离散系统的基本概念

E( j )
2 -2s -s
1
1/T
2
-h 0 h -s/2 s/2
s
2s
采样信号的频谱（s > 2h） 可见，采样信号e*(t)的频谱E( j )是以采样角频率s 为周期的无穷多个频谱之和。 其中，n=0的频谱是采样频谱的主分量，如曲线1所示，与 连续频谱E ( j )形状一致，幅值上变化了1/T倍。 其余频谱（n=1, 2, · · · ）是采样频谱的补分量。
第二节 信号的采样与保持
E( j )
0
采样信号的频谱（s < 2h）
可见，当s < 2h时，采样信号发生频率混叠，致 使输出信号发生畸变。 此时，不能通过滤波器恢复原来的连续信号。
第二节 信号的采样与保持
3．采样定理
为了使离散信号e*(t)不失真地复 现原信号e(t)，对e(t)与e*(t)的频谱分析 得出如下关系： ωs ≥ 2ωh
第七章 线性离散系统的分析与校正
第七章线性离散系统的分析与校正
第一节 离散系统的基本概念
第二节 信号的采样与保持 第三节 Z变换理论
第四节 离散系统的脉冲传递函数
第五节 离散系统的性能分析 第六节 离散系统的最小拍校正
第一节 离散系统的基本概念
一、基本概念
1、连续系统： 控制系统中所有信号都是时间变量的连续 函数。

0
r( t ) b(t)
t
0
e ( t ) Gh(s) H ( s)
_
e( t ) S
t eh( t )
0
Gp(s) c(t)
t
采样系统典型结构图
1、信号采样 在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过 程称为采样过程，简称采样。相当于A/D转换过程。 实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。 2、信号复现 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为信号复现过程。相当于D/A转换过程。 实现复现过程的装置称为保持器。 最简单的保持器是零阶保持器。
连续信号复现：将离散采样信号恢复成相应连
续信号的过程。
信号保持器：将采样信号复现为原来连续
信号的装置。
解决两相邻采样时刻间的插值问题。 工程中一般都采用时域外推的原理，下面 重点介绍应用最广泛的零阶保持器。
第二节 信号的采样与保持
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。 eh (t ) = e(kT)， kT≤ t ≤(k + 1)T 零阶保持器的输入输出特性


根据拉氏变换的位移定理，有
L (t nT ) e nTs
所以，采样信号的拉氏变换为
E ( s ) e( nT )e nTs
n 0

第二节 信号的采样与保持
（2）、采样信号的频谱 理想单位脉冲序列T(t) 是一个周期函数，可以展开成 如下傅氏级数形式： 1 jn s t T (t ) e T n
这就是采样定理，又称香农(shannon) 定理，它指明了复现原信号所必须的最低 采样频率。
第二节 信号的采样与保持
3．采样周期的选择
1）信号复现原则： ωs ≥ 2ωh ωs ≈ 10ωc T≈ ts /40,或 T≈ tr /10
2）频域性能原则：
3）时域性能原则：
第二节 信号的采样与保持
二、 信号保持
8 8 8 8 +∞ * t )=e(t (( tkT ) )δ( e δ(t – kT kT)) e* e (t ( )=e(t) δ)δ T (t )=e T(t)= k=k=0 8
Σ
Σ
+
8
第二节 信号的采样与保持
（1）、采样信号的拉氏变换
对e*(t)进行拉氏变换，可得
E ( s ) L e (t ) L e(nT ) (t nT ) e(nT ) L (t nT ) n 0 n 0
r(t) e(t) e(kT) 采样开关 和A/D 计算机 D/A和 保持器 对象 c(t)
– b(t)
检测元件
r( t )
e( t ) e ( t ) u(t) u(t) uh(t) c( t ) Gc(s) Gh(s) Gp(s) _ S S H ( s) 数字控制系统的典型结构图
b(t)
图中， S：理想采样开关 Gh(s)：保持器的传递函数 Gp(s)：被控对象的传递函数 H(s)：反馈元件的传递函数
第一节 离散系统的基本概念
三、数字控制系统
系统中如果用计算机来代替脉冲控制 系统中的A/D转换器相当于一个采样开 器，实现对偏差信号的处理，就构成了数 关，D/A转换器相当于一个保持器。 字控制系统，也称为计算机控制系统。 数字控制系统结构图
式中，s 2 / T，为采样角频率。 1 e ( t ) e( t )e jn s t T n 上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，可得
1 E ( s) T
n
E ( s jn )
s

令s=j ，可得采样信号e*(t)的傅氏变换
图中， S：理想采样开关； Gh(s)：保持器的传递函数； Gp(s)：被控对象的传递函数； H(s)：反馈元件的传递函数； Gc(s)：数字控制器的传递函数。
四、离散控制系统的特点
1、由计算机构成的数字校正装置，控制规律由软件实 现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改调整 方便，控制灵活。 2、采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制 噪声，人而提高了系统的抗干扰能力。 3、可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。 4、可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备 利用率，经济性好。
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器特性
1）低通滤波：近似为一个低通滤波器。因有多个 截止频率，也允许部份高频分量通过，将导致数 字控制系统的输出有波纹。 2）相角滞后：在采样频率处滞后－180度，因此 使闭环系统的稳定性变差。
-Ts 1-e Gh (s)= S
3）时间滞后：输出比输入在时间 上滞后T/2，使系统总的相角滞后 增大，对系统稳定性不利。
第二节 信号的采样与保持
2．采样函数的数学表示
采样过程如图所示： t < 0 时，e(t) = 0 通过采样开关，将连续信号转变成离 + e(t) e*(t) * (t )= δ (t) 散信号。采样过程为理想脉冲序列 δT(t) T( e e t ) Σ δ(t – kT) 则 k=0 + 对e(t)幅值的调制过程。 =Σ +e(t )δ(t – kT) k=0 δT(t )= 0 0 TΣ 2Tδ( 3Tt – kT t) 0 T 2T 3T t t k==e(0 )δ(t )+e(T)δ(t -T)+e(2T)δ(t -2T)+ · · ·
五、离散控制系统的研究方法
z变换与脉冲传递函数 状态空间分析法
第七章 线性离散系统的分析与校正
第二节 信号的采样与保持
一、采样过程与采样定理
二、信号的保持
第二节 信号的采样与保持
一、采样过程与采样定理
1、连续信号的采样过程：
e(t)
T e*(t)
0
t
0
τ T
t
采样开关每次闭合的时间为τ 一般τ<<T
0
eh(t)
k (k+1)
t
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器用RC网络来近似实现如图 传递函数为： Kp Gh (s)= TS + 1 R2 Kp = R1 T = R2C
R2 C e*(t) R1 - ∞ + +
Δ
gh(t)
2、离散系统： 控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲 或数码。
3、采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的 离散系统，也称脉冲控制系统。 4、数字控制系统：系统中的离散信号是数字序列形式的 离散系统，又称计算机控制系统。
二、采样控制系统
周期采样： 在有规律的时间间隔上，取得离散信息。 随机采样： 信息之间的间隔是时变的，或随机的。 e( t ) e(t) eh(t)
1 E ( j ) T
n
E[ j( n )]
s

其中，E( j )是连续信号e(t)的傅氏变换。 一般，连续信号e(t)的频谱E( j )是单一的连续频谱，如图 所示。 h 为频谱E( j )的最高角频率。
E( j )
-h
0 h
连续信号频谱
第二节 信号的采样与保持
e*(t) e*(t) 零阶 eh(t)
保持器 0 k (k+1)
eh(t)
t
0
k (k+1)
t
第二节 信号的采样与保持
零阶保持器的单位脉冲响应曲线 -g jω T gh(t) h(t) 1 – e 频率特性： Gh (jω)= jω 1 1 相频特性： – j[1-cos(ωT)+j sin( T ωT)] 0 [1-cos( ω T )] -1 ωT 0 ( jω = ∠G )= tg t T ω t h =sin(ωT ) -1 2 sin(ωT)– j[1-cos(ωT)] = 零阶保持器的单位脉冲响应为： 传递函数中的 e-TS 展开为级数形式 ω 幅频特性： g-Ts t )-1(t-T) 1 1-e 1 h (t )=1( (1 – Gh (s)= S sin 2 ) = 2(ω 2 2 T ) + [1-cos( ω T )] 1+Ts+T S /2+· · · S 零阶保持器的传递函数： |G ( jω ) | = h ω T – Ts 1 –Ts 1 e 1 1 – e ~ (1 –2 sin ωT) = = ~G – ( s )= Ts + sh = ω S 1 + Ts S S1 2