满分12分）如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．—N1N2注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．（20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．（Ⅰ）求;<DEBEcos>,（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求cos∠BED的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，ABC,∠SA90面ABCD，⊥︒=SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．参 考 答 案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算（13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }， 则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d 代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k即,025502=-+k k 解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a （II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n 得)1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n .1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n nn（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力． 解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ 设纸张面积为S ，有,160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ将λ1022=x代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x==λ宽：.558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． （19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N 1正常工作的概率为0.648.（II ）系统N 2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P C P B P B P.792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=∴P 故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(ha a DE h a a BE=--= ,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴ .1021)2()2()23(||||22222h a h aa DE BE+=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423,cos 2222222222ha h a ha h a ha DE BE ++-=+⋅++-=>=<（II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CVBE ⋅=0．又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a CV -=且),2,2,23(ha a BE --=,02223222=++-=⋅∴haa CV BE 即,2a h=这时有.31)2(10)2(6106,cos22222222-=++-=++->=<a a a a ha h a DE BE .31cos -=∠∴BED 即（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC ABSA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-='.0263)1(=+-='∴b a f ②由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f 根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数．（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθyx有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ又因为,2πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r 因为θc o s 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4。