2010年1月真题-数学-题+答案

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2010考研数一真题及解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =，由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数，则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i nj→∞===++∑∑ ( )(A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB E =，则 ( )(A) 秩()r A m =，秩()r B m =. (B) 秩()r A m =，秩()r B n =. (C) 秩()r A n =，秩()r B m =. (D) 秩()r A n =，秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --.(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩，(0,0)a b >>为概率密度，则,a b 应满足 ( )(A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-，起点是()1.0-，终点是()1,0，则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==，若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2，则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!CP X k k ==，0,1,2,k =，则()2E X=.三、解答题(15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小，说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =，求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分2x y zI ∑-=，其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，，已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ，a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y+，且Q 的第三列为(22T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=，x -∞<<+∞，y -∞<<+∞，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知，以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ，使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量，并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限，极限为1∞型，故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=，其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-，所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅， 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅， 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰，用比较判别法的极限形式，对于，由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然，当1201n m<-<，则该反常积分收敛. 当120n m -≤，1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在，此时实际上不是反常积分，故收敛.故不论,m n是什么正整数，总收敛.对于，取01δ<<，不论,m n 是什么正整数，1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-，所以收敛，故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn n i j i j n n n i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n nj i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()nnn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =，故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值，由于2A A O +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即AΛ，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式，得到随机变量X 既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，所以求随机变量在一点处的概率，只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义，函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差，即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-，故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知，()221x f x e -=(x -∞<<+∞)，()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰，故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=，故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-， ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦，所以2200t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.x t =，2x t =，2dx tdt =，利用分部积分法，原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2，所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换:123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质，知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑，整理得到1C e -=，即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布，则()()1,1E X D X ==，根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，解得特征根121,2λλ==，所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+，则()()*22x y axax bx b e '=+++，()()*2422x y axax bx a b e ''=++++，代入原方程，解得1,2a b =-=-，故特解为*(2)xy x x e =--．故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰，所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰，令()0f x '=，则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰，则21(0)20t f e dt -''=<⎰，所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>，所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时，()0f x '>；01x ≤<时，()0f x '<；10x -≤<时，()0f x '>；1x <-时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-，()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞.(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<，故[]ln(1)nnt t +<，所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<，则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+，故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+，所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++，所以，当21x <，即11x -<<时，原级数绝对收敛.当21x >时，原级数发散，因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时，11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑，其中令 12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-，所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-，从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-，故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰，()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的，所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅，[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--，故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z z y --，由切平面垂直xOy ，故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ，可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤，由()()x x yz z y x '='-++1222，由 dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=，故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解，所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3，进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数，有以下两种方法.方法1:( I )已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，对增广矩阵进行初等行变换，得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()r A r A ≠，故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时，111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭，由于()()3r A r A =<，所以2a =-，故1λ=- ，2a =-. 方法2:已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，因此0A =，即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1.当1λ=时，()1()2r A r A =≠=，此时，Ax b =无解，因此1λ=-.由()()r A r A =，得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，写成向量的形式，即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭，所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭，记为3α. 由于A 是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=，则30T αα=130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-，因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的，所以只需单位化:())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭，则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，且1TQ Q -=，故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵，A 的特征值为1，1，0，所以A E +的特征值为2，2，1，由于A E +的特征值全大于零，故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后，要求条件概率密度|(|)Y X f y x ，可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数，A 要根据概率密度的性质求解，具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰，即1A π-=，故()2x X f x -=，x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时，有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---====-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量，所以()E T θ=，即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，整理得到10a =，21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ-，故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010年考研数学一真题及参考答案

2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限2lim ()()x x x x a x b ®¥æö=ç÷-+èø（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x x x x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bx e e x a x b ee eæöæö-ç÷ç÷ç÷ç÷-+-+èøèø®¥®¥®¥-+æö-+ç÷ç÷-+-+èø®¥®¥-æö==ç÷-+èø===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z zx y u y¶¶+=¶¶（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】【详解】等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ¢¢¢¢¢¢+++++=，所以有，1212x x z z F u F v z x F u F v ¢¢+¶=-¢¢¶+，1212yy z z Fu F v z y Fu F v ¢¢+¶=-¢¢¶+，其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x=，代入即可。

2010年考研数学一真题及参考答案

2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+，其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。

（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。

2010考研数一真题答案及详细解析

P{X = k} = k! ,k = 0,l,2,
．一 b — =
则 EX 2= � 贮
k=O
e-1 = e- 1• 00
k
k!
k=l (k - 1)!
= e- 1 �(k — 1)+ 1 = 2 k=l (k - 1)!
三解、答题 (15)解由题设知，齐次方程对应的特征方程为r 2 — 3 r+2 = 0,
(—1)n-1 2n—l X
2n-l)
I
=
oo
笘( — l)n— 1X2n-2
= l-x2 +x4 -x6 +…+ (_ 1)n-1X 2n-2 +…
所以
—
1 l+x2
,x
E
[—1,1].
J: I : S 1(x) = J: S'(1t)dt+S 1(0) = 1�t2 dt+0= arctant = arctanx.
2 + y z 气-yz =l
y = 2z
(x +岛) IY — 2z I
✓ ＠根据题设条件知，曲面积分『
dS中积分曲面2是椭球面S位于平面
2 4 + y2 + z 2 -- 4yz
2010年（数一）真题答案解析
一、选择题
Cl) C
丑
法
用求幕指数型极限的一般方法。求I = lim exln(x-a)(叶b)'
x-=
归结为求
— + W =limx ln x-c。
2
Cx
X
-a)(x
+b)
= lim x
户=
ln((x

高考数学2010年全国卷1理科试题答案及解析

高考数学试卷第I 卷一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a ===== (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.AB C DA 1B 1C 1D 1 O(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 33 C 23D 637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a, 则12211133sin 60(2)2222ACD S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==. 所以1312333ACD ACD S DD a DO a S a∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3DO DD θ==,所以6cos 3θ=. （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)32 (B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000||[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+PA BO||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB •=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010考研数一真题及解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--．故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010年数学一试题答案与解析

2010年数学一试题答案与解析2010年数学一试题答案与解析本文将为你提供2010年数学一试题的答案与解析。

以下是试题及其答案与解析：一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，则 f(x) 的单调递增区间为：A. (-∞, -1)B. (-1, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 1)答案：C解析：首先求出 f'(x) = 2x - 2，然后令 f'(x) > 0，得到 x > 1，即函数f(x) 在(1, +∞) 上单调递增。

2. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a, b, c, d 为常数)，若 f(x) 在 x = 1 处有极值，则下列说法正确的是：A. a = b = c = d = 0B. a = 0, b ≠ 0C. a ≠ 0, c = 0D. a ≠ 0, b ≠ 0答案：C解析：设 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，由于 f(x) 在 x = 1 处有极值，所以f'(1) = 0，代入得到 3a + 2b + c = 0，即 c = -3a - 2b。

因此，a ≠ 0，c = 0。

3. 若 a 是正实数，且 log_a 2 + log_a (3a) = 4，则 a 的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2D. 3答案：D解析：根据对数的性质，log_a 2 + log_a (3a) = log_a (2 * 3a) = log_a (6a)。

因此，要使 log_a (6a) = 4，即 a^(log_a (6a)) = a^4，得到 6a =a^4，即 a^3 - 6 = 0。

解这个方程得到 a = 3。

二、非选择题1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知一直线 l 过点 A(1, 1) 和点 B(2, 2)，且与直线 x + y = 0 相交于点 P。

设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是多少？答案：k ∈ (-∞, 1]解析：斜率为 k 的直线可表示为 y = kx + (1 - k)，将其与直线 x + y = 0 相交，即求解方程组：{ y = kx + (1 - k){ x + y = 0解得交点为 P(-1/(k + 1), -k/(k + 1))。

2010年考研数学一真题及答案

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b(D)e b−a 【考点】C。

【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞{[1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b)](x−a)(x+b)(a−b)x+ab}(a−b)x+ab(x−a)(x+b)x=e a−b【方法二】原式=limx→∞e xlnx2(x−a)(x+b)而limx→∞ xln x2(x−a)(x+b)=limx→∞xln(1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b))=limx→∞x∙(a−b)x+ab(x−a)(x+b)(等价无穷小代换) =a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若limα(x)=0, limβ(x)=0,且limα(x)β(x)=A 则li m(1+α(x))β(x)=e A,求极限由于limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x2−(x−a)(x+b)(x−a)(x+b)∙x=limx→∞(a−b)x2+abx(x−a)(x+b)=a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法四】lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞[(x−a)(x+b)x2]−x=limx→∞(1−ax)−x∙limx→∞(1+bx)−x=e a∙e−b=e a−b综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z=z(x,y)由方程F(yx ,zx)=0确定，其中F为可微函数，且f′′2≠0,则xðzðx +yðzðy=。

2010数学一真题及答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z xy z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,121211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x e -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰.(13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦.三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--．故方程的通解为*212(2)x xx c y y y C e C e x x e =+=+-+．(16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,即13022x x +=. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1TQ Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx edx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010考研数学一真题与答案

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b(D)e b−a 【考点】C。

2010年1月高等数学一试题及答案

全国十佳网络教育机构全国网络教育示范基地全国2010年1月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题及答案课程代码：00020试题部分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 的定义域为（） A.[-1，1] B.[-1，3] C.（-1，1）D.（-1，3）2.要使无穷级∑∞=0n n aq （a 为常数，a ≠0）收敛，则q =（）A.0.5B.1C.1.5D.2 3.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x x x x x f 在x =1处的导数为（）A.1B.2C.3D.不存在4.函数y =x 2-ln(1+x 2)的极小值为（）A.3B.2C.1D.05.下列反常积分收敛的是（） A.⎰+∞12d 1x x B.⎰+∞1d 1x x C.⎰+∞1d ln x x D.⎰+∞1d ln x x x二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设⎩⎨⎧≤->=0101)(x x x f ，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________. 7.1arctan lim 2+∞→x x x =_______________. 8.∞→n limn [ln (n +2)-ln n ]=_______________.9.函数⎩⎨⎧≤≤-<≤-=21e e 10)(x x x k x f x 在x =1处连续，则k =_______________.10.设函数y =ln sin x ,则y ″=_______________.11.设函数y =x 2e -x ,则其弹性函数Ex Ey =_______________. 12.曲线x xy ln =的水平渐近线为_______________.13.不定积分⎰-22d x x=_______________.14.微分方程（1+x 2）d y -(1+y 2)d x =0的通解是_______________.15.设z=y x 322e -,则y x z∂∂∂2=_______________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.求极限x x x x x x sin cos lim0--→.17.求曲线y =x -2arctan x 的凹凸区间.18.求函数f (x )=x 4-2x 2+5在区间[-1，2]上的最大值和最小值.19.已知函数f (x )满足⎰+=C x x x f x e d )(，求⎰x x f d )(.20.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ∂∂∂∂,.四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.设y =x sin x +x arctan e x ，求y ′.22.计算定积分I =⎰+10d )1ln(x x x .23.计算二重积分I =⎰⎰D y y x y d d e 2，其中D 是由y =x ,x =1,x =2及x 轴所围成的闭区域.五、应用题（本大题9分）24.过抛物线y =x 2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y 轴所围成的平面图形为D .(1)求切线方程；（2）求D 的面积A ；（3）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .六、证明题（本大题5分）25.证明：当x >0时，1+x x +>121.答案部分。

2010数学一参考真题答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）极限()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢=⎢−+⎢⎥⎣⎦（）（A ）1 （B ）（C ）（D ）e a b e −b a e −[ C ]（2）设函数(),z z x y =，由方程,y z F x x ⎛⎞⎜=⎜⎜⎝0确定，其中为可微函数，且，则F '20F ≠z zxyu y∂∂+∂∂=（）（A ）x（B ）（C ）z x −（D ）z −[ B ]（3）设是正整数，则反常积分,m n∫的收敛性（A ）仅与的取值有关（B ）仅与有关 m n （C ）与取值都有关（D ）与取值都无关,m n ,m n [ B ]（4）()()2211lim nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（A ）()1211(1)xdx dy x y ++∫∫（B ）()111(1)xdx dy x y ++∫∫（C ）()1111(1)dx dy x y ++∫∫（D ）()11211(1)dx dy x y ++∫∫[ D ]（5）设A 为m 型矩阵，n ×B 为型矩阵，n m ×E 为阶单位矩阵，若m AB E =，则（）（A ）秩()r A m =，秩()r B m = （B ）秩()r A m =，秩()r B n = （C ）秩()r A n =，秩()r B m =（D ）秩()r A n =，秩()r B n =[ A ]（6）设A 为4阶对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于（）（A ）（B ） 1110⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠1110⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠（C ）（D ） 1110⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠1110⎛⎞−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠[ D ]（7）设随机变量X 的分布函数()00101211x x F x x e x −⎧<⎪⎪⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪⎪⎪−≥⎪⎩<，则（）{}1P X ==（A ）0 （B ）12（C ）112e −−（D ）11e −− [ C ]（8）设()1f x 为标准正态分布的概率密度，()2f x 为[上均匀分布的概率密度，若]1,3−()()()(1200,00af x x f x a b bf x x ⎧≤⎪⎪=>⎨⎪>⎪⎩)>44为概率密度，则应满足（） ,a b （A ）（B ） 23a b +=32a b +=（C ）（D ） 1a b +=2a b +=[ A ] 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2010年考研数学一真题与答案

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b(D)e b−a 【考点】C。

2010年1月联考数学真题

，选
3
E
7．多项式 x3 ax2 bx 6 的两个因式是 x 1和 x 2 ，则其第三个一次因式为（）（A） x 6 （B） x 3 （C） x 1 （D） x 2 （E） x 3
【参考答案】B 【知识点】多项式乘法
【名师讲解】可设 x3 ax2 bx 6 (x 1)(x 2)(x c) ，根据常数项（令 x=0）得到 (1)(2)c 6 ，解得 c 3 ，所以因式为 x 3 ，选 B
【参考答案】A 【知识点】绝对值大小比较
【名师讲解】 | a b | a b 恒成立，条件（1）因为 a 0 ，则 a | a b | a (a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb) ，所以充分；条件（2）当 a 0 时，左式≤0，右式≥0，结论不成立，所以不充分，所以选 A.
17.有偶数位来宾。（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同（2）聚会时男宾人数是女宾人数的两倍
【参考答案】D
【知识点】距离计算
【名师讲解】利用三角形面积公式 1 AB AC 1 AD BC ，所以 AD 512 4.62 ，选 D
2
2
13
6．某商场举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在 4 种赠品中随机选取 2 件不
同的赠品，任意两位顾客所选的赠品中，恰有 1 件品种相同的概率是（）
1
1
1
1
3
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
120
168
240
720
1000
【参考答案】C 【知识点】尝试密码【名师讲解】由于密码智能试 3 次且数值不能重复，所以属于排列问题，同样密码无论有多少：组

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1
90，又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证的人数为（D）65 （E）100
9.
甲商店销售某种商品，该商品的进价为每件90元，若每件定价为100元，则一天内能售
出500件，在此基础上，定价每增加1元，一天便少售出10件，甲商店欲获得最大利润，则该商品的定价应为（A）115元 10. （B）120元（C）125元（D）130元（E）135元
2010 年 1 月 MBA 联考数学真题及参考答案详解
一、问题求解：(第 1～15 小题，每小题 3 分，共 45 分，下列每题给出的 A、B、C、D、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。) 1. 电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映1小时后，女士（A） 4:5 2. 3. (A) 276元 (B) 1:1 (B) 331元 (C) 5:4 (C) 345元 (D) 20:17 (D) 360元 (E) 85:64 (E) 400元的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15%,则该商品的标价为三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数），且依次相
多项式 x a x b x 6 的两个因式是 x 1 和 x 2 ，则其第三个一次因式为 (A) x 6 (B) x 3 (C) x 1 (D) x 2 (E) x 3
8.
某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证得人数分别为130、 110、（A）45 （B）50 （C）52
3
答案详解
一、问题求解 1.【答案】D 【解析】设影院中女士、男士人数分别为 5x、4x；一小时后女士剩 4x，男士剩 3.4x，则女士与男士人数之比为
4x 3 .4 x = 20 17
，故选 D
2.【答案】C 【解析】设商品的标价为 a,则由题意可得关系式为
0 .8 a 2 4 0 240 1 5 % a 3 4 5 ，故选 C
2 2
已知直线 a x b y 3 0 ( a 0， b 0 ) 过圆 x 4 x y 2 y 1 0 的圆心，则 a b
的最大值为（A） 11.
9 16
（B）
11 16
（C ）
3 4
（D）
9 8
（E）
9 4
某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的（A）240种（B）144种（C）120种（D）60种（E）24种
1 2 BF CD 1 2 FC CD 1 2 (BF FC ) C D 24
故阴影面积为： S 4 8 ( 2 4 4 ) 2 8 ,故正确答案为 B. 15.【答案】E 【解析】小王通关的概率可以记为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 C2
修建一个室外车位的费用为1000元，考虑到实际因素，计划室外车位的数量不少于室内车位的2倍，也不多于室内车位的3倍，这笔投资最多可建车位的数量为（A）78 14. （B）74 （C）72 （D）70 （E）66
2
如图2，长方形 ABCD 的两条边长分别为8m 和6m，四边形 OEFG 的面积是 4 m ,则阴影部
2
，当a
3 4
时，有最大值为
9 8
，故正确答案为 D
11.【答案】A 【解析】由题意知要想让每一学校至少有一名志愿者，那么表明有一所学校是两名志愿者，那么总的方案有 C 5 A 4 1 0 4 3 2 2 4 0 种，故选 A 12.【答案】C 【解析】因为三次试验是独立重复试验，故每次启动装置的概率为
10.【答案】D 【解析】由圆的标准方程 ( x 2 ) ( y 1) 4 可得圆心点坐标为 ( 2， 1) ，又因为直线
5
2 2
3 2 a ) 2 a 3 a 经过圆心，所以 2 a b 3 0 ，即 b 3 2a ，故 a b a (
6
【解析】条件（1）中说每位来宾与其邻座性别不同，故来宾为偶数出现，条件充分条件（2）中假设男来宾为 2 人，女来宾为 1 人，那么显然不充分；故正确答案为 A 18.【答案】C 【解析】显然条件（1）和条件（2）单独不成立；当（1）（2）联立时，设甲、乙利润分别为 x，y，可得以下方程组：
2
1
2
2
故正确答案为 A 5.【答案】D 【解析】由题意可知，当 AD 为 BC 边上的高时距离最短，由直角三角形面积公式可得：
AD AB AC BC 5 12 5 12
2 2

60 13
4 .6 2 ，故正确答案选 D
6.【答案】E 【解析】
4
任意两位顾客所选赠品的种数有 C 4 C 4 3 6 种，两位顾客中恰有一件相同的种数有： C 4 C 3 C 3 2 4 种，故恰有一件相同的概率为 p 7.【答案】B 【解析】方法一：设 f ( x ) x a x b x 6 ( x 1)( x 2 )( x c ) ，由常数项可知 c 3 ，故正确答案选 B 8.【答案】B 【解析】此题用图形解释更加直观：由左图可以知道：设 A 为拥有本科毕业证， B 为计算机登记证，C 为汽车驾驶证，且拥有一证者分别设为 x，y，z ，又知 x+y+z=140，A=130，B=110，C=90， ABC=30，现在求 AB+AC+BC=( ) 由条件可知
1
1 2

1 2

1 2
C2
1
1 2

1 2

1 2

1 2

1 2
=
19 32
,故正确答案为 E.
16.【答案】A 【解析】条件（1），a>0，可两边除以 a，得 a b a b 成立，故条件（1）充分. 条件（2），因为 a>b，故 a b 0 ，两边同除以 a b ，得 a a 不成立，故条件（2）不充分，正确答案为 A. 17.【答案】A
分配方案共有 12. 某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成，连续3次输入错误密码，就会导致
1 120 1 168ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为（A） 13. （B）（C）
1 240
（D）
1 720
（E）
3 1000
某居民小区决定投资15万元修建停车位，据测算，修建一个室内车位的费用为5000元，
2
（E）条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分 16.
a a b a (a b )
（1）实数 a 0 （2）实数 a， b 满足 a b 17. 有偶数位来宾。（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。（2）聚会时男宾人数是女宾人数的两倍。 18. 售出一件甲商品比售出一件乙商品利润要高。（1）售出5件甲商品，4件乙商品共获利50元。（2）售出4件甲商品，5件乙商品共获利47元。 19. 已知数列 a n 为等差数列，分差为 d ，a a 1 a 2 a 3 a 4 1 2 ，则 a 4 0 （1） d 2 （2） a 2 a 4 4 20. 甲企业今年人均成本是去年的60% （1）甲企业今年总成本比去年减少25%，员工人数增加25%。（2）甲企业今年总成本比去年减少28%，员工人数增加20%。 21. 该股票涨了（1）某股票连续三天涨了10%后，又连续三天跌10%。（2）某股票连续三天跌了10%后，又连续三天涨10%。 22. 某班有50名学生，其中女生26名，已知在某次选拔测试中，27名学生未通过，则有9名男生通过。（1）在通过的学生中，女生比男生多5人。（2）在男生中，未通过的人数比通过的人数多6人。 23. 甲企业一年的总产值为 (1) (2) 24.
3.【答案】C 【解析】小于 6 的素数只有 2、3、5；又由题意知只有当去、最小学龄儿童为 5 岁时，其他两名小孩的年龄分别为 11 和 17 满足都是质数和等差的条件，故他们的年龄之和为 5+11+17=33，故正确答案为 C. 4.【答案】A 【解析】因每行为等差，每列为等比，可得:
5 2 3 2 ( ) ( ) 5 3 x 1， a ，y 4 ，z 4 ，故 x y z 2 . 5 3 2 4 2 2 8 8 3 5 x
故正确答案为 B 9.【答案】B 【解析】设该产品定价为 x 时利润最大，且最大利润为 y
0 - x 2 4 0 x 1 5 0 0 9），有关系式为 y ( x 9 0 )[5 0 0 1 0 ( x 1 0 0 )] 1 （
2
当x
b 2a
1 2 0 时，利润最大，故正确答案为 B
3 2
1 1 1
2
2
24 36

2 3
，故正确答案为 E.
X 40 AB AC 130 (1 3 0 1 1 0 9 0 ) 1 4 0 3 0 3 50 Y 4 0 A B B C 1 1 0 A B A C B C 2 Z 40 BC AC 90
差6岁，他们的年龄之和为（A）21 （B）27 （C）33 （D）39 （E）51 4. 在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列， x y z (A) 2 2
x a