谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案一、选择题1. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示“或”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：B2. 谓词逻辑中的量词“∀”代表什么含义？A. 存在B. 全部C. 任意D. 否定答案：B3. 下列哪个表达式表示“所有的x都满足P(x)”？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∃x ¬P(x)D. ¬∀x ¬P(x)答案：B4. 谓词逻辑中的否定连接词是哪一个？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C5. 如果P(x)表示“x是学生”，Q(x)表示“x是老师”，以下哪个表达式表示“x既是学生又是老师”？A. P(x) ∧ Q(x)B. P(x) ∨ Q(x)C. P(x) → Q(x)D. ¬P(x) ∧ ¬Q(x)答案：A二、填空题6. 谓词逻辑中，表达式“∀x (P(x) ∨ Q(x))”可以解释为“对于任意的x，x满足P或Q”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：对于任意的x，x是P或者x是Q。
7. 如果P(x)表示“x是大的”，Q(x)表示“x是圆的”，那么表达式“∃x (P(x) ∧ Q(x))”可以解释为“存在某个x，x既大又圆”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：存在某个x，x既大又圆。
8. 表达式“¬∀x P(x)”可以解释为“不是所有的x都满足P(x)”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：不是所有的x都满足P。
三、简答题9. 解释谓词逻辑中量词“∃”和“∀”的区别。
答案：量词“∃”表示存在，即至少有一个元素满足某个性质或条件；而量词“∀”表示全部，即所有元素都满足某个性质或条件。
10. 给出一个例子，说明谓词逻辑中的“蕴含”如何使用。
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案
1. 谓词逻辑中的谓词是用来表示什么？
答案：谓词逻辑中的谓词是用来表示一个或多个对象之间关系的符号。
2. 什么是量词？
答案：量词是用来表示某个属性或关系在一定范围内的普遍性或存在
性的逻辑符号。
3. 存在量词和全称量词的区别是什么？
答案：存在量词表示在某个范围内至少存在一个对象满足某种属性或
关系，而全称量词表示在某个范围内的所有对象都满足某种属性或关系。
4. 谓词逻辑中的等价关系有哪些？
答案：谓词逻辑中的等价关系包括逻辑等价、逻辑蕴含和逻辑逆否。
5. 如何使用谓词逻辑表达“所有学生都爱学习”？
答案：可以使用全称量词表达为：∀x(S(x) → L(x))，其中S(x)表示
x是学生，L(x)表示x爱学习。
6. 如何使用谓词逻辑表达“存在一个学生不爱学习”？
答案：可以使用存在量词表达为：∃x(S(x) ∧ ¬L(x))，其中S(x)表示x是学生，L(x)表示x爱学习，¬L(x)表示x不爱学习。
7. 谓词逻辑中的合取、析取和否定如何表示？
答案：合取用符号∧表示，析取用符号∨表示，否定用符号¬表示。
8. 谓词逻辑中的蕴含和等价如何表示？
答案：蕴含用符号→表示，等价用符号↔表示。
9. 谓词逻辑中的量词可以嵌套使用吗？
答案：可以，量词可以嵌套使用，但需要注意量词的作用域。
10. 如何使用谓词逻辑表达“每个学生都有一个朋友”？
答案：可以使用全称量词和存在量词嵌套表达为：∀x(S(x) →
∃y(F(x, y) ∧ P(y)))，其中S(x)表示x是学生，F(x, y)表示x和y是朋友，P(y)表示y是人。
逻辑学导论(第3版) 练习题及详细答案-第4章 谓词逻辑
逻辑学导论（第3版）练习题及其答案第四章课后习题详细答案解析一、请用谓词逻辑的语言把下述命题或推理符号化：1.没有最大的自然数。
2.一个好的专家胜过任何业余人士。
3.每一个时刻都在有的时刻之后。
4.神帮助所有自助的人，并且只帮助自助的人。
5.如果所有的人都尊重每一个人，则每一个人都会很快乐。
6.有一本书，全班同学都喜欢它并且轮流读过它，而它为王军所拥有。
7.所有教逻辑的教师，其思维一定非常合乎逻辑，这一说法是假的。
8.对于任意的自然数x、y来说，x+5=y当且仅当x=y 5。
9.如果天堂的门将只对穷人敞开，而约翰是一位大富翁，那么，约翰将进不了天堂。
10.或者所有的学生喜欢所有老师讲课，或者有的学生不喜欢有的老师讲课。
11所有的马都是动物，所以，所有的马头都是动物头。
12.有的人得到所有人的尊敬，有的人得到某些人的尊敬，但一个人至少应该自己尊敬自己。
13.如果有的自然数小于所有自然数，那么肯定有自然数自己小于自己，而后一说法肯定是假的，所以，前一说法也是假的。
14.如果牛郎不爱所有爱织女的男人，那么，如果孙悟空爱织女，则牛郎不爱孙悟空或者大白菜是云彩。
15.仅当大学生爱好数学时才爱好逻辑。
16.如果张三有罪，则没有一个证人说谎，除非他害怕。
有证人害怕。
因此，张三无罪。
17.最大的行星是木星。
18.至少有三个碳同素体。
19.双子座恰有两颗明亮的星星。
20.每位丈夫有恰好一位妻子。
二、用解释方法证明下面前五个公式不普遍有效，后五个公式可满足：1.∃xA(x)∧∃xB(x)→∃x(A(x)∧B(x))2.∀x(A(x)∨B(x))→∀x A(x)∨∀xB(x)3.(∃xA(x)→∃xB(x))→∀x(A(x)→B(x))4.∃xA(x)∧∀xB(x)→∀x(A(x)∧B(x))5.∀z(∀x(R(x，z)→R(z，z))∧∀y(R(y，z)→R(z，z))→∀x(R(y，z)→R(x，z)))6.(∀xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))7.∀x(Px→Mx)∧∃x(Sx∧Mx)→∀x(Sx→Px)8.∃y∀xR(x，y)→∀x∃yR(x，y)9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(D(x)∧∀y(M(y)→⌝R(x，y)))三、请用树形图判定下述公式是否普遍有效式：1.∀x∀yR(x，y)↔∀y∀xR(x，y)2.∃x∃yR(x，y)↔∃y∃xR(x，y)3.∃x∀yR(x，y)→∀y∃xR(x，y)4.∀x(A(x)→B(x))∧∀x(B(x)→C(x))→∀x(A(x)→C(x))5.∀x(A(x)→C(x))∧∀x(B(x)→C(x))∧∃x(A(x)∨B(x))→∃xC(x)6.∀x(A(x)→B(x))∧∃x(C(x)∧⌝B(x))→∃x(C(x)∧⌝A(x))7.∃x(A(x)∧⌝B(x))→∃xA(x)∧∃x⌝B(x)8.∀xA(x)∨∀xB(x)→∀x(A(x)∨B(x))9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(Dx∧∀y(My→⌝R(x，y)))→∀y(My→∃x(Dx∧⌝R(x，y)))四、证明下述公式是Q N定理：1.∃x(A(x)→B(x))↔(∀xA(x)→∃xB(x))2.(∃xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))3.∀x(A(x)→B(x))→(∃xA(x)→∃xB(x))4.∀x(A(x)↔B(x))→(∀xA(x)↔∀xB(x))5.∀x(A(x)↔B(x))→(∃xA(x)↔∃xB(x))6.∀x(A∧B(x))↔A∧∀xB(x)，若x在A中不自由7.∃x(A∧B(x))↔A∧∃xB(x)，若x在A中不自由8.∀x(A∨B(x))↔A∨∀xB(x)，若x在A中不自由9.∃x(A∨B(x))↔A∨∃xB(x)，若x在A中不自由10.∃x(A(x)∧∀y(B(y)→C(x，y)))→∀y(B(y)→∃x(A(x)∧C(x，y)))五、为下述推理构造Q N证明：1.Aα，∀x(A(x)→∀yB(y)) /∴∀xB(x)2.∀x(A(x)→B(x))，∃x⌝B(x)，∀x (⌝A(x)→C(x)) /∴∃xC(x)3.∀x(A(x)∨B(x)→⌝C(x))，∃x⌝(⌝A(x)∧⌝B(x)) /∴⌝∀xC(x)4.∃x(A(x)∧B(x))⌝∀yC(y)，⌝C(α) /∴∀x(A(x)→⌝B(x))5.∀x(A(x)∨B(x)→C(x))，∀x(C(x)∨D(x)→E(x)) /∴∀x (A(x)→E(x))6.∃xA(x)→∃xB(x)，∀x (C(x)→A(x)) /∴∃xC(x)→∃xB(x)7.∀x(A(x)→B(x))，∃x(C(x)∧⌝B(x))，∀x (⌝D(x)∨A(x)) /∴∃x(C(x)∧⌝D(x))8.∃xA(x)→∃x(B(x)∧C(x))，∃x(C(x)∨D(x))→∀xE(x) /∴∀x (A(x)→E(x))9.∀x(A(x)∧B(x)→C(x))，∃x(D(x)∧B(x))，∀x(⌝A(x)→⌝D(x))/∴∃x(C(x)∧D(x))10.∀x(A(x)∨B(x)→C(x)∧D(x)) /∴∃x(A(x)∨C(x))→∃xC(x)11.∃xA(x)→∃yB(y)，∃x(A(x)∧∀y(B(y)→R(x，y))) /∴∃x∃yR(x，y)12.∀x(A(x)→∃y(A(y)∧B(x，y)))，∃x(A(x)∧∀y(A(y)∧B(x，y)→C(x，y))) /∴∃x∃y(A(x)∧A(y)→C(x，y))13.∀x(A(x)→B(x)) /∴∀x (∃y(A(y)∧C(x，y))→∃z(B(z)∧C(x，z)))14.∃xA(x)→⌝∃xB(x) /∴∀x(∃yA(y)→⌝B(x))15.∃xA(x)→∃xB(x) /∴∃y∀x (A(x)→B(y))六、先用谓词逻辑的语言把下述推理符号化，再为其构造Q N证明：1.所有的科学家都是理性主义者，没有宗教狂热者是理性主义者，所以，所有的宗教狂热者都不是科学家。
谓词逻辑试题讲解及答案
谓词逻辑试题讲解及答案1. 定义谓词逻辑中的量词。
谓词逻辑中的量词用来表示对某个集合中所有元素或某些元素的断言。
主要有两种量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有对象都成立的断言，而存在量词表示至少有一个对象满足断言。
2. 解释谓词逻辑中的谓词。
谓词逻辑中的谓词是对一个或多个对象的属性或关系的描述。
例如，谓词“P(x)”可以表示“x是偶数”。
谓词可以是一元的（一个参数），二元的（两个参数），或者多元的（多个参数）。
3. 给出一个谓词逻辑表达式，并解释其含义。
表达式：∀x∈N, ∃y∈N, x=2y含义：对于所有自然数x，都存在一个自然数y，使得x等于2y的倍数。
4. 判断下列命题是否为真，并给出理由。
命题：∀x∈R, x^2 ≥ 0答案：真。
理由：对于所有实数x，x的平方都是非负的。
5. 将下列自然语言命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：所有人都是聪明的。
表达式：∀x(P(x) → C(x))解释：对于所有个体x，如果x是人（P(x)），那么x是聪明的（C(x)）。
6. 证明：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
证明：设x为任意整数，如果x是偶数，即存在一个整数k使得x=2k。
那么x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)，由于2k^2是整数，所以x^2是偶数。
7. 判断下列命题是否为假，并给出理由。
命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0。
答案：假。
理由：实数的平方不可能是负数，因为任何实数的平方都是非负的。
8. 将下列命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：没有比2大的偶数。
表达式：∀x∈N, (x > 2 ∧ x是偶数) → 假解释：对于所有自然数x，如果x大于2并且是偶数，则该命题为假。
9. 证明：如果一个数是奇数，那么它的平方也是奇数。
证明：设x为任意整数，如果x是奇数，即存在一个整数k使得x=2k+1。
那么x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，由于2k^2 + 2k是整数，所以x^2是奇数。
谓词公式考试题目及答案
谓词公式考试题目及答案一、选择题1. 谓词公式中，谓词的参数可以是：A. 常量B. 变量C. 函数D. 所有以上选项答案：D2. 下列哪个不是谓词逻辑表达式？A. ∀x P(x)B. ∃y Q(y)C. ¬R(x, y)D. x + y = z答案：D二、填空题3. 谓词逻辑中，全称量词的符号是______。
答案：∀4. 谓词逻辑中，存在量词的符号是______。
答案：∃三、简答题5. 简述谓词公式的一般形式。
答案：谓词公式的一般形式是P(x1, x2, ..., xn)，其中P是一个谓词，x1, x2, ..., xn是参数，参数可以是常量、变量或函数。
6. 解释谓词逻辑中的量词。
答案：谓词逻辑中的量词用来表示对变量的量化，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有可能的值都成立，而存在量词表示至少存在一个值使得命题成立。
四、计算题7. 给定谓词公式：∀x ∃y R(x, y)，解释其含义。
答案：该谓词公式的含义是对于所有的x，都存在一个y，使得R(x, y)成立。
8. 如果有谓词公式：∃x (P(x) ∧ Q(x))，它表示什么？答案：该谓词公式表示存在至少一个x，使得P(x)和Q(x)同时成立。
五、论述题9. 论述谓词逻辑与命题逻辑的区别。
答案：谓词逻辑与命题逻辑的主要区别在于谓词逻辑引入了量词和谓词，能够表达更复杂的关系和属性。
命题逻辑主要处理简单的命题和它们的逻辑关系，而谓词逻辑则可以表达涉及个体和属性的更复杂的逻辑结构。
10. 描述谓词逻辑在数学证明中的应用。
答案：谓词逻辑在数学证明中应用广泛，它可以用来形式化地表达数学概念和定理，以及它们的证明过程。
通过谓词逻辑，数学家可以更精确地定义数学对象和它们的性质，以及使用逻辑推理来证明数学命题的正确性。
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑测试题及答案
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP 真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),yL>(则命题的逻辑谓词公式为。
xyx3、谓词合式公式)(→xP∃∀的前束式为。
(x)xQx4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨P⌝⌝⌝的真值= 。
∨→Q∧())))R((P(SR7．公式P∧)((的主合取式为∨)SR∧RP⌝∨。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀∃在I下真值为x→)(xxP。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y yP x∃∀真值为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则wff∧∧PR∨S∧的真值为。
→∨))(()())(QR(SP12. R⌝))((的主合取式为。
∧wff→RQP∨13.设P（x）：x是素数，E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数N (x,y)：x可以整数y。
则谓词))),(xxwff∧P→y∀的自然语言是∃O)((()y(xNy。
14.谓词)),,(zyxPxz∃∀的前束式P∀∧→wff∃)),()y,((zuQx(uy为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>+yx；C、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、 下列各命题中真值为真的命题有（）。
A 、 2+2=4当且仅当3是奇数；B 、2+2=4当且仅当3不是奇数；C 、2+2≠4当且仅当3是奇数；D 、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、 下列符号串是合式公式的有（）A 、Q P ⇔；B 、Q P P ∨⇒；C 、)()(Q P Q P ⌝∨∧∨⌝；D 、)(Q P ↔⌝。
谓词逻辑——精选推荐
习题二(参考答案)2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化，）高斯是数学家，但不是文学家。
（1）高斯是数学家，但不是文学家。
P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯高斯P(a) ÙØs(a) ）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
（2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
P(x,y):x比y高. a:小张. b:小李. c:小赵小赵(p(a,b) Ùp(b,c)) ®p(a,c) ）鱼都会在水里游。
（3）鱼都会在水里游。
P(x)::x是鱼是鱼 R(x)x都会在水里游. "x (P(x) ® R(x)) ）情商比智商更重要。
（4）情商比智商更重要。
P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商智商P(a,b) ）并不是所有的人都爱看电影。
（5）并不是所有的人都爱看电影。
P(x):x是人. G(x):爱看电影. Ø"x(p(x) ® G(x)) 或$x(p(x) ÙØ G(x)) ）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
（6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美. $x(P(x) ÙG(x)) Ù"x (P(x) ® R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。
利用二元谓词将下面命题符号化。
）每列火车都比某些汽车快。
（1）每列火车都比某些汽车快。
P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车是汽车"x(M(x) ®$y(G(y) ÙP(x,y)) ）某些汽车比所有火车慢。
（2）某些汽车比所有火车慢。
P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车是火车$x(M(x) Ù"y(G(y) ®P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。
谓词逻辑复习题答案
证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．
谓词逻辑-习题参考解答(2)
谓词逻辑习题参考答案与提示1.（1）设W(x)：x是工人；c：小张。
原命题可符号化为：⌝W(c)。
（2）设S(x)：x是田径运动员；B(x)：x是球类运动员；h：他。
原命题可符号化为：S(h)∨B(h)。
（3）设C(x)：x是聪明的；B(x)：x是美丽的；l：小莉。
原命题可符号化为：C(l)∧B(l)。
（4）设O(x)：x是奇数。
原命题可符号化为：O(m)→⌝O(2m)（5）设P(x，y)：直线x平行于直线y；G(x，y)：直线x相交于直线y。
原命题可符号化为：P(x，y)→⌝G(x，y)。
（6）设O(x)：x是老的；V(x)：x是健壮的；j：王教练。
原命题可符号化为：⌝O(j)∧⌝V(j)。
（7）设L(x, y)：x大于y。
原命题可符号化为：L(5,4)→L(4,6)。
2.（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)0（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)1（3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0；a)1 b)1 c)0 d)0（4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)1 b)1 c)0 d)0（5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)1 d)1（6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)0 d)0（7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
a)1 b)1 c)0 d)03.（1）⌝∃xL(x,0)（2）∀x∀y∀z((L(x,y)∧L(y,z))→L(x,z))（3）∀x∀y((L(x,y)→∃z(L(z,0)∧G(xz,yz)))（4）∃x∀yM(x,y,y)（5）∀x∃yA(x,y,x)4. ∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示∃x(P(x)∧∀y(P(y)→E(y,x)))E(y,x)表示y等于x5. 设R(x)：x是兔子；T(x)：x是乌龟。
c2谓词逻辑 随堂练习
答
题：
A.
B.
提交） 参考答案：B 问题解析： 20. 下列式子中正确的是( )
题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
参考答案：D 问题解析：
答题： A.
B.
C.
D.（已
答
21.
参考答案：D 问题解析：
22.
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
的前束合取范式为( )
A．
B．
C．
D．
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
A.
B.
C.
D. （已
27.
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
参考答案：B 问题解析：
1. D (已提 2. D (已提 3. C (已提 4. D (已提 5. A (已提 6. D (已提 7. C (已提 8. A (已提 9. B (已提 10. B (已
交)
交)
交)
交)
交)
交)
交)
交)
交)
参考答案：D 问题解析：
23.
的前束析取范式为( )
A．
B．
C．
D．
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
参考答案：C 问题解析：
24.
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
参考答案：D 问题解析：
25.
答题：
A.
B.
C.
D. （已提交）
参考答案：C 问题解析：
提交） 参考答案：A 问题解析：
26.
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。
以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。
2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。
答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。
2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。
题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。
2. 每个学生都是老师的学生。
答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。
2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。
题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。
2. 没有学生是他自己的学生。
答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。
2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。
题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。
2. 写出“存在”的逻辑表达式。
答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。
2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。
题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。
2. 写出“或者”的逻辑表达式。
3. 写出“非”的逻辑表达式。
答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。
2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。
3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。
题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。
谓词逻辑作业参考答案
谓词逻辑作业参考答案
(2) 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者 喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 解：设 R(x)：x 是人；B(x)：x 喜欢步行；Q(x)：x 喜欢坐汽车； P(x)：x 喜欢骑自行车，则符号化为： 前提：x(R(x)(B(x)¬Q(x))) 或x(R(x)∧B(x)¬Q(x)), x(R(x)(Q(x)∨P(x))), x(R(x)∧¬P(x)) 结论：x(R(x)∧¬B(x)) 证明：(1) x(R(x)∧¬P(x)) (2) R(a)∧¬P(a) (3) x(R(x)(B(x)¬Q(x))) (4) R(a)(B(a)¬Q(a)) (5) R(a) (6) B(a)¬Q(a) (7) x(R(x)(Q(x)∨P(x))) (8) R(a)(Q(a)∨P(a)) (9) Q(a)∨P(a) (10) ¬P(a) (11) Q(a) (12) ¬B(a) (13) R(a)∧¬B(a) (14) x(R(x)∧¬B(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 P 规则 US(7) (5)(8)假言推理 (2)化简 (9)(10)析取三段论 (6)(11)拒取式 (5)(12)合取引入 EG (13)
1、将下列公式符号化： (1) 每列火车都比某些汽车快； (2) 有的汽车比所有的火车慢。 解：设 Q(x)：x 是汽车；H(x)：x 是火车；P(x,y)：x 比 y 快，则 (1) x(H(x)y(Q(y)∧H(x,y))) (2) x(Q(x)∧y(H(y)H(y,x))) 2、用一阶逻辑构造下列推理的证明： (1) 每个学术会的成员都是工人并且是专家。有些成员是青年人。所 以有的成员是青年专家。 解：设 P(x)：x 是学术会成员；G(x)：x 是工人； J(x)：x 是专家；Q(x)：x：是青年人，则符号化为： 前提：x(P(x)G(x)∧J(x)), x(P(x)∧Q(x)) 结论：x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) 证明：(1) x(P(x)∧Q(x)) (2) P(a)∧Q(a) (3) x(P(x)G(x)∧J(x)) (4) P(a)G(a)∧J(a) (5) P(a) (6) G(a)∧J(a) (7) J(a) (8) P(a)∧Q(a)∧J(a) (9) x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 (6)化简 (2)(7)合取引入 EG (8)
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一、选择题（每题3分）
1、设个体域，则谓词公式消去量词后，可表示为为（ C ）
A、 B、
C、 D、
2、设个体域，则谓词公式去掉量词后，可表示为（ D ）
A、 B、
C、 D、
提示：原式
3、设个体域，使谓词公式的真值为的谓词满足（ D ）
A、 B、C、D、
4、设个体域，：，：，则谓词公式为( A )
A、永真式
B、永假式
C、可满足式 D、无法判定
5、谓词公式的真值（ D ）
A、与谓词变元有关，与论述域无关 B、与谓词变元无关，与论述
域有关
C、与谓词变元和论述域都有关
D、与谓词变元和论述域都无关
提示：.
6、谓词公式的真值（ D ）
A、与谓词变元有关，与论述域无关 B、与谓词变元无关，与论述
域有关
C、与谓词变元和论述域都有关
A、
B、
C、
D、
13、设是不含自由变元的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A、
B、
C、
D、
14、下列表达式错误的有( A )
A、 B、
C、 D、
15、下列表达式错误的有( B )
A、 B、
C、 D、
16、设是不含自由变元的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A、 B、
C、 D、
17、设是不含自由变元的谓词，则下列表达式错误的有( B )
D、与谓词变元和论述域都无关
7、谓词公式中的变元 （ C ）
A、仅是自由的
B、仅是约束的
C、既是自由的也是约束的
D、既不是自由的也不是约束的
8、设：全总个体域，：是人， ：要死的，
则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为（ D ）
A、B、C、 D、
9、设：全总个体域，：是人， ：犯错误，
则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．
则某些学生有风度.
证明：设：全总个体域,：是舞者,：有风度,：是学生, ：王华.
该推理就是要证明： ，.
⑴
⑵
⑶ ⑵（）
⑷
⑴（简化式）
⑸ ⑶，⑷（假言推理）
⑹ ⑴（简化式）
⑺ ⑸，⑹（合取式）
⑻ ⑺（）．
15、证明下列命题推得的结论有效：所有计算机都是电器，某些计算机
是手提电脑，因此，某些手提电脑是电器．
A、B、C、 D、
10、设：全总个体域，：是花，：是人，：喜欢，
则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）
A、 B、
C、 D、
11、设：全总个体域，：是演员，：是老师，：钦佩，
则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B )
A、
B、
C、
D、
12、设是不含自由变元的谓词，则下列表达式错误的有( B )
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
则谓词公式的真值为．
3、若个体域，指定谓词满足右表
则谓词公式的真值为．
4、设：全总个体域，：是女同志，：是教练员，：是运动员，则命
题“有些女同志既是教练员又是运动员”的逻辑符号化为．
5、设个体域：实数域， ：，则命题“存在着实数，对所有的实数，都
有”的逻辑符号化为． 6、设：全总个体域，：是实数， ：，则命题“对所有的实数，都存着实 数，使得”的逻辑符号化为． 7、设个体域：人类， ：与一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻 辑符号化为． 8、设：全总个体域，：是人， ：与一样高， 则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为． 9、设：全总个体域，：是质数，：是奇数，：， 则命题“除以外的所有质数都是奇数”的逻辑符号化为． 10、设：全总个体域，：是大象，：是老鼠， ：比重， 则命题“大象比老鼠重”的的逻辑符号化为． 11、若已证为真，则可假设某一确定的个体使为真，此推理规则被称 为． 12、令是公理与前提的合取，中无的自由出现，若从可推出，则从也可 推出，此推理规则被称为．
三、问答题（每题6分）
1、设个体域：实数域，：，：， 说明谓词公式的含义，并指出其真值. 答：对于任意两个实数，如果，那么 ；其真值为. 2、设：全总个体域，：是大学生，：是明星，：崇尚， 说明谓词公式的含义，并指出其真值. 答： 有些大学生不崇尚某些明星；其真值为. 3、若个体域，：，则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为假；
不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进
行，故若考试准时进行，那么天气就好.
证明：设个体域：所有考生,：今天天气好,：考试准时进行,：提前进入
考场.
该推理就是要证明：,.
⑴
⑵
⑴（量词否定）
⑶
⑵（逆反律）
⑷
⑸
⑷（等值表达式）
⑹
⑸（简化式）
⑺
⑹，⑶（假言三段论）.
14、证明下列命题推得的结论有效：舞者皆有风度，学生王华是舞者，
证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
A、 B、
C、 D、
18、下列表达式错误的有( A )
A、 B、
C、 D、
19、设是个体域中任一确定元素，则推理规则可称为( A )
A、
B、
C、
D、
20、设是个体域中任一确定元素，则推理规则可称为( D )
A、
B、
C、
D、
二、填充题（每题4分）
1、若个体域仅包含一个元素，则谓词公式的真值为．
2、若个体域，指定谓词满足右表
⑶（）
⑸
⑵，⑷（假言推理）
⑹
⑺
⑹（）
⑻
⑵，⑺（假言推理）
⑼
⑸，⑻（合取式）
⑽
⑼（）．
12、证明下列命题推得的结论有效：教师都上课，有一个人不上课，则
该人一定不是教师.
证明：设个体域：人类，是教师，上课.
该推理就是要证明： ，.
⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑶（）
⑸
⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑸（）.
13、证明下列命题推得的结论有效：只要今天天气不好，就一定有考生
⑵ ⑴（量词否定）
⑶ ⑵（）
⑷
⑸ ⑷（）
⑹ ⑶，⑸（析取三段论）
⑺．
⑻ ⑺（）
⑼ ⑹，⑻（拒取式）
⑽ ⑼（）
⑾．
11、证明下列命题推得的结论有效：凡15的倍数都是3的倍数，凡15的
倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数.
证明：设个体域为整数集，： 是的倍数.该推理就是要证明：
，，
⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
证明：设：全总个体域，：是计算机，：是电器，：是手提电脑．
该推理就是要证明： ．
⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑵（简化式）
⑷
⑸
⑷（）
⑹
⑶，⑸（假言推理）
⑺
⑵（简化式）
⑻
⑹，⑺（合取式）
⑼
⑻（）．