初三中考数学专题八 圆
中考数学几何模型专题专题八—圆
专题八圆性质相关模型模型35 圆周角定理模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到有三个点均在圆上,且三点之间或与圆心连线构成角时,常考虑用圆周角定理求角度2.用模型题中往往会结合三角形的内角和求角度或者结合已知需要构造出角结论分析结论:12ACB AOB ∠=∠证明：如图,连接CO并延长交于⨀O点D，,2,2=2,2+212OA OB OCCAO ACO OCB OBC AOD ACO CAO ACO BOD OCB OBC OCB ACB AO ACB AO B AOD BOD ACO OC B B ∠=∠==∴∠=∠∠=∠∠=∠+∠=∠∠=∠+∠=∠∠∴∠=∠+∠=∠∠∴，，.满分技法圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如ACB ∠ 圆心角:顶点在圆心的角,如AOB ∠.模型拓展满分技法圆周角的概念中,顶点在圆上和两边都与圆相交,这两个条件必须同时具备,缺一不可.拓展延伸命题“等弧所对的圆周角相等”是假命题,说等弧的时候一定要加上前提条件“在同圆或等圆中”.典例小试例1如图,AC为⨀O的直径,点B为⨀O⨀O上一点, （⨀ACB是AB所对的圆周角,⨀A0B是AB所对的圆心角），连接OB，BC，若⨀AOB=82°,则⨀OBC的度数为（）A.41°B.49°C.33°D. 36°考什么?圆的基本性质,等腰三角形思路点拨解决圆周角定理及其推论有关的试题,常常会碰见等腰三角形,他可是帮助你解题的重要人物噢!例2（2021牡丹江）如图,点A ,B ,C 为⨀O 上的三点，（⨀BAC 是BC 所对的圆周角⨀BOC 是BC 所对的圆心角）⨀AOB =13⨀BOC ，⨀BOC =30°，则⨀AOC 的度数为（ ）A .100°B . 90°C .80°D . 60°考什么?圆的基本性质,角的关系转换例3 (2021鞍山)如图，AB 为⨀O 的直径，（直径所对的圆周角为90°,可考虑连接AD 构直角）C 、D 为⨀O 上的两点，若⨀ABD ＝54°（直角三角形两锐角互余），则⨀C （⨀C 和⨀BAD 都是BD 所对的圆周角）的度数为（ ）例4如图, ⨀A 经过平面直角坐标系的原点O （∠BOC 为直角可想到连接BC ,得到BC 是OA 的直径）,交x 轴于点B (3,0),交y 轴于点C ,点D 为第一象限内圆上一点，若sin ∠BDO =３５（∠BDO 和∠OCB 都是OB 所对的圆周角）,则点C 的坐标是（ ）A.(0,5)B. (0,4)C. (0,92) D. (0,3)考什么?平面直角坐标系中点的坐标特征,圆的基本性质,解直角三角形思路点拨利用圆周角定理的推论找到与已知角相等的角,再通过解直角三角形求解.实战实演1. 如图,在⨀O中，弦CD与直径AB相交于点E,连接OC，BD，若∠ABD=25°，∠AED=85°,则∠COB的度数为( )A.80°B. 100°C.120°D. 140°2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C和点D，则ADCtan= .3.如图，在Rt△ABC中，⨀ABC=90°，⨀A=32°.点B，C在⨀O上，边AB，AC分别交⨀O于D，E两点，点B是CD的中点，则⨀ABE= °.4.如图，AB为⨀O的弦，D，C为ACB的三等分点，BE//AC交DC的延长线于点E.(1)求证:四边形ABEC为平行四边形;(2)若BC=3，BE=5，求DE的长.模型36 相交弦定理模型展现基础模型相交弦定理怎么用?1．找模型圆中两条弦相交于一点2.用模型圆中两条弦交于圆内一点,考虑相交弦定理结论分析结论：EDECEBEA⋅=⋅证明：如图，连接AC，BD.⨀ ⨀AEC=⨀DEB，⨀A=⨀D，⨀ ⨀AEC⨀⨀DEB，⨀EBECECEA=，⨀ EDECEBEA⋅=⋅拓展延伸此定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法,因此可结合“专题九相似三角形”巩固学习.模型拓展典例小试例 如图，在⨀O 中，弦AB ⨀弦CD 于点E （点拨：垂直也是相交），连接AD ，BC ，若AD =CD =5，DE CE 41=（点拨：可分别求出CE 和DE ），则弦AB （点拨：AB =AE +BE ）的长为（ ）A .4B .313C .314D .5 考什么?勾股定理,相似三角形的判定及性质 思路点拨遇见相交弦,一找相似三角形,二找已知线段，三列比例关系即可求解.实战实演1.如图,⨀ABC 内接于一圆中,点D 是BC 的中点,连接AD 交BC 于点E ，若CE =1，BE =3，AE =BD 的长为 .2.如图,正方形ABCD内接于⨀O，点E是对角线BD上的点，连接AE并延长交劣弧BC于点F，若OE=EF=1，则DEBE的值为.模型37 切割线定理模型展现基础模型 割线定理切割线定理怎么用? 1.找模型圆中一条弦和一条切线所在直线交于一点.2.用模型⨀圆中两条弦所在直线交于圆外一点,考虑割线定理;⨀一条弦和一条切线交圆外一点,考虑切割线定理. 结论分析结论1:EC ED EA EB •=• 证明:方法一:如图⨀,连接AD , BC . ⨀⨀E =⨀E ,⨀A =⨀C , ⨀∆AED ⨀∆CEB , ⨀EBEDEC EA =⨀EC ED EA EB •=•方法二:如图⨀,连接BD ,AC . ⨀A ,B ,C ,D 是 O 上的四个点， ⨀⨀C +⨀ABD = 180°⨀⨀ABD +⨀DBE = 180° ⨀⨀C =⨀DBE , ⨀⨀E =⨀E , ⨀⨀EBD ⨀⨀ECA , ⨀EAED=EC EB ⨀EC ED EA EB •=•拓展延伸这两个定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法，因此可结合“专题九相似三角 形”巩固学习。
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。
中考数学圆的复习
中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。
斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。
考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。
考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。
考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2023年人教版初中数学中考第八章 圆(基础)专题训练(一)打印版含答案
2023年人教版初中数学中考第八章 圆(基础)专题训练时间：45分钟 满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．已知⊙O 的直径为10，点P 到点O 的距离大于8，那么点P 的位置( )A ．一定在⊙O 的内部B ．一定在⊙O 的外部C ．一定在⊙O 上D ．不能确定2．如图，△ABC 内接于圆，弦BD 交AC 于点P ，连接AD .下列角中，AB ︵所对的圆周角是( )(第2题)A ．∠APBB ．∠ABDC ．∠ACBD ．∠BAC3．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是( ) A.π6 B ．π C.π3 D.2π34．如图，⊙O 的直径AB ＝8，弦CD ⊥AB 于点P ，若BP ＝2，则CD 的长为( )A ．2 5B ．4 2C ．4 3D ．8 2(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ACD＝65°，则∠BAD的度数为()A．25°B．30°C．35°D．40°6．如图，在⊙O中，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°7．如图，以边长为2的等边三角形ABC的顶点A为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交边AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是()A.3－π4B．23－πC.（6－π）33 D.3－π2 (第7题)(第8题)8．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是()A.12B．1 C.32D．2二、填空题(每题4分，共16分)9．已知圆的半径是3，则该圆的内接正六边形的边长是________．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝________°.(第10题)(第11题)11．如图，P A，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C＝70°，则∠P＝________°.12．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面展开图的面积为________．三、解答题(共32分)13．(10分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD 至点E.(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC.(第13题)14. (10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若sin ∠CAB＝35，⊙O的半径为522，求AB的长．(第14题)15．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC 与⊙O 相切于点D ，且⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F .(1)求证：AD 平分∠CAB ；(2)当AD ＝2，∠CAD ＝30°时，求AD ︵的长．(第15题)答案一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A 二、9.3 10.140 11.40 12.15π三、13.(1)证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.∵∠ADC ＋∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝∠ABC . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .∵∠ACB ＝∠ADB ，∴∠ADB ＝∠ADE .(2)解：如图，连接CO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ， 则∠FBC ＝90°.由题意得在Rt △BCF 中CF ＝4，BC ＝3，(第13题)∴sin F ＝BC CF ＝34.∵∠F ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin F ＝34.14．(1)证明：如图，连接OA .∵∠ABC ＝45°， ∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90°.∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＋∠AOC ＝180°，∴∠DAO ＝90°，即OA ⊥AD .又∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .由(1)知∠AOC ＝90°.∵AO ＝OC ＝522，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠CEB ＝90°，∴sin ∠CAB ＝CE AC ＝35， ∴CE ＝3，∴AE ＝AC 2－CE 2＝4.∵∠CEB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCE ＝45°， ∴CE ＝BE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝7.(第14题)15．(1)证明：如图，连接OD .∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，即∠ODB ＝90°.∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴∠ODA ＝∠CAD .∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠CAD ＝∠OAD ，∴AD 平分∠CAB .(2)解：如图，连接DE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∠OAD ＝∠ODA ＝∠CAD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴∠AOD ＝120°. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD cos ∠EAD ＝232＝43 3，∴⊙O 的半径为23 3， ∴AD ︵的长＝120π×23 3180＝49 3π.。
中考数学复习专题八：圆试题
中考数学复习专题8 圆创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角〔1〕圆周角；〔2〕如图，∠AOB=50度，那么∠〔3〕在上图中，假设AB是圆O的直径，那么∠AOB= 度；性：〔1〕圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．〔2〕垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E∴ = ，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：圆的半径r等于5厘米，点到圆心的间隔为d，〔1〕当d=2厘米时，有d r，点在圆〔2〕当d=7厘米时，有d r，点在圆〔3〕当d=5厘米时，有d r，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例2：圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的间隔为d，〔1〕当d=10厘米时，有d r，直线l与圆〔2〕当d=12厘米时，有d r，直线l与圆〔3〕当d=15厘米时，有d r，直线l与圆 5、圆与圆的位置关系：例3：⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，那么：R+r= ， R－r= ；〔1〕当d =14厘米时，因为d R+r ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 〔2〕当d =2厘米时， 因为d R －r ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 〔3〕当d =15厘米时，因为 ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 〔4〕当d =7厘米时， 因为 ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 〔5〕当d =1厘米时， 因为 ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 6、切线性质：例4：〔1〕如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，那么∠PAO= 度〔2〕如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点，那么 = ，∠ =∠ ；7、圆中的有关计算〔1〕弧长的计算公式：例5：假设扇形的圆心角为60°，半径为3，那么这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=()180 所以l =()180=(答案保存π)〔2〕扇形的面积：例6：①假设扇形的圆心角为60°，半径为3，那么这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积S=()360所以S=()360= (答案保存π)②假设扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，那么这个扇形的面积是多少？ 解：因为扇形的面积S= 所以S= = 〔3〕圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，那么圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点；例8：画出以下三角形的外心或者O B PAO BA C内心 〔1〕画三角形ABC 的内切圆， 〔2〕画出三角形DEF 的外接圆，并标出它的内心； 并标出它的外心二、练习：〔一〕填空题1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，那么AB的度数= 度，ACB 的度数等于 度；∠AOB＝ 度，∠AC B＝ 度， 2、如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，假设AB 、CA 、BC 的度数之比为1∶2∶3，那么∠AOB＝ ，∠AOC＝ ， ∠AC B ＝ ，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ，那么 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的间隔 OD=3，那么AD= ，AB 的长为 ；5、如图，⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝，那么OD= ㎝。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案
中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（ ）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（ ）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。
九年级中考数学考点分类复习——圆
中考数学考点分类复习——圆一、选择题1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内B.点P的⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )A．18° B．36° C．54° D．72°4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2B.22－2C.2－ 2D.2－15.如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60∘，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为( )A.12B.1 C.32D.26.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C.若∠ABO＝20°，则∠C 的度数是( )A.70°B.50°C.45°D.20°7.如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为( )A.2米B.22米 C.24米 D.28米8. 如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（）A.∠EAB=∠CB.∠B=90∘C.EF⊥ACD.AC是☉O的直径9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )A.10B.8 2C.413D.24110．如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，C 是AB ︵上任意一点，过C作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E .若△PDE 的周长为12，则PA 的长为( )A ．12B ．6C ．8D ．411.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ＝OB ，⊙O 的直径为6 cm ，AB ＝6 3 cm ，则阴影部分的面积为( )A.()93－π cm 2B.()93－2π cm 2C.()93－3π cm 2D.()93－4π cm 212. 一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是（ ）A.①B.③C.②D.④13.如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为( )A.23π－2 3B.23π－ 3C.43π－2 3D.43π－ 3 14. 如图，直线l 1 // l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60∘．下列结论错误的是（ ）A.MN =4√33B.l 1和l 2的距离为2C.若∠MON =90∘，则MN 与⊙O 相切D.若MN 与⊙O 相切，则AM =√315.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD.若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )A.πB.32π C.2π D.3π 二．填空题16.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为______．17. △ABC 中，∠C =90∘，AB =4cm ，BC =2cm ，以点A 为圆心，以3.4cm 的长为半径画圆，则点C 在⊙O ________，点B 在⊙O ________．18.扇形的半径是9 cm ，弧长是3π cm ，则此扇形的圆心角为 度.19.如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB ＝______．20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADF 的度数为 .21.如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝______度．22.如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上.若PA 的长为2，则△PEF 的周长是 .23.如图，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 .24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在弧BC 上(不与点B 、C 重合)，连结BE 、CE .若∠D ＝40°，则∠BEC ＝_______度．25.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为 .26. 如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为________．27. 如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BDC ＝45∘，∠BED ＝95∘，则∠C 的度数为________度．28．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F .已知∠A ＝110°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是______．29. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为√2，则BF的长为________．30. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=8cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．（取准确值）三、解答题31.如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．32. 如图所示，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，延长BA与DC的延长线相交于P点，若AB=2PC，∠P=36∘，求∠COD的度数．33.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，连接DE，AD＝BD，∠ADE＝120°.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若AC＝2，求图中阴影部分的面积.34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠BPD＝35，求⊙O的直径.35.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝13，求DE的长36.如图，已知⊙O的直径CD＝6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A 点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求AE的长.37.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tanC=25，DE=2，求AD 的长．38．已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D , 点B 在⊙O 上，连结OB .(1)求证：DE ＝OE ;(2)若AB ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．39.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.40. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G ．(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝2√3，求图中阴影部分的面积．41.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，PB 与CD 交于点F ，∠PBC=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．42.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．AH ，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过43.如图，点O是线段AH上一点，3点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若13OH AH =，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积； （3）若13NH AH =，54BN =，连接MN ，求OH 和MN 的长．44.已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图②，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．。
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(3)如图 Z8-4，若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B，C)， 以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠AMN＝90°，交直线 CP于点 N，求证：AM＝MN.
图 Z8-4
[思路分析](1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得 出⊙O 的半径即可.
(2)利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE＝45°，进而利用勾 股定理得出即可.
∴MAMN＝CBPB.
[名师点评]本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质， 圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质， 综合的知识点较多，解此题的关键是熟练掌握定理.
圆的综合题 例 3：(2015 年广西桂林)四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方 形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点. (1)如图 Z8-3，求⊙O 的半径； (2)如图 Z8-3，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长 度；
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角 形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决.
与圆有关的计算题 例1：(2015 年江苏无锡)已知：如图 Z8-1，AB 为⊙O 的直 径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积.
(2)如图Z8-5，连接EO，OP. ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，则∠EOP＝90°， ∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4. ∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5.
图Z8-5
(3)证明：如图Z8-6，在AB 上截取BF＝BM.
图 Z8-6 ∵AB＝BC，BF＝BM， ∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°. ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM ＋∠AMF＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.
(3)在AB 上截取BF＝BM，利用(1)中所求，得出∠ECP＝ 135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可.
解：(1)如图 Z8-5，连接 OD，OC， ∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC. ∴四边形 DOCP 是正方形. ∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴DO＝CO＝DC·sin45°＝ 22×4＝2 2.
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∴BD＝ OB2＋OD2＝5 2 cm. (2)S 阴影＝S 扇形－S△OBD＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50 cm2 . [解题技巧]计算不规则图形面积时，注意运用已知规则图 形进行拼凑计算.
圆的性质与证明题 例 2：(2015 年湖北黄冈)已知：如图 Z8-2，在△ABC 中， AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N， 连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P. (1)求证：∠BCP＝∠BAN； (2)求证：MAMN＝CBPB.
专题八 圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容.它 综合直线、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的 综合性，对学生思维能力要求较高.这类试题通常借助圆的对称 性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其 是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、 圆锥等)的计算、作图、证明与探究.
(1)证明：∵AC 为⊙O 直径，∴∠ANC＝90°. ∴∠NAC＋∠ACN＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠BAN＝∠CAN. ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP＝90°. ∴∠ACN＋∠PCB＝90°. ∴∠BCP＝∠CAN. ∴∠BCP＝∠BAN.
(2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知，∠BCP＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA.
∵由(1)得 PD＝PC，∠DPC＝90°， ∴∠DCP＝45°. ∴∠MCN＝135°. ∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°， ∴∠AFM＝∠MCN. 在△AFM 和△MCN 中，
∠FAM＝∠CMN， AF＝MC， ∠AFM＝∠MCN， ∴△AFM≌△CMN(ASA). ∴AM＝MN.
[名师点评]本题主要考查了圆的综合知识，全等三角形的 判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线 得出∠MCN＝135°是解题关键.
图 Z8-1
[思路分析](1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB＝90°，由 勾股定理求得 OB＝5 cm.连接OD，得到等腰直角三角形，根据 勾股定理即可得到结论；
(2)根据S阴影＝S扇形－S△OBD即可得到结论. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm， ∴AB＝10 cm，OB＝5 cm. 连接 OD.
图 Z8-2
[思路分析](1)由 AC 为⊙O 直径，得到∠NAC＋∠ACN＝ 90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC 是⊙O 的切 线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°，于是得到结论.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接 四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即 可得到结论.