不等式放缩技巧十法

第六章 不等式

第二节 不等式放缩技巧十法

证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：

一 利用重要不等式放缩

1. 均值不等式法

例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证

.2

)1(2)1(2

+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k

Λ=+=

2

1

21)1(+=++<

+

(1

1∑∑==+<<∴n

k n n

k k S k ，

即

.2

)1(22)1(2)1(2

+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2

b

a a

b +≤

，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2

1

+>

++=+<∑=n n n k S n

k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n

a a n a a a a a a n

n

n

n

n n

2

2111111++≤

++≤≤++ΛΛΛΛ

其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数bx

a x f 211)(⋅+=

，若5

4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求

证：.2

121)()2()1(1-+

>++++n n n f f f Λ [简析] 411

()11(0)141422

x x x x

f x x ==->-≠++• 1

(1)()(1)22

f f n ⇒++>-

⨯L 211(1)(1)2222n +-

++-⨯⨯L 1111111

(1).42222

n n n n -+=-+++=+-L

例3 求证),1(2

2

1321

N n n n C C C C n n n

n

n

n

∈>⋅>++++-Λ.

简析 不等式左边1

2

3

n

n n n n C C C C ++++L =12222112

-++++=-n n

Λ

n n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=2

12

-⋅n n ，

故原结论成立.

【例4】已知222121n a a a +++=L ，222

121n x x x +++=L ，

求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.

【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2

x y xy x y R +≤∈，所以有

222222

1122

1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L 222222121211 1.2222

n n a a a x x x ++++++=+=+=L L 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。本题还可以推广为：

若22212n p a a a +++=L ，222

12(,0)n q p q x x x +++=>L ，

试求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。 请分析下述求法：因为22(,)2

x y xy x y R +≤∈，所以有

222222

1122

11

22222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L

222222

1212.222n n a a a x x x p q +++++++=+=L L

故n n x a x a x a +++Λ2211的最大值为2p q

+，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==L 。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是

(1,2,,)k k a x k n ==L

，即必须有221

1

n

n

k k

k k a x

===∑

∑，即只有p=q 时才成立！

那么，p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：

2222221,

=+

=L L

则有

1122n n a x a x a x +++=

L

2

2

2

2

2

2

+++=L L

于是，1122max ()n n a x a x a x +++=

L

1,2,,).

k n ==L 结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==u r r

L L ，则

由||||||m n m n ⋅≤u r r u r r

立刻得解：

1122||n n a x a x a x +++≤

=

L

且取“＝”的充要条件是：12

12n

n x x x a a a ==L 。

特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已! 2．利用有用结论

例5 求证.12)1

21

1()511)(31

1)(11(+>-+

+++n n Λ 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质

)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a b 可得

>-⋅⋅122563412n n

Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n n

n Λ ⇒12)122563412(2

+>-⋅⋅n n n Λ

即.12)1

21

1()511)(311)(11(+>-++++n n Λ

法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*

x x n N n nx x n

的一个特例

1

2121)1211(2-⋅+>-+

k k (此处121,2-==k x n )得