高考数列专题总结全是精华

（1）求 ；（2）求数列 的通项公式。
解：（1）
（2）
∴
（4）利用
例6．若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意正整数
， .求数列 的通项公式；
解： ……2分当
当 ……4分
练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0，∴an－an－1=5 (n≥2)
又当n=1时， ， ，
{ }是以 为首项，公比 的等比数列
（ ）
2．已知数列 ：
①求百度文库数列 为等差数列，并求它的公差
②设 ，求 。
解：①由条件，
∴ ；∴
故 为等差数列，公差
②
又知
∴
当 时， ，即 ，又 ，
，将以上n个式子相乘，得
（6）倒数变形： ,两边取倒数后换元转化为 。
例8：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
练习：已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
解：将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例10．求数列的前n项和： ，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时， ＝ （分组求和）
当 时， ＝
6、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）
1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n1）
三．数列求和
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、错位相减法求和
{ an}、{ bn}分别是等差数列和等比数列.
例9．求和：
解：由题可知，设 ………………………①
…②（设制错位）
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 。
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数列专题复习（0929）
一、证明等差等比数列
1．等差数列的证明方法：
（1）定义法： (常数)（2）等差中项法：
2．等比数列的证明方法：
（1）定义法： (常数)（2）等比中项法：
例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，
Tn为数列｛ ｝的前n项和，求Tn．
3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）
求证：数列{an}是等比数列；
解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=
又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①
3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t②
①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴ ，（n=2，3，…）
所以{an}是一个首项为1，公比为 的等比数列.
解：设等差数列｛an｝的公差为d，则
Sn=na1＋ n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴ 即
解得a1＝－2，d＝1．∴ ＝a1＋ （n－1）d＝－2＋ （n－1）．
∵ ，∴数列｛ ｝是等差数列，其首项为－2，公差为 ，
∴Tn＝ n2－ n．
例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：
练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
答案.(2) , ;
二．通项的求法
（1）利用等差等比的通项公式
(2)累加法：
（1） 为等差数列，
（2）
例11．求数列 的前n项和.
解：设 ，则
＝
例12．在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.
解：∵
∴ 数列{bn}的前n项和：
＝ ＝
练习：
1．已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 。求数列{ }的通项公式；
解：（1）数列{ }的前 项和为 ，且满足
则 （ ）
相减得： （ ）
得： （其中n为正整数）
（II）
所以：
（5）累积法 转化为 ，逐商相乘.
例7．已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
练习：1.已知 ， ，求 。
解： 。
2．已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，
则{an}的通项
解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3
2．设数列 的前 项的和
，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；
（Ⅱ）设 ， ，证明：
解：（I） ，解得：
所以数列 是公比为4的等比数列
所以：
例3．已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
（3）构造等差或等比 或
例4．已知数列 满足
求数列 的通项公式；
解：
是以 为首项，2为公比的等比数列。
即
例5．已知数列 中， , ，求 .
解：在 两边乘以 得：
令 ，则 ,解之得： ,所以 .
练习:已知数列 满足 ，且 。
∴
练习：求数列 前n项的和.
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 …………………………………①
…………②①－②得
∴
4、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
5、分组法求和