数列的单调性

数列的单调性
(1)一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫作递增数列．
(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫作递减数列．
(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．
(4)如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．
[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9
，画出它的图像，并判断增减性． [解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．
利用数列的图像判断数列的增减性
数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．
[典例] 已知数列{a n }的通项公式a n ＝
n
n 2＋1，试判断该数列的增减性． [解] a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－n n 2＋1 ＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1)
. 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0，
所以a n ＋1－a n <0，
即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．
应用函数单调性判断数列增减性的方法
(1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；
(2)作商法，将a n ＋1a n
与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)
⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明
理由．
解：法一：假设数列{a n }中存在最大项．
∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，
当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；
当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；
当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .
故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119. 法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1
对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立．
即⎩⎨⎧ (k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1，
∴⎩⎨⎧
1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011
(k ＋2)，
解得9≤k ≤10.
又k ∈N ＋， ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项，
且a 9＝a 10＝1010119. 题点二：由数列的单调性求参数问题
2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .
解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列，
∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立．
又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，
∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立．
即2n ＋1＋k >0.
∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．
而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，
∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3，
所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．
题点三：数列与函数的综合应用
3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明数列{a n }是递减数列．
解：(1)∵f (x )＝2x －2－
x ，f (log 2a n )＝－2n ，
∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，
∴a n －1a n ＝－2n ， ∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.
(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n
＝n 2＋1＋n
(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，
∴数列{a n }是递减数列．
函数思想方法在数列问题中的应用
(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．
(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．
n n (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；
(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．
解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212
＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.
(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．。