初三中考数学专题八 圆
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∴MAMN＝CBPB.
[名师点评]本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质， 圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质， 综合的知识点较多，解此题的关键是熟练掌握定理.
圆的综合题 例 3：(2015 年广西桂林)四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方 形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点. (1)如图 Z8-3，求⊙O 的半径； (2)如图 Z8-3，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长 度；
专题八 圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容.它 综合直线、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的 综合性，对学生思维能力要求较高.这类试题通常借助圆的对称 性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其 是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、 圆锥等)的计算、作图、证明与探究.
(2)如图Z8-5，连接EO，OP. ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，则∠EOP＝90°， ∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4. ∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5.
图Z8-5
(3)证明：如图Z8-6，在AB 上截取BF＝BM.
图 Z8-6 ∵AB＝BC，BF＝BM， ∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°. ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM ＋∠AMF＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.
(1)证明：∵AC 为⊙O 直径，∴∠ANC＝90°. ∴∠NAC＋∠ACN＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠BAN＝∠CAN. ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP＝90°. ∴∠ACN＋∠PCB＝90°. ∴∠BCP＝∠CAN. ∴∠BCP＝∠BAN.
(2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知，∠BCห้องสมุดไป่ตู้＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA.
图 Z8-2
[思路分析](1)由 AC 为⊙O 直径，得到∠NAC＋∠ACN＝ 90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC 是⊙O 的切 线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°，于是得到结论.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接 四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即 可得到结论.
图 Z8-1
[思路分析](1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB＝90°，由 勾股定理求得 OB＝5 cm.连接OD，得到等腰直角三角形，根据 勾股定理即可得到结论；
(2)根据S阴影＝S扇形－S△OBD即可得到结论. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm， ∴AB＝10 cm，OB＝5 cm. 连接 OD.
∵由(1)得 PD＝PC，∠DPC＝90°， ∴∠DCP＝45°. ∴∠MCN＝135°. ∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°， ∴∠AFM＝∠MCN. 在△AFM 和△MCN 中，
∠FAM＝∠CMN， AF＝MC， ∠AFM＝∠MCN， ∴△AFM≌△CMN(ASA). ∴AM＝MN.
[名师点评]本题主要考查了圆的综合知识，全等三角形的 判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线 得出∠MCN＝135°是解题关键.
图 Z8-3
(3)如图 Z8-4，若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B，C)， 以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠AMN＝90°，交直线 CP于点 N，求证：AM＝MN.
图 Z8-4
[思路分析](1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得 出⊙O 的半径即可.
(2)利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE＝45°，进而利用勾 股定理得出即可.
(3)在AB 上截取BF＝BM，利用(1)中所求，得出∠ECP＝ 135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可.
解：(1)如图 Z8-5，连接 OD，OC， ∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC. ∴四边形 DOCP 是正方形. ∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴DO＝CO＝DC·sin45°＝ 22×4＝2 2.
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角 形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决.
与圆有关的计算题 例1：(2015 年江苏无锡)已知：如图 Z8-1，AB 为⊙O 的直 径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积.
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∴BD＝ OB2＋OD2＝5 2 cm. (2)S 阴影＝S 扇形－S△OBD＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50 cm2 . [解题技巧]计算不规则图形面积时，注意运用已知规则图 形进行拼凑计算.
圆的性质与证明题 例 2：(2015 年湖北黄冈)已知：如图 Z8-2，在△ABC 中， AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N， 连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P. (1)求证：∠BCP＝∠BAN； (2)求证：MAMN＝CBPB.
[名师点评]本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质， 圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质， 综合的知识点较多，解此题的关键是熟练掌握定理.
圆的综合题 例 3：(2015 年广西桂林)四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方 形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点. (1)如图 Z8-3，求⊙O 的半径； (2)如图 Z8-3，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长 度；
专题八 圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容.它 综合直线、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的 综合性，对学生思维能力要求较高.这类试题通常借助圆的对称 性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其 是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、 圆锥等)的计算、作图、证明与探究.
(2)如图Z8-5，连接EO，OP. ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，则∠EOP＝90°， ∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4. ∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5.
图Z8-5
(3)证明：如图Z8-6，在AB 上截取BF＝BM.
图 Z8-6 ∵AB＝BC，BF＝BM， ∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°. ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM ＋∠AMF＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.
(1)证明：∵AC 为⊙O 直径，∴∠ANC＝90°. ∴∠NAC＋∠ACN＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠BAN＝∠CAN. ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP＝90°. ∴∠ACN＋∠PCB＝90°. ∴∠BCP＝∠CAN. ∴∠BCP＝∠BAN.
(2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知，∠BCห้องสมุดไป่ตู้＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA.
图 Z8-2
[思路分析](1)由 AC 为⊙O 直径，得到∠NAC＋∠ACN＝ 90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC 是⊙O 的切 线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°，于是得到结论.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接 四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即 可得到结论.
图 Z8-1
[思路分析](1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB＝90°，由 勾股定理求得 OB＝5 cm.连接OD，得到等腰直角三角形，根据 勾股定理即可得到结论；
(2)根据S阴影＝S扇形－S△OBD即可得到结论. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm， ∴AB＝10 cm，OB＝5 cm. 连接 OD.
∵由(1)得 PD＝PC，∠DPC＝90°， ∴∠DCP＝45°. ∴∠MCN＝135°. ∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°， ∴∠AFM＝∠MCN. 在△AFM 和△MCN 中，
∠FAM＝∠CMN， AF＝MC， ∠AFM＝∠MCN， ∴△AFM≌△CMN(ASA). ∴AM＝MN.
[名师点评]本题主要考查了圆的综合知识，全等三角形的 判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线 得出∠MCN＝135°是解题关键.
图 Z8-3
(3)如图 Z8-4，若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B，C)， 以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠AMN＝90°，交直线 CP于点 N，求证：AM＝MN.
图 Z8-4
[思路分析](1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得 出⊙O 的半径即可.
(2)利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE＝45°，进而利用勾 股定理得出即可.
(3)在AB 上截取BF＝BM，利用(1)中所求，得出∠ECP＝ 135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可.
解：(1)如图 Z8-5，连接 OD，OC， ∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC. ∴四边形 DOCP 是正方形. ∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴DO＝CO＝DC·sin45°＝ 22×4＝2 2.
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角 形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决.
与圆有关的计算题 例1：(2015 年江苏无锡)已知：如图 Z8-1，AB 为⊙O 的直 径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积.
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∴BD＝ OB2＋OD2＝5 2 cm. (2)S 阴影＝S 扇形－S△OBD＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50 cm2 . [解题技巧]计算不规则图形面积时，注意运用已知规则图 形进行拼凑计算.
圆的性质与证明题 例 2：(2015 年湖北黄冈)已知：如图 Z8-2，在△ABC 中， AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N， 连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P. (1)求证：∠BCP＝∠BAN； (2)求证：MAMN＝CBPB.