离散系统的基本概念

根据拉氏变换的位移定理，有
L (t nT ) e nTs
所以，采样信号的拉氏变换为
E ( s ) e( nT )e nTs
n 0

第二节 信号的采样与保持
（2）、采样信号的频谱 理想单位脉冲序列T(t) 是一个周期函数，可以展开成 如下傅氏级数形式： 1 jn s t T (t ) e T n
图中， S：理想采样开关 Gh(s)：保持器的传递函数 Gp(s)：被控对象的传递函数 H(s)：反馈元件的传递函数
第一节 离散系统的基本概念
三、数字控制系统
系统中如果用计算机来代替脉冲控制 系统中的A/D转换器相当于一个采样开 器，实现对偏差信号的处理，就构成了数 关，D/A转换器相当于一个保持器。 字控制系统，也称为计算机控制系统。 数字控制系统结构图
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器特性
1）低通滤波：近似为一个低通滤波器。因有多个 截止频率，也允许部份高频分量通过，将导致数 字控制系统的输出有波纹。 2）相角滞后：在采样频率处滞后－180度，因此 使闭环系统的稳定性变差。
-Ts 1-e Gh (s)= S
3）时间滞后：输出比输入在时间 上滞后T/2，使系统总的相角滞后 增大，对系统稳定性不利。
E( j )
2 -2s -s
1
1/T
2
-h 0 h -s/2 s/2
s
2s
采样信号的频谱（s > 2h） 可见，采样信号e*(t)的频谱E( j )是以采样角频率s 为周期的无穷多个频谱之和。 其中，n=0的频谱是采样频谱的主分量，如曲线1所示，与 连续频谱E ( j )形状一致，幅值上变化了1/T倍。 其余频谱（n=1, 2, · · · ）是采样频谱的补分量。
e*(t) e*(t) 零阶 eh(t)
保持器 0 k (k+1)
eh(t)
t
0
k (k+1)
t
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器的单位脉冲响应曲线 -g jω T gh(t) h(t) 1 – e 频率特性： Gh (jω)= jω 1 1 相频特性： – j[1-cos(ωT)+j sin( T ωT)] 0 [1-cos( ω T )] -1 ωT 0 ( jω = ∠G )= tg t T ω t h =sin(ωT ) -1 2 sin(ωT)– j[1-cos(ωT)] = 零阶保持器的单位脉冲响应为： 传递函数中的 e-TS 展开为级数形式 ω 幅频特性： g-Ts t )-1(t-T) 1 1-e 1 h (t )=1( (1 – Gh (s)= S sin 2 ) = 2(ω 2 2 T ) + [1-cos( ω T )] 1+Ts+T S /2+· · · S 零阶保持器的传递函数： |G ( jω ) | = h ω T – Ts 1 –Ts 1 e 1 1 – e ~ (1 –2 sin ωT) = = ~G – ( s )= Ts + sh = ω S 1 + Ts S S1 2
0
r( t ) b(t)
t
0
e ( t ) Gh(s) H ( s)
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_
e( t ) S
t eh( t )
0
Gp(s) c(t)
t
采样系统典型结构图
1、信号采样 在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过 程称为采样过程，简称采样。相当于A/D转换过程。 实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。 2、信号复现 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为信号复现过程。相当于D/A转换过程。 实现复现过程的装置称为保持器。 最简单的保持器是零阶保持器。
第二节 信号的采样与保持
2．采样函数的数学表示
采样过程如图所示： t < 0 时，e(t) = 0 通过采样开关，将连续信号转变成离 + e(t) e*(t) * (t )= δ (t) 散信号。采样过程为理想脉冲序列 δT(t) T( e e t ) Σ δ(t – kT) 则 k=0 + 对e(t)幅值的调制过程。 =Σ +e(t )δ(t – kT) k=0 δT(t )= 0 0 TΣ 2Tδ( 3Tt – kT t) 0 T 2T 3T t t k==e(0 )δ(t )+e(T)δ(t -T)+e(2T)δ(t -2T)+ · · ·
8 8 8 8 +∞ * t )=e(t (( tkT ) )δ( e δ(t – kT kT)) e* e (t ( )=e(t) δ)δ T (t )=e T(t)= k=k=0 8
Σ
Σ
+
8
第二节 信号的采样与保持
（1）、采样信号的拉氏变换
对e*(t)进行拉氏变换，可得
E ( s ) L e (t ) L e(nT ) (t nT ) e(nT ) L (t nT ) n 0 n 0
第二节 信号的采样与保持
E( j )
0
采样信号的频谱（s < 2h）
可见，当s < 2h时，采样信号发生频率混叠，致 使输出信号发生畸变。 此时，不能通过滤波器恢复原来的连续信号。
第二节 信号的采样与保持
3．采样定理
为了使离散信号e*(t)不失真地复 现原信号e(t)，对e(t)与e*(t)的频谱分析 得出如下关系： ωs ≥ 2ωh
式中，s 2 / T，为采样角频率。 1 e ( t ) e( t )e jn s t T n 上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，可得
1 E ( s) T
n
E ( s jn )
s

令s=j ，可得采样信号e*(t)的傅氏变换
这就是采样定理，又称香农(shannon) 定理，它指明了复现原信号所必须的最低 采样频率。
第二节 信号的采样与保持
3．采样周期的选择
1）信号复现原则： ωs ≥ 2ωh ωs ≈ 10ωc T≈ ts /40,或 T≈ tr /10
2）频域性能原则：
3）时域性能原则：
第二节 信号的采样与保持
二、 信号保持
1 E ( j ) T
n
E[ j( n )]
s

其中，E( j )是连续信号e(t)的傅氏变换。 一般，连续信号e(t)的频谱E( j )是单一的连续频谱，如图 所示。 h 为频谱E( j )的最高角频率。
E( j )
-h
0 h
连续信号频谱
第二节 信号的采样与保持
r(t) e(t) e(kT) 采样开关 和A/D 计算机 D/A和 保持器 对象 c(t)
– b(t)
检测元件
r( t )
e( t ) e ( t ) u(t) u(t) uh(t) c( t ) Gc(s) Gh(s) Gp(s) _ S S H ( s) 数字控制系统的典型结构图
b(t)
五、离散控制系统的研究方法
z变换与脉冲传递函数 状态空间分析法
第七章 线性离散系统的分析与校正
第二节 信号的采样与保持
一、采样过程与采样定理
二、信号的保持
第二节 信号的采样与保持
一、采样过程与采样定理
1、连续信号的采样过程：
e(t)
T e*(t)
0
t
0
τ T
t
采样开关每次闭合的时间为τ 一般τ<<T
第七章 线性离散系统的分析与校正
第七章线性离散系统的分析与校正
第一节 离散系统的基本概念
第二节 信号的采样与保持 第三节 Z变换理论
第四节 离散系统的脉冲传递函数
第五节 离散系统的性能分析 第六节 离散系统的最小拍校正
第一节 离散系统的基本概念
一、基本概念
1、连续系统： 控制系统中所有信号都是时间变量的连续 函数。
连续信号复现：将离散采样信号恢复成相应连
续信号的过程。
信号保持器：将采样信号复现为原来连续
信号的装置。
解决两相邻采样时刻间的插值问题。 工程中一般都采用时域外推的原理，下面 重点介绍应用最广泛的零阶保持器。
第二节 信号的采样与保持
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。 eh (t ) = e(kT)， kT≤ t ≤(k + 1)T 零阶保持器的输入输出特性
0
eh(t)
k (k+1)
t
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器用RC网络来近似实现如图 传递函数为： Kp Gh (s)= TS + 1 R2 Kp = R1 T = R2C
R2 C e*(t) R1 - ∞ + +
Δ
gh(t)
2、离散系统： 控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲 或数码。
3、采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的 离散系统，也称脉冲控制系统。 4、数字控制系统：系统中的离散信号是数字序列形式的 离散系统，又称计算机控制系统。
二、采样控制系统
周期采样： 在有规律的时间间隔上，取得离散信息。 随机采样： 信息之间的间隔是时变的，或随机的。 e( t ) e(t) eh(t)
图中， S：理想采样开关； Gh(s)：保持器的传递函数； Gp(s)：被控对象的传递函数； H(s)：反馈元件的传递函数； Gc(s)：数字控制器的传递函数。
四、离散控制系统的特点
1、由计算机构成的数字校正装置，控制规律由软件实 现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改调整 方便，控制灵活。 2、采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制 噪声，人而提高了系统的抗干扰能力。 3、可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。 4、可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备 利用率，经济性好。