计算机控制与仿真-第3章控制系统的分析方法

R(s) 1 S
系统的输出响应： C (s) R (s)G (s) 1 1 1T
sT 1 s s T 1 s
将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式：
t
c(t)1eT CssCtt
在单位阶跃输入信号作用下，一阶系统的输出量随时间变化
的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终值为1，时间常数T是
用下的输出称为单位脉冲响应，也称为脉冲过渡
函数。
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3.2 时域分析法
控制系统对非周期性信号的响应称为时域响应。在经典控 制理论中，时域分析法是一种最常见的分析方法，表现出直 接、准确的特点，可以提供系统时间响应的全部信息。
3.2.1 一阶系统的时域响应
可以采用一阶微分方程来描述其暂态过程的系统称为一阶系统。
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3.1.2 典型输入信号
目前，在工程设计中比较常见的典型外部作用信号主要有以下 5种： 1. 阶跃函数信号
阶跃函数信号是控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种 外作用信号，例如，给系统加重和卸载；电源电压的突然跳动， 表现出来的即为阶跃函数信号。
2. 斜坡函数信号 斜坡函数信号也称为速度函数信号，例如，运算放大器输入
一阶系统的微分方程一般形式为： Tdc(t)c(t)r(t)
其闭环传递函数为：
dt
G(s)C(s) 1 R(s) Ts1
T为系统的时间常数，下面讨论在系统初始条件为零时，一阶
系统对典型输入信号的响应。
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一阶系统的单位阶跃响应分析
对一阶系统输入单位阶跃函数信号： r(t)1(t)
其拉氏变换为：
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3.2.2 二阶系统的时域响应
如果系统的数学模型可采用二阶微分方程来描述，则 该系统称为二阶系统。
二阶系统的传递函数为：
(s)C (s) k
2 n
R (s) T 2s2 2T 1 s s2 2nsn2
T为时间常数， 为阻尼比，
率。 二阶系统的闭环特征方程为
n
1 T
为无阻尼自然振荡频
为恒值电压时，输出即为斜坡函数。
3. 抛物线函数信号 抛物线函数信号也称为加速度函数信号，在随动系统中是最
常见的作用信号。
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4. 脉冲函数信号
脉冲函数信号也称为冲击函数信号，单位脉冲函数信号 为数学上的一种抽象，在实际系统中难以产生。
5. 正弦函数信号
正弦函数信号是在频率法中采用的外作用信号，用正 弦函数作为系统的外作用信号，可以求得系统对不同频 率的正弦输入信号的稳态响应，称之为频率响应。
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3.1.3 典型信号的响应 对于一个控制系统来讲，设其各变量的初始状
态为零，在输入典型外作用信号时，系统的输出 称为典型信号的响应。
（1）单位阶跃响应：系统在单位阶跃函数信号作 用下的输出称为单位阶跃响应。
（2）单位斜坡响应：系统在单位斜坡函数信号作 用下的输出称为单位斜坡响应。
（3）单位脉冲响应：系统在单位脉冲函数信号作
c(t)k(1eT t )5(1e2t)
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（2）计算系统的过渡过程调节时间 取5%的误差带：ts=3T=3×0.5=1.5（秒） 取2%的误差带：ts=4T=4×0.5=2（秒） （3）从上述计算结果分析该系统的性能特点
该系统中加入了1个放大器，系统的单位阶跃响 应是一条从零开始，按指数规律变化，最终稳态 值为5的非周期性曲线，动态过程无振荡；由于 时间常数为0.5，使得调节时间稍长，快速性较差； 系统的稳态误差为零。
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【例3.1】已知一阶系统的传递函数为
G(s) 10 s2
求其单位阶跃响应表达式，计算系统传递函数化为标准式并找出系统的特 征参数
即：
G(s) 10 5 s2 0.5s1
；放大系数K=5，时间常数T=0.5 按公式可得加入放大器后系统的单位阶跃响应表达式为：
为了便于研究和分析控制系统，通常选用几种确定的函数来 作为典型的外部输入信号，其具备的基本特点是：
➢ 在实际工作现场或实验室中，这种外作用信号容易产生。
➢ 在典型的外部信号作用下，系统的响应能够反映出该控制系统 在实际工作中的确定性能。
➢ 选择的外部作用信号其数学表达式简单，便于进行理论计算。
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s22 nsn20
方程的特征根为： s1,2 nn 21
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当方程特征根中的阻尼比取值不同时，系统的特征根和响 应状态均不相同，其对应关系见表3-1所示。。
表3-1 二阶系统的特征根状态和响应特点
取值范围
0＜ ＜1 =1 ＞1 =0
响应状态 欠阻尼状态 临界阻尼状态 过阻尼状态 零阻尼状态
第3章 控制系统的分析方法
本章主要教学内容
❖ 常见的典型输入信号及其响应特点 ❖ 一阶和二阶系统的时域性能指标的计算、系统参数与性能
的对应关系 ❖ 控制系统的稳定条件和稳定判椐 ❖ 控制系统的稳态误差分析及指标计算 ❖ 控制系统的频域特性及其表达 ❖ 频率分析法的特点、性能指标的分析与计算
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描述响应速度的唯一参数，Ｔ越小，暂态过程进行得越快，即速
度越快。
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结论：一阶系统的阶跃响应曲线是一个单调的非周期响应， 没有超调量，系统过渡过程的快慢是其主要性能指标，通 常称之为调节时间。
一般有：ts=3T （对应5%的误差带） ts =4T （对应2%的误差带）
从上式中可以看出，系统的时间常数越小，调节时间就越小， 系统响应的过渡过程时间就越短，响应过程的快速性就越 好。
特征根形式
响应特点
实部为负的共轭复根 衰减的振荡特性
相等的负实根
非周期响应，无振荡
两个不相等的负实根 非周期响应，无振荡
一对纯虚根
持续的等幅振荡
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1. 二阶系统的单位阶跃响应分析
下面重点分析在欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应。
由于欠阻尼状态下，阻尼比取值为0＜ ＜1，此时系统的特征根
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3.1 典型输入信号及其响应
3.1.1 概述
系统的响应是指在给定信号作用下，系统的输出信号随时间 变化的状况，也是系统微分方程的解。我们将系统在稳定之前 的响应称为暂态响应，它提供系统在过渡过程中各项动态性能 指标；系统到达稳态后的响应称为稳态响应，它反映出系统的 稳态性能指标，也即系统稳态误差的大小。