数学解题能力的四大层次
提高数学的解题能力(陈勇)
如何提高数学的解题能力？要想提高数学的解题能力，必先认识数学解题的思维过程及其规律！！数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。
从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。
因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
数学解题思维
数学解题思维数学是一门需要高度思维能力的学科，解题过程中需要运用到多种思维方法。
以下是数学解题思维的主要方面：1. 观察与理解观察是理解题目的第一步。
首先要对题目进行全面的观察，明确题目中涉及的概念、定理和条件。
通过观察，可以初步理解题目的基本框架和解题思路。
2. 分析与综合分析是将问题分解成若干部分，逐一进行思考和研究。
综合则是将各个部分联系起来，从整体上把握问题。
在解题过程中，需要将分析和综合结合起来，先对问题进行局部分析，再从整体上进行综合。
3. 抽象与概括抽象是从具体问题中提取共同特征，形成一般规律的过程。
概括则是将抽象出来的规律应用于具体问题的解决。
在解题时，需要运用抽象和概括的能力，将问题的一般规律总结出来，再应用到具体题目中。
4. 推理与判断推理是根据已知条件推导出结论的过程。
判断则是根据推理的结果对题目进行正误判断。
在解题时，需要运用推理和判断的能力，根据已知条件推导出结论，再对结论进行正误判断。
5. 归纳与演绎归纳是从具体问题中总结出一般规律的过程。
演绎则是将一般规律应用于具体问题的解决。
在解题时，需要运用归纳和演绎的能力，先从具体问题中总结出一般规律，再将其应用于具体题目中。
6. 创新与尝试创新是在原有知识基础上进行新的尝试和创造的过程。
尝试则是为了达到某种目的而进行的有针对性的试验。
在解题时，需要运用创新和尝试的能力，尝试新的解题思路和方法，寻找最佳的解决方案。
7. 检验与修正检验是验证答案是否正确的过程。
修正则是根据检验结果对答案进行修正和完善。
在解题时，需要运用检验和修正的能力，对答案进行验证和修正，确保答案的准确性和完整性。
读书笔记的正确格式
读书笔记的正确格式读书笔记的格式种类很多，一般说来，可分为四大类：一是摘录式，二是提纲式，三是评论式，四是心得式。
四大类又分若干种，每一种在写法上有所不同。
读书笔记的正确格式摘录式和提纲式介绍如下：摘录式是阅读活动中收集资料日寸最常用的记录形式。
主要是为了以后开展科研活动时用。
它要求准确无误地摘录原文的语句段落，还要注明出处，便于引用和核实。
摘录式笔记可分为：1.索引索引笔记只记录文章的题目、出处。
如书刊篇目名、编著者、出版年月日。
如果是书，要记册、章、节，出版社名称，出版年月及版次;如果是期刊，要记期号，报纸要记年月日和版面.以备查找方便。
2.摘抄原文摘抄原文就是照抄书刊文献中与自己学习、研究有关的精彩语句、段落，作为日后引用的原始材料。
摘抄原文要按照原文的内容自己标上一个分类的题目，便于资料的归类和日后采用，在引文后面要注明出处。
3.观点摘要观点摘要是在理解原文的基础上，将原文的主要观点、结论摘要或写出，报刊杂志上的“论点摘编"即属此种。
它同样也要写明作者、刊物、出版等情况。
例如：在数学教学中培养学生解题能力，解题能力包括实际运算能力、空间想象能力、抽象概括能力、逻辑推理能力四个部分。
实际运算能力又可分为两部分：一是对具体数字进行运算的能力;二是对代数式和三角式进行恒等变形的能力。
空间想象能力主要通过几何题目和三角应用题得到锻炼。
抽象概括能力主要包括：1.将实际问题抽象成数学问题的能力;2.从具体的数字运算过渡到抽象的式的运算。
逻辑推理能力大致可分为条理性和灵活性两个方面.其中以庆理性为关键，同时也要注意锻炼思维的灵活性。
(二)提纲式提纲式笔记是用纲要的形式把书或文章的论点或主要论据，提纲挈领地记录下来，或是按原文的章节、段落层次，把主要内容扼要地写出来。
提纲式笔记可分为提纲和提要两种：1.提纲提纲笔记要忠于原书或原文的框架体例或段落层次，对原书或全文作轮廓式的勾勒。
它可以用原文的语句，也可以将自己的语言与之相结合来写。
高考数学秘笈2——四步解题法之整体框架
高考数学秘笈2——四步解题法之整体框架经验不只一次地告诉我们：知识不足还可以补救，方法不够也可以积累，但若不善思考，即使再有知识和方法，却不懂得如何运用它们解决问题，也是枉然。
与此相反，掌握了正确的思维方法，知识就不再是孤立的，方法也不再是呆板的，它们都建立了有血有肉的联系，组成了生机勃勃的知识方法体系，数学思维活动也就充满活力，得到更完美的发挥与体现。
数学思维方法，通常又表现为一种解题的思维模式。
例如，美国数学教育家波利亚就在其名著《怎样解题》中列出了如下一张著名的解题表。
“怎样解题”表————————————————————————————————————————（弄清问题）未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?现者是矛盾的?画张图，引入适当的符号。
把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来?————————————————————————————————————————（拟定计划）你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同!你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素:你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分面舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据?或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件:你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?————————————————————————————————————————（实现计划）实现你的求解计划，检验每一步骤，你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?————————————————————————————————————————（回顾）你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这个结果或方法用于其它的问题?————————————————————————————————————————容许我们大胆断言，任何一种解题模式均不可能囊括人们在解题过程中表现出来的各种思维特征。
数学学习：数学题求解的三个不同境界
数学学习：数学题求解的三个不同境界境界一：先不求最快，但求准确解读：这个境界是学生想学好数学必须要先到达的境界，好多学生自认为聪明，总想快快做完，得到老师的认可，这个小小的愿望老师可以理解，但是一味的图快，难免正确率下降，得不偿失，这是学习数学的大忌。
很多学生难达到这一点，原因是有的小聪明的学生往往犯了眼高手低的毛病，对所学知识没有真正深入掌握，浮于知识的表面，所以准确率低下，而对自己定位太高（也是受家庭的影响，在家里就是说一不二的主，唯我独尊型的人物），所以不能正视自己的缺点。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于120分（80%）。
境界二：在准确的前提下，提高做题速度解读：要想达到此境界，先过前一境界，然后积累知识到一定境界，所谓量变到一定程度导致质变，解释一下，不是让你泡到题海里做题，这个方法事倍功半，效率极低，最好是上课跟随老师的思路，优秀的教师往往善于剖析做题的心路历程，如何入手？那个地方是切入点？这要学生和老师的思维一定同步共振，进行思维对话。
作为一份试卷来讲，提高速度的一个很重要的战场是选择填空题，在数学卷里，这一部分占了76分，什么概念？一半的分值还多一分，如何提高选择填空的做题速度呢？三个字：巧、快、准。
其中三者之间，巧字首当其冲，数学的选择题有且只有一个答案，可以有排除法、特殊值验证法、数形结合法、直接法、经验法等等，这要积累，当达到对高中知识掌握的易如反掌的程度时，提高速度才是可能。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于135分（90%）。
境界三：准确速度没问题，就追求完美解读：还是那句话，先依次过前两个境界，才能谈这个境界。
这个境界就是在没有不会做的数学题了，那么就关注书写的步骤的连贯、简洁，逐步完善一些做题的细枝末节问题，使得一个雕塑的艺术品更加完美。
当然，这问题的训练不是等到最后才关注，这个能力的培养其实在一开始学数学时老师就渗透，不过这个方面在开始阶段不是重点，开始的重点是如何讲理论搞懂、弄明白、会用理论解决问题。
数学解题的三个层次
【数学解题的三个层次】•数学试题常见的三个层次•常规题——比规范•新意题——看应变•能力题——见功底•数学解题教学的建议——三个层次•会做做对——基本要求•反思总结——较高要求•迁移引申——不懈追求新意题举例参照13全国1理16上海20函数图像的对称性《考试说明》题型示例高考数学一轮复习的几个要点•方式——系统梳理•任务——•正确地理解基本概念的内涵和外延；•熟练地掌握和应用相关的公式与定理；•熟悉并运用常见的基本技能和方法•目标——•各章内容综合化；基础知识体系化；••基本方法类型化；解题步骤规范化•三角函数知识框图三角函数基础知识与方法•三角函数基本内容•代数与几何定义及性质•特殊角三角函数值•基本公式——同诱和线倍升面•图像变换与性质——3大变换10 条性质•正余弦定理——应用题素材•三角函数基本方法•角的变换、切化弦、齐次式、化一法、升降幂、换元法、单位圆法、边化角或角化边、几何法、向量法、五点作图法等【三角函数的六组基本公式与定理】升降幂公式：【三角函数学习助手——单位圆】单位圆的作用：1.引出三角函数几何定义；2.推导三角公式；3.澄清错误概念：单边不等式？4.求解三角不等式；5.简单三角函数性质…….【三角函数学习的三个难点】•区间上三角函数问题•正弦定理两解的情况•由三角函数值反求限定角的问题【三角函数易错点】•基本公式与简单的变形应用和逆用•三角函数图像的伸缩变换•运算化简三角函数——14山东（理）三角函数——14山东（理）三角函数——14山东（文）14全国1理6——数形结合”化一”公式——高考热点1()sin cos sin sin 22f x OM x OP x x x===。
中学生的数学能力的四个层次
中学生的数学能力的四个层次1、第一层次为较高程度的模仿。
它不只是反映在知识上与小学生不同，更主要反映在运算的熟练程度上，知识的密集性上，内容的形式变换上，以及方法的灵活性上都比小学的简单模仿有较大程度的提高。
简单模仿是学习的开始，无论是谁学习的第一步都是从简单模仿开始的。
忽略了模仿的教育，不允许学生模仿，实质上是限制了学生基本模仿能力的建立。
实际上，每一位教师在教学过程中，自觉不自觉的都在起着示范作用。
你的一举手，一投足，你的每一节课都可能被学生作为模仿的模特儿。
这就要求教师在教学开始时，特别注意自己的数学语言的准确与板书的规范。
2、中学生具备数学能力的第二层次是掌握基本技能，具备举一反三的能力。
中学生在数学技能上的主要要求是熟练的运算能力，合理的逻辑思维能力和丰富的空间想象力。
这三方面的技能的高与低反映了学生从小学到中学阶段的数学能力的过渡是否顺利完成。
一部分同学不注意这些能力的培养。
他们在小学或初中数学成绩很好（简单模仿能力强），进入高中以后一个阶段内保持了原有水平，但从高一下学期开始，出现滑坡，有的一滑而不可收拾。
其主要原因之一就是没有完成数学能力的提高过程。
他们的水平一直停留在简单模仿上，除了老师讲过的或者是个人练习过的之外，其余一概不会。
这主要就是缺乏概括总结能力，不会举一反三。
这也反映了教师在讲课过程中过多的注意了自己个人的讲解，注意了自己的示范作用，而忽略了“引导”。
忽略了让学生自己去“消化吸收”。
3、中学生具备数学能力的第三层次反映在学生是否能掌握必要的研究数学的方法.也就是要求学生逐步学会分析、综合的方法。
这一层次是区分中学生能力高与低的主要分水岭。
一部分同学能够比较顺利地学习中学阶段每一部分的内容。
在这样的阶段学习中，他们成绩很好。
但是由于数学方法研究的少，分析与综合的能力较差，就使得他们在毕业前的综合复习中，顾头不顾尾，显得穷于应付而手忙脚乱，往往出现事倍功半的现象。
数学中应掌握的方法很多，象大纲中指出的分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等，都是需要在平常学习中，在教师的有意指导下逐步掌握的。
数学练习题的设计层次
数学练习题的设计层次标题：从数学练习题的设计层次看学习方法的优化导语：数学练习题是学习数学的重要工具之一，设计合理的数学练习题能够帮助学生巩固知识、提高解题能力。
本文将从数学练习题的设计层次出发，探讨如何优化学习方法，提高学习效果。
一、基础层次：巩固知识点在数学练习题的设计中，基础层次是最基本的一层。
这些题目主要用于巩固学生对基础知识点的理解和掌握。
设计这些题目时，应注重题目的多样性，涵盖各种类型的题目，帮助学生形成全面的知识结构。
同时，还要注意题目的难度适中，既不过于简单，也不过于复杂，以确保学生能够顺利完成。
二、拓展层次：培养解题思维在基础知识点的掌握之后，学生需要进一步培养解题思维。
拓展层次的数学练习题应该注重培养学生的逻辑思维、分析问题的能力。
这些题目可以设计一些应用题、综合题等，要求学生能够将所学知识应用到实际问题中，并能够综合运用多个知识点进行解答。
通过这些题目的训练，学生能够提高解题的灵活性和创造力。
三、拓展层次：培养问题解决能力在解题思维培养的基础上，还可以设计一些挑战性的数学练习题，培养学生的问题解决能力。
这些题目可以设置一些未知条件或者需要推理的题目，要求学生能够通过分析、推理、归纳等方法解决问题。
这样的题目能够激发学生的求知欲望和思考能力，提高他们的问题解决能力。
四、综合层次：综合运用知识在学习的最后阶段，可以设计一些综合性的数学练习题，要求学生能够综合运用所学知识进行解答。
这些题目可以设计成一些情境题、研究性问题等，要求学生能够综合运用多个知识点进行解答。
通过这样的综合性训练，学生能够更好地理解数学的应用领域，提高解决实际问题的能力。
结语：通过合理设计数学练习题的层次，可以帮助学生系统地学习数学知识，培养解题思维和问题解决能力。
同时，学生在解题过程中也能够提高对数学知识的理解和应用能力。
因此，在学习数学的过程中，我们应该注重数学练习题的设计，以优化学习方法，提高学习效果。
罗增儒：数学解题的四个水平
罗增儒：数学解题的四个水平文/罗增儒回顾我从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的40年），我看到了一条清晰的“学解题、教解题”线路：由“记忆模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉理解”的阶段。
这里的四个关键词：模仿、练习、领悟、理解，正好体现为数学解题的四个水平。
如果题目不会解、解不出来那就还没有显示出水平。
从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿那是水平1，如果能够完成变式练习那是水平2，如果能够通过解题获得思维感悟那是水平3，如果能自觉通过解题分析去增强数学理解、提高数学素养那是水平4。
趁此《高中数学解题研究》（第10辑：2019高考精彩压轴题）出版的机会，我将其作为“一个中国解题者的学习案例”或“一个中国学习者的解题案例”总结为经验性的认识（辅有具体案例），就教于广大数学同行。
1、学解题四个水平的认识。
（1）数学解题的记忆模仿阶段（水平1）。
这一阶段的表现是，模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，能套定理公式，但稍一变化就会思维受阻；解题常常只是为了完成任务，解题的目的就是获得答案；题目解完之后没有反思自己是怎么想的，也说不清用了哪些知识、哪些方法。
这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性（记得快），记忆的持久性（记得牢或忘得慢），记忆的准确性（记得准），记忆的准备性（便于提取）。
停留在这一阶段的记忆主要是机械记忆，缺少自觉的理解记忆。
记忆和模仿都是必要的，学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节课后的数学作业基本上都是模仿性练习。
波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》（第46页）中说“摹仿是学习的开始”。
至于“不要死记硬背”的告诫，也不是要否定“记”而是要否定“死”。
但是，仅仅停留在记忆模仿阶段是不够的，还需要领悟和理解，有些同学“课堂上讲的还能够听懂，课后作业常常遇到困难”，个别老师“课堂上讲过的题目，过上几周学生来问，自己都不会了”，就是停留在记忆模仿的水平上。
小学数学的四大核心概念掌握它们就能做题如吃饭
小学数学的四大核心概念掌握它们就能做题如吃饭数学作为一门学科，对于小学生来说具有重要的地位。
在小学数学的学习过程中，掌握核心概念是至关重要的。
本文将介绍小学数学的四大核心概念，并解释它们对于做题的重要性。
一、数的概念数的概念是小学数学学习的第一步。
它是让学生认识数字，理解数字之间的关系以及数的特性。
对小学生来说，理解数的大小、顺序和数量是非常基础的概念。
只有掌握了数的概念，学生才能进一步学习后面的数学知识。
除此之外，数的概念还包括学生对数的运算的理解。
小学数学教学中，加减乘除是四则运算的基础。
学生需要掌握加法、减法、乘法和除法的基本定义和性质，能够进行简单的运算。
只有掌握了数的概念和运算规则，学生才能够进行后续更复杂的数学计算。
二、形状与空间的概念形状与空间的概念是小学数学学习的另一个重要方面。
它包括对平面图形的认识、描述和分类，以及对立体图形的认识和理解。
学生需要学会辨认各种形状和了解它们的基本性质。
通过学习形状与空间的概念，学生能够培养对于视觉信息的感知能力，提高几何思维能力。
在数学做题中，形状与空间的概念也扮演着重要的角色。
很多问题需要学生根据题干中的描述绘制图形，或者根据已知的图形进行计算。
只有掌握了形状与空间的概念，学生才能够准确地理解题目，并给出正确的答案。
三、计算思维的培养计算思维是指学生通过处理数学问题，运用数学知识进行思考和推理的能力。
它涉及到数学问题的拆解、归纳、推理和解决。
在小学数学学习中，培养学生的计算思维能力非常重要。
通过培养计算思维，学生可以更好地理解和解决数学问题。
他们能够灵活运用所学的数学知识，将抽象的概念与实际问题相结合，找到解题的方法和思路。
计算思维的培养可以提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力，为他们今后的学习打下坚实的数学基础。
四、逻辑推理与问题解决能力逻辑推理和问题解决能力是小学数学学习中不可或缺的一环。
它涉及到学生对问题的分析和理解，能够运用数学知识进行推理，并通过解决问题来检验自己的答案。
初中数学作业的分层设计
初中数学作业的分层设计第一层次：基础概念练习这一层次的作业主要是针对初中一年级的学生，帮助他们巩固数学基础知识和概念。
包括一些简单的计算、数列、图形、几何、单位换算等题目。
通过这些题目的练习，学生可以加深对基本概念的理解，并提高基本运算的熟练度。
第二层次：基本运算与应用这一层次的作业主要是针对初中二年级的学生，帮助他们巩固和提高基本运算的能力，并将其应用到实际问题中。
包括一些复杂的计算题、应用题、综合题等。
通过这些题目的练习，学生可以加深对基本运算规则的理解，并能够将其应用到实际问题的解决中。
第三层次：拓展与延伸这一层次的作业主要是针对初中三年级的学生，帮助他们拓宽数学知识的面，提高解题的思维灵活性和推理能力。
包括一些较难的数学题、证明题、应用题等。
通过这些题目的练习，学生可以进一步提高自己解题能力和数学思维能力，为高中数学的学习打下坚实的基础。
第四层次：综合及创新这一层次的作业主要是针对数学水平较为突出的学生，帮助他们在综合运用和创新性思维上有更高的要求。
包括一些较难的综合题、创新性问题、研究性课题等。
通过这些题目的练习，学生可以进一步提升自己的综合能力和创新思维能力，为深入研究数学奠定坚实的基础。
此外，对于每一个层次的作业设计，我还建议采取以下方式进行：1.分阶段布置作业：将一个主题的作业分为两到三个阶段，每个阶段的题目难度适中，帮助学生逐步掌握知识和技能。
2.混合题目练习：在每个层次的作业中，适当混合不同难度的题目，帮助学生巩固基础知识的同时，也能提高他们解决复杂问题的能力。
3.扩展题目设置：对于每个层次的作业，可以设立一定数量的扩展题目，供学生自愿选择完成，以满足对更高层次挑战的需求。
4.拓展学习资源：为了提高学生的学习积极性和自主学习能力，可以为每个层次的作业提供相关的学习资源，如参考书、网上资料、题目讲解视频等，帮助学生深入理解和巩固知识。
5.鼓励合作学习：对于一些较难的题目和复杂的应用问题，可以鼓励学生通过小组合作的方式解决，促进彼此之间的讨论和学习互助。
数学解题思维方法
数学解题思维方法数学解题是一种很重要的思维能力，它要求我们用逻辑思维、分析能力和创造力来解决问题。
以下是一些常见的数学解题思维方法：1.分析问题：首先要仔细阅读题目，理解题目中所给出的信息。
然后分析问题的关键点，确定解题方向。
可以用图表、表格等形式来总结已知条件。
2.约束条件：有些数学问题可能会有一些约束条件，比如范围限制、条件限制等。
要从这些限制中提取有用信息，以确定问题的范围。
3.利用已知条件：将已知条件转化为数学符号和方程，以帮助我们解决问题。
有时需要进行一些变量的定义、假设或引入一些辅助线、点等来简化问题。
4.分解问题：将复杂的问题分解成几个简单的子问题，然后分别解决。
这样有助于我们理清思路，逐步推进解决问题的过程。
5.利用模型和公式：在解决数学问题时，可以根据问题的特点选择合适的模型和公式。
模型和公式是通过对类似问题的研究总结的，使用它们可以大大简化问题的解决过程。
6.探索和试错：有时候，我们需要探索一些可能的解决方案，并通过试错的方法来验证它们的可行性。
这需要我们具备一定的胆量和耐心，同时灵活运用已有的知识和技巧。
7.归纳和演绎：数学解题是一种归纳和演绎的过程。
在解决问题的过程中，我们会发现一些规律或者模式，然后通过归纳来得到结论。
基于这些结论，我们可以进行演绎，进而解决更复杂的问题。
8.沟通和合作：数学解题并不是一个孤立的活动，我们可以与他人进行讨论和合作，从中获得新的思路和解题方法。
借助他人的智慧和经验，我们可以更快速地解决问题，同时也能提高自己的解题能力。
除了这些常见的解题思维方法，还有一些其他的方法，比如逆向思维、类比思维等。
所有这些方法都有一个共同的特点，那就是需要我们灵活运用已有的数学知识和技巧，结合逻辑推理和创造性思维，进行问题求解。
通过不断练习和思考，我们可以提高自己的解题能力，不仅在数学上，也在生活中获得更好的解决问题的能力。
数学解题能力培养四步曲
数学解题能力培养四步曲数学解题能力培养四步曲摘要：在数学教学中，解题能力的欠缺一直是制约教育开展的短板。
而数学解题能力的缺位又导致了学生在学业方面面临着巨大的压力，也影响了成绩的提高。
为此有必要从四个方面来培养学生的解题能力。
关键词：解题能力；培养；教材；障碍；表达数学解题是数学教学中的一项重要内容。
学数学最好的方法是做数学，做数学离不开数学解题。
培养数学解题能力是减轻学生数学学习负担，提高学生数学学业成绩行之有效的方法之一。
在数学教学中，培养学生的数学解题能力须遵守以下四个要素。
一、数学解题能力培养要从教材抓起在数学教学中，局部教师用课件展示教学内容，然后要求学生直接完成练习册或习题集中的习题，不太重视教材的运用，总认为教材中的知识过于根底。
而有些学生也不会对根底知识进行梳理，不会看学习材料中的例题，不屑做根底题，一心想钻研难题。
学生往往通过课外习题来完成对根底知识的掌握，这样的现象在局部重点中学表达得更为突出，这在一定程度上影响了学生学习数学的效率。
学生需要提高数学解题的正确性和解题速度。
同时，数学学习本身需要培养学生数学解题的能力，学生会在数学解题中理解数学，运用数学，从而提高自己的数学素养。
正是这两方面的原因，数学教学首先要立足双基，脱离学生实际，盲目追求难题怪题会浪费学生珍贵的学习时间，造成学生对数学学习的负面心理，影响学生学习数学的积极性。
可以肯定地说，数学教学需要对学生进行适度的解题训练，而这一切都要紧紧围绕教材展开。
数学解题需要学生回归教材，学生要从教材的概念、定理、例题、习题中得到启发。
同时数学解题又要求教师不能局限于教材或教辅材料，要创造性地使用教材。
二、数学解题能力培养要多挖掘好问题曾有人提出了一个好问题应具有的本质：问题的解答中包含着明显的数学概念或技巧；问题可推广或扩充到各种情形；问题有多种解法。
笔者认为，一个好问题应该能激起学生解决问题的兴趣，它既要与学生现有的知识水平相符，又要具有一定的挑战性；一个好问题应该融入较丰富的数学知识，这些数学知识是自然的结合而不是生硬的堆砌，能让学生多角度地思考问题，从而使得学生对数学知识的理解做到融会贯穿；一个好问题应该让学生既能举一反三，问题得到延伸，又能在解题过程中得到数学思想方法上的提升，使学生回味无穷。
数学教师讲解习题的四种境界
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
讲题的四种境界讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．1 什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2．1会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
罗增儒：什么叫数学题？数学解题的四个水平,高考数学压轴题的解题展示与理论认识
罗增儒：什么叫数学题？数学解题的四个水平,高考数学压轴题的解题展示与理论认识1、什么叫数学题给数学题作出严格定义是一件困难的事情，我们就把数学上回答起来有困难、需要解决的事情作为数学题的宽松界定．(1)界定．数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾．(2)解释．对数学家而言，仅当命题的真假未被判定时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了；这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”．在数学教学中，则把结论已知的事情也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的事情，重点在“要求回答或解释的事情”上．(3)基本要素．数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件(已知，前提)，结论(未知、求解，求证，求作等)．条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍．因此，问题具有目标性，障碍性和相对性，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾．(4)特别提示．有人认为，概念课、定理课的前半部分是讲概念、证定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、怎样发现和论证定理也是题！案例1：构建概念的例子．比如，如何构造有序实数对与平面上点的对应，从而建立起坐标系的概念，就是一道题(其实质是数与形的结合和两个无穷集合的对应)，构建出坐标系就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一．更重要的是，通过坐标系，“有序实数对”与“平面上点”在数学上“合而为一”了．在这里，如何构建概念是一道题，构建出概念就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一，而“怎样进行概念教学”的方法其实就是一个宏观解题程序．案例2：构建公理的例子．怎样描述“直线很直、平面很平”就是一道题，数学家构建出“直线公理”和“平面公理”就是解了一道题．“直线公理”：经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)，正是直线本质特征的一个刻画．直线是可以无穷延伸、很直很直无法严格定义，但用公理可以刻画出来，试想，如果“直线”不是很直很直的，那么，经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那么，经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线．所以，“经过两点有且只有一条直线”表明：直线是由无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直．同样，高中的平面公理是平面本质特征的一个刻画，平面可以无穷延伸，很平很平等无法严格定义，但用公理可以刻画出来．试想，如果“平面”不是无穷延伸的，那么有一个公共点的两个平面就可能只有一个公共点或延伸出有限的公共线、公共区域；如果“平面”不是很平很平的，那么即使无穷延伸也有可能得出公共曲线．同样，如果“平面”不是很平很平的，那么由于直线很直，即使直线有两个点在平面上，也不能保证整条直线都在平面上．所以，平面公理表明：平面可以无穷延伸，很平很平．案例3：方法教学的例子．作为连续函数的应用高中介绍了二分法，在教学中常见教师创设“猜价格游戏”的生活情景来引进(比如猜手机价格)，但缺少情境的生活化提炼，学生没有见到“连续函数f(x)”，没有见到“方程f(x)=0”和它的解，如何由“猜价格游戏”提炼出连续函数和它的应用——二分法？就是一道题．学生在这个数学活动中，学到了“二分法”，看到了连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想”“近似逼近的数学思想”“数形结合的数学思想”“特殊与一般的数学思想”“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化(去情景化)的提炼过程，就是在学习解题，就是解了一道数学题，就是在通过学习数学去学会思维．这个“二分法”课题的教学过程，可以提高我们“从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，可以让我们感悟到“用数学眼光观察世界”、“用数学思维思考世界”、“用数学语言表达世界”，从中可以孕育乃至生成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等核心数学素养．案例4：提炼命题的例子．如何由“糖水加糖变甜了(糖水未饱和)”提炼出真分数不等式(若b>a>0，m>0，则a/b<(a+m)/(b+m))是一道题．由糖水提炼不等式是个好问题，它来源于日常生活中再简单不过的常识(托儿所小孩子都知道的生活现象)，而沟通生活与数学的联系又非常自然，情境本身还有很大的拓展空间(直到切比雪夫不等式)．在这里，如何发现、提炼和论证命题是一道题，提炼出命题就是解了一道题，而“怎样进行定理教学”的方法其实就是一个宏观解题程序．案例5：论证定理的例子．初中二次方程根与系数的关系，原先的教材是作为定理来学习的(韦达定理)，“课改”被删去后有的新教材将其编作课后习题，修订“课标”时又恢复了定理的“身份”，在这里，题与定理、定理与题并无严格的界线(顺便指出，对二次方程，由求根公式可以推出韦达定理，反之，有韦达定理二次方程不一定有实根；更一般地，高于四次的高次方程有韦达定理、没有公式解(即各项系数经过有限次四则运算和乘方、开方运算无法求解)，而且韦达定理的对称多项式结构以后很有用——伽罗瓦群论)．同样，高中“三垂线定理”“积与和差互化公式”，课改被删去了，有的新教材将其编作习题或例题，在这里，题与定理、定理与题并无严格的界线．案例6：构建学科新结构的例子．在微积分教学中，极限定义的语言是个难点，如何给出一个非语言的极限定义？这就是一道题，张景中院士给出了“极限概念的非语言定义法”就是解了一道题，并且，张院士由此构建出学科的一种新结构：新概念微积分．2、数学解题的四个水平(时间关系，只做书面发言)回顾我从当学生到当教师的几十年解题实践(特别是当教师以来的40年)，我看到了一条清晰的“学解题、教解题”线路：由“记忆模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉理解”的阶段．这里的四个关键词：模仿、练习、领悟、理解，正好体现为数学解题的四个水平．如果题目不会解、解不出来那就还没有显示出水平．从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿那是“水平1”，如果能够完成变式练习那是“水平2”，如果能够通过解题获得思维感悟那是“水平3”，如果能自觉通过解题分析去增强数学理解、提高数学素养那是“水平4”．趁此“高考数学压轴题”研究的机会，我将其作为“一个中国解题者的学习案例”或“一个中国学习者的解题案例”总结为经验性的认识，就教于广大数学同行．(1)数学解题的记忆模仿阶段(水平1).这一阶段的表现是，模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，能套定理公式，但稍一变化就会思维受阻；解题常常只是为了完成任务，解题的目的就是获得答案；题目解完之后没有反思自己是怎么想的，也说不清用了哪些知识、哪些方法．这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性(记得快)，记忆的持久性(记得牢或忘得慢)，记忆的准确性(记得准)，记忆的准备性(便于提取)．停留在这一阶段的记忆主要是机械记忆，缺少自觉的理解记忆．记忆和模仿都是必要的，学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节课后的数学作业基本上都是模仿性练习．波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》(第46页)中说“摹仿是学习的开始”．至于“不要死记硬背”的告诫，也不是要否定“记”而是要否定“死”，不是要否定“背”而是要否定“硬”．但是，仅仅停留在记忆模仿阶段是不够的，还需要领悟和理解，有些同学“课堂上讲的还能够听懂，课后作业常常遇到困难”，个别老师“课堂上讲过的题目，过上几周学生来问时，自己都不会了”，就是停留在记忆模仿的水平上．(2)数学解题的变式练习阶段(水平2).这一阶段的表现是，做数量足够、形式变化的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用．其作用首先是通过变换方式或添加次数来增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会．许多学生经过充分练习之后，题型积累有所增加，解题操作更加熟练，确实能解决一些形式变化的问题了；还有学生在获得答案之后也能说说自己是怎么想的，用了哪些知识、哪些方法，有的题目亦能进行一题多解．多数学生和广大教师能达到这个水平．“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的体现，它作为一种学科活动可以成为感悟解题思想、接近数学实质、形成学科素养的载体和通道．记忆模仿、变式练习主要体现了“模式识别”的解题策略．它是学生获得本质领悟的基础或必要前提．但是，“没有理解的练习是傻练(越练越傻)，没有练习的理解是空想(越空越想)”．因此，对学解题而言，更重要的是跨越模仿和练习而产生领悟．(3)数学解题的自发领悟阶段(水平3)．这一阶段是在变式练习的基础上产生初步感悟，表现为个体经验的生成．如：对解题思路的探求能够开始有意识的设计；解题不仅要获得答案，不仅能说出自己的思路，有时还能领悟当中的解题思想、解题方法和问题的深层结构，间或还能一解多题，并作出一些推广，还会有针对性地编拟新题．但是，这种领悟带有自发的性质和隐性学习的特征，常常是“只可意会，不可言传”．这三个阶段，体现了“接受记忆知识——练习巩固知识——顿悟形成理解”这样一个逐步深化的认识过程，是传统教学所熟悉的．能够进入“自发领悟”阶段也标志着数学学习的一种觉醒，即已经感悟到解题学习需要“理解”(如同不仅会用数学归纳法的两个步骤，而且能去理解方法的无穷三段论本质)．但是，这种领悟长期停留在自发的和个性化的层面上，表现为一个漫长而又不可逾越的必由阶段(会存在高原现象)，目前的很多学生就被挡在、或停留在这一步．我自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题教与学还应该有第四阶段．(4)数学解题的自觉理解阶段(水平4)．这一阶段表现为，能在领悟解题的基础上，进一步做到：①数学问题的迅速识别，解题思路的主动设计，知识资源的理性配置，解题方法的灵活运用，解题策略的适宜调控，解题过程的自觉反思，努力通过解题去获得数学的理解，使认识进入深层结构．②能从数学操作和正确答案中看到数学知识和数学方法的应用，能从数学知识和数学方法中看到数学思想和思维策略的指导，能从数学思想和思维策略中提炼(DNA)数学核心素养，获得态度、情感的熏陶，形成正确价值观念、必备品格和关键能力．问题是怎样通过解题获得理解，我的建议是：自觉的解题反思，通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”．操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤(参见拙著《中学数学解题的理论与实践》)．(《中学数学解题的理论与实践》)自觉的解题反思与检查验算是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示．当前的重点应是加强第四阶段的教学与研究，这是一个无限广阔的创造空间．下面，通过一组涉及组合数的题目来做说明(略)．以上的例子及其处理，到底能不能说明四个水平？是否有助于学生对数学本质的深刻认识和深度把握？可不可以帮助学生用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问題、用数学的语言表达和交流问题等等，我都留给大家去思考、评判和实证．3、共勉从“会议手册”可以看到，大家对什么是高考数学压轴题、怎样求解高考数学压轴题等的认识是有区别的，可能大家对讲题讲什么、讲题怎么讲、讲题对谁讲等也会有不同的看法和做法，我想到总结发言时再展开我的个人看法，作为发言的结束，用以下“寄语”与同行们共勉：●我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．●我们应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平．●我们应当把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程，而不仅仅是学习结果的巩固．●数学家创造数学，数学教师创造数学的理解．解题专家不仅要自己知道“怎样解题”，而且能指导学生也“学会解题”．●解题能力是数学教师的一个专业制高点，研究解题是专业攀登的一座发展里程碑．●谁也无法教会我们所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种可以解决无限道题的数学素养．●数学上负数比零更小，解题中没有想法比想错了更糟．(解题就是在正确的方向上不断的犯错误)祝比赛圆满成功！(罗增儒教授在开幕式上寄语青年教师)-2-闭幕式点评报告——高考数学压轴题的解题展示与理论认识老师们：下午好．很高兴，能与来自全国十多个省市的数学同行分享数学解题的甜酸苦辣．令我非常感动的是，在你们废寝忘食的认真准备和三尺讲台的激情展示中，体现了火热的数学情怀、勇敢的发展追求、崇高的职业自觉和自觉的学术担当．我下面的发言包括两个部分：会场上的观察与思考、高考压轴题的一些理论认识．欠妥之处，盼批评指正．1、会场上的观察与思考总体感受：会议是智慧的比赛，而不只是知识的比赛；会议是创新的比赛，而不只是记忆的比赛．相比之下，“诗词大会”就主要是知识和记忆的比赛，还需要注入更多的智慧和创新元素．下面从五个方面说说我看到什么又联想起什么．1-1 看到了学术热情和广有收获(1)大家放弃休息、冒着酷暑，自觉自愿的走到名城沭阳来切磋数学，就是一种学术热情；比赛的选手有的练到半夜，有的放弃午休；不是比赛的老师也十几道题题练习，这不是学术热情是什么？我还注意到，好几个队都注重了讲授形式的活泼，多位教师轮流上场；还有与学生的现场互动．所以，我第一段话就说了“火热的数学情怀、勇敢的发展追求、崇高的职业自觉和自觉的学术担当”．(2)参会人员来自教学第一线，有良好的解题胃口和浓郁的学术氛围，大家讲起题来，具有“读懂学生”的“内行话”优势，具有“通达课堂”的“接地气”强势．我在“中考压轴题”会议上说过“这是解题精强团队不事张扬的报到”“这是解题集体智慧不无潇洒的亮相”．其水平不低于任何一本教辅书．这些“优势”和“强势”使得我们都能“不虚此行”，无论是上场的选手还是台下的听众，大家都能在高考压轴题的解法和思路探求等方面收获满满，并可以立即将诸多收获用于课堂．我还要提起，“广交四海朋友、认识专家主编”等不仅也是收获，而且还是“长久耐用”的更大收获(潜力股？)．1-2 看到了“讲题”的深入思路和师生互动(1)所有选手都表现出强大的实力和过硬的基本功．9个参赛队的讲题老师都富含数学素养，特别突出的是逻辑推理，直观想象，数学运算；他们深厚的专业功底，饱满的教学热情，可人的教学风度，美观的课件呈现等都给我留下了深刻的印象．我高兴看到，9支队伍既不是缺少解题实践的理论空头，也不是缺少理论指导的教学苦力，都表现出“既懂数学又懂教学，既有实践又有理论”的良好势头．沭阳队是解题理论修养与实践指导双结合的一个代表．顺便提起，正如在汽车普遍进入生活的现实中婴儿还要首先学好走路一样，我十分赞成在多媒体普及教学的形势下教师依然要练好基本功(我曾要求我的研究生每周交一篇钢笔字、一篇毛笔字)．还要看到，真正过硬的教学基本功不是提前做好课件，上课播放课件．我见过这样的数学前辈，可以徒手一笔一个圆，两笔两个相切的圆，三笔三个两两相切的圆，四笔四个两两相切的圆，是一面讲一面画的．(2)所有题目都进行了广泛的探讨和深入的挖掘．无论是选择题、填空题还是解答题，所有队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解(三四个解很普遍、五六个解不罕见、七八个解也可见)，努力接近问题的深层结构(直到高等数学背景)；还有命题立意分析，题意分析，思路分析、评价与推广和数学思想的分析等(参见浙江杭州代表队的讲解)，没有停留在获得答案的简单层次上(江苏高邮代表队通过问题串的方式揭示思路有特色)．第1队(浙江杭州代表队)对第10题的“不动点”揭示，用得上两个字：深刻！第6队(上海代表队)对第12题“图形结构”的揭示，也用得上两个字：深刻！其他队亦都是在努力进行本质揭示，努力获得启示与引申．(3)会场的师生互动应该成为一个亮点．好几个同学的发言，都给我留下深刻的印象．有的同学提出了很好的思路，反映能力水平和数学素养不错；有的同学表达了困惑，说明题目太难或我们的讲解存在不到位的地方．这应该成为我们这次会议的一个亮点．主持人要给他们奖励，他们受之无愧．相比之下，老师的发言显得冷清，也缺少学生的批判性．这可能与主持人的时间把握和现场调动有关．1-3 看到了对高考大方向的深刻认识和核心素养的自觉关注多数队不仅有试题讲解，而且有试卷分析．试题讲解不仅有答案，有一题多解，而且有命题立题分析，题意分析，思路分析，评价推广，与教材的联系，与往年高考题的联系等，还有数学思想和6个核心素养的自觉感悟．而试卷分析则体现高考大方向和今年的命题风格．比如：(1)上海代表队对上海卷特色的分析.(2)天津代表队对天津卷、江苏沭阳代表队对江苏卷与全国卷1卷的对比分析.(3)对全国1卷21题中的5点分析能反映高考命题的动向：●阅读理解要求高(题目有400多字)；●强调了数学的实际应用，让我们感悟到“用数学眼光观察世界”、“用数学思维思考世界”、“用数学语言表达世界”；●改变了导数题压轴的惯例，也改变了解答题的习惯顺序；(以上3点会对学生产生心理威胁)；●进行了跨学科的综合：概率与递推数列的综合，突破学科内的单一综合；●体现素养立意：从这道题可以孕育乃至生成数学抽象、逻辑推理、数学建模(概率模型、数列递推模型)、直观想象、数学运算(推理与运算两兼：推理的需要提出运算的要求，运算的结果提供推理的论据)、数据分析等核心数学素养．讲讲故事(高考要着眼于学生的核心素养)．故事1：王尚志教授举了一个发人深省的例子，有一所“985”高校，学生的高考数学平均分在125分以上，入学后的10月份组织学生对做过的高考题目的考试，平均分降到100分；到同一年的12月再考一次同样的题目，平均分只有及格．这说明很多题目学生做过就忘了．考那样的题目，高中那样的教法，没有多大积极意义．高考制度与高中课程的改革，要给学生脱颖而出的机会与条件．我们可以通过数学建模等形式，让学生的才华呈现出来．以后高校录取不会斤斤计较一分两分，要着眼于学生的核心素养．故事2：有一次，史宁中教授问大学文科一、二年级的学生“什么是三角函数”“如何求球的体积”等基础性问题，他们回答说“全忘了”．这两个故事说明，学生数学知识的获得，主要是依据知识的逻辑线索，缺少学生心理的发生过程，很大程度上是教师将数学知识“无私”地奉献给学生(怎样想到的，怎么证实等不太清楚)，学生无法得到知识来源的心理依据，数学知识就不能从心理意义上发生，就只有通过机械记忆的方式来获得知识，因而遗忘也快．做个比喻：缺失心理发生过程的知识是插在花瓶上的花，具有心理发生过程的知识是栽在花盆里的花，一个会凋谢、一个能生长．关于高考的方向与动向，本文第3部分会做展开.1-4 看到了数学课堂上的生动和文化(1)看到了数学会场上有掌声和笑声．可能很多人都会认同数学课堂难得有掌声和笑声，但是我们的会场有了．如同大家所看到的，讲题有激越煽情型的、也有大气沉稳型的，有精雕细刻面面俱到的、也有大刀阔斧突出特点的，有工于抽象思维的、也有富于形象直观的，但不同的教学风格都由于教学呈现形式的生动和数学专业揭示的到位而引起共鸣，产生掌声和笑声．当然，有些笑声也出于语言的艺术或逻辑错位等．(2)看到了数学会场上的文化．数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动．将数学文化融入教学，有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野，提升数学学科核心素养(参见2017年版高中课标)．指向数学核心素养的课堂教学应该努力渗透数学史、数学家，数学精神和数学应用等数学文化要素以及更广泛的人文元素，感悟数学价值，提升科学精神，培养应用意识，生成人文素养．“数学文化”如何考需要研讨——数学史背景、数学家背景、数学名题背景、数字入诗词等大家比较容易想到，更重要的是体现数学视野，体现数学价值(科学价值、人文价值、理性思维、数学美)，用数学思想解释生活现象，用数学思维解决现实问题．据知，高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化(任子朝、陈昂：《突出理性思维，弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透》，载《中国考试》2015年第3期)．关于会场上一般性的文化元素，主要表现有：许多选手富于哲理(或艺术表演)的开场白，经验之谈的口诀，整齐对称的标题，富于哲理的总结(人生的三点共线)，清晰深刻的逻辑关系图，和一些我来不及记下的顺口溜．如：。
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数学解题能力的四大层次
在学生时代，我们总能碰到这么一群人，他们刷了很多题，经常直到凌晨才睡觉，在考试中却只能勉强维持在中游水平；同时我们还能碰到那么一群人，他们很少买教辅书刷题，但是考试却能名列前茅。
难道是后者比前者更聪明些吗？这篇文章将从能力的角度分析里面的深层次原因。
一、知识记忆层面——解题能力的基石
对知识的记忆是解题的基础，哪怕是知识点最少的数学这一科也是如此。
打个简单的比方，如果我们要算5952该如何下手呢？这道题交给小学生或者初一的学生来做，他们的做法多半是500×595+90×595+5×595，还有少数会用600×595-5×595来计算；不过这道题被交到初二、初三或者高中生手上做法就不一样了，因为他们会用学过的完全平方公式进行展开：5952=(600-5)2=6002-2×600×5+52=354025，这样算由于整百数的性质计算量比前两种少了很多，这就体现了知识的增长对解题的帮助。
如果读者大学学的是数学专业，那么知识对学数学的重要性就更能让你感同身受，不像中学的数学，大学数学的知识密度比起中学的数学多了很多倍，不仅公式定理的数量多了，而且长度也长了。
所以，很多中学阶段数学能考满分的同学到了大学连及格都难，并不是能力退化了，而是知识点太多了记不住。
二、操作技巧层面——将知识转化为能力的引擎
对于理科尤其是数学和物理来说，公式定理光记住是不够的，会应用才能解决问题。
打个比方来说，当我们要对x2y2-8xyz2+15z4因式分解的时候，会发现并没有现成的公式能用。
为了使得这个式子能够用上公式，我们需要对它进行配方：(xy)2-2×xy×4z2+(4z2)2-z4，这样前三项就形成了一个完全平方式，得到(xy-4z2)2-(z2)2，接着又可以运用平方差公式进行因式分解，从而得到最终的答案为(xy-3z2)(xy-5z2)。
这里需要点出的是，操作技巧也是建立在知识基础之上的，中学数学虽然知识点不多，但是这并不意味着知识不需要记住，因为技巧和知识的紧密联系恰恰反映了知识的重要性，只不过理科知识的记忆并不是靠死记硬背，而是建立在理解的基础上，而理解知识点需要从问题出发熟悉推导的过程。
而且从上面的例子可以看出，操作技巧不仅仅涉及到一个知识点，而是涉及到不同知识点的综合运用，比如说上边的技巧需要先用到幂的乘方法则和单项式的乘法，
然后才会相继运用完全平方公式和平方差公式。
而且我们会发现这些知识点的联系是非常紧密的。
三、思想方法层面——操作技巧的升华
说到这里，现在我们回来看开头提到的现象，为什么有的同学做了很多题都没法提升成绩呢？首先刷题能强化知识点的记忆，也能提升操作技巧的熟练度，这是刷题的作用。
但是，盲目地刷题只能做到熟练掌握技巧，技巧之上的能力并不能得到提升。
那么技巧之上还有什么？
这里再举一个例子：已知a,b都是实数，求a2+4ab+7b2+4a+20b+35的最小值。
看到这道题其实大家很容易想到要配方，也就是上一道题中的技巧，不过这个多项式有三个二次项、两个一次项，从何着手是一个难点；不过如果我们把b看成一个常数，整个多项式看成关于a的二次函数y=a2+4(b+1)a+7b2+20b+35，那么这个二次函数的最小值想必初三的同学都会做了。
若固定b，当a=-2b-2时y最小，最小值为3b2+12b+31。
而当b=-2时，整个多项式取最小值19。
在上边这道题中，我们用了换主元的思想方法解决了问题。
思想方法并不是直接建立在知识点上的，而是来自于技巧的总结和对新方法的见识。
在数学中还有归纳法、数形结合法、整体思想等思想方法；在物理中有等价模型法、转换参考系法、微元法、守恒思想等思想方法。
这些思想方法对于解决一些比较难的问题有很大帮助，是成为解题高手的必备能力。
四、解题内功——看不见的能力，量的积累
分享一个小故事：著名计算机学家冯诺依曼(John von Neumann 1903-1957)有一次做演讲时，一位记者给他抛出这么一个问题：AB两地相距10公里，甲乙两个人以5公里的时速分别从AB两地相向而行，同时一条狗以10公里的时速从A出发，每次遇到乙或甲就马上掉头以原来的速度返回，那么甲乙相遇时狗跑的路程是多少？冯诺依曼不到5秒钟的时间给出了答案：“10公里”。
记者惊讶地说：“哇！其他人一般都是把每次的路程加起来算的，你是我碰到的第一个先算相遇的时间再求路程的。
” “我就是把每次的路程加起来算的。
”冯诺依曼回答道。
先不探究冯诺依曼到底有没有说真话，不过世界上确实存在这样的高手，仅仅把平凡的方法发挥到极致解决了问题，这种能力就像武侠小说中的内功心法，而前面的技巧就像是招式，而高手是两者都要精通的。
再来看一道题：正数a,b,c,A,B,C满足条件a+ A=b+ B=c+C=k.求证: aB +bC+cA< k2.
这道题是某年国家集训队的训练题，有两种解法，都是不容易想到的。
方法一(代数法):记右边的值为R，左边的值为L，那么：k(R-L)=k(k2-a(k-b)-b(k-c)-c(k-a))=(k-a)(k-b)(k-c)+abc=ABC+abc>0，即L<R.
方法二(面积法):如图在等边三角形PQR中,M、N、L分别在PR、PQ、QR上。
三条边各段的长度如图所示，那么图中三角形的面积有如下关系：
约去系数即可得结论。
其中方法二就是利用上面提到的数形结合法解决了问题，构造非常巧妙，想到这一方法的人有极强的观察力和联想力。
而方法一暴力多了，基本上没用到什么巧劲完全是能力的体现。
在考场上能直接想到第二种方法还是很难的(除非做过原题)，但是第一种方法可以通过长期的训练和不断归纳总结内化成能力，这样碰到类似问题时就能游刃有余，处变不惊。
五、总结——要内化成一种能力
在数学等理科的学习过程中，很多同学还是知道知识点和解题技巧的重要性，不过对于思想方法和“内功”的练就还是没有认识，主要还是因为在做题的过程中没有归纳总结，仅仅停留在“看山是山，看水是水”的层次，总结思想方法能帮助大家达到“看山不是山，看水不是水”的境界。
如果要达到“看山还是山，看水还是水”的境界，还需要大量的经验积累并形成适合自己的方法体系，从而内化成一种能力，这需要花费非常多的时间和精力。