人教版初三数学上册圆中的动点问题
(完整版)九年级数学动圆问题
动 圆 问 题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）周， 圆心O 所经路线的路程是_______ 。
3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上， 点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速 度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀 速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时， 以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。
人教版初中数学知识点总结
人教版初中数学知识点总结人教版初中数学知识点总结1①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的间隔 )平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程假如b2-4ac>0，那么圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
假如b2-4ac=0，那么圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
假如b2-4ac人教版初中数学知识点总结2诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin=-sincos=-costan=tancot=cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin=sincos=-costan=-tancot=-cot人教版初中数学知识点总结3相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：假如两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：假如两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
九上 圆 动点、暗动点、最值问题 拔高提优 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。
O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
人教版数学九年级圆上的动态问题探析
人教版数学九年级圆上的动态问题探析动态问题依然是中考数学的重量级的题型。
是体现学生创造性解题能力的代表。
也是学生综合数学素质的体现。
下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。
一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( ) (A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。
这个问题实际上就是一个对称性作图问题。
具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。
如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。
因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。
因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。
所以∠CON ＝60°。
所以∠BOC ＝90°。
在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。
解：选B 。
点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。
只要确定好了，求就变得简单多了。
二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。
原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。
初三数学圆动点问题
初三数学圆动点问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初三数学圆动点问题
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在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C 开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
满意答案
好评率：0%
设经过t秒，PQ与圆O且于点E，此时：AP = t CQ = 2t BQ = 15 - 2t PD = 13 - t
根据切线长定理可得：PE = PA QE = QB
∴ PQ = 15 - t
过A点作PQ的平行线，交BQ于F，则：BF = 15 - 3t
于是，根据 AB² +BF² = PQ²可以列出关于 t的方程。
【AB的长应该告诉了的吧】
2011-11-20 19:27
满意答案
好评率：0%
存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t1=4+，t2=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．
图示。
以圆为载体的动点问题
以圆为载体的动点问题
• （1）当点P在△ABC外接圆外时， • 如图5，连结BD，根据外角大于任何一 个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC • 又因为∠BDC＝∠BAC， • 所以∠BPC＜∠BAC； • （2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6， 根据同弧所对的圆周角相等， • ∠BPC＝∠BAC；
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考 察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆 有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用 圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题 方法巧妙，耐人寻味。
以圆为载体的动点问题
• 例1. 在中，AC＝5，BC ＝12，∠ACB＝90°，P 是AB边上的动点（与点A、 B不重合），Q是BC边上 的动点（与点B、C不重 合），当PQ与AC不平行 时，△CPQ可能为直角三 角形吗？若有可能，请求 出线段CQ的长的取值范围； 若不可能，请说明理由。
以圆为载体的动点问题
• 例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在 直线BC上方），分别连结PB、PC，试确 定∠BPC与∠BAC的大小关系。 • 分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要 确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找 恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道 桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆， 问题就会迎刃而解。
以圆为载体的动点问题
• 以CQ为直径做半圆D。 • ①当半圆D与AB相切时，设切点为M， 连结DM，则 • DM⊥AB，且AC＝AM＝5 • 所以 设，则 在中，，即 • 解得：，所以 即当且点P运动到切 点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
以圆为载体的动点问题
• ②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当 点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为 直角三角形。 • ③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在 半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时， △CPQ不可能为直角三角形。 • 所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。
数学人教版九年级上册以圆为载体的动点问题.PPT
A1C1的不可能值. gsp
• 应用2：（2015武汉市元月调考数学选择第十题）在⊙A / 中，弦AB等于圆的半径1cm，C为优弧AB上一动点，等 / / 长的 腰△ACC / 的底边CC / 所在的直线经过B点，求 AC 取值范围
/ • 应用3：等边△A / AB的边长为4cm,过 B 点作 A A 的平行 / 线BM，在BM上任取一点C，作△A BC的外接圆，AC交 圆于E点，求BE的最小值。
动点定圆问题
以圆为载体的动点问题
五公中学
袁红平
• 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察， 有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只 要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆和三角形的 有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙， 耐人寻味。 • 知识点：一：两点之间，线段最短 • 二：唯一确定圆的条件
边及其所对的角是定值，则这个三角形的 外接圆是定圆。
知识应用与反馈
△ABC中，BC=3cm，AB= 4 2 ，∠CBA=45°过C 点作CF∥AB,D为CF上一动点，经过 A、B、D三点 的圆交AD于H点，求CH得最小值。
应用例题.gsp
△ABC中，BC=3cm，AB= 4 2 ，∠CBA=45°过C点作 CF∥AB,D为CF上一动点，经过 A、B、D三点的圆交AD于 H点，求CH得最小值。
等边三角形中BE 的最值问题.gsp
/ A 的平行 • 应用3：等边△ AB的边长为4cm,过 B 点作 A / 线BM，在BM上任取一点C，作△ A BC的外接圆，AC交 圆于E点，求BE的最小值。
本课小结
• 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题， 它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中 的位置关系和数量关系。而做这种题就是要抓住 图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图 形的运动的过程。而我们所用的是三角形的一
专题04 圆中的”动“问题-中考数学中的“动”问题_最新修正版
专题4 圆中的“动”问题在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y =3x +23上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则P A 的最小值为 A ．3B ．2C ．3D ．2【参考答案】D【试题解析】如图，直线y =3x +23与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ， 当x =0时，y =3x +23=23，则D （0，23），当y =0时，3x +23=0，解得x =–2，则C （–2，0），∴CD =222(23)+=4，∵12OH •CD =12OC •OD ，∴OH =2234⨯=3，连接OA ，如图，∵P A 为⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，∴P A =22OP OA -=21OP -， 当OP 的值最小时，P A 的值最小， 而OP 的最小值为OH 的长， ∴P A 的最小值为2(3)1-=2． 故选D ．【方法点拨】动点出现在哪种几何图形中就考虑哪种图形的相关性质进行解决．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造垂径定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．1．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G 上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为A．3π2B．3π3C．3π4D．3π62．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=42，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD 为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为__________．3．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案1．【参考答案】B【试题解析】连接AC ，AG ，∵GO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，即AO =BO =12AB ， ∵G （0，1），即OG =1，∴在Rt △AOG 中，根据勾股定理得：AO =22AG OG =3，∴AB =2AO =23，又CO =CG +GO =2+1=3，∴在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC =22AO CO +=23，∵CF ⊥AE ，∴△ACF 始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆， 当E 位于点B 时，CO ⊥AE ，此时F 与O 重合； 当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长AO ，在Rt △ACO 中，tan ∠ACO =33AO CO =， ∴∠ACO =30°，∴AO 度数为60°， ∵直径AC =23，∴AO 的长为60π3180⨯=3π3，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长3π3．故选B ．2．【参考答案】【试题解析】连接AE ，如图1，∵∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42，∴AB =AC =4，∵AD 为直径，∴∠AED =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 上， ∵⊙O 的半径为2，∴当点O 、E 、C 共线时，CE 最小，如图2，在Rt △AOC 中，∵OA =2，AC =4， ∴OC =2225OA AC +=， ∴CE =OC –OE =25–2，即线段CE 长度的最小值为25–2． 故答案为：25–2．3．【试题解析】（1）①当∠AOM =60°时，∵OM =OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A =∠MOA =60°， ∴∠MOD =30°，∠D =30°，∴DM =OM =10． ②如图，过点M 作MF ⊥OA 于点F ，设AF =x ，∴OF =10–x ，∵AM =12，OA =OM =10，由勾股定理可知：122–x 2=102–（10–x ）2， ∴x =365，∴AF =365， ∵MF ∥OD ，∴△AMF ∽△ADO ，∴AM AFAD OA=，∴3612510AD =，∴AD=503，∴MD=AD–AM=143．（2）当点M位于AC之间时，连接BC，∵C是AB的中点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于BC之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°．综上所述，∠CMD=45°．。
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
人教版九年级上册数学24章圆的动点最值问题期末压轴训练题
故答案为：9．
13．
解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧 的中点，即 ，
∴∠BAD′= ∠CAB=15°．
∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC=OD′= AB=10，
∴CD′= ，
∵AB是直径
∴
在 中，AB=13，AD=5
由勾股定理得：
即：
∵
∴
∵E为AD的中点
∴
在 中， ，
由勾股定理得：
即：
∵
∴
又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点
∴
∴
故答案为：
9．
解：连接AO与⊙O相交于点P′，如图，
在△AOP中，AP+OP AO，
即：AP′是AP的最小值，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC为直径，
（1）求证： ；
（2）若 ，求 长；
（3）当 从 增大到 的过程中，求弦 在圆内扫过的面积．
18．已知 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， ， ， 是⊙ 上半部分的一个动点，连接 ， ．
（1）如图①， 的最大面积是；
（2）如图②，延长 交⊙ 于点 ，连接 ，当 时，求证： 是⊙ 的切线．
19．如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，求线段DF的最小值
∵OA=OT，
∴四边形ADTE是平行四边形，
∴AD=ET，
∵AD+AE=AE+ET≥10，
∴AD+AE的最小值为10．
人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题
人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题一、单选题1．如图，O的直径12AB=，弦CD垂直平分半径OA，动点M从点C出发在优弧CBD 上运动到点D停止，在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动路径长为（）A．3πB．4πC．5πD．6π2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，45∠=︒，连接BC，M，N分别ACB为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3 B．4 C．2D．24．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°5．如图，O 的半径为13，弦AB 的长为24，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．56．如图，在Rt AOB 中，OA ＝OB ＝42，⊙O 的半径为2， 点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为（ ）A ．23B ．3C ．1D ．27．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A 3B 33C ．3D ．3328．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A ，B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为（ ）．A ．3B ．23C ．43D ．4二、填空题 9．如图所示，AB 是O 的直径，20AB =，30CAB ∠=︒，点D 为弧BC 的中点，点P 是直径AB 上的一个动点，PC PD +的最小值为__________．10．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆心角的度数是__________．11．如图，AB 是O 的弦，5AB =，点C 是O 上的一个动点，且45ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是______．12．如图，在扇形ABD 中，60BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠交弧BD 于点C ，点P 为半径AB 上一动点，若4AB =，则阴影部分周长的最小值为___________．13．在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．14．如图，在扇形AOB 中，45AOB ∠=︒，点C 是AB 的中点，点D ，E 分别为半径OA ，OB 上的动点．若2OB =，则CDE △周长的最小值为______．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．当⊙P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，则BP 的长为________．三、解答题16．如图，在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边DC ，CB 上移动（不与顶点重合），且满足DE CF =．连接AE 和DF ，交于点P ．（1）请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点P 的运动路径；②若10AD =，请求出线段CP 的最小值．17．如图，O为Rt ABC的外接圆，90,43,4∠=︒==，点D是O上的ACB BC AC、分别位于AB的两侧．动点，且点C D（1）求O的半径；∠的度数；（2）当42CD=时，求ACD（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．19．如图，在平行四边行ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，BC 边上的高AH ＝3，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的⊙C 与边AD 交于点E ，F （点E 在点F 的左侧）． （1）当⊙C 经过点A 时，求CP 的长；（2）连接AP ，当AP ∥CE 时，求⊙C 的半径及弦EF 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的一个动点，以CD 为直径的O 交AD 于点E ，过点C 作//CF AB ，交O 于点F ，连接CE 、EF ．（1）当45CFE ∠=︒时，求CD 的长；（2）求证：BAC CEF ∠=∠；（3）是否存在点D ，使得CFE 是以CF 为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．参考答案1．B解：如图，连接OC，设CD交AB于点E．∵CD垂直平分线段OA，∴CA=CO，∵OC=OA，∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAE=60°，当点M与C重合时，连接PE，OP，∵P A=PM，∴OP⊥AM，∴∠APO=90°，∵AE=EO，OA=3，∴EP=12∵PE=AE=3，∠P AE=60°，∴△P AE是等边三角形，∴∠AEP=60°；在点M整个运动过程中，如下图，∵点P 是AM 的中点，点E 是AO 的中点， ∴1122PE OM OA AE EO ====， ∴线段AM 的中点P 的运动轨迹是图中IOJ ，∵260120IEJ ∠=⨯︒=︒，∴IOJ 的圆心角360120240=︒-︒=︒，∴运动路径的长=24034180ππ•=． 故选：B ．2．D解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，过点O 作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，∵AC ＝12，BC ＝9，∴AB 22AC BC +22129+15，∵∠OPB ＝90°，∴OP ∥AC ，,OPB ACB ∴∽2,3OP OB AC AB ∴== ∵点O 是AB 的三等分点，∴21510,3OB =⨯=， ∴OP ＝8，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，,AOD ABC ∴∽ ∴13OD OA BC AB ==， ∴OD ＝3，∴MN 最小值为OP ﹣OF ＝8﹣3＝5，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值＝OB +OE ＝10+3＝13，∴MN 长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．故选：D ．3．C解：由题知A 、B 、C 三点共圆，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，12MN AC ∴=， ∴当AC 过圆心即AC 是直径时（如图所示），AC 取得最大值，此时MN 取的最大值， 45ACB =︒∠，90ABC ∠=︒∴此时ABC 是等腰直角三角形，BMN △是等腰直角三角形，132BM BN AB ∴===，MN ∴=故选C ．4．B解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝12 PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝12∠POT＝90°，故选：B．5．D解：过O作OM AB'⊥于M'，此时线段OM'的长最短，连接OA，OM '过点O ，OM AB '⊥， 11241222AM AB '∴==⨯=， 在Rt AMO △中，由勾股定理得：221691445OM OA AM ''=-=-=． 故选：D ．6．A解：连接OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，2∴2OA=8，∴OP=4OA OB AB•=， ∴2223OP OQ =-故选：A ．7．B解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32，∴B′E333即BF＋EF33故选：B．8．D∵过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，∴AC=PC，BD=PD，∴CD∥AB，且CD=12AB，∵AB=8，∴CD=12AB=4．故选择：D．9．102解：作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′．又∵点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为弧BC 的中点，即BD BD '=，∴∠BAD ′=12∠CAB =15°．∴∠CAD ′=45°．∴∠COD ′=90°．则△COD ′是等腰直角三角形．∵OC =OD ′=12AB =10，∴CD ′=2故答案为：10210．120︒解：作OD ⊥AB ，∵P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，∴OD=1，∵⊙O 的半径是2，∴12OD OA ， ∵OA=OB ，∴30OAB OBA ==︒∠∠，∴弦AB 所对的圆心角120AOB ∠=︒，故答案为：120︒ ．11．522 解：∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN =12BC ， ∵当BC 最大时，线段MN 长的最大，当BC 为⊙O 的直径时，BC 的长度最大，此时，∠A =90°，∠ACB =45°，∴直径BC =2AB =52，则线段MN 长的最大值为522， 故答案为：522． 12．2423π+ 解：如图，作点C 关于AB 的对称点C '，连接C D '交OB 于点P '，连接P C '、OC '，此时P C P D ''+最小，即=P C P D C D '''+，由题意得，30DAC CAB BAC '∠=∠=∠=︒，∴90DAC '∠=︒， ∴22224442C D OC OD ''=+=+=，CD 的长3042==1803l ππ⨯， ∴阴影部分周长的最小值为242+3π， 故答案为：242+3π． 13．52-如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==22112AO ∴=+=112ON OM AB ===,3BC = 221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=线段CD 长度的最小值为52-． 52-14．2解：如图，作点C 关于,OA OB 的对称点,M N ，连接,,,,DM EN OM OC ON ，则,,,,,DM CD OM OC AOM AOC EN CE ON OC BON BOC ==∠=∠==∠=∠， CDE ∴的周长为CD DE CE DM DE EN ++=++，由两点之间线段最短得：当点,,,M D E N 共线时，CDE △周长最小，最小值为MN ， ,AOM AOC BON BOC ∠=∠∠=∠，45AOC BOC AOB ∠+∠=∠=︒，2()90MON AOM AOC BON BOC AOC BOC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，由同圆半径相等得：2OC OB ==，2OM ON ∴==，在Rt MON 中，2222MN OM ON +=即CDE △周长的最小值为22 故答案为：2215．4当⊙P 与直线CD 相切时，设PC ＝PM ＝x ．则PB =9-x ，132BM AB == 在Rt △PBM 中，∵222PM BM PB =+，∴2223(9)x x =+-，∴x ＝5，∴PC ＝5，∴BP ＝BC ﹣PC ＝9﹣5＝4．故答案为：4．16．解：（1）AE DF =，AE DF ⊥，理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =，90ADE DCF ∠=∠=︒，∵DE CF =，在ADE 和DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF ≅△△，∴AE DF =，DAE FDC ∠=∠∵90ADE ∠=︒，∴90ADP FDC ∠+∠=︒，∴90ADP DAE ∠+∠=︒，∴1809090APD ∠=︒-︒=︒，∴AE DF ⊥；（2）如图，①∵点P 在运动中保持90APD ∠=︒，设正方形ABCD 的中心为O ， ∴得出点P 的运动路径是以AD 为直径的圆的圆弧DPO （去除端点D ，O ），②设AD 的中点（圆心）为G ，连接CG 交圆弧于点P ，此时线段CP 的长度最小． 在Rt CDG 中，222210555CG CD DG ++∴555=-=-CP CG GP即线段CP的最小值是555-．17．（1）4；（2）15°；（3）存在，232+解：（1）如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3∴AB2222++=8，4(43)AC BC∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊥AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊥OA，∴CJ22=-=23，AC AJ∵CM≤CJ+JM＝23+2，∴CM的最大值为23+2．18．【详解】（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴ OE ＝OM ，∵ OE 为⊙O 的半径，∴ OM 为⊙O 的半径，∴ AC 是⊙O 的切线．（2）解：∵OM ＝OE ＝OF ＝3．且F 是OA 的中点，∴ AO ＝6，在Rt ΔAEO 中，AE ＝33， ∴ AEO S ＝12OE AE ＝932． ∵ OE ⊥AB ，在Rt ΔAEO 中，∠OEA ＝90°，AO ＝6，AE ＝33，OE ＝3，∴ ∠EOF ＝60°，∴ OEF S 扇形＝260333602ππ⋅=， ∴ S 阴影AEO OEF S S =-扇形△93322π=-． （3）解：如图，作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG 交BC 于P ，∵ =PF PG ，∴ PE PF PE PG EG +=+=，此时EP +FP 最小，∵ OG =OF =OE ，∴ =G OEG ∠∠，而 =+=60AOE G OEG ︒∠∠∠，∴=30G︒∠，∴=G EAG∠∠，∴33EG EA==，即PE PF+最小值为33，在Rt OPG中，333OP OG==，在Rt ABO中，3362333OB OA==⨯=，∴=23-3=3BP，即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3．19．（1）CP＝5；（2）⊙C的半径为258，EF＝74．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝2222534AB AH-=-=，∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝225AH CH+=，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴P A＝CP，设P A＝CP＝x，则PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝P A2，即32+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝258， 即⊙C 的半径为258， 作CM ⊥EF 于M ，如图2所示：则CM ＝AH ＝3，ME ＝MF ＝12EF ，在Rt △CEM 中，由勾股定理得：ME ＝2222257()388CE CM -=-=， ∴EF ＝2ME ＝74．20．解：（1）∵45CDE CFE ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒∴45DAC CDA ∠=∠=︒∴6CD AC ==（2）∵//CF AB ，∴B FCB ∠=∠，∵FCB DEF ∠=∠，∴B DEF ∠=∠，①又90BAC B ∠+∠=︒②∵CD 是圆O 的直径，90CED ∠=︒，∴90DEF CEF ∠+∠=︒③由①②③可得BAC CEF ∠=∠（3）CFE 是CF 为底的等腰三角形，则EF CE =，则∠EFC =∠ECF ． 连接FD ，并延长和AB 相交于G ，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG=∠ECF，又∵∠CDE=∠CFE，∴∠ADG=∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵FC∥AB，∴∠FGA=90°，∴∠FGA=∠ACD，∵AD=AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG=CD，在Rt△BDG中，设CD=x，BG2+DG2=BD2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，即CD=3。
初三数学圆动点问题
初三数学圆动点问题
1.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=32，点D为BA延长线上的
一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆.
（1）求BC的长；(特殊三角形)
（2）求⊙O的半径.（垂径定理+圆周角+圆心角）
1.▲存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t
1=4+，t
2
=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．。
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
初三圆动点问题练习题
初三圆动点问题练习题圆动点问题是初中数学中的一个基础知识点，涉及到平面几何中圆的性质和相关定理的运用。
通过解决这类问题，可以提高学生对于几何形态的理解和分析问题的能力。
下面将给出一些初三圆动点问题的练习题，帮助学生巩固相关知识，并提供一些解题思路。
练习题一：已知半径为4cm的圆O，圆上一点A不动，圆按逆时针方向匀速转动。
点P从圆上某一位置出发，按顺时针方向匀速运动，经过3秒钟到达圆上另一点B。
求点P的速度大小。
解答思路：根据题目所给信息，可知点A和点B在圆上的位置是变化的，但速度大小是恒定的。
由于点A不动，所以可以通过计算点A的线速度来确定点P的速度大小。
设圆心O的角速度为ω，则点A的线速度为v=ω×r，其中r为圆的半径。
根据题目中的信息，点P经过3秒钟到达点B，所以可以计算出点B到点A的弧长为s=ω×r×3。
由于点P匀速运动，所以点B到点P的弧长也为s。
将s代入线速度公式中，即可求得点P的速度大小v。
练习题二：已知半径为6cm的圆O以7π弧度/秒的角速度顺时针转动。
设圆上一动点P的轨迹方程为x=-3sin(t)，y=3cos(t)（t为时间），求动点P的速度大小和速度方向。
解答思路：根据题目中给出的动点P的轨迹方程，可以确定动点P的坐标与时间的关系。
通过对x和y的导数，可以求得动点P在任意时刻的速度向量。
速度向量的大小即为速度大小，速度向量的方向即为速度方向。
x=-3sin(t)，y=3cos(t)，对t求导可得：dx/dt=-3cos(t)，dy/dt=-3sin(t)。
由此可知，动点P在任意时刻的速度向量为v=(-3cos(t)，-3sin(t))。
求速度大小|v|，可以应用勾股定理，即|v|=√((-3cos(t))^2+(-3sin(t))^2)=3√(cos^2(t)+sin^2(t))=3。
由此可知，动点P的速度大小为3，且恒定不变。
速度方向可以由速度向量的方向角来表示，即tanθ=(-3sin(t))/(-3cos(t))=tan(t)，所以速度方向为动点P所对应弧上的切线的斜率。
中考数学复习动点问题5[人教版]
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运动.设运动时间为t（秒）.
（2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙B
P当t=4秒、20秒、28秒时，⊙P和⊙Q相外切
33
解决这类问题时，要搞清楚图形 的变化过程，正确分析变量与其它量 之间的内在联系，建立它们之间的关 系；要善于探索动点运动的特点和规 律，抓住图形在变化过程中不变的东 西；必要时，多作出几个符合条件的 草图也是解决问题的好办法。
3a
Q
(P)
（21）如果质问题点（P、1） Q运中 3a
的 动的质速点度P、分Q别分是别同4厘时米沿/ B F
原 秒路、返5厘回米，/质秒点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QA的PQ速是度哪 3a F 改 一类变三为角a厘形米？/（秒按，角经的过 3大秒小后分，类P）、Q分别到达E、
E
(P)
中与△ABC三边有六个切点.
（3）猜想不同情况下,r的取
A
值范围及相应的切点个数;
当r>9厘米时,没有切点;
当r=9厘米时,有3个切点;
当0<r<9厘米时,有6个切点.
B
C
2、如图，△ABD和△BCD都是边长为24
厘米的等边三角形，质点P从点A沿AB—
A
BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿
DC—CB—BA作匀速运动.
D (Q)
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， 试求a的值.
(F) C 综上:当a=2或6或12时,
△BEF与△APQ相似
3、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开 始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开 始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C 同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运 动.设运动时间为t（秒）.
中考数学复习动点问题5[人教版](2019年10月整理)
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（3）猜想不同情况下,r的取
A
值范围及相应的切点个数;
当r>9厘米时,没有切点;源自当r=9厘米时,有3个切点;
当0<r<9厘米时,有6个切点.
B
C
； 北京spa会所 / 北京养生会所 爱北京
；
又蕃军顷年破朱泚之众于武功 师无由归东矣 元帅雍王领子昂等从而见之 明日 传之子孙 子孙流播绝域 斜界连营 鹦鹉 乌纥遂夜领骑十余劫吐迷度 以吐蕃游骑及于好畤 薛仁杲奄有陇上之地 必蓬头垢面跣足蔬食 琥珀 斩首万余级 助德宗山陵金银 其火队吐蕃没勒遽引延素等疾趋至帐前 " 惟大相生死之 日望大臣充使 示以祸福 因绐吐蕃曰 今君以国亲将命 边人大扰 马牛羊一万余头匹 一彼一此 府州皆置长史 并而食之 又命元帅广平王见叶护 身长八九寸 武 破之必矣 以回纥和亲故也 焚烧庐舍 一宿而死 襟带要害 大破吐蕃于青海之上 悉归之 则天临朝 "己丑 十八年十月 大咒呼鸟 米擒氏 以卫尉少卿 征兵用金箭 诏给递乘放还蕃 会昌二年 "遂筑城邑 铺鸿名而垂永久 彼无此诈 永泰二年二月 公主再俯拜讫 遣其将王佖夜袭贼营 名军为怀德军 连战三日 皆被边将不许 各守见管本界 矩遂奏与之 十一月 且俾知愧也 获大将论赞热及首领献于京师 死伤颇众 北 路兵马使邢玼并诸州刺史董怀愕等率兵四千进攻栖鸡 其下怨之 夫鹅 大军继之 及阿史那社尔之讨龟兹 浣诱赂蕃中给役者 约以更不相侵 日蹙边城 "我闻唐家已无主 突骑支遣使贡方物 谓之水真腊；吐蕃数千骑由青石岭寇泾州 夏二州归于我 因请回鹘已南置邮递 遣使贡献锁子甲 七姓室韦 各占一分 到今时遣使入朝 姓蒙氏 又同章表上闻 留数月而遣之 吐蕃尽寒冻 动无违者 于是吐蕃率葛禄 著锦绣衣 是来也 三载 及是上引入内宴 归国 渐为大食所侵 上
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∴PQ长的最大值为＝ 9 (3)2 3 3 2 .
2
2
方法总结：
1.动中求静，找出题中不变的数量关系
2.判断何种特殊情况下有最值，并画出特 殊情况下的图形
3.代入求出最值
3.(2016年安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，
AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，
合 且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
第六单元 圆
复习课 圆中的动点问题
淮南九中 庄昌霞
考ห้องสมุดไป่ตู้分析
圆中的动点问题近两年在选择题 和解答题中分别考查了一次，考查 的内容为利用勾股定理求线段长或 线段的最值.
例题解析
1.（２０１５陕西）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ＝６，
点Ｃ是⊙Ｏ上的一个动点，且∠ＡＣＢ＝45°．若点Ｍ、
Ｎ分别是ＡＢ、ＢＣ的中点，则ＭＮ长的最大值是
6
2
∴P到AB的距离的最小值
8
PH＝FH－FP＝
16 5
2
6 5
5.已知，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径 OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切 线，切点为T.
练 (1)如图①，当C点运动到O点时，求PT的长； (2)如图②，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出 y的最小值．
∵ＡＢ＝６
2
∴ ＯＡ＝ＯＢ＝６×2 ∴ＭＮ长的最大值是
1 2
＝３ 2 ． AC＝OA=３
2
2. (2015安徽20题10分)在⊙O中，直径AB＝6，BC 是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且 OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
试 一 试
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB. 在Rt△OPB中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan30°＝ . 3 连接OQ，在Rt△OPQ中，
习
解：(1)如解图①，连接OT， ∵PC＝5，OT＝4， ∴在Rt△OTP中，由勾股定理 P T P C 2 O T 25 2 4 2 3 (2)如解图②，连接PO，OT， ∵AB是⊙O的直径，AB＝8， AC＝x，∴CO＝4－x，
又∵PC⊥AB， ∴PO＝ P C 2O C 252(4x)2， 又∵PT为⊙O的切线
y P T P O 2 O T 2 5 2 ( 4 x ) 2 4 2 x 2 8 x 2 5 ( 4 x ) 2 9
Q0x4
∴要使y最小，x要取最大值4 ym ax (44)293
课堂小结
你觉得解决圆中的动点问题，方法是 什么？
P Q O Q 2 O P 23 2 (3 )26
3
3 30o
3
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：连接OQ，∵OP⊥PQ， 垂线段最短
∴△OPQ为直角三角形，
∴ P Q O Q 2O P 29O P 2，
3
30o
3
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC.
OP＝OB·sin∠ABC＝3·sin30°＝ . 3
固定不变，即PF＝CF＝2， ∴点P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运 动． 2
过点F作FH⊥AB交⊙F于P，垂足为 H，此 2
习 时PH的长最短. 则△AFH∽△ABC，
∴ FH AF
BC AB
∵AF＝4，AB＝10，BC＝8，
∴ F H 4 ，即 F H 1 6 .
8 10
5
4
2
10
A. 1
B. 2 C8 . 3
D1 2 .3
2
13
13
作 探 究
解：如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，
6
∴∠BAP＋∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°，
∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝
3 33
由P在OC解RP的＝t图△长1知O/最2B，A小CB只中．＝有，3O 为当C 半在 ∠的 动径点AO 量 轨的PPB 在， 迹B圆2O＝ 你 是上CB 9觉 什，C 与0°2 得 么⊙ 是点 ？O不P的3 2 的变交 运4 点2处 5 时，，
解决此类问题，需把动态问题转化为静态 问题求解，先对点在运动变化过程中相伴 的数量关系、图形位置关系等进行观察， 然后画出大致图形，数形结合，找出运动 过程中的特殊点，代入求解即可。
_解__：__∵_．Ｍ、Ｎ 分别是ＡＢ、ＢＣ 的中点，
∴ ＭＮ 是△ＡＢＣ的中位线，
∴ＭＮ＝
1 2
ＡＣ，
C
要使ＭＮ最大，即ＡＣ最大，而ＡＣ是⊙Ｏ的
弦，故ＡＣ是⊙Ｏ的直径时，ＡＣ的值最大.
作直径AC,连接BC,ＯＢ，
N
∵ 又∵∠ＯＡＡＣ＝ＢＯ＝Ｂ４，５°点，C∴在∠动ＡＯ，Ｂ题＝中９０有°没， ∴△ＡＯＢ是等腰直角有三不角变形，的数量关系？
4
∴P′C＝OC－OP′＝5－3＝2， ∴线段CP长的最小值为2.
题中无圆，心中有圆
4.(2016淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边
练 BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是________． 解：如解图，当点E在BC上运动时，PF的长