数列的单调性
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数列的单调性
(1)一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫作递增数列．
(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n ＋1 (3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． (4)如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． [典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9 ，画出它的图像，并判断增减性． [解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． 利用数列的图像判断数列的增减性 数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性． [典例] 已知数列{a n }的通项公式a n ＝ n n 2＋1，试判断该数列的增减性． [解] a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－n n 2＋1 ＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1) . 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0， 即a n ＋1 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较； (2)作商法，将a n ＋1a n 与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1) ⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明 理由． 解：法一：假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1 故a 1a 11>a 12…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119. 法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1 对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立． 即⎩⎨⎧ (k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1， ∴⎩⎨⎧ 1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011 (k ＋2)， 解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋， ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119. 题点二：由数列的单调性求参数问题 2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 . 解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0. ∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立． 而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)． 题点三：数列与函数的综合应用 3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列． 解：(1)∵f (x )＝2x －2－ x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n ＝－2n ， ∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋. (2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n