简谐激励下强迫振动的响应特性
简谐激励下强迫振动的响应特性-57页文档资料
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s in 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
例 （1）
Particular solution:
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh(t)xp(t)
其中, x h (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
cx
Inertia
m x 2
Amplitude F0
F
c
m
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
简谐激励的响应.ppt
第3章 单自由度系统的强迫振动
振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对 外部激励的响应。第2章讨论了振动系统在外部初 始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振 动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用 下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界 不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统 得以持续振动。
外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系 统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简 单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周 期激励及非周期激励。
叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于 线性系统，可以先分别求出对所给定的各种激励的 响应，然后组合得出总响应。
3．1 对简谐激励的响应 如图所示为二阶线性有阻尼质量—弹簧系
第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐
激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当
t=0时，
，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时 间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如 图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在 ω=ωn处，而发生在
从图中同样可以看出振幅最大的峰点在 λ=ω/ωn=1的左面，为了确定曲线峰点的位置， 可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对 ω(或λ)进行微分，并令其结果等于零。即
2.5简谐激励作用下的强迫振动
sin(t
)
MX 0
sin(t7 )
简谐激励作用下的强迫振动
• 稳态响应特性
M (r)
5
0
M (r)
1
0.1
4
(1 r2 )2 (2 r)2
3
0.25
（2）当r→∞( ω>> ωn ）
2
0.375 0.5
1
激振频率相对于系统固有频率很高
1
r
0
0
1
2
4
（4）当r=1 ( ω≈ ωn ）
3
0.25
0.375
对应于较小ξ值，M(r)迅速增大 2
0.5
1
1
r
当 0
M (r)
0
0
1
2
3
结论：激励频率和系统的固有频率一致时，振幅趋于无穷大， 系统产生共振
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 r=1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降
21.4.24
mx cx kx F sint
用复指数法求解，以Fe jωt代换Fsinωt
mx cx kx Fe jt
21.4.24
<<机械动力学>>
F (t )
x
m
0
k
c
F (t )
m mx
kx cx
2
简谐激励作用下的强迫振动
振动微分方程：mx cx kx Fe jt
显含时间 t 非齐次微分方程
设：xs (t) Xe jt X ：稳态响应的复振幅
代入，有： (2m jc k) Xe jt Fe jt
03-1 单自由度简谐激励的响应
第3章 单自由度系统的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
强迫振动：系统在持续性的外激励作用下所产生的振动。
(k m 2 ) X sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
为便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F0 sin t F0 sin[(t ) ]
F0 cos sin t F0 sin cos(t )
Cx Kx F (t ) mx
激励分类：
激励力 外激励 激励位移 简谐激励 周期性变化的激励力 任意周期激励 任意激励
3.1
简谐激励的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
简谐激励运动微分方程为：
m x cx kx F (t ) F0 sin t
燕山大学
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(k m 2 ) X sin(t ) c X cos(t ) F0 cos sin t F0 sin cos(t )
2 ( k m ) X F0 cos sin(t )
共振频率
1 2 2
r 1 2 2 n
共振时放大因子 共振振幅
1 2 1 2
实际使用时，由于ζ较小，一 般将ωr ＝ωn作为共振率。
X
X0 2 1
2
共振时的响应
燕山大学
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
简谐激励下强迫振动的响应特性
1 s 2 t 0 in 0
c1
100.05(m) 200
c2 0
例（1）
The solution: x t A c2 o t B 0 s s2 it n 0 . 0 0 tc 5 2 o t 0 s
A and B are determined using the initial conditions
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
x00 A0 x t 2 0 B c o s 2 0 t 0 . 0 5 c o s 2 0 t t s i n 2 0 t x00 B0.050.0025(m )
20
Hence, the complete response of the undamped system is
x t 0 .0 0 2 5 s i n 2 0 t 0 .0 5 tc o s 2 0 tm
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的高频特性
, 0 , , X 0 F k 0 n 2 2 m F 0 2
(Inertia domination)
（外力主要与惯性力平衡）
Φarctan122
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的共振特性
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
2.5简谐强迫振动理论的应用
基础简谐激励下的强迫振动
2
单自由度系统受迫振动 / 旋转失衡引起的强迫振动
• 旋转失衡引起的强迫振动
背景：旋转机械中，转子偏心引起的受迫振动 原因：高速旋转机械中转动部分的质量中心与转轴中心不重合 特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例
e
m
t
x
k 2
c
k 2
• 工程中的受迫振动问题
•振动的隔离
•惯性式测振仪
18
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离 消振 隔振 阻振
振源 消振: 消除振源的振动； 阻振: 在受控对象上加阻尼；
受控对象 吸振
吸振: 在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子 系统中； 隔振: 在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所 传递的振动量。
x(t ) X sin(t )
5
得响应：
单自由度系统受迫振动 / 旋转失衡引起的强迫振动
x(t ) X sin( t )
H ( )
1 (1 s 2 )2 (2 s)2
其中 s 为 ： s n
2 F me M 2 me me 2 me 2 A 又写为 ： A 0 ( ) s k k k M M n M
k
单自由度系统受迫振动 / 旋转失衡引起的强迫振动
2 Mx cx kx me sin t
m e 2 sin t
x
me ：不平衡量
m e 2 ：不平衡量引起的离心惯性力
k
M
c
设： F0 me 2 静位移为
F0 me 2 M 2 me me 2 A ( ) k k k M M n
第三章.单自由度系统的强迫振动
k c 其中： , ζ= , ωd = ω0 1−ζ 2 其中： ω0 = m 2ω0m
ω λ = , B= ω0
p0
2 2
(1−λ ) + (2ζλ)
k
2
2ζλ , φ = tg 1− λ2
−1
3 . 3 力激励、位移激励和加速度激励 力激励、
力激励 位移激励 加速度激励
1.力激励：（同前分析） 力激励：（同前分析） ：（同前分析
3.1简谐振动下的强迫振动
此时品质因素： 此时品质因素：Q =
ω 1 = 0 2ζ ∆ω
机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） { 机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） 机械导钠：机械阻抗的复数。 机械导钠：机械阻抗的复数。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 复频响应函数（频率响应函数） 复频响应函数（频率响应函数）
第三章 单自由系统的强迫振动
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 简谐振动下的强迫振动(稳定阶段 简谐振动下的强迫振动 稳定阶段) 稳定阶段 强迫振动的过渡过程 力激励,位移激励和加速度激励 力激励 位移激励和加速度激励 振动的隔离 周期激励的响应 任意激励的响应
3.1简谐振动下的强迫振动
mɺɺ+ cx + kx = p sin ωt x ɺ p ɺɺ+ 2ζω0 x +ω x = e jωt ɺ x m 是复数，其特解为： x是复数，其特解为： x = Be jωt
2 0
{
jωt
c = 2ζω0 m k 2 = ω0 m
其中； 其中；B 为复振幅
简谐强迫振动
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
H ()
为系统的放大因子
1 / 2 /
2 2 n
1
2 n
自由振动 位移幅值 速度幅值
A
受迫振动
H () A
(2.4-4)
它的通解为
x x1 X cost
x1 应该满足方程
2 2 1 2 n x 1 n x x1 A cos t 0n 0 x 0 X sin x0 x 0 X cos , x
（2.4-5）
返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应单自由度系统受简谐激励的微分方程为244它的通解为245可以得到sincossincoscos返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应返回首页theory简谐强迫振动简谐强迫振动系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应从图中可以看出频率为的简谐振动无论受何种初始条件的作用由于阻尼的存在经过一定的时间后将趋于消失它只在有限的时间内存在
T 0
周期
T
2π
(t ) d t π kA2 H () sin cX 2 WP FS x
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
a
b
c
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
第2章_单自由度系统-2.4简谐强迫振动
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
稳态响应
本节内容
暂态响应
4
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
齐次方程的通解上一节已经给出。
其通解为对应的阻尼自由振动的解。
设其特解为:
xp X sin(t )
9
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的复频率响应为
H () H () ei ( )
( ) 为复频率响应 H ( ) 的幅角
( ) arctan
2 / n 1 ( / n ) 2
因此，系统在简谐激励下的稳态响应，可写为
x A H () cos(t )
Q与 有关系 ： Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
22 ) ] (2 )2 n n
（3）在以上两个领域
0.25 0.375 0 .5 1
1, 1 n n
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
13
率与激励频率相同;激励与稳态响应之间有一个相位
第三章 单自由度系统的强迫振动
1
2
X
X0
F0
2 cn
无阻尼作用时，振幅X为无穷大，激励频率与系 统固有频率相等，称为共振，发生在λ=1时。
有阻尼作用时，振幅X最大并不发生在
而是发生在
n。
结论：响应的振幅 X与静位移X0相当。
1.13
21
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.3 隔振
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振后
隔振前
m
F0eit
m
F0eit 隔振材料：k，c
k
c
22
第三章 单自由度系统的强迫振动
幅频响应曲线
23
激振频率相对于系统固有频率很低时 1
结论：响应的振幅 X与静变形X0相当。
（2）当 1( n )
激振频率相对于系统固有频率很高 0
结论：响应的振幅 很小（你的耳朵为什么Fra bibliotek 不到超声波！）
幅频特性曲线
6
第三章 单自由度系统的强迫振动
（3）当 1( n )
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.2 复频率的响应
系统振动微分方程： 欧拉公式： 设方程的通解形式为：
14
第三章 单自由度系统的强迫振动
复频率响应：
Ｈ(ω)的绝对值即放大因子β
相位角：
15
第三章 单自由度系统的强迫振动
例 3.2-2 支承激励引起的强迫振动。 作为 承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生简谐
5简谐激励的响应
例3·1-1 在一质量—弹簧系统上作
用 一 简 谐 力 F=F0sinωt 如 图 所 示 。
初始瞬时x(0
解：系统的振动微分方程为
其解为
式中A1和A2是由初始条件确定的常数。代入初始条
件x(0)=x0，
，得
把A1和A2值代入解中，得
上式表明，强迫振动初始阶段的解由三部分组成：
解：设刚杆在振动 时的摆角为θ，由 刚杆转动微分方程 可建立系统的振动 微分方程。
整理后得 从上式可得 ωn，即系统的固有频率，当ω=ωn时，其振幅为
在图示的结构中，机器质量ｍ=60千克，放在 支承上，支承的弹簧刚度ｋ=6000牛顿/米，阻 尼系数ｃ=720牛顿•秒/米，在机器上作用一个 激扰力F。假设在t=0时，将机器从平衡位置压 低2厘米后，以初速V0=1厘米/秒 释放。当激扰 力F=230sin5t牛顿，求系统此后的运动方程
(3)强迫振动振幅的大小在实际工程问题中具有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。
引入符号： 频率比；
振动系统零频率挠度，即在常力F0作用 下的静挠度(注意不要与 混淆)；
放大因子。 可以将下式写成无量纲的形式
以λ为横坐标，β和φ为纵坐标，对于不同的ζ值， 可以得到幅频特性曲线和相频特性曲线。
叠加原理适用于线性系统． 振系由周期激扰所引起的振 动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振 系总的运动．
第3章 单自由度系统的强迫振动
振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对 外部激励的响应。第2章讨论了振动系统在外部初 始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振 动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用 下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界 不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统 得以持续振动。
简谐激励下强迫振动的响应特性
简谐激励的基本理论
01
02
物体在恒定回复力的作用下所做的周期性运动。
简谐振动
简谐振动的特性
01
实际工程中的简谐激励：如机械振动中的周期性外力、电磁振荡中的交变电流等。
02
简谐激励在物理实验中的应用：如共振实验、振动测量等。
03
简谐激励在振动控制中的作用：通过改变激励参数，实现对振动的主动控制。
研究背景
在实际工程中，许多机械系统、结构物等都会受到简谐激励的作用，如振动筛、振动平台等。了解物体在简谐激励下的强迫振动响应特性，对于预测结构的稳定性、优化设计、降低噪声等方面具有重要意义。
研究意义
通过研究简谐激励下物体的强迫振动响应特性，可以深入了解物体振动的本质，为工程实践提供理论支持，有助于提高机械系统的性能和稳定性，促进工程领域的发展。
同时，可以结合实验研究，对理论模型进行验证和修正，提高研究的实用性和可靠性。
参考文献
数据分析
对数据进行处理和分析，提取有关振动特性的信息，如幅频响应、相频响应等。
数据收集
正确性。
结论与展望
1
2
3
虽然本研究取得了一定的成果，但仍存在一些局限性，例如未考虑非线性因素、未考虑多自由度系统等。
未来研究可以进一步拓展到非线性系统和多自由度系统的强迫振动响应特性，以更全面地揭示系统的振动规律。
当激励频率与系统固有频率相近时，系统产生共振现象。
共振频率
描述系统在不同频率下振动幅度的变化规律。
幅频特性
实验方法和结果分析
振动台、激振器、加速度计、数据采集器
将待测物体放置在振动台上，通过激振器施加简谐激励，使用加速度计测量振动响应，数据采集器记录数据。
03-1 单自由度简谐激励的响应
x2
F0 k 1 n 2 n
2 2 2
sin t
简谐激励稳态响应的特点： (1)简谐激励作用下的强迫振动是简谐振动，振动频率与 激励频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。 (2) 强迫振动的振幅 X 和相位差 都只取决于系统本身的 物理性质、激励的大小与频率，与初始条件无关。初始 条件只影响系统的瞬态振动。 (3)强迫振动的振幅在工程实际问题中具有重要意义。如 果振幅超过允许限度，构件中会产生过大的交变应力， 而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。
x Ae
nt
sind t
在小阻尼情况下， x1 是对初始条件的响应，是衰减振动，也 称为瞬态振动。随着时间的增加，逐渐衰减到零。 求强迫振动的稳态响应时时，一般忽略 x1(t) 的影响，即忽略 系统对初始条件的响应。
特解x2
燕山大学
Yanshan University
特解 x2 表示系统在简谐激励下产生的强迫振动，它是一
第3章 单自由度系统的强迫振动
燕山大学
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强迫振动：系统在持续性的外激励作用下所产生的振动。
mx Cx Kx F (t )
激励分类：
激励力 外激励 激励位移 简谐激励 周期性变化的激励力 任意周期激励 任意激励
由此可得
X
k m
F0
2 2
c
2
c tg k m 2
燕山大学
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X
k m
F0
2 2
c
2
上式分子分母同除以k，得
k c c , m cc 2mn
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
简谐激励下强迫振动的响应特性
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s in 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （1）
Particular solution:
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 2 s s2 itn 0
2
Φarctan
1
2
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
简谐激励下强迫振动的响应特性
简谐激励下强迫振动的响应特性
振幅达到最大值时的频率
'
12
1
2 22
212 282
2
12
2
22
3
0
12 22 0
2 12 2
122 1
d 12 122 n
max1122214212221 12
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （2）
问题描述
k
c
Fk
如 右 图 所 示 的 单 自 由 度 系 统 : m=5kg, o Δ
c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.
x
F Fc
m
•（1）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N), 求系统的稳态响 mg
应x2(t)=?
•（2）当 F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零， 即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应 x(t)?
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （2）
问题 2，总响应的最终形式
简谐激励作用下受迫振动的振动响应曲线
简谐激励作用下受迫振动的振动响应曲线嘿，朋友们！今天咱们来聊聊一个有点复杂但特别有意思的话题——简谐激励作用下受迫振动的振动响应曲线。
先说说啥是简谐激励吧。
你就把它想象成一个特别有规律的“推动器”，一直在推着某个东西动。
那受迫振动呢，就好比一个本来不想动的家伙，被这股力量推着不得不动起来。
比如说，咱们的秋千。
要是没人推，它自己晃不了几下就停了。
可要是有人有规律地在后面推，那它就一直晃起来啦，这就是受迫振动。
那这振动响应曲线又是啥呢？它就像是这个受迫振动的“成长记录”。
从这条曲线里，咱们能看出这个被推着动的东西是怎么动的，动得快还是慢，有没有规律。
你想想啊，如果这曲线乱七八糟的，那说明这个受迫振动的家伙乱了套，没个准头。
要是曲线特别平滑，有规律，那就说明它被推得挺“舒服”，动得也很稳定。
比如说一个大钟的钟摆，在简谐激励下，它的振动响应曲线是不是很有规律？这就说明它的振动很稳定。
再比如说，汽车在颠簸的路上行驶，车轮受到的力也算是一种简谐激励，那它的振动响应曲线就会比较复杂，因为路上的情况变化多端。
那怎么才能弄明白这条曲线呢？这可得好好研究研究。
得看看激励的力量大小、频率，还得考虑被推动的东西自身的特性，比如质量、弹性啥的。
就像两个人跳舞，一个人带另一个人，如果带的人力量太大或者节奏不对，那被带的人是不是就容易跟不上，舞步就乱了？这跟简谐激励和受迫振动是一个道理。
而且啊，不同的东西在简谐激励下的振动响应曲线可大不一样。
有的可能一下子就振得特别厉害，有的则是慢慢才开始有反应。
这就好比不同性格的人面对同样的挑战，有的一下子就爆发了，有的则是慢慢积攒力量。
所以说，研究简谐激励作用下受迫振动的振动响应曲线可不是一件简单的事儿，但弄明白了它，咱们就能更好地理解很多东西的运动规律，说不定还能解决不少实际问题呢！总之，简谐激励作用下受迫振动的振动响应曲线是个很有趣也很有用的东西，值得咱们好好琢磨琢磨！。
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对冲量的响应
对于欠阻尼系统，其运动方程为
则系统的瞬态响应为
t=2s, Amplitude of x1 = 0.061mm
t=3s, Amplitude of x1 = 8×10-3mm
衰减
有、无阻尼系统对比
无阻尼系统的 幅频响应曲线
无阻尼 有阻尼
一般激励下的响应特性
冲量作用下的单自由度系统响应
考虑具有粘性阻尼的弹簧 - 质量系统在 t = 0 时受到一个单位冲量作用:
x p (t) 为方程的特解
稳态响应
振动的时域波形
一、无阻尼情形
无阻尼情形的运动方程
瞬态解的一般形式：
稳态解的一般形式： 代入运动方程，得到振幅：
因此，总振动的一般形式为：
放大系数与静位移
总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数
得到总振动的表达式
稳态解的振幅 X 通常可表达成
X
1 st 1 r 2
2
例 （ 2）
求稳态响应的幅值及相角
10 X 0 1.322 6.6110 3 k 2000
F0
(m)
c 2 0.5 0.1 Φ arctan arctan 0.133 2 2 k m 1 0.5
rad
x 2 t 6.61 sin 10 t 0.133
例（1）
The solution: x t 0.0025sin 20t 0.05t cos 20t m
详细推导
二、有阻尼情形
稳态 和瞬 态问 题！！ 全解！
运动方程一般形式
假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开
令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
振幅放大系数（幅值比）
we have ωn-ω=2ε
m 1, k 1, F0 1
xsint x
Period of beating:? Max. Amplitude: ?
1.06
1.1
1.12
激励频率与固有频率比不同时的情况
1.8
例（1）
问题描述
o
如右图所示的单自由度系统: c=0 Ns/m, and k=2000 N/m. m=5kg,
10 c1 solution: xt Acos20t Bsin20t 0.05t cos20t
A and B are determined using the initial conditions
x0 0 A 0
F0 / m sin t 2
幅值变化周期为 2 /
可变幅值
出现拍的现象
激励频率与固有频率接近
拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间
b
2 2 2 n
拍频： b 2 n
(or : fb f n f )
拍的现象
拍的现象
k xF0 sint m x
k
Δ
Fk
c
F Fc
如果F(t)=10sin(20t)(N), 所有初条 件为零, 求系统响应x(t)=? Solution
x
m
mg
The equation of motion: 5 x 2000 x 10sin 20t
2000 n 20 rad/s 5
例 （ 1）
Particular solution:
相位特性和振幅一样，
c Φ arctan k m 2
相位差特性
相位差
自由振动
应该注意，这里的相位差是表示 响应滞后于激励的相位角，不应 与自由振动的初相位相混淆
x 0 n π arc tan x 0 x0 n
arc tan
0 x
受迫振动
x0 0 x0 0
Φ arctan
c k m 2
两者主要区别： 初相位取决于初始位移与初始速度的相对大小； 相位差反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系 统本身具有阻尼引起的。
相频曲线
总响应
系统总响应为：
式中
为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。
因此欠阻尼系统的总响应为：
其中瞬态响应的幅值 和相位 可通过将初始条件代入上 式予以确定，即联立求解以下方程获得：
o
Δ
k
Fk
c
F Fc
x
m
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
200 c1 sin20t c2 cos20t 2000 t c1 cos20t c 2 sin20t 2000 t c1 cos20t c2 sin20t 10sin20t
1
2 2
1 2 2 2 0
2 1 2 2
2
1 2 1
max
1
2 2 2
d 1 2 1 2 2 n
1 2 1 2
2
112 4 12
1
max
1 2
振幅达到最大值时的频率
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh (t)x p (t)
其中, xh (t) 为相应齐次方程的解 瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
x t e 2 t 0.87 cos 19.9 t 3.2 sin19.9 t 6.61 sin 10 t 0.133
mm
3.32e 2 t cos 19.9 t 1.31 6.61sin 10 t 0.133 mm
2
1
1 2
2
2 2
X0
k 1 2
F0
2
2
2
稳态响应的高频特性
, 0, ,
(Inertia domination)
（外力主要与惯性力平衡）
F0 n 2 F0 X0 2 k m 2
Φ arctan 1 2
其中：
X
振幅放大系数（幅值比）
静位移 无量纲频率比
st F0 / k r / n
无阻尼系统幅频特性
稳态解的分段响应特性
总响应
共振
此时
由罗比塔法则
x(t ) x0 cos nt
n
0 x
sin nt
stnt
2
sin nt
激励频率与固有频率接近
2 t c1 cos20t c 2 sin20t 20tc1 sin20t c 2 cos20t x 2 t 40c1 sin20t c 2 cos20t 400 x tc1 cos20t c 2 sin20t
x 2 t t c1 cos20t c 2 sin20t
Case 4: ωn ≈ ω
0 0 ，则： 设 x0 x
令 n 2 ， 为一小正数。则：
n 2
n 2
2 n 2 4
激励频率与固有频率接近
因此有：
F0 / m x t sin t sin t 2
F(t)=10sin(10t) ， 求频率及放大系数
n
k c 20 20 ( rad/s ) 0.1 m 2 m k 200
10 0.5 20
d n 1 2 19.9(rad/s)
1 1.322
1 0.5
2
2
2 0.5 0.1
Inertia
2 m x
Exceed x (t) 180o
若
稳态响应的低频特性 X0 r （习惯表达方式） st
Vector relationship
0, 1, 0,
(Stiffness domination)
（外力主要与弹性力平衡）
F0 X0 k
Φ arctan 1 2
t 20B cos 20t 0.05cos 20t t sin 20t x 0.05 0 0 B x 0.0025 (m) 20
Hence, the complete response of the undamped system is
x t 0.0025sin 20t 0.05t cos 20t m
Φ arctan 1 2
2
1
1 2
2
2 2
X0
k 1 2
F0
2
2
2
振幅达到最大值时的频率
' 1 2 2
2 2 2 1 2 8 0 3 2 2 2 2 1 2
式中：
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation F(t) Restoring Amplitude
F0 kX0 cωX0 mω2X0
Phase Angle
0o Lag F(t)
kx
Damping
Φ
Exceed x (t) 90o
Vector relationship
cx
1 2 2 1 n
d 1 2 1 2 2 n