初三中考数学专题八圆

合集下载

中考数学几何模型专题专题八—圆

专题八圆性质相关模型模型35 圆周角定理模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到有三个点均在圆上,且三点之间或与圆心连线构成角时,常考虑用圆周角定理求角度2.用模型题中往往会结合三角形的内角和求角度或者结合已知需要构造出角结论分析结论:12ACB AOB ∠=∠证明：如图,连接CO并延长交于⨀O点D，,2,2=2,2+212OA OB OCCAO ACO OCB OBC AOD ACO CAO ACO BOD OCB OBC OCB ACB AO ACB AO B AOD BOD ACO OC B B ∠=∠==∴∠=∠∠=∠∠=∠+∠=∠∠=∠+∠=∠∠∴∠=∠+∠=∠∠∴，，.满分技法圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如ACB ∠ 圆心角:顶点在圆心的角,如AOB ∠.模型拓展满分技法圆周角的概念中,顶点在圆上和两边都与圆相交,这两个条件必须同时具备,缺一不可.拓展延伸命题“等弧所对的圆周角相等”是假命题,说等弧的时候一定要加上前提条件“在同圆或等圆中”.典例小试例1如图,AC为⨀O的直径,点B为⨀O⨀O上一点, （⨀ACB是AB所对的圆周角,⨀A0B是AB所对的圆心角），连接OB，BC，若⨀AOB=82°,则⨀OBC的度数为（）A.41°B.49°C.33°D. 36°考什么?圆的基本性质,等腰三角形思路点拨解决圆周角定理及其推论有关的试题,常常会碰见等腰三角形,他可是帮助你解题的重要人物噢!例2（2021牡丹江）如图,点A ,B ,C 为⨀O 上的三点，（⨀BAC 是BC 所对的圆周角⨀BOC 是BC 所对的圆心角）⨀AOB =13⨀BOC ，⨀BOC =30°，则⨀AOC 的度数为（）A .100°B . 90°C .80°D . 60°考什么?圆的基本性质,角的关系转换例3 (2021鞍山)如图，AB 为⨀O 的直径，（直径所对的圆周角为90°,可考虑连接AD 构直角）C 、D 为⨀O 上的两点，若⨀ABD ＝54°（直角三角形两锐角互余），则⨀C （⨀C 和⨀BAD 都是BD 所对的圆周角）的度数为（）例4如图, ⨀A 经过平面直角坐标系的原点O （∠BOC 为直角可想到连接BC ,得到BC 是OA 的直径）,交x 轴于点B (3,0),交y 轴于点C ,点D 为第一象限内圆上一点，若sin ∠BDO =３５（∠BDO 和∠OCB 都是OB 所对的圆周角）,则点C 的坐标是（）A.(0,5)B. (0,4)C. (0,92) D. (0,3)考什么?平面直角坐标系中点的坐标特征,圆的基本性质,解直角三角形思路点拨利用圆周角定理的推论找到与已知角相等的角,再通过解直角三角形求解.实战实演1. 如图,在⨀O中，弦CD与直径AB相交于点E,连接OC，BD，若∠ABD=25°，∠AED=85°,则∠COB的度数为( )A.80°B. 100°C.120°D. 140°2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C和点D，则ADCtan= .3.如图，在Rt△ABC中，⨀ABC=90°，⨀A=32°.点B，C在⨀O上，边AB，AC分别交⨀O于D，E两点，点B是CD的中点，则⨀ABE= °.4.如图，AB为⨀O的弦，D，C为ACB的三等分点，BE//AC交DC的延长线于点E.(1)求证:四边形ABEC为平行四边形;(2)若BC=3，BE=5，求DE的长.模型36 相交弦定理模型展现基础模型相交弦定理怎么用?1．找模型圆中两条弦相交于一点2.用模型圆中两条弦交于圆内一点,考虑相交弦定理结论分析结论：EDECEBEA⋅=⋅证明：如图，连接AC，BD.⨀ ⨀AEC=⨀DEB，⨀A=⨀D，⨀ ⨀AEC⨀⨀DEB，⨀EBECECEA=，⨀ EDECEBEA⋅=⋅拓展延伸此定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法,因此可结合“专题九相似三角形”巩固学习.模型拓展典例小试例如图，在⨀O 中，弦AB ⨀弦CD 于点E （点拨：垂直也是相交），连接AD ，BC ，若AD =CD =5，DE CE 41=（点拨：可分别求出CE 和DE ），则弦AB （点拨：AB =AE +BE ）的长为（）A .4B .313C .314D .5 考什么?勾股定理,相似三角形的判定及性质思路点拨遇见相交弦,一找相似三角形,二找已知线段，三列比例关系即可求解.实战实演1.如图,⨀ABC 内接于一圆中,点D 是BC 的中点,连接AD 交BC 于点E ，若CE =1，BE =3，AE =BD 的长为 .2.如图,正方形ABCD内接于⨀O，点E是对角线BD上的点，连接AE并延长交劣弧BC于点F，若OE=EF=1，则DEBE的值为.模型37 切割线定理模型展现基础模型割线定理切割线定理怎么用? 1.找模型圆中一条弦和一条切线所在直线交于一点.2.用模型⨀圆中两条弦所在直线交于圆外一点,考虑割线定理;⨀一条弦和一条切线交圆外一点,考虑切割线定理. 结论分析结论1:EC ED EA EB •=• 证明:方法一:如图⨀,连接AD , BC . ⨀⨀E =⨀E ,⨀A =⨀C , ⨀∆AED ⨀∆CEB , ⨀EBEDEC EA =⨀EC ED EA EB •=•方法二:如图⨀,连接BD ,AC . ⨀A ,B ,C ,D 是 O 上的四个点， ⨀⨀C +⨀ABD = 180°⨀⨀ABD +⨀DBE = 180° ⨀⨀C =⨀DBE , ⨀⨀E =⨀E , ⨀⨀EBD ⨀⨀ECA , ⨀EAED=EC EB ⨀EC ED EA EB •=•拓展延伸这两个定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法，因此可结合“专题九相似三角形”巩固学习。

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。

中考数学圆的复习

中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。

斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。

考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。

考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。

考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。

考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2023年人教版初中数学中考第八章圆(基础)专题训练(一)打印版含答案

2023年人教版初中数学中考第八章圆(基础)专题训练时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．已知⊙O 的直径为10，点P 到点O 的距离大于8，那么点P 的位置( )A ．一定在⊙O 的内部B ．一定在⊙O 的外部C ．一定在⊙O 上D ．不能确定2．如图，△ABC 内接于圆，弦BD 交AC 于点P ，连接AD .下列角中，AB ︵所对的圆周角是( )(第2题)A ．∠APBB ．∠ABDC ．∠ACBD ．∠BAC3．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是( ) A.π6 B ．π C.π3 D.2π34．如图，⊙O 的直径AB ＝8，弦CD ⊥AB 于点P ，若BP ＝2，则CD 的长为( )A ．2 5B ．4 2C ．4 3D ．8 2(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ACD＝65°，则∠BAD的度数为()A．25°B．30°C．35°D．40°6．如图，在⊙O中，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°7．如图，以边长为2的等边三角形ABC的顶点A为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交边AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是()A.3－π4B．23－πC.（6－π）33 D.3－π2 (第7题)(第8题)8．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是()A.12B．1 C.32D．2二、填空题(每题4分，共16分)9．已知圆的半径是3，则该圆的内接正六边形的边长是________．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝________°.(第10题)(第11题)11．如图，P A，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C＝70°，则∠P＝________°.12．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面展开图的面积为________．三、解答题(共32分)13．(10分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD 至点E.(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC.(第13题)14. (10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若sin ∠CAB＝35，⊙O的半径为522，求AB的长．(第14题)15．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC 与⊙O 相切于点D ，且⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F .(1)求证：AD 平分∠CAB ；(2)当AD ＝2，∠CAD ＝30°时，求AD ︵的长．(第15题)答案一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A 二、9.3 10.140 11.40 12.15π三、13.(1)证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.∵∠ADC ＋∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝∠ABC . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .∵∠ACB ＝∠ADB ，∴∠ADB ＝∠ADE .(2)解：如图，连接CO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，则∠FBC ＝90°.由题意得在Rt △BCF 中CF ＝4，BC ＝3，(第13题)∴sin F ＝BC CF ＝34.∵∠F ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin F ＝34.14．(1)证明：如图，连接OA .∵∠ABC ＝45°， ∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90°.∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＋∠AOC ＝180°，∴∠DAO ＝90°，即OA ⊥AD .又∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .由(1)知∠AOC ＝90°.∵AO ＝OC ＝522，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠CEB ＝90°，∴sin ∠CAB ＝CE AC ＝35， ∴CE ＝3，∴AE ＝AC 2－CE 2＝4.∵∠CEB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCE ＝45°， ∴CE ＝BE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝7.(第14题)15．(1)证明：如图，连接OD .∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，即∠ODB ＝90°.∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴∠ODA ＝∠CAD .∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠CAD ＝∠OAD ，∴AD 平分∠CAB .(2)解：如图，连接DE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∠OAD ＝∠ODA ＝∠CAD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴∠AOD ＝120°. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD cos ∠EAD ＝232＝43 3，∴⊙O 的半径为23 3， ∴AD ︵的长＝120π×23 3180＝49 3π.。

中考数学复习专题八：圆试题

中考数学复习专题8 圆创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角〔1〕圆周角；〔2〕如图，∠AOB=50度，那么∠〔3〕在上图中，假设AB是圆O的直径，那么∠AOB= 度；性：〔1〕圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．〔2〕垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E∴ = ，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：圆的半径r等于5厘米，点到圆心的间隔为d，〔1〕当d=2厘米时，有d r，点在圆〔2〕当d=7厘米时，有d r，点在圆〔3〕当d=5厘米时，有d r，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例2：圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的间隔为d，〔1〕当d=10厘米时，有d r，直线l与圆〔2〕当d=12厘米时，有d r，直线l与圆〔3〕当d=15厘米时，有d r，直线l与圆 5、圆与圆的位置关系：例3：⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，那么：R+r= ， R－r= ；〔1〕当d =14厘米时，因为d R+r ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是：〔2〕当d =2厘米时，因为d R －r ，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是：〔3〕当d =15厘米时，因为，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是：〔4〕当d =7厘米时，因为，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是：〔5〕当d =1厘米时，因为，那么⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 6、切线性质：例4：〔1〕如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，那么∠PAO= 度〔2〕如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点，那么 = ，∠ =∠ ；7、圆中的有关计算〔1〕弧长的计算公式：例5：假设扇形的圆心角为60°，半径为3，那么这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=()180 所以l =()180=(答案保存π)〔2〕扇形的面积：例6：①假设扇形的圆心角为60°，半径为3，那么这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积S=()360所以S=()360= (答案保存π)②假设扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，那么这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积S= 所以S= = 〔3〕圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，那么圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；例8：画出以下三角形的外心或者O B PAO BA C内心〔1〕画三角形ABC 的内切圆，〔2〕画出三角形DEF 的外接圆，并标出它的内心；并标出它的外心二、练习：〔一〕填空题1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，那么AB的度数= 度，ACB 的度数等于度；∠AOB＝度，∠AC B＝度， 2、如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，假设AB 、CA 、BC 的度数之比为1∶2∶3，那么∠AOB＝，∠AOC＝， ∠AC B ＝，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ，那么 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的间隔 OD=3，那么AD= ，AB 的长为；5、如图，⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝，那么OD= ㎝。

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

九年级中考数学考点分类复习——圆

中考数学考点分类复习——圆一、选择题1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内B.点P的⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )A．18° B．36° C．54° D．72°4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2B.22－2C.2－ 2D.2－15.如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60∘，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为( )A.12B.1 C.32D.26.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C.若∠ABO＝20°，则∠C 的度数是( )A.70°B.50°C.45°D.20°7.如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为( )A.2米B.22米 C.24米 D.28米8. 如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（）A.∠EAB=∠CB.∠B=90∘C.EF⊥ACD.AC是☉O的直径9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )A.10B.8 2C.413D.24110．如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，C 是AB ︵上任意一点，过C作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E .若△PDE 的周长为12，则PA 的长为( )A ．12B ．6C ．8D ．411.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ＝OB ，⊙O 的直径为6 cm ，AB ＝6 3 cm ，则阴影部分的面积为( )A.()93－π cm 2B.()93－2π cm 2C.()93－3π cm 2D.()93－4π cm 212. 一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是（）A.①B.③C.②D.④13.如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为( )A.23π－2 3B.23π－ 3C.43π－2 3D.43π－ 3 14. 如图，直线l 1 // l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60∘．下列结论错误的是（）A.MN =4√33B.l 1和l 2的距离为2C.若∠MON =90∘，则MN 与⊙O 相切D.若MN 与⊙O 相切，则AM =√315.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD.若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )A.πB.32π C.2π D.3π 二．填空题16.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为______．17. △ABC 中，∠C =90∘，AB =4cm ，BC =2cm ，以点A 为圆心，以3.4cm 的长为半径画圆，则点C 在⊙O ________，点B 在⊙O ________．18.扇形的半径是9 cm ，弧长是3π cm ，则此扇形的圆心角为度.19.如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB ＝______．20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADF 的度数为 .21.如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝______度．22.如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上.若PA 的长为2，则△PEF 的周长是 .23.如图，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 .24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在弧BC 上(不与点B 、C 重合)，连结BE 、CE .若∠D ＝40°，则∠BEC ＝_______度．25.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为 .26. 如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为________．27. 如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BDC ＝45∘，∠BED ＝95∘，则∠C 的度数为________度．28．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F .已知∠A ＝110°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是______．29. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为√2，则BF的长为________．30. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=8cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．（取准确值）三、解答题31.如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．32. 如图所示，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，延长BA与DC的延长线相交于P点，若AB=2PC，∠P=36∘，求∠COD的度数．33.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，连接DE，AD＝BD，∠ADE＝120°.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若AC＝2，求图中阴影部分的面积.34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠BPD＝35，求⊙O的直径.35.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝13，求DE的长36.如图，已知⊙O的直径CD＝6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A 点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求AE的长.37.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tanC=25，DE=2，求AD 的长．38．已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D , 点B 在⊙O 上，连结OB .(1)求证：DE ＝OE ;(2)若AB ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．39.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.40. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G ．(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝2√3，求图中阴影部分的面积．41.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，PB 与CD 交于点F ，∠PBC=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．42.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．AH ，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过43.如图，点O是线段AH上一点，3点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若13OH AH =，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积；（3）若13NH AH =，54BN =，连接MN ，求OH 和MN 的长．44.已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．。

2021年江苏省各市中考数学试题真题汇编——专题8圆

2021年江苏省中考数学试题分类——专题8圆一．选择题（共5小题）1．（2021•镇江）如图，∠BAC ＝36°，点O 在边AB 上，⊙O 与边AC 相切于点D ，交边AB 于点E ，F ，连接FD ，则∠AFD 等于（）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°2．（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r +l ＝6，这样的圆锥的侧面积（）A ．有最大值94πB ．有最小值94πC ．有最大值92πD ．有最小值92π 3．（2021•徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍4．（2021•常州）如图，BC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，若∠AOC ＝60°，则∠OAB 的度数是（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°5．（2021•连云港）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN ＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（共15小题）6．（2021•淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠CAB ＝55°，则∠D 的度数是．7．（2021•淮安）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是．8．（2021•南通）圆锥的母线长为2cm ，底面圆的半径长为1cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2．9．（2021•南通）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC延长线于点D ，过点C 作CE ∥AB ，交BD ̂于点E ，连接BE ，则CE BE 的值为．10．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，5），⊙A 与x 轴相切，点P 在y 轴正半轴上，PB 与⊙A 相切于点B ．若∠APB ＝30°，则点P 的坐标为．11．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝°．12．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为cm．13．（2021•无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．14．（2021•盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝°．15．（2021•盐城）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为．16．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别̂的中点，则∠ABE＝．交⊙O于D、E两点，点B是CD17．（2021•宿迁）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为．̂的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则18．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是AB⊙O的半径为cm．19．（2021•南京）如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．20．（2021•泰州）扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为cm．三．解答题（共12小题）21．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．22．（2021•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE=52，求⊙O的直径．23．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．（1）求∠B的度数；（2）若AB＝2，求EĈ的长．24．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为BĈ上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：∠OAD＝60°；②求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．25．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：（1）△AOE≌△CDE；（2）四边形OBCD是菱形．26．（2021•宿迁）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知tan∠ODC=247，AB＝40，求⊙O的半径．27．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？̂的长为4πcm．在图（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为（用含l，h的代数式表示）．̂的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A②设AD爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．28．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．29．（2021•苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：①求a的值；②求图③中线段PN所在直线的解析式．30．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2√3，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．31．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=4 3．①线段PB长的最小值为；②若S△PCD=23S△P AD，则线段PD长为．32．（2021•连云港）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：AD是⊙C的切线；（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．2021年江苏省中考数学试题分类——专题8圆参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：连接OD ，∵⊙O 与边AC 相切于点D ，∴∠ADO ＝90°，∵∠BAC ＝36°，∴∠AOD ＝90°﹣36°＝54°，∴∠AFD =12∠AOD =12×54°＝27°，故选：A ．2．【解答】解：∵2r +l ＝6，∴l ＝6﹣2r ，∴圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝πr （6﹣2r ）＝﹣2π（r 2﹣3r ）＝﹣2π[（r −32）2−94]＝﹣2π（r −32）2+92π， ∴当r =32时，S 侧有最大值92π．故选：C ．3．【解答】解：设AB ＝6a ，因为CD ：AB ＝1：3，所以CD ＝2a ，OA ＝3a ，因此正方形的面积为12CD •CD ＝2a 2，圆的面积为π×（3a ）2＝9πa 2，所以圆的面积是正方形面积的9πa 2÷（2a 2）≈14（倍），故选：B ．4．【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠B=12∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，故选：C．5．【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为√2，则BD＝2√2=AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A=√(2√2)2+12=3，则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，故选：B．二．填空题（共15小题）6．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠D＝∠B＝35°．故答案为：35°．7．【解答】解：底面半径为3，则底面周长＝6π，设圆锥的母线长为x，圆锥的侧面积=12×6πx＝18π．解得：x＝6，故答案为：6．8．【解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，故答案为：2π．9．【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵CE∥AB，∴∠F AB＝90°，∴∠F AC＝45°，∴△AFC为等腰直角三角形，设AF＝x，则CF＝x，∴AC=√AF2+CF2=√2x，∴AB=√AC2+BC2=√2AC=2x，∵AE、AB均为⊙的半径，∴AE＝2x，∴EF=√AE2−AF2=√3x，∴CE=(√3−1)x，∴四边形F AGE 为矩形，∴AF ＝EG ＝x ，EF ＝AG =√3x ，∴BG ＝AB ﹣AG ＝（2−√3）x ，∴BE =√EG 2+BG 2=(√6−√2)x ，∴CE BE =√3−1√6−√2=√22．故答案为：√22． 10．【解答】解：过点A 分别作AC ⊥x 轴于点C 、AD ⊥y 轴于点D ，连接AB ，如图，∵AD ⊥y 轴，AC ⊥x 轴，∴四边形ADOC 为矩形，∴AC ＝OD ，OC ＝AD ，∵⊙A 与x 轴相切，∴AC 为⊙A 的半径，∵点A 坐标为（8，5），∴AC ＝OD ＝5，OC ＝AD ＝8，∵PB 是切线，∴AB ⊥PB ，∵∠APB ＝30°，∴P A ＝2AB ＝10，在Rt △P AD 中，根据勾股定理得，PD =√PA 2−AD 2=√102−82=6，∴OP ＝PD +DO ＝11，∵点P 在y 轴上，∴点P 坐标为（0，11）．故答案为：（0，11）．11．【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠B ＝∠ADC ＝58°，∴∠BAC ＝90°﹣∠B ＝32°．故答案为32．12．【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm ，∴扇形的弧长为90π×8180=4π，设圆锥的底面半径为rcm ，则2πr ＝4π，解得：r ＝2，故答案为2．13．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得2πr =120π×50180，解得r =503．故答案为：503．14．【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．15．【解答】解：该圆锥的侧面积＝π×2×3＝6π．故答案为6π．16．【解答】解：如图，连接DC ，∵∠DBC ＝90°，∴DC 是⊙O 的直径，∵点B是CD̂的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．17．【解答】解：设圆锥的母线长为R，∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，∴120π×R180=8π，解得：R＝12，∴圆锥的侧面展开图面积=120π×122360=48π，故答案为：48π．18．【解答】解：如图，连接OA，∵C是AB̂的中点，∴D是弦AB的中点，∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，∵OA＝OC，CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，在Rt△OAD中，OA 2＝AD 2+OD 2，即OA 2＝16+（OA ﹣2）2，解得OA ＝5，故答案为：5．19．【解答】解：如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD 和OE ，∵F A ，GB ，HC ，ID ，JE 是五边形ABCDE 的外接圆的切线，∴∠OAF ＝∠OBG ＝∠OCH ＝∠ODI ＝∠OEJ ＝90°，即（∠BAF +∠OAB ）+（∠CBG +∠OBC ）+（∠DCH +∠OCD ）+（∠EDI +∠ODE ）+（∠AEJ +∠OEA ）＝90°×5＝450°，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠OBC ＝∠OCB ，∠OCD ＝∠ODC ，∠ODE ＝∠OED ，OEA ＝∠OAE ，∴∠OAB +∠OBC +∠OCD +∠ODE +∠OEA =12×五边形ABCDE 内角和=12×(5−2)×180°=270°， ∴∠BAF +∠CBG +∠DCH +∠EDI +∠AEJ ＝（∠BAF +∠OAB ）+（∠CBG +∠OBC ）+（∠DCH +∠OCD ）+（∠EDI +∠ODE ）+（∠AEJ +∠OEA ）﹣（∠OAB +∠OBC +∠OCD +∠ODE +∠OEA ）＝450°﹣270°＝180°，故答案为：180．20．【解答】解：由题意得，扇形的半径为8cm ，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：45π×8180=2π（cm ），故答案为：2π三．解答题（共12小题）21．【解答】解：（1）如图1﹣1中，连接AP ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，交CD 于E ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，∴AP是直径，∴AP=√AB2+BP2=√42+32=5，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵OA＝OP，AH＝HB，∴OH=12PB=32，∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，∴OE＝EH﹣OH＝4−32=52，∴OE＝OP，∴直线CD与⊙O相切．（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，∴△ADE≌△TCE（ASA），∴AD＝CT＝4，∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，∵∠ABT＝90°，∴AT=√AB2+BT2=√42+82=4√5，∵AP是直径，∴∠AQP＝90°，∵P A平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，∴PB＝PQ，设PB＝PQ＝x，∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，∴12×4×8=12×4√5×x+12×4×x，∴x＝2√5−2，∴tan∠EAP＝tan∠P AB=PBAB=√5−12．22．【解答】（1）证明：连接DO，如图，∵直径所对圆周角，∴∠ADC ＝90°，∴∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ，∴∠EDC ＝∠ECD ，又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠EDC +∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD 且OD 为半径，∴DE 与⊙O 相切；（2）由（1）得，∠CDB ＝90°， ∵CE ＝EB ，∴DE =12BC ，∴BC ＝5，∴BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4， ∵∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△BCA ∽△BDC ，∴AC CD =BC BD ， ∴AC 3=54，∴AC =154，∴⊙O 直径的长为154．23．【解答】解：（1）连接OC ，如图，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∵AE ⊥CD ，∴OC ∥AE ，∴∠CAD ＝∠OCA ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠CAD ＝∠OAC ＝35°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠OAC +∠B ＝90°，∴∠B ＝90°﹣∠OAC ＝90°﹣35°＝55°；（2）连接OE ，∵⊙O 的直径AB ＝2，∴OA ＝1，∵CÊ=CE ̂， ∴∠COE ＝2∠CAE ＝2×35°＝70°，∴EC ̂的长为：70π⋅1180=7π18．24．【解答】解：（1）①连接OD ，如图：∵m＝3即PB＝3，AP＝1，∴AB＝AP+PB＝4，∴OA＝OD=12AB＝2，∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，∴P是OA中点，又CD⊥AB，∴CD是OA的垂直平分线，∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°；②连接AQ，如图：∵AB是⊙O直径，∴∠AQB＝90°，∵AH⊥DQ，∴∠AHD＝90°，∴∠AQB＝∠AHD，∵AQ̂=AQ̂，∴∠ADH＝∠ABQ，∴△ADH∽△ABQ，∴BQDH=ABAD，由①知：AB＝4，AD＝2，∴BQDH=2；（2）连接AQ、BD，如图：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠APD，又∠P AD＝∠DAB，∴△APD∽△ADB，∴ADAB=APAD，∵AP＝1，PB＝m，∴AB＝1+m，AD1+m =1AD，∴AD=√1+m，与（1）中②同理，可得：BQDH =ABAD，∴BQDH=√1+m=√1+m；（3）由（2）得BQDH=√1+m，∴BQ=√1+m•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：∵AB ⊥CD ，OA ＝OD ＝1，∴△AOD 是等腰直角三角形，∴∠OAD ＝45°，∵BD̂=BD ̂， ∴∠BQD ＝45°，故存在半径为1的⊙O ，对Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2是定值1，此时∠BQD 为45°．25．【解答】证明：（1）在△AOE 和△CDE 中，{AE =CE ∠AEO =∠CED OE =DE，∴△AOE ≌△CDE （SAS ）；（2）∵△AOE ≌△CDE ，∴OA ＝CD ，∠AOE ＝∠D ，∴OB ∥CD ，∴四边形OBCD 为平行四边形，∵OB ＝OD ，∴四边形OBCD 是菱形．26．【解答】解：（1）直线CD 与⊙O 相切，理由如下：如图，连接OC ，∵OA＝OC，CD＝BD，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切；（2）∵tan∠ODC=247=OCCD，∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，∵∠OCD＝90°，∴OD=√OC2+CD2=√49x2+576x2=25x，∴OB＝32x，∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+OB2，∴1600＝576x2+1024x2，∴x＝1，∴OA＝OC＝24，∴⊙O的半径为24．27．【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．∵AĈ的长＝4π，∴nπ⋅12 180°=4π，∴∠COA ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∵OB ＝BC ＝6，∴AB ⊥OC ，∴AB =√OA 2−OB 2=√122−62=6√3．最短的路径是线段AB ，最短路径的长为6√3．（2）①蚂蚁从点A 爬行到点O 的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h +l ．故答案为：h +l ．②蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB ，思路：Ⅰ、过点O 作OF ⊥AD 于F ，交AB 于G ，此时，点G 在扇形的弧上，Ⅱ、设CG ＝x ，则C ′G ̂的长为x ，进而求出∠BOG 的度数，Ⅲ、再过点B 作BE ⊥OF 于E ，用三角函数求出OE ，BE ，得出FH ，即可求出AH ， Ⅳ、求出EF ，进而求出BH ，Ⅶ、在Rt △ABH 中，利用勾股定理建立AB 关于x 的方程，求解最小值．28．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＝∠DCE ，∴AD̂=DC ̂， ∴AD ＝DC ，在△ABD 和△DCE 中，{AB =CE ∠A =∠DCE AD =DC，∴△ABD ≌△CED （SAS ），∴BD ＝ED ；（2）解：过点D 作DM ⊥BE 于M ，∵AB ＝4，BC ＝6，CE ＝AB ，∴BE ＝BC +EC ＝10，∵BD ＝ED ，DM ⊥BE ，∴BM ＝ME =12BE ＝5，∴CM ＝BC ﹣BM ＝1，∵∠ABC ＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM ＝BM •tan ∠2＝5×√33=5√33， ∴tan ∠DCB =DM CM =5√33．29．【解答】解：（1）如图②中，连接FH ，∵正方形ABCD 外切于一个半径为5米的圆O ，∴AB ＝10米，∴容器甲的容积＝102×6＝600（立方米），∵∠FEH ＝90°，∴FH 为直径，在Rt △EFH 中，EF ＝2EH ，FH ＝10米，∴EH 2+4EH 2＝100，∴EH ＝2√5（米），EF ＝4√5（米），∴容器乙的容积＝2√5×4√5×6＝240（立方米）．（2）①当t ＝4时，h =4×2540−4×25100=1.5，∵MN ∥t 轴，∴M （4，1.5），N （6，1.5），∵6小时后的高度差为1.5米，∴25×640−25×6+2a 100=1.5，解得a ＝37.5．②当注水t 小时后，由h 乙﹣h 甲＝0，可得25t 40−25t+(t−4)×37.5+(t−6)×50100=0，解得t ＝9，即P （9，0），设线段PN 所在的直线的解析式为h ＝kt +m ，∵N （6，1.5），P （9，0）在直线PN 上，∴{6k +m =1.59k +m =0，解得{k =−12m =92， ∴线段PN 所在的直线的解析式为h =−12t +92．30．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ， ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴∠ADB ＝∠CDB ．在△ABD 和△FBD 中，{∠ADB =∠FDB∠BAD =∠BFD BD =BD，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF ＝BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与⊙B 相切；（2）∵∠BCD ＝60°，CB ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD ＝∠DBF ＝∠CBF ＝30°，∴∠ABF ＝60°，∵AB ＝BF =2√3，∴AD ＝DF ＝AB ·tan30°＝2，∴阴影部分的面积＝S △ABD ﹣S 扇形ABE=12×2√3×2−30×π×(2√3)2360=2√3−π．31．【解答】解：（1）①设O 为圆心，连接BO ，CO ， ∵∠BCA ＝30°，∴∠BOC ＝60°，又OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝2，即半径为2；②∵△ABC 以BC 为底边，BC ＝2，∴当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ， ∴BE ＝CE ＝1，DO ＝BO ＝2，∴OE =√BO 2−BE 2=√3，∴DE =√3+2，∴△ABC 的最大面积为12×2×(√3+2)=√3+2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，∵点D 在圆上，∴∠BDC ＝∠BAC ，∵∠BA ′C ＝∠BDC +∠A ′CD ，∴∠BA ′C ＞∠BDC ，∴∠BA ′C ＞∠BAC ，即∠BA ′C ＞30°；（3）①如图，当点P 在BC 上，且PC =32时，∵∠PCD ＝90°，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，∴tan ∠DPC =CD PC =43，为定值，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆， ∴当点P 在优弧CPD 上时，tan ∠DPC =43，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，此时BP ′即为BP 的最小值，过点Q 作QE ⊥BE ，垂足为E ， ∵点Q 是PD 中点，∴点E 为PC 中点，即QE =12CD ＝1，PE ＝CE =12PC =34， ∴BE ＝BC ﹣CE ＝3−34=94，∴BQ =√BE 2+QE 2=√974，∵PD =√CD 2+PC 2=52，∴圆Q 的半径为12×52=54， ∴BP ′＝BQ ﹣P ′Q =√97−54，即BP 的最小值为√97−54；②∵AD ＝3，CD ＝2，S △PCD =23S △P AD ，则CD AD =23， ∴△P AD 中AD 边上的高＝△PCD 中CD 边上的高，即点P 到AD 的距离和点P 到CD 的距离相等，则点P 到AD 和CD 的距离相等，即点P 在∠ADC 的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，∴CF＝DF=2√2=√2，∵tan∠DPC=CFPF=43，∴PF=3√2 4，∴PD＝DF+PF=√2+3√24=7√24．32．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．又∵AB＝AD，AC＝AC，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴CD⊥AD，即AD是⊙C的切线；（2）解：由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，又∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA．∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，∴S△EDC：S△EBA＝1：2，∴DC：BA＝1：√2．∵DC＝CB，∴CB：BA＝1：√2．∴tan∠BAC=CBBA=√22．。

初中数学中考圆的知识点-初三数学圆知识点

初中数学中考圆的知识点:初三数学圆知识点
圆的知识：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：
(1)如定义(1)中，该定点为圆心
(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)

（2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，若 PC＝4 ，PB＝4，求 GH 的长．
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若＝，则
＝．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC．（1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求的值．

2023年中考数学几何专题：圆(含答案)

2023中考数学几何专题：圆（含答案）1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝12BD ＝1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________.5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )A ．50B ．32C ．5 2D ．4 2第4题图第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧BC 上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；②111AP PB PC=+；③P A ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（）第3题图第2题图第1题图AACDABAA ．35°B ．60°C ．65°D ．70°第7题图第8题图第9题图9. 如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AC 交BD 于点E .求证：(1)AD DEBD AD； (2) AD ·CD －AE ·EC ＝DE 2；10. 如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 交于点E ，且AB 2＝AE •AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积.11. 如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3. 设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积.ACBBC12. 如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1) 求证：△ACE ∽△BDE ； (2) 求证：BD ＝DE ； (3) 设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）13.如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中，∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上. (1) 证明：B ，C ，E 三点共线；(2) 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3) 将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D 1CE 1(如图2).若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.14.如图所示，ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠DAC .求证：(1)△ABE ∽△ACD ；(2) AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·BD .E DABCCOO E DM 1E 1D 1A BN MABC N 1图1图215.如图1，已知⊙M 与x 轴交于点A ，D ，与y 轴正半轴交于点B ，C 是⊙M 上一点，且A （－2,0），B （0，4），AB ＝BC .(1) 求圆心M 的坐标；(2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 如图2，过C 点作弦CF 交BD 于点E ，当BC ＝BE 时，求CF 的长.16.如图，AB ，AC ，AD 是⊙O 中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .求证：(1) ∠CAD ＝2∠DBE ；(2) AD 2－AB 2＝BD ·DC .17. 如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB 相切．18. 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ．求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）13AE CE =．19. 如图，点P 在O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切O 于点C ，连结BC ．（1）求P ∠的正弦值；（2）若O 的半径2cm r =，求BC 的长度．20. 如图，O 的半径10cm OC =，直线l CO ⊥，垂足为H ，交⊙O 于A B ，两点，16cm AB =，直线l 平移多少厘米时能与⊙O 相切？参考答案PCC1.30°≤x≤90°2.43.84.－14x 2＋x 5.C 6.B 7.B 提示：其中①③正确.9．提示：(1)连结BM ，证明Rt △CEN ≌Rt △BMN ．(2)连结BD 、BE 、AC ，证明△BED ∽△FEB ．(3)结论仍成立．10．连结AM ，过M 作MD ⊥AC ，交直线AC 于点D ，则Rt △AMH ≌Rt △AMD ，Rt △MHB ≌Rt △MDC ．11．(1)连结OA ，OC ，则Rt △OFC ≌RtOGC ≌Rt △OGA ．∴123OFC OAC ABC OFCG S S S S ∆∆∆===四边形． (2)连结OA ，OB ，OC ，由△AOC ≌△COB ≌△BOA ，得∠OCB ＝∠OAC ，∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠EOC ＝120°，∠DOE ＝∠COF ＋∠COE ＝120°，∴∠AOE ＝∠COF ，∵∠OAC ＝∠OCB ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAG ≌△OCF ，故13AOC ABC OFCG S S S ∆∆==四边形．12．如图，过点O 作直线OP ⊥BC ，分别交BC ，KL ，AD 于点P ，H ，N ，则ON ⊥AD ，OH ⊥KL ，连结DO ，LO ，在Rt △NDO 中，ON 4==，OP ＝PN －ON ＝2，设HL ＝x ，则PH ＝KL ＝2x ，OH ＝OP ＋PH ＝2＋2x ．在Rt △HOL 中，x 2＋ (2x ＋2)2＝52，解8、B13 ⑴略.⑵如图，连结ON ，AE ，BD ，并延长BD 交AE 于点F ，可证明△BCD ≌△ACE ，BF ⊥AE ，∴ON ∥＝ 12BD ，OM ∥＝ 12AE ，∴OM ＝ON ，OM ⊥ON ，故MN ＝2OM. ⑶结论成立，证明略.14 提示：由△ABE ∽△ACD ，△ADE ∽△ACB 分别得AB·DC ＝AC·BE ，AD·BC ＝AC·DE ，两式作加法得AB·DC ＋AD·BC ＝AC·BD.15⑴连结BM ，OA ＝2，OB ＝4，在Rt △BOM 中，(r －2)2＋42＝r 2，∴r ＝5，即AM ＝5，OM ＝3，∴M(3，0). ⑵连结AC 交BM 于G ，则BM ⊥AC 且AG ＝CG ，可证△AMG ≌△BMO.∴AG ＝OB ＝4，AC ＝8，OM ＝MG ＝3，BG ＝BM －GM ＝2，AD ＝10，CD ＝6.∴S四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12 A C·CD ＋12 A C·BG ＝12 8886＋128882＝32. ⑶∵BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠BEC.又∠BCE ＝∠BCA ＋∠ACF ，∠BEC ＝∠BDC ＋∠DCF ，且∠BCA ＝∠BDC ，∴∠ACF ＝∠DCF ＝12∠ACD ＝45°，∴△ADF 为等腰直角三角形.AF ＝DF ＝5 2.作DT ⊥CF于T ，CT ＝DT ＝32，TF ＝DF 2－DT 2＝42，∴CF ＝CT ＋TF ＝7 2.16. ⑴连结BC ，∵AB ＝AC ，∴∠2＝∠5，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC ＝∠DBC ＝∠4＋∠3＝2∠4，即∠DAC ＝2∠DBE.⑵延长DA 至点G ，使AG ＝AE ＝AC ，则∠DAC ＝2∠G ，而由⑴知∠DAC ＝2∠DBE.∴∠DBE ＝∠G.又∠BDE ＝∠GDC ，∴△BDE ∽△GDC ，得BD DG ＝DEDC，即DG·DE ＝BD·DC.∴(AD ＋AG)(AD －AE)＝BD·DC.∵AB ＝AE ＝AG ，∴(AD ＋AB)(AD －AB)＝BD·DC ，故AD 2－AB 2＝BD·DC.17. 【答案】如图，设'O 切CD 于O ，由切线的性质及平行线等分线段定理可知O 为CD 中点，过O 作OE AB ⊥于E ，由弦切角定理可知12∠=∠，同时在Rt AOB ∆中，OE AB ⊥，易证得23∠=∠ ∴13∠=∠于是可证得AOD AOE ∆∆≌， ∴OE OD =，∴以CD 为直径的圆与AB 相切．18. 【答案】（1）连结OD 得OD AC ∥ ∴BDO A ∠=∠又由OB OD =得OBD ODB ∠=∠∴OBD A ∠=∠ ∴BC AC =又∵AB AC = ∴ABC ∆是等边三角形（2）连结CD ，则CD AB ⊥ ∴D 是AB 中点∵1124AE AD AB == ∴3EC AE = ∴13AE CE =19. 【答案】（1）连结OC ，因为PC 切O 于点C ，∴PC OC ⊥又直径2AB AP =∴12OC AO AP PO ===，∴30P ∠=︒，∴1sin 2P ∠=（或：在1sin 22OC OC Rt POC P PO PO ∆∠===，）（2）连结AC ，由AB 是直径．∴90ACB ∠=︒，∵903060COA ∠=︒-︒=︒ 又OC OA =，∴CAO △是正三角形∴2CA r ==，∴CB ==20.【答案】解法1：如图，连结OA ，延长CO 交⊙O 于D ，∵l OC ⊥∴OC 平分AB ．∴8AH =．在Rt △AHO 中，6OH = ∴416CH cm DH cm ==，答：直线AB 向左移4cm ，或向右平移16cm 时与圆相切．解法2：设直线AB 平移时能与圆相切，()22210810x -+=解得12164x x ==， ∴4cm 16cm CH DH ==，．cm x。

2025年中考数学考点分类专题归纳之圆

2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。

苏州市初三数学中考复习专题八圆

八、圆杨春东张家港市妙桥中学【近三年江苏省十三大市中考圆的分值与比率】(仅供参考)【课标要求】1.了解圆及其有关概念2.了解弧、弦、圆心角之间的关系3.了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系4.掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所对圆周角的特征5.了解三角形的内心和外心6.了解切线的概念7.掌握切线与过切点的半径之间的关系8.掌握判定一条直线是否为圆的切线以及会过圆上一点画圆的切线9.掌握切线长定理10.掌握计算弧长及扇形的面积以及计算圆锥的侧面积和全面积【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排(2.基础知识 (1)圆的认识①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.②弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦.③弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段(圆)弧能够完全重合，则称它们为等弧. ④圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. (2)与圆有关的位置关系①点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内.设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则三种位置关系的判断方法为：点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<．经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．②直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．设圆心与直线l 间的距离为d ，圆的半径为r ，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．③圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．设两圆圆心的距离为d ，两圆的半径为R r 、，那么两圆外离d R r ⇔>+；两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交()R r d R r R r ⇔-<<+≥；两圆内切()d R r R r ⇔=->；两圆内含()d R r R r ⇔<->．两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.由对称性知，当两圆相切，连心线经过切点；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦. (3)与圆有关的定理①“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等.②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:Ⅰ．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． Ⅱ．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．Ⅲ．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ③圆周角定理及其推论：Ⅰ.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． Ⅱ.90°的圆周角所对的弦是圆的直径．Ⅲ.半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90°(直角)．④圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． ⑥圆的切线的性质:Ⅰ．与圆只有一个公共点；Ⅱ．圆心到切线的距离等于半径； Ⅲ．圆的切线垂直于过切点的半径．⑦切线的判定:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ⑧从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．⑨三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等． ⑩相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. ⑪割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(4)与圆有关的计算①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．弧长公式：180n r l π=；扇形面积公式：2360n r S π=扇形=lr 21．其中为n 圆心角的度数，r 为半径．②圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的全面积=侧面积＋２×底面积． ③圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的．圆锥体可以看成是方法二：连结EF∵AE 直径， ∴AF ⊥EF ． ∵AD ⊥BC ， ∴BC ∥EF ， ∴BE =CF ，∴BE =CF ．（2）方法一：∵△ABE ∽△ADC ， ∴∠BAE =∠DAC ，∴BE =CF ， ∴BE =CF ．由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆锥的侧面积=12×底面周长×母线；圆锥的全面积=侧面积＋底面积． 3．能力要求例1 如图8-1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，AE 是直径. 说明：(1)AB ·AC =AD ·AE ；(2)延长AD 交圆于点F ，连结BE ，CF ，则BE =CF ．【分析】(1)如图8-1，连结BE ，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE =∠ADC ，又根据同弧所对的圆周角相等，可得∠AEB =∠ACD ，从而通过证△AB E ∽△ADC 可证．(2)方法一：如图8-2，由第(1)问的△ABE ∽△ADC 可得∠BAE =∠DAC ，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得BE =CF ，可得BE =CF ．方法二：如图8-2，连结EF ，由于AE 直径，所以AF ⊥EF ，因AD ⊥BC ，故BC ∥EF ，根据圆的平行弦所夹的弧相等，可得BE =CF ，再根据等对等定理，可得BE =CF ．【解】 (1)连结BE∵AE 直径，AD ⊥BC ， ∴∠ABE =∠ADC =90°． ∵∠AEB =∠ACD ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴ACAE ADAB ，∴AB ·AC =AD ·AE ．【说明】此题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、相等的圆周角所对的弧相等、平行弦所对夹的弧相等、等弧所对的弦相等等知识．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”和“等弧所对的弦相等”，另一方面将“特殊的弦”(直径)转化为“特殊的角”(直角)，体现了“转化”的思想方法．本题出现了圆中常见的辅助线，教师要有意识地引导一题多解，使学生熟知他们各自的作用，同时引导学生解题时要注意题目中的隐含条件．例2 如图8-3，已知AB 是⊙O 的弦，OB =2，∠B =30°，C 是弦AB 上的任意一点 (不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．(1)弦长AB 等于 (结果保留根号)；图8-1图8-2图8-3(2)当∠D =20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【分析】(1)如图8-4，过点O 作OE ⊥AB 于E ，由垂径定理即可求得AB 的长； (2)如图8-5，连接OA ，由OA =OB ，OA =OD ，可得∠BAO =∠B ，∠DAO =∠D ，则可求得∠DAB 的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB 的度数；(3)由∠BCO 是△DAC 的外角，得∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D ，因此要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．【解】(1)过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE =BE =21AB ，∠OEB =90°， ∵OB =2，∠B =30°，∴BE =OB •cos ∠B =2×23=3. ∴AB=(2)连接OA ，∵OA =OB ，OA =OD ， ∴∠BAO =∠B ，∠DAO =∠D .∴∠DAB =∠BAO +∠DAO =∠B +∠D . 又∵∠B =30°，∠D =20°，∴∠DAB =50°. ∴∠BOD =2∠DAB =100°.(3)∵∠BCO =∠A +∠D ，∴∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D . ∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°.此时∠BOC =60°，∠BOD =120°. ∴∠DAC ==60°. ∴△DAC ∽△BOC . ∵∠BCO =90°，即OC ⊥AB .∴AC =21AB =3．【说明】此题考查了垂径定理、解直角三角形、圆周角的性质、三角形外角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．圆中有关弦的问题，通常利用垂径定理，由半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形．圆中有许多常见的辅助线和基本图形，教师在复习时应与学生一起归纳整理．本题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．例3 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、CD 为弦，∠ACD =60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD =30°．(1)求证：DP 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．【分析】(1)如图8-6，连接OD ，求出AOD ∠，求出DOB ∠，求出ODP ∠，根据切线判定推出即可； (2)求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【解】图8-5 图8-6图8-8(1)连接OD ，∵060ACD ∠=， ∴AOD ∠=2ACD ∠=120°， ∴DOB ∠=180°-120°=60°. ∵030APD ∠=，∴ODP ∠=180°−30°−60°=90°.∴OD ⊥DP . ∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线. (2)∵030APD ∠=，ODP ∠=90°，OD =3cm ， ∴OP =6cm ，DP =，∴图中阴影部分的面积POD OBDS S S ∆=-=扇形2160π332360⋅⋅⨯⨯32π-．【说明】本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．例4 如图8-7，ABC ∆内接于⊙O ，弦AD AB ⊥交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF =∠ABC ．(1)求证：AB AC =； (2)若4AD =， cos 45ABF ∠=，求DE 的长．【分析】(1)连接BD ，可得BD 是直径，根据同角的余角相等的性质得ABF D ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等得D C ∠=∠，再根据∠ABF =∠ABC ，可证得ABC C ∠=∠，即可得AB =AC ； (2)在Rt △ABD 中，解直角三角形求出AB 的长度；然后在Rt △ABE 中，解直角三角形求出AE 的长度；最后利用DE =AD −AE 求得结果．【解】(1)证明：连接BD ．∵AD AB ⊥，∴090DAB ∠=，∴BD 必过圆心O ． ∵FB 为⊙O 的切线，∴OB BF ⊥.∴090D DBA ABF DBA ∠+∠=∠+∠=. ∴ABF D ∠=∠．∵D C ∠=∠，∠ABF=∠ABC ，∴ABC C ∠=∠，∴AB =AC ． (2)解：如图8-8，在Rt △ADB 中，∠BAD =90°， ∵cos∠ADB =ADBD，∴BD =44cos cos 5AD AD ADB ABF ==∠∠=5.∴AB =3．在Rt △ABE 中，∠BAE =90°， ∵cos ∠ABE =AB BE，∴BE =3154cos 45AB ABE ==∠，∴AE 94， ∴DE =AD −AE =49744-=．【说明】图8-7此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．例5 如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9，BC=6，求PC的长．【分析】(1)如图8-9，连接CO并延长交⊙O于N，连接NB，得到090NBC∠=，再证BCP BNC∠=∠；(2)先求出AM，再求出⊙O的半径，最后证OMC∆～OCP∆，从而求得PC的长．解法一：(1)直线PC与圆O相切．如图8-9，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN．∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD．∵∠BAC=∠BNC，∴∠BNC=∠ACD．∵∠BCP=∠ACD，∴∠BNC=∠BCP．∵CN是圆O的直径，∴∠CBN=90︒．∴∠BNC+∠BCN=90︒，∴∠BCP+∠BCN=90︒．∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC．又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切．(2)∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90︒．∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，即OM⊥BC．∴MC=MB．∴AB=AC．在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，AC=AB=9，MC= 12 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62．设圆O的半径为r，在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2．解得r= 278 2．在△OMC和△OCP中，∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，∴△OMC～△OCP．∴OMOC=CMPC，即62-278 2278 2=3PC．∴PC= 27 7 ．解法二：(1)直线PC与圆O相切．如图8-10，连接OC．∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90︒．∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，图8-9图8-10即OM⊥BC．∴MC=MB．∴AB=AC．∴∠MAB=∠MAC．∴∠BAC=2∠MAC．又∵∠MOC=2∠MAC，∴∠MOC=∠BAC．∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD．∴∠MOC=∠ACD．又∵∠BCP=∠ACD，∴∠MOC=∠BCP．∵∠MOC+∠OCM=90︒，∴∠BCP+∠OCM=90︒．∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC．又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切．(2)在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，A C=AB=9，MC= 12 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62．设圆O的半径为r．在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2．解得r= 278 2．在△OMC和△OCP中，∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，∴△OMC～△OCP，∴OMOC=CMPC，即27622382728PC-=，∴PC= 27 7 ．【说明】此题考查了平行线的性质、直径所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，相等的角的转化．本题中的辅助线是圆中常见的，教师要有意识地加以引导．例6 如图8-11，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(8，0)、(0，6)．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t(秒)(0＜t≤5)．以P为圆心，PA的长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．(1)求当t为何值时，点Q与点D重合？(2)设QCD∆的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．【分析】(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OA，然后求出OB，再根据直径所对的圆周角是直角得090ADC∠=，再利用BAO∠余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；(2)利用BAO∠的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；(3)有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时(0＜t≤167)；②重合分离后至运动结束(40513t<≤)．∴AD =AC •cos BAO ∠=2t ×5 =5t ．当点Q 与点D 重合时，OQ +AD =OA ，即：t +85t =8，解得：t =4013．∴t =4013(秒)时，点Q 与点D 重合． ①当40013t <≤时，8138855DQ OA OQ AD t t t =--=--=-． ∴2111363924(8)2255255S DQ CD t t t t =•=-•=-+． ∵202040,02131313b a -=<<，∴当2013t =时，S 有最大值为4813 ； ②当40513t <≤时，8138855DQ OQ AD OA t t t =+-=+-=-． ∴2111363924(8)2255255S DQ CD t t t t =•=-•=-． ∵2020402131313b a -=<，，所以S 随t 的增大而增大， ∴当t =5时，S 有最大值为481513>．综上所述，S 的最大值为15． (3)当CQ 与⊙P 相切时，有CQ ⊥AB ， ∵,BAO QAC AOB ACQ ∠=∠∠=∠=90°，∴ACQ ∆∽AOB ∆.∴AC AQ OA AB =.即28810t t -=.解得167t =．图8-11【复习建议】1．圆的复习应紧紧围绕基本概念、基本图形、重要定理及圆的有关计算进行，重视“双基”，对“了解、理解、掌握、灵活运用”四个能级要求做到心中有数，教师在复习中要控制一定难度．通过复习，学生应熟练掌握有关圆的基本知识、基本方法和基本技能．2．教师在复习教学中要让学生熟悉基本图形，指导学生在复杂图形中分解出基本图形，或通过添加适当辅助线，构造或分解基本图形，学会将较复杂问题简单化．3．圆的许多性质由圆的对称性推出，在解决圆的有关问题时要指导学生注意利用圆的对称性．4．对于圆中常见的辅助线，如例1、例2、例3、例4、例5中添加的辅助线等，在解题中教师要加强引导，并让学生进行归纳整理，熟知它们的作用．5．复习教学中要让学生体会圆中一些隐含条件的作用，如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”等，培养挖掘隐含条件的意识和能力．6．复习教学中要注意渗透转化的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分类讨论等思想方法以及运动变化、变中含不变的观点，教师应指导学生及时做好例题教学后的反思，对有关思想方法进行归纳整理，以提高学生解决圆的综合性问题的能力．。

备考2024年中考数学专题突破(全国通用) 八种隐圆类最值问题(解析版)

知识点梳理题型一定点定长得圆
2023 年湖北省鄂州市中考数学真题 2023·邵阳市中考真题 2023·广西南宁市二模 2022·辽宁抚顺·中考真题 2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径 2023·菏泽市中考真题 2022·通辽·中考真题 2023·汕头市金平区一模 2023·广州市天河区三模 2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆 2023 年·广元市一模题型四定弦定角得圆 2023·成都市新都区二模 2023·成都市金牛区二模 2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值 2023·随州市中考真题 2022·江苏无锡·中考真题 2022 扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考
问题解决
资料整理
证明：在直线 l 上任取一点 Q（不与 P 点重合），连接 AQ、BQ，∠AQB 即为圆 O 的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB 最大 ∴当圆与直线 l 相切时，∠APB 最大
资料整理
题型一定点定长得圆
1．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝3，BC＝4，点 P 是 BC 边上一动点（点 P 不与 B，C 重合），连接 AP，作点 B 关于直线 AP 的对称点 M，则线段 MC 的最小值为（）
六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A，A 到直线 BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。则 △ABC 的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
A
O B DC
问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着 A 点的运动而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD 是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一个最小值。

2021年中考数学考点一遍过(上海专版) 第8章圆(1)圆和扇形,圆的基本性质(学生版)

备战2021年中考数学考点一遍过(上海专用)第八章圆(1)圆和扇形，圆的基本性质1 圆和扇形知识梳理1．用字母C 表示圆的周长，d 表示直径长，r 表示半径长，那么2C d r ππ==．2．圆上任意两点之间的部分叫做弧．3．设圆的半径长为r ，n 圆心角所对的弧长是l ，那么180n l r π=． 4．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么2S r π=．5．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．6．设组成扇形的半径长为r ，圆心角度数为n ，弧长是l ，那么21=3602n S r lr π=扇形．例题精讲【例1】在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为 (结果保留π)．【例2】如图，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B 、C 恰好落在扇形AEF 的EF 上时，BC 的长度等于 (结果保留π)．【例3】如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为．DF EC B A2 圆的基本性质知识梳理一、圆的确定：(一)相关定义：1．圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．这个定点是圆心．联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径．这个定长是圆的半径长．2．在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部(简称圆内)；不含圆心的部分叫做圆的外部(简称圆外)．【总结】圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的直线．(二)点与圆的位置关系：1．一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．2．设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外d R⇔>；点P在圆上d R⇔=；点P在圆内d R⇔<．(三)圆的确定：1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．2．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．3．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：(一)相关定义：1．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．2．联结圆上任意两点的线段叫做弦．过圆心的弦就是直径．3．以圆心为顶点的角叫做圆心角．4．圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．5．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．6．圆心到弦的距离叫做弦心距．(二)相关定理：1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所应的其余三组量也分别相等．三、垂径定理：1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径)，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．例题精讲【题型一·圆的确定】【例1】下列说法中，结论错误的是( )A．直径相等的两个圆是等圆；B．长度相等的两条弧是等弧；C．圆中最长的弦是直径；D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧．【例2】已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且23<<，那么点P在OP( )A．小圆内；B．大圆内；C．小圆外大圆内；D．大圆外．【例3】在Rt△ABC中，90∠=，3CBC=，CP、CM分别是AB上的AC=，4高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是( ) A．点P、M均在圆A内；B．点P、M均在圆A外；C．点P在圆A内，点M在圆A外；D．点P在圆A外，点M在圆A内．【例4】如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于．【例5】如图，弧EF 所在的⊙O 的半径长为5，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，=60EOF ∠．如果AB OF ⊥，那么这个正三角形的边长为．【题型二·圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系】【例1】在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是( )A ．这两条弦所对的弦心距相等；B ．这两条弦所对的圆心角相等；C ．这两条弦所对的弧相等；D ．这两条弦都被垂直于弦的半径平分．【例2】如图，若12∠=∠，那么AB 与BC 相等(填“一定”、“一定不”、“不一定”)．【例3】已知⊙O 的直径是4，⊙O 上两点B 、C 分⊙O 所得劣弧与优弧之比为1：3．则弦BC 的长为．MECAO B F 21CBA【例4】如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 与AB 分别交于点E 、F ，且AE BF =．求证：AC BD =．【题型三·垂径定理】【例1】如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OCAB ⊥于点C ，则OC 的长等于．【例2】如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，10GB =，8EF =，那么AD = ．【例3】一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为米．【例4】如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在线段AB 上，4OC AC ==，8CB =．求⊙O 的半径．F E B D C AOG F E B OA C DC BA O【题型四·圆的基本性质综合运用】【例1】在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明：A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；C．圆的直径互相平分；D．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧．【例2】下列命题中，假．命题是( )A．如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；B．如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点；C．边数相同的正多边形都是相似图形；D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．【例3】己知⊙O的半径是5cm．弦8=．AB cm(1)求圆心O到AB的距离；(2)弦AB两端在圆上滑动，且保持8=，AB的中点在运动过程中构成什么图形，请说AB cm明理由．【例4】如图是地下排水管的截面图(圆形)，小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了A ，B 两点，并连接AB ，在劣弧AB 上取中点C ，连接CB ．经测量54BC =米，36.87ABC ∠=．根据这些数据，请你计算出地下排水管的直径(精确到0.1米)．(参考数据：36.870.60sin ≈，36.870.80cos ≈，36.870.75tan ≈)真题训练1．(2011·上海中考真题)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC =P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )．A ．点B 、C 均在圆P 外；B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；D ．点B 、C 均在圆P 内．2．(2015·上海中考真题)如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )．A ．AD BD =B ．OD CD =C ．CAD CBD ∠=∠ D ．OCA OCB ∠=∠．3．(2013·上海中考真题)在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为CBA_____4．(2020·上海中考真题)如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长．模拟题专练一、单选题1．(2019·上海长宁区·中考模拟)在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是(3，2)，点B的坐标是(3，﹣4)．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2020·上海九年级专题练习)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1，2)，点P的坐标是(5，2)，那么点P的位置为( )A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定3．(2018·上海普陀区·中考模拟)已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧AB的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度( )A．1B．5C．1或5D．2或44．(2018·上海徐汇区·中考模拟)下列说法中，正确的个数共有( )(1)一个三角形只有一个外接圆；(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；(4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(2018·上海黄浦区·中考模拟)下列命题中，假命题是( )A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．6．(2018·上海普陀区·九年级一模)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①AB CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题7．(2021·上海崇明区·九年级一模)如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为()1,y ，点A 的坐标为()1,0-，那么点B 的坐标为___________．8．(2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模)已知⊙O 的半径为6，A 为线段OP 的中点，当OP 的长度为10时，点A 与⊙O 的位置关系为_____．9．(2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模)在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC＝A 为圆心作圆A ，要使B 、C 两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是_____．10．(2019·上海青浦区·九年级二模)如图，在⊙O 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知AB ＝6，∠AOB ＝120°，那么圆心O 到AB 的距离为__．11．(2019·上海闵行区·中考模拟)如图，已知在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．12．(2019·上海虹口区·中考模拟)已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．13．(2019·上海嘉定区·中考模拟)在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，3AC =，BC =以点A 为圆心作圆A ，要使B 、C 两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是__．14．(2019·上海嘉定区·九年级一模)如图，在圆O 中，AB 是弦，点C 是劣弧AB 的中点，连接OC ，AB 平分OC ，连接OA 、OB ，那么∠AOB ＝_____度．15．(2018·上海普陀区·中考模拟)若⊙O所在平面内一点P到⊙O的最大距离为6，最小距离为2，则⊙O的半径为_____．16．(2018·上海普陀区·九年级一模)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________．17．(2020·上海浦东新区·九年级三模)如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．18．(2018·上海静安区·九年级二模)如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．19．(2018·上海浦东新区·中考模拟)已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为_____厘米．20．(2018·上海嘉定区·中考模拟)已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是_____厘米．三、解答题21．(2021·上海崇明区·九年级一模)如图，已知O ，在O 中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ⊥．点C 在钱段AB 的延长钱上，且OC AB =．(1)求线段BC 的长；(2)求BOC ∠的正弦值．22．(2021·上海闵行区·九年级一模)如图，O 是ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，连接CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为弧AB 的中点，求：(1)边BC 的长；．(2)O 的半径．23．(2019·上海市南塘中学中考模拟) 如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接,CE CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．(1)求证：BCD BEC ∠=∠；(2)若2BC =，1BD =，求CE 的长及sin ABF ∠的值．24．(2019·上海黄浦区·中考模拟)如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，BC =O 的半径.25．(2020·上海九年级专题练习)如图，已知Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，BC ＝5，AC ＝以A 为圆心、AB 为半径画圆，与边BC 交于另一点D ．(1)求BD 的长；(2)连接AD，求∠DAC的正弦值．26．(2020·上海九年级专题练习)已知：如图，AO是O的半径，AC为O的弦，点F为AC的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．(1)求AO的长；(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．27．(2019·上海长宁区·中考模拟)如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=35．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．28．(2020·上海九年级专题练习)如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E(1)求线段DE的长；(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．29．(2018·上海杨浦区·九年级三模)如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．(1)求圆O的半径；(2)如果AE=6，求EF的长．30．(2018·上海普陀区·中考模拟)已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．31．(2019·上海市西南模范中学九年级二模)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2米，求小桥所在圆的半径．32．(2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模)已知，ABC ∆内接于O ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB ；(1)如图1，若AC BC =，求证：AB PC ⊥；(2)如图2，若PA 平分CPM ∠，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，若24sin 25BPC ∠=，8AC =，求AP 的值．33．(2019·上海静安区·中考模拟)已知：如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ，过点B 作BF DE ⊥交O 于点F ，联结CF .(1)求证：BAD CBF ∠=∠；(2)如果O 的半径为8，且OD DB =，BF AB 12==，求CF 的长.34．(2019·上海宝山区·中考模拟)如图已知：AB 是圆O 的直径，AB=10，点C 为圆O 上异于点A 、B 的一点，点M 为弦BC 的中点.(1)如果AM 交OC 于点E ，求OE ：CE 的值；(2)如果AM OC ⊥于点E ，求ABC ∠的正弦值；(3)如果AB BC=54：：，D 为BC 上一动点，过D 作DF OC ⊥，交OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ，请完成下列探究.探究一：设BD=x ，FO=y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域.探究二：如果点D 在以O 为圆心，OF 为半径的圆上，写出此时BD 的长度.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图 Z8-3
(3)如图 Z8-4，若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B，C)，以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠AMN＝90°，交直线 CP于点 N，求证：AM＝MN.
图 Z8-4
[思路分析](1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O 的半径即可.
(2)利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE＝45°，进而利用勾股定理得出即可.
∴MAMN＝CBPB.
[名师点评]本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合的知识点较多，解此题的关键是熟练掌握定理.
圆的综合题例 3：(2015 年广西桂林)四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点. (1)如图 Z8-3，求⊙O 的半径； (2)如图 Z8-3，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长度；
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等，添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解决.
与圆有关的计算题例1：(2015 年江苏无锡)已知：如图 Z8-1，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积.
(2)如图Z8-5，连接EO，OP. ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，则∠EOP＝90°， ∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4. ∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5.
图Z8-5

(3)证明：如图Z8-6，在AB 上截取BF＝BM.
图 Z8-6 ∵AB＝BC，BF＝BM， ∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°. ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM ＋∠AMF＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.
(3)在AB 上截取BF＝BM，利用(1)中所求，得出∠ECP＝ 135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可.
解：(1)如图 Z8-5，连接 OD，OC， ∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC. ∴四边形 DOCP 是正方形. ∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴DO＝CO＝DC·sin45°＝ 22×4＝2 2.
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∴BD＝ OB2＋OD2＝5 2 cm. (2)S 阴影＝S 扇形－S△OBD＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50 cm2 . [解题技巧]计算不规则图形面积时，注意运用已知规则图形进行拼凑计算.
圆的性质与证明题例 2：(2015 年湖北黄冈)已知：如图 Z8-2，在△ABC 中， AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N，连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P. (1)求证：∠BCP＝∠BAN； (2)求证：MAMN＝CBPB.
专题八圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容.它综合直线、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的综合性，对学生思维能力要求较高.这类试题通常借助圆的对称性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、圆锥等)的计算、作图、证明与探究.
(1)证明：∵AC 为⊙O 直径，∴∠ANC＝90°. ∴∠NAC＋∠ACN＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠BAN＝∠CAN. ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP＝90°. ∴∠ACN＋∠PCB＝90°. ∴∠BCP＝∠CAN. ∴∠BCP＝∠BAN.
(2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知，∠BCP＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA.
∵由(1)得 PD＝PC，∠DPC＝90°， ∴∠DCP＝45°. ∴∠MCN＝135°. ∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°， ∴∠AFM＝∠MCN. 在△AFM 和△MCN 中，
∠FAM＝∠CMN， AF＝MC， ∠AFM＝∠MCN， ∴△AFM≌△CMN(ASA). ∴AM＝MN.
[名师点评]本题主要考查了圆的综合知识，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出∠MCN＝135°是解题关键.
图 Z8-1
[思路分析](1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB＝90°，由勾股定理求得 OB＝5 cm.连接OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据S阴影＝S扇形－S△OBD即可得到结论. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm， ∴AB＝10 cm，OB＝5 cm. 连接 OD.
图 Z8-2
[思路分析](1)由 AC 为⊙O 直径，得到∠NAC＋∠ACN＝ 90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°，于是得到结论.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论.