理论力学复习题(武汉理工大学)
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EH
2mg
A
由动量定理，得
0 FCx maA FCy 2mg mg FEH
得：
FCx 0
FCy 4.5mg
12
§13-６
普遍定理的综合应用举例
MK FKy FKx
K
（3）取梁KC为研究对象。
FCy′
C
FCx′
Fx 0
Fy 0
MK( F ) 0
解方程得
2 2 2 2
2
2
W T T
12 2
1
21 2mg (1 sin )h mv 4
D
2
得：
8 v g (1 sin )h 21
32 v 2v g (1 wenku.baidu.comsin )h 18 21
21 2mg (1 sin )h mv 4 21 2mg (1 sin )v m 2va 4 4 8 a g (1 sin ) a 2a g (1 sin ) 21 21
6
n dLC （5）质点系对于质心的动量矩定理。 M C (Fi ( e ) ) dt i 1
（6）平面运动微分方程。
ma C F (e )
d 2 rC m 2 F (e) dt d 2 J C 2 M C (F (e) ) dt
d ( J C ) J C M C ( F (e) ) dt
24
3．光滑铰链约束 （1）向心轴承（径向轴承） （2）圆柱铰链和固定铰链支座
4. 固定端
FAy
FAx
MA
25
（5）滚动支座(辊轴支座）
（6）止推轴承
２简单平衡条件
二力杆 三力平衡汇交
３作用和反作用定律
26
二
1 T J P 2 3.平面运动刚体的动能 12 2 1 T mvc J C 2 2 2
2
1
（4）冲量 （5）力矩 （6）力的功
I Fdt
0
t
M O (F ) r F
W F cos ds
0
s
W F dr
M1
M1
( F dx F dy F dz )
（4） 质心运动守恒定律
若 ∑Fi (e) = 0 ，则 aC = 0，质心作匀速直线运动；若开始 时系统静止，即 vC 0 0， 则质心位置始终保持不变。 若 Fix ( e ) 0, 则 aCx = 0 ，质心沿x方向速度不变；若开始
5
vCx0 = 0 ，则质心在x 轴的位置坐标保持不变。
C
2 2
（3）：
MK
FKy K FKx
2
C
Fx 0
FKx 0
FKy 3mg 2ma FEH 0
2a
A
1 2mR 2 2 2 E
Fy 0
MK 0
2mg F EH mg
2ma
1 M K 2mR 2 2 3R 2mg FEH 4 R m( g 2a ) 2 R 0 2
轴过质心，且
aC 0
0
M IO J z
9
【题1】图示机构中，物块A，B的质量均为m，两均质圆轮C
和D的质量均为2m，半径均为R。轮C铰接于无重悬臂梁CK上，
D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动，系统由静止开 始运动。求：（1）A物块上升的加速度；（2）HE段绳索的拉 力；（3）固定端K处的约束力。
应用时，前一式取其投影式。
e maCy Fy e J C M C ( F ) maCx Fx
e
n e maC Fn e J C M C ( F ) ma Ft
t C
7
e
四 动能定理 （1）质点系的动能定理 （2）功率方程 （3）机械能守恒定律
T2 T1 Wi
n n Wi dT Pi dt i 1 dt i 1
T1 V1 T2 V2
8
达朗贝尔原理
一 质点的达朗贝尔原理 二 质点系的达朗贝尔原理 三 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平移 2.刚体定轴转动
F+ FN+ FI =0
FI= – m a
Fi
E C
D B A
17
§13-６
普遍定理的综合应用举例
2
C E
解（1）取整体为研究对象。
W 2mgh mg sin 2h
12
2V
D
2
T 0
1
2 2 2 2
B
1 1 3 v T mv mR ( ) A V 2 2 2 R 1 3 2v 1 1 2v 1 3 21 mR ( ) mR ( ) ( 3 1)mv mv 2 2 R 2 2 R 2 4 4
（2）动量矩守恒定律
M O ( Fi (e ) ) 0
LO 常矢量。
M x ( Fi (e ) ) 0
L x 常量。
n
（3）刚体绕定轴转动微分方程。
n d JZ M Z ( Fi ) dt i 1
J Z M Z ( Fi )
i 1
n d 2 J Z 2 M Z ( Fi ) dt i 1
dT P，得： 12mva mgv 由功率方程 dt
得：
B
V
1 a g 12
1 aA 2 a g 6
11
§13-６
普遍定理的综合应用举例
C VA aA mg C FCy
C
（2）取研究对象如图： dLC MC (F ) dt
FCx FEH
d 1 ( 2mR 2C mvAR ) ( FEH mg ) R dt 2 4 得： F mg 3
K C E
A
H
D
B
10
§13-６
普遍定理的综合应用举例
2
K C E
解（1）取整体为研究对象。
1 1 1 2 T m( 2v) 2mR 2 (2 ) 2 2 2 2 1 3 1 2 2 2 2mR mv 6mv 2 2 2 2
2V
A
H
D
P 3mgv mg 2v mgv
得： FKx
0
FKy 4.5mg
16 7 M K ( 2a 6 g g g )mR 13.5mgR 3 3
16
【题2】三个均质圆轮B、C、D具有相同的质量m和相同的半
径分别为 R, 绳重不计，系统从静止释放。设轮D做纯滚动，绳
与轮B、C之间无相对滑动。绳的倾斜段与斜面平行。求：（1） 在重力作用下，质量为m的物体A下落h时轮D中心的速度和加 速度；（2）绳DE段的拉力。
p y - p0 y = ∑I (e ) y
( pz - p0 z = ∑I ze )
（2）质点系的动量守恒定理
若 ∑Fi 若 ∑Fi
(e ) (e )
= 0, 则 p = p0 = 恒矢量 = 0, 则 p = p0 = 恒矢量
4
（3）质心运动定理
dvC (e ) ∑ i m = F dt
maC = ∑ i F
(e)
FIi 0
(e) M O (Fi ) M O (FIi ) 0
FIR maC FIR maC
合力通过质心
M IO ( J xz J yz 2 )i ( J yz J xz 2 ) j ( J z )k
刚体有质量对称平面且该平面与转轴Z垂直，简化中心O取此平面与转轴z的交点。则
M IO M IZ J z
(1) (2)
0
FIR
M IO
简化为一主失
FIR maC
惯性力系简化为一主矩 则
IO
(3) 转轴过质心时 (4)
FIR 0 M 0 惯性力系向质心简化： IR maC M IC J C F FIR maC M IC J C 3.刚体平面运动
三 动量矩定理
（1）质点系的动量矩定理
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1
n d Lx M x (Fi ( e ) ) dt i 1
n d L y M y (Fi ( e ) ) dt i 1
n d Lz M z (Fi ( e ) ) dt i 1
一
基本计算
m （1）质点系的动量： p = ∑ i vi
n
mv
C
（2）质点系的动量矩
LO M O (mi v i )
i 1
L Z M Z ( mi v i ) 1 （3）质点系的动能 T mi vi2 2 1 2 T mvc 1.平移刚体的动能 2 1 2．转动刚体的动能 T J Z 2
（8）转动惯量
J mr
n Z i 1 i i
2
3
二
动量定理
（1）动量定理
dp ∑F dt
(e)
i
p-
(e ) p0 = ∑I i
dp x = ∑Fx ( e ) dt dp y = ∑F y ( e ) dt dpz = ∑Fz ( e ) dt
( p x - p0 x = ∑I xe )
mg
a
B
mg
14
（1）： M 0
P
2 FEH m( 4a 3g ) 0
K
C E 1 2mR 2 FEH 2 R 3maR 3mgR 0 2 FEH m( 4a g ) 0 （2）： M 0 A H D 1 2mR 2 2 FEHR m( g 2a ) R 0 2 2 FCy B 1 R a FCx 2mR 2 C 2 1 1 得： a g aA 2a g 2mg FEH 6 12 2a A FEH 2ma F 4 FEH mg mg 1 2mR 3 2 D P 2ma 2mg ma a B mg 15
(e )
质心运动定理投影形式：
(e ) (e ) (e ) ma Cx = mC = ∑ ix , ma Cy = mC = ∑ iy , ma Cz = mC = ∑ iz 。 x F y F z F
maCt
2 dv vC (e ) (e ) (e ) =m = ∑ it , maCn = m F = ∑ in , ∑ ib = 0 。 F F dt ρ
A
K
C
E
A
H
D
R a
(1) R ( 2) 4mRa 3mgR 2FEHR (4) R (3)
B
FEH
H
F
D
4mRa FEHR mgR
aA 2a 1 g 6
FD
1 4 a g 得： FEH mg 12 3
2mg
FD
FCx 0
FCy 4.5mg
M2 M1 x y z
1 2
1．重力的功
2．弹性力的功
W mg z z
12
W mg z z
12 C1
C2
W12
k 2 ( 12 2 ) 2
3．转动刚体上作用力的功
4. 平面运动刚体上力系的功
W12
2
1
M Z d
2 1
W12 FR drC M C d
FKx FCx 0
FKy FCy 0
M K 3R FCy 0
FKx 0
FKy 4.5mg
M K 13.5mgR
13
解（1）： ma mg FD （2）：3 2mR 2 FDR 2mgR FEH 2 R 21 （3）： 2mR 2 2 FEHR FAR 2 （4）： 2ma FA mg 2 FCy C FCx FA 2mg FEH FA 2a
2 D
（2）取轮D如图：
FDE aD
FN D
3 a mR ( F mg sin ) R 2 R
2 D T
mg
3 mg F ma mg sin ( 4 3 sin ) 2 7
T D
F
19
FDE aD
FN D
mg
F
20
21
22
23
一 受力图 (1)研究对象或取分离体。 (2)主动力：重力、风力、气体压力等。 (3)约束力 1 约束性质： 1．具有光滑接触表面的约束 2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束
C1
2
C2
（7）势能
V
M0
M
F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M
M0
1．重力场
质点 V 质点系
z0
z
mgdz mg ( z z0 )
V mg ( z c z c 0 )
2．弹性力场
k 2 V ( 02 ) 2
k 2 V 2
2mg
A
由动量定理，得
0 FCx maA FCy 2mg mg FEH
得：
FCx 0
FCy 4.5mg
12
§13-６
普遍定理的综合应用举例
MK FKy FKx
K
（3）取梁KC为研究对象。
FCy′
C
FCx′
Fx 0
Fy 0
MK( F ) 0
解方程得
2 2 2 2
2
2
W T T
12 2
1
21 2mg (1 sin )h mv 4
D
2
得：
8 v g (1 sin )h 21
32 v 2v g (1 wenku.baidu.comsin )h 18 21
21 2mg (1 sin )h mv 4 21 2mg (1 sin )v m 2va 4 4 8 a g (1 sin ) a 2a g (1 sin ) 21 21
6
n dLC （5）质点系对于质心的动量矩定理。 M C (Fi ( e ) ) dt i 1
（6）平面运动微分方程。
ma C F (e )
d 2 rC m 2 F (e) dt d 2 J C 2 M C (F (e) ) dt
d ( J C ) J C M C ( F (e) ) dt
24
3．光滑铰链约束 （1）向心轴承（径向轴承） （2）圆柱铰链和固定铰链支座
4. 固定端
FAy
FAx
MA
25
（5）滚动支座(辊轴支座）
（6）止推轴承
２简单平衡条件
二力杆 三力平衡汇交
３作用和反作用定律
26
二
1 T J P 2 3.平面运动刚体的动能 12 2 1 T mvc J C 2 2 2
2
1
（4）冲量 （5）力矩 （6）力的功
I Fdt
0
t
M O (F ) r F
W F cos ds
0
s
W F dr
M1
M1
( F dx F dy F dz )
（4） 质心运动守恒定律
若 ∑Fi (e) = 0 ，则 aC = 0，质心作匀速直线运动；若开始 时系统静止，即 vC 0 0， 则质心位置始终保持不变。 若 Fix ( e ) 0, 则 aCx = 0 ，质心沿x方向速度不变；若开始
5
vCx0 = 0 ，则质心在x 轴的位置坐标保持不变。
C
2 2
（3）：
MK
FKy K FKx
2
C
Fx 0
FKx 0
FKy 3mg 2ma FEH 0
2a
A
1 2mR 2 2 2 E
Fy 0
MK 0
2mg F EH mg
2ma
1 M K 2mR 2 2 3R 2mg FEH 4 R m( g 2a ) 2 R 0 2
轴过质心，且
aC 0
0
M IO J z
9
【题1】图示机构中，物块A，B的质量均为m，两均质圆轮C
和D的质量均为2m，半径均为R。轮C铰接于无重悬臂梁CK上，
D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动，系统由静止开 始运动。求：（1）A物块上升的加速度；（2）HE段绳索的拉 力；（3）固定端K处的约束力。
应用时，前一式取其投影式。
e maCy Fy e J C M C ( F ) maCx Fx
e
n e maC Fn e J C M C ( F ) ma Ft
t C
7
e
四 动能定理 （1）质点系的动能定理 （2）功率方程 （3）机械能守恒定律
T2 T1 Wi
n n Wi dT Pi dt i 1 dt i 1
T1 V1 T2 V2
8
达朗贝尔原理
一 质点的达朗贝尔原理 二 质点系的达朗贝尔原理 三 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平移 2.刚体定轴转动
F+ FN+ FI =0
FI= – m a
Fi
E C
D B A
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§13-６
普遍定理的综合应用举例
2
C E
解（1）取整体为研究对象。
W 2mgh mg sin 2h
12
2V
D
2
T 0
1
2 2 2 2
B
1 1 3 v T mv mR ( ) A V 2 2 2 R 1 3 2v 1 1 2v 1 3 21 mR ( ) mR ( ) ( 3 1)mv mv 2 2 R 2 2 R 2 4 4
（2）动量矩守恒定律
M O ( Fi (e ) ) 0
LO 常矢量。
M x ( Fi (e ) ) 0
L x 常量。
n
（3）刚体绕定轴转动微分方程。
n d JZ M Z ( Fi ) dt i 1
J Z M Z ( Fi )
i 1
n d 2 J Z 2 M Z ( Fi ) dt i 1
dT P，得： 12mva mgv 由功率方程 dt
得：
B
V
1 a g 12
1 aA 2 a g 6
11
§13-６
普遍定理的综合应用举例
C VA aA mg C FCy
C
（2）取研究对象如图： dLC MC (F ) dt
FCx FEH
d 1 ( 2mR 2C mvAR ) ( FEH mg ) R dt 2 4 得： F mg 3
K C E
A
H
D
B
10
§13-６
普遍定理的综合应用举例
2
K C E
解（1）取整体为研究对象。
1 1 1 2 T m( 2v) 2mR 2 (2 ) 2 2 2 2 1 3 1 2 2 2 2mR mv 6mv 2 2 2 2
2V
A
H
D
P 3mgv mg 2v mgv
得： FKx
0
FKy 4.5mg
16 7 M K ( 2a 6 g g g )mR 13.5mgR 3 3
16
【题2】三个均质圆轮B、C、D具有相同的质量m和相同的半
径分别为 R, 绳重不计，系统从静止释放。设轮D做纯滚动，绳
与轮B、C之间无相对滑动。绳的倾斜段与斜面平行。求：（1） 在重力作用下，质量为m的物体A下落h时轮D中心的速度和加 速度；（2）绳DE段的拉力。
p y - p0 y = ∑I (e ) y
( pz - p0 z = ∑I ze )
（2）质点系的动量守恒定理
若 ∑Fi 若 ∑Fi
(e ) (e )
= 0, 则 p = p0 = 恒矢量 = 0, 则 p = p0 = 恒矢量
4
（3）质心运动定理
dvC (e ) ∑ i m = F dt
maC = ∑ i F
(e)
FIi 0
(e) M O (Fi ) M O (FIi ) 0
FIR maC FIR maC
合力通过质心
M IO ( J xz J yz 2 )i ( J yz J xz 2 ) j ( J z )k
刚体有质量对称平面且该平面与转轴Z垂直，简化中心O取此平面与转轴z的交点。则
M IO M IZ J z
(1) (2)
0
FIR
M IO
简化为一主失
FIR maC
惯性力系简化为一主矩 则
IO
(3) 转轴过质心时 (4)
FIR 0 M 0 惯性力系向质心简化： IR maC M IC J C F FIR maC M IC J C 3.刚体平面运动
三 动量矩定理
（1）质点系的动量矩定理
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1
n d Lx M x (Fi ( e ) ) dt i 1
n d L y M y (Fi ( e ) ) dt i 1
n d Lz M z (Fi ( e ) ) dt i 1
一
基本计算
m （1）质点系的动量： p = ∑ i vi
n
mv
C
（2）质点系的动量矩
LO M O (mi v i )
i 1
L Z M Z ( mi v i ) 1 （3）质点系的动能 T mi vi2 2 1 2 T mvc 1.平移刚体的动能 2 1 2．转动刚体的动能 T J Z 2
（8）转动惯量
J mr
n Z i 1 i i
2
3
二
动量定理
（1）动量定理
dp ∑F dt
(e)
i
p-
(e ) p0 = ∑I i
dp x = ∑Fx ( e ) dt dp y = ∑F y ( e ) dt dpz = ∑Fz ( e ) dt
( p x - p0 x = ∑I xe )
mg
a
B
mg
14
（1）： M 0
P
2 FEH m( 4a 3g ) 0
K
C E 1 2mR 2 FEH 2 R 3maR 3mgR 0 2 FEH m( 4a g ) 0 （2）： M 0 A H D 1 2mR 2 2 FEHR m( g 2a ) R 0 2 2 FCy B 1 R a FCx 2mR 2 C 2 1 1 得： a g aA 2a g 2mg FEH 6 12 2a A FEH 2ma F 4 FEH mg mg 1 2mR 3 2 D P 2ma 2mg ma a B mg 15
(e )
质心运动定理投影形式：
(e ) (e ) (e ) ma Cx = mC = ∑ ix , ma Cy = mC = ∑ iy , ma Cz = mC = ∑ iz 。 x F y F z F
maCt
2 dv vC (e ) (e ) (e ) =m = ∑ it , maCn = m F = ∑ in , ∑ ib = 0 。 F F dt ρ
A
K
C
E
A
H
D
R a
(1) R ( 2) 4mRa 3mgR 2FEHR (4) R (3)
B
FEH
H
F
D
4mRa FEHR mgR
aA 2a 1 g 6
FD
1 4 a g 得： FEH mg 12 3
2mg
FD
FCx 0
FCy 4.5mg
M2 M1 x y z
1 2
1．重力的功
2．弹性力的功
W mg z z
12
W mg z z
12 C1
C2
W12
k 2 ( 12 2 ) 2
3．转动刚体上作用力的功
4. 平面运动刚体上力系的功
W12
2
1
M Z d
2 1
W12 FR drC M C d
FKx FCx 0
FKy FCy 0
M K 3R FCy 0
FKx 0
FKy 4.5mg
M K 13.5mgR
13
解（1）： ma mg FD （2）：3 2mR 2 FDR 2mgR FEH 2 R 21 （3）： 2mR 2 2 FEHR FAR 2 （4）： 2ma FA mg 2 FCy C FCx FA 2mg FEH FA 2a
2 D
（2）取轮D如图：
FDE aD
FN D
3 a mR ( F mg sin ) R 2 R
2 D T
mg
3 mg F ma mg sin ( 4 3 sin ) 2 7
T D
F
19
FDE aD
FN D
mg
F
20
21
22
23
一 受力图 (1)研究对象或取分离体。 (2)主动力：重力、风力、气体压力等。 (3)约束力 1 约束性质： 1．具有光滑接触表面的约束 2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束
C1
2
C2
（7）势能
V
M0
M
F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M
M0
1．重力场
质点 V 质点系
z0
z
mgdz mg ( z z0 )
V mg ( z c z c 0 )
2．弹性力场
k 2 V ( 02 ) 2
k 2 V 2