高考数学数列知识点及题型大总结
高考数列专题知识点
高考数列专题知识点数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要知识点。
在高考中，数列专题常常涉及到各种不同类型的数列，如等差数列、等比数列等。
掌握好数列的相关知识，对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍高考数列专题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用数列。
一、等差数列等差数列是指一个数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差。
1. 公式推导对于等差数列，可以通过首项a1、公差d和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 22. 性质和特点等差数列有一些重要的性质和特点，包括：- 公差d与相邻两项之差相等- 中间项等于相邻两项的平均值- 前n项和是项数n和首末项之和的乘积的一半二、等比数列等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，q为公比。
1. 公式推导对于等比数列，可以通过首项a1、公比q和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 性质和特点等比数列也有一些重要的性质和特点，包括：- 公比q与相邻两项的商相等- 中间项等于相邻两项的平方根- 前n项和无穷等于首项除以(1 - 公比)三、数列求和在高考中，常常需要求解数列的前n项和。
不同类型的数列有不同的求和公式，需要根据具体情况进行运用。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列，前n项和的求和公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项，n表示项数。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列，前n项和的求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
2024高考数学数列知识点总结与题型分析
2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。
在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。
一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。
对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。
（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。
与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。
（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。
数列的高考知识点总结
数列的高考知识点总结数列是高中数学中的一个重要知识点，也是高考考试中常常出现的题型。
掌握好数列的概念、性质以及解题方法，对于高考取得较好的成绩非常重要。
本文将对数列的相关知识进行总结归纳，希望对高中生进行复习和备考提供一定的帮助。
一、概念与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列中的每个数称为数列的项，用$a_n$表示第n项。
数列中的规律可以通过数列的通项公式来表示。
1.1 等差数列等差数列的特点是每一项与它的前一项的差值都相等。
设首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。
1.2 等比数列等比数列的特点是每一项与它的前一项的比值都相等。
设首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{(n-1)}$。
1.3 递推数列递推数列是指根据前几项的值，通过某种规律得到后面的项。
递推数列的通项公式一般比较复杂，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。
1.4 序列极限当$n$趋向于无穷大时，数列可能会趋向于某个常数或无穷大。
这个常数或无穷大就是数列的极限。
数列的极限有正无穷大、负无穷大以及存在有限极限三种情况。
二、数列求和求和是数列相关题目中的常见题型，也是高中数学考试必考的内容之一。
对于等差数列和等比数列，求和的方法有所不同。
2.1 等差数列求和对于首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，前n项的和可以通过以下公式求得：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。
其中，$a_n$为第n项的值。
2.2 等比数列求和对于首项为$a_1$，公比为$q$的等比数列，当$q \neq 1$时，前n项的和可以通过以下公式求得：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
当$q =1$时，等比数列求和的公式为$S_n=na_1$。
三、数列的应用数列的应用非常广泛，它可以用于解决很多实际问题。
3.1 约瑟夫环问题约瑟夫环问题是数列应用的一个典型例子。
高中数学数列综合讲义(知识点+模型总结+高考试题全部类型解析)
重要组成部分： 首项 a1 ， 每一项 a1 , a 2 , a3 , a 4 通项 a n Y3:分类： [项数角度] 有限数列 无限数列 如： {1，2，3，5，8，13，21，34……} 常数数列 ⊃ 单项数列 如： {1} ，
[常数角度]
多项数列 如： {1,1,1,1,1,1,1} 非常数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} [项的正负性角度] 纯正数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} （ a n > 0 ） 纯负数数列 如：{-2，-4，-6，-8，-10，-12……} （ an < 0 ）
+ an
⎧ S n − S n −1 (n ≥ 2, n ∈ N * ) ⎩ S1 (n = 1)
[函数]数列是定义域为自然数集，值域为实数集的函数。 [表示方法] 列表法、图像法、解析法、递推法 [两项之间的关系] ⊃ 相邻两项 [等差数列] a n − a n −1 = d [等比数列]
an = q ( q ≠ 0) a n −1
2
S 2 n −1 2n − 1
n
[积与通项之间的关系] 等比数列 an =
Tn 2 a1 S tk − S (t −1) k Stk − S(t −1) k }
2 n
= an −1 • an +1 (n ≥ 2)
间隔 k 项的三项
[等差数列] [等比数列]
2an = an − k + an + k (n ≥ k + 1)
a 2 n = an − k • an + k (n ≥ k + 1)
ma m − na n m−n
特殊三项： a n , a m , a n + m
高考数列数学必考知识点
高考数列数学必考知识点数列是高中数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高考中，数列是必考的知识点之一。
下面将重点介绍高考数列数学必考的知识点，以帮助同学们更好地复习和备考。
一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一组数，一般表示为{an}，其中an表示数列的第n项。
数列有很多性质，包括等差数列、等比数列、通项公式等。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列an的公差为d，则有an = a1 + (n-1)d。
其中a1为首项，n为项数。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比都相等的数列。
设数列an的公比为q，则有an = a1 * q^(n-1)。
其中a1为首项，n为项数。
4. 等比数列的通项公式设等比数列的第一项为a1，公比为q，则等比数列的第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
二、数列的求和公式高考数列题目中常常涉及到数列的求和，下面介绍几种常见的数列求和公式。
1. 等差数列求和公式设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，则等差数列的和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等比数列求和公式设等比数列的首项为a1，末项为an，公比为q，项数为n，则等比数列的和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
三、常见的数列题型高考中的数列题目形式多样，主要包括判断题型、选择题型和解答题型。
以下列举几个常见的数列题型。
1. 判断题型判断题型是要求判断给定的数列是否是等差数列或等比数列。
解决这类题目时，需要根据数列的定义和性质进行分析判断。
2. 选择题型选择题型是给出数列的前几项，要求选择数列的类型和下一项。
解答这类题目时，可以根据前几项的差或比的规律来确定数列的类型，并利用通项公式计算出下一项。
高中数列题型总结
高中数列题型总结高中数学中，数列是一个重要的概念。
数列题型主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
下面将对这些常见的数列题型进行总结。
一、等差数列1. 等差数列的概念：等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值是一个常数d。
数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
2. 等差数列的性质：- 若数列首项为a1，公差为d，则数列的第n项为an=a1+(n-1)d。
- 数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1+an)n/2。
- 等差数列的性质还包括数列的前n项和与项数n的关系、等差数列的倒数第n项与第n项之和等。
3. 等差数列的题型：- 求等差数列的通项公式；- 求等差数列的前n项和；- 求等差数列中满足某些条件的项数；- 求等差数列中满足某些条件的项的和等。
二、等比数列1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列，其中相邻两项之间的比值是一个常数q。
数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
2. 等比数列的性质：- 若数列首项为a1，公比为q，则数列的第n项为an=a1*q^(n-1)。
- 数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
- 等比数列的性质还包括数列的前n项和与项数n的关系、等比数列的倒数第n项与第n项之积等。
3. 等比数列的题型：- 求等比数列的通项公式；- 求等比数列的前n项和；- 求等比数列中满足某些条件的项数；- 求等比数列中满足某些条件的项的和等。
三、递推数列1. 递推数列的概念：递推数列是指一个数列，其中每一项都通过前一项来递推得到。
数列的通项公式一般无法表示。
2. 递推数列的性质：- 若数列的第n项为an，第n-1项为an-1，则数列的通项公式无法表示为an=f(an-1)，其中f为一个函数。
- 递推数列的性质通常通过给定的递推规则来描述，如斐波那契数列等。
3. 递推数列的题型：- 求递推数列的前n项；- 求递推数列满足某些条件的项数；- 求递推数列满足某些条件的项等。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
数列知识点总结高考
数列知识点总结高考一、数列的概念数列是指有限或无限个数的有序排列，以逗号分隔，记作{an}。
其中an称为数列的通项。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义若一个数列中任意两项之间的差都相等，则这个数列称为等差数列。
其中，差值称为公差，记作d。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d3. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 24. 等差数列中的常见问题等差数列中的常见问题包括求首项、公差、通项、前n项和以及数列的性质等。
三、等比数列1. 等比数列的定义若一个数列中任意两项之间的比值都相等，则这个数列称为等比数列。
其中，比值称为公比，记作q。
2. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)3. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)4. 等比数列中的常见问题等比数列中的常见问题包括求首项、公比、通项、前n项和以及数列的性质等。
四、数列的性质1. 有限数列的性质有限数列的性质包括首项、末项、公差或公比、前n项和等。
2. 无限数列的性质无限数列的性质包括首项、公差或公比、极限等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是数列的重要性质，通过通项公式可以求得数列的任意项。
五、利用数列解决实际问题数列在实际问题中的应用十分广泛，例如等差数列可以用来描述等距离的运动过程，等比数列可以用来描述成倍增加的现象等。
总结：通过学习数列的知识，我们可以得到多种数学问题的解决方法，通过分析数列的性质和通项公式，可以更好地理解数学问题的本质。
因此，数列是数学学习中一个重要的基础知识。
以上就是数列的相关知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
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20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点1．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2c a b+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。
3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。
⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法： ),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。
解：0912129=-=S S S S ，0003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。
3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110解：∵，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，前10项的和为10100=S解11022101010010221029101010011010100110-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S D S S S D D4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。
d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a aa a a S d d d a 从而又②最大。
，6677137612000130)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=练习一、 选择题1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（A ）A ．15B ．30C ．31D ．64151212497=∴+=+a a a a a 解：二、解答题2． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2)1(1d n n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n 3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n na n S ①求证：数列{}n a 是等差数列②求数列{}n a 的通项公式 ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S []nn n n n n n n n n nn n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=-=∴-++=∴+++++++++++整理得， nn n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}n a 为等差数列。
②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列 ③)32)(12(111++=+n n a a n n 61)32131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为61。
等比数列知识要点1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠qq ，（。
2． 递推关系与通项公式 mn m n n n nn q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：1113． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。
4． 前n 项和公式 )1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q q a a q q a q na S n n n5． 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若反之不真！②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a q m n m n n mnm n ，③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c c n a ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列；②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列；④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。
练习：1． 103107422222)(++++++=n n f 设)18(72)18(72)18(72)18(72)()(431----∈+++*n n n n D C B A D n f N n ．．．．）（等于，则2． 已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，70猜想：{}n b 是等比数列，公比为21。
证明如下：∵4121412121-=-=++n n n a a b nn n b a a 21)41(2141)41(211212=-=-+=-- 即：211=+n n b b ，∴{}n b 是首项为41-a ，公比为21的等比数列。
二、性质运用例1：在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=解：⑴①由等比数列的性质可知： nn n a q q a a a a a a a a a a a a --=⋅==∴====>=+=⋅=⋅6151661616143612)21(32213213211323332所以，，即所以，解得，又②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为2lg 2)11(2)lg (lg 2lg 5lg 2lg )6(2lg lg 116n n n a a T a n a n n n n -=+==-==-所以，典例精析一、 错位相减法求和 例1：求和：n n an a a a S ++++=32321 解：⑴2)1(3211+=+++==n n n S a n 时， ⑵01≠≠a a 时，因为n n an a a a S ++++=32321 ① 1321211++-+++=n n n a n a n a a S a ② 由①－②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=----=---=-+++=-++)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n aa aan a a a S a n n n n n n n n n n n 综上所述，所以点拨：①若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求数列{}n n b a ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法；②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；③当将n S 与q n S 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。