理论力学(9.10)--质点动力学的基本方程-思考题答案
理论力学思考题习题答案
第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。
已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。
求此直线与椭圆的焦点M 的速度。
已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。
解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。
理论力学思考题解答
1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟
后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游 600 米的地方，问河水的流速
是多大？
1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？
1.10 在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是
末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形 状有关。 1.12 答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动 方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能
定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出 an ，有牛顿运动方程 Fn Rn man 便可求出 Rn ，即为约束力
r
j
y
Fr y
r
k
Fr xi yj zk Fr r F
z
r
r
Fr z
r
事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为
F Frr 0
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17 答平方反比力场中系统的势能V r k 2m ，其势能曲线如题图 1.17 图所示，
1.2 答：质点运动时，径向速度 Vr 和横向速度 Vθ 的大小、方向都改变，而 ar 中的 r只反映 了 Vr 本身大小的改变， a 中的 r r 只是 Vθ 本身大小的改变。事实上，横向速度 Vθ 方 向的改变会引起径向速度 Vr 大小大改变， r2 就是反映这种改变的加速度分量；经向速 度 Vr 的方向改变也引起 Vθ 的大小改变，另一个 r 即为反映这种改变的加速度分量，故 ar r r2 ，a r 2r. 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能
《理论力学》思考题及习题
《理论力学》思考题及习题宁夏大学机械工程学院技术基础部使用教材：理论力学（Ⅰ）．哈尔滨工业大学理论力学教研室，第六版．北京：高等教育出版社．说明：以下各章的思考题及习题的页码和题号均以“哈工大”第六版《理论力学》教材为准。
静力学第一章静力学公理和物体的受力分析思考题：１.合矢与合力概念相同吗？２.几何法求合矢时，分矢与合矢怎样区别？３.力沿任意两个轴分解时的两个分力与力向该二轴的投影大小是否相同？４.二力平衡与作用力、反作用力的概念有什么不同？５.二力杆或二力构件的受力特点是什么？６.不计重力但作用有力偶的杆是二力杆吗？７.三力平衡汇交时怎样确定第三个力的作用线方向？８.画受力图的一般步骤是什么？在画物系中各个分离体的受力图时需要注意什么？９.P18思考题。
习题：P20－２１：1-1 (a) (c) (d) (e) (g) (i) (j) (k)； 1-2 (a) (d) (f)（i）(m) (o) 第二章平面汇交力系与平面力偶系思考题：１．汇交力系的几何法与解析法在应用上各有什么特点？２．解平衡问题时的一般步骤与注意事项？３．解物系问题时的注意事项？４．P33思考题。
５．力偶的特点与等效条件是什么？６．解力偶系平衡问题时的一般步骤与注意事项？习题：P３６－４０：2－1；2－3； 2－9； 2--12 (a) (c)；2—14；2—17第三章平面任意力系思考题：１．力线平移定理的含义？２．用二矩式、三矩式求解问题时，附加什么条件才能保证物系平衡？３．求解平衡问题时，有哪些技巧可以使计算方便？４．P61思考题。
５．物系问题的解题思路？怎样选取研究对象？怎样列方程？６．销钉既受力又连接两个以上物体时的受力分析需掌握什么原则？７．怎样能做到一个方程求解一个未知数？８．节点法的本质是什么？９．截面法的本质是什么？１０．怎样判断零杆？习题：Ｐ６３－７１：３－１；３－４；３－６；３－１２（a）；３－１３；３－２２；３－３４第四章空间力系思考题：１．空间力系化简结果与平面力系化简结果的关系？２．什么力系有六个平衡方程？什么力系有三个平衡方程？什么力系有两个平衡方程？什么力系只有一个平衡方程？３．计算重心的常用方法。
第2章 质点动力学 习题答案
解：由动能定理，链条刚 好离开桌面时，重力做 功等于链条此时的动能：
1 mv2 1 mg l 1 mg l
2
2 22 4
v 3 gl 2
2-5. 一弹簧原长0.5m，弹力系数k，上端固定在天花板 上，当下段悬挂一盘子时，其长度为0.6m，然后在盘中 放置一物体，长度变为0.8m，则盘中放入物体后，在弹 簧伸长过程中弹力做的功为？
解：在这个过程中，弹性势能增加了
1k (0 .8 0 .5 )21k (0 .6 0 .5 )20 .0k4
2
2
弹力做的功为 -0.04k 。
2-11. A、B、C三个物体，质量分别是 mAmB0.1kg ， mC 0.8kg，当如图(a)放置时，物体系正好作匀速运动。
（1）求物体C与水平桌面的摩擦系数；
2 1 g 5
A
TA
2m
a
45
m
B
T B 2m a
2-12. 已知条件如图，求物体系的加速度和A、B两绳中 的张力。绳与滑轮的质量和所有摩擦不计。
解：分析平面上的物体：
A
TB 2m a
2 2 1 mg 2m
5
a
45
TA m
B
T B 2m a
分析悬挂的物体：TAmgTBma
代入数据解得： TA 3
1m2 v0lFd lx 40 8 00x0 d0x
2
0
0
9
代入数据并求解得： l 0.45m
2-20. 从轻弹簧的原长开始第一次拉伸长度L，在此基础 上，第二次使弹簧再伸长L，第三次再伸长L。求第三次 拉伸和第二次拉伸弹簧时做功的比值。
解：第一次拉伸弹簧需l要做功 W 1 kL2
2
理论力学--动力学习题+答案
F
x
0
且有AB杆初始静止，
因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点 的坐标可表示为：
建立oxy：并令y轴通过质心，则
l x A C A cos cos 2 y A BA sin l sin
消去 ，得：
A
A
C
2
4x y l
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第八章 质点的运动微分方程
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平 面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
dv dv a.m F , b.m F dt dt
( A )
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。 C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
aB
F
a BC B
x
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第八章 质点的运动微分方程
[例3] 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固 定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不 可伸长，不计轴O处摩擦。 求（1） 圆柱B下落时质心的加速度。 （2） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条第八章 质点的运动微分方程
解：（1）选圆柱A为研究对象
1P 2 r A Tr 2g
（1）
选圆柱B为研究对象
1P 2 r B T 'r 2g
P aC P T ' g
（2）
（3）
运动学关系：
aC ae ar r A r B （4）
由（1）、（2）式得：
0.5m2 1.5m1 30 75 x m1 m2 M 260
大学物理第二章质点动力学课后答案 ppt课件
m1
k
m2
A
B
大学物理第二章质点动力学课后答
20
案
解：设弹簧恢复原长时B 物体的速度为v B 0
12kx02 12m2vB20
vB0
k 3m
x0
此后系统动量守恒 m 2vB0(m 1m 2)v
v
3 4
vB0
3 4
x0
k 3m
A、B两物体速度相等时，弹簧伸长最大。
1 2m 2vB 201 2(m 1m 2)v21 2km 2 xax
(A) 2 E k
(B)
1 2
Ek
(C)
1 3
Ek
Ek
1 2
mAv2A
✓(D)
2 3 Ek
mAvA (mA mB )v
v
2mB 3mB
vA
2 3
vA
E k 总 1 2(m Am B )v 22 3m B v 2 A2 3E k
大学物理第二章质点动力学课后答
14
案
2-5 有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬一质量为m的小球。先使弹簧为原长，而小球恰好 与地接触。再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能
vB
F t2 m2
vA
Ft2 Ft1 m2 m1m2
大学物理第二章质点动力学课后答
17
案
2-8
量为
r 一 质a 量c 为mo t的i 质b s 点s 在xi t oy j 平n (S面I)上。运式动中，a，其b位，置 是矢
正值常数， 且a > b。
(1) 求质点在A点(a，0) 和B点(0，b) 时的动能。
ABC的水平光滑轨道运动。质点越过A角时，轨道作
理论力学（9.9）--质点动力学的基本方程-思考题
理论力学（9.9）--质点动力学的基本方程-思考题
第九章质点动力学基本方程
9-1 三个质量相同的质点，在某瞬时的速度分别如图所示，若对它们作用了大小、方向相同的力，问质点的运动情况是否相同？
9-2 如图所示，绳拉力 F=2kN ，物块Ⅱ重1kN，物块Ⅰ重2kN 。
若滑轮质量不计，问在图中（a），（b）两种情况下，重物Ⅱ的加速度是否相同？两根绳中的张力是否相同？
9-3 质点在空间运动，已知作用力，为求质点的运动方程需要几个运动初始条件?若质点在平面内运动呢？若质点沿给定的轨道运动呢？
9-4 某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体。
如在子弹射出的同时靶
体开始自由下落，不计空气阻力，问子弹能否击中靶体？。
质点力学习题与参考解答
【郑重说明】《理论力学》课程的习题及解答方面的参考书很多，学习者可以通过各种形式阅读与学习，按照学院对教学工作的要求，为了满足学习者使用不同媒体学习的实际需要，通过各种渠道收集、整理了部分习题及参考解答，仅供学习者学习时参考。
由于理论力学的题目解答比较灵活，技巧性也比较强，下面这些解答不一定是最好的方法，也可能会存在不够完善的地方，希望阅读时注意之。
学习理论力学课程更重要的是对物理概念的掌握与理解，学习处理问题的思想与方法，仅盲目的做题目或者阅读现成的答案，很难达到理想的结果。
质点动力学思考题与习题及参考解答思考题(1) 有一质量为m 的珠子, 沿一根置于水平面内的铁丝滑动, 采用自然坐标法描述. 珠子受重力g m W=, 铁丝施与的约束力b Nb n Nn t Nt Ne F e F e F F ++=.t Nt e F 即为滑动摩擦力f F, 设动摩擦因数为μ. 试判断下列各式正误: (1) mg F f μ=； (2) Nb f F F μ= （3）Nn f F F μ=；(4) 22Nb Nnf F F F +=μ(2) 用极坐标系描述单摆的运动. 某甲如思考题(2图(a)规定θ角正向, 得到动力学方程θθsin mg ml -= ； 某乙如思考题(2图(b)规定θ角正向, 则得到θθsin mg ml += . 你认为谁的做法正确?(a) (b)思考题(2图(3) 质量为m 的质点, 由静止开始自高处自由落下. 设空气阻力f F与速度成正比, 比例系数为k . 某甲建立竖直向上的坐标如思考题(3图(a), 得到方程为y k mg y m+-=. 某乙建立竖直向下的坐标如思考题(3图(b), 得到方程为y k mg y m-=.他们列出的方程对吗?(a) (b)思考题(3(4)有人认为: 用极坐标系讨论质点的平面运动时, 如果0≡r F , 则沿径向动量守恒,==rm p r 常量；若0≡θF , 则沿横向动量守恒. 这种看法对吗? (5) 试判断以下二论断是否正确:(1) 若质点对固定点O 的角动量守恒, 则对过O 点的任意固定轴的角动量守恒. (2) 若质点对固定轴的角动量守恒, 则对该轴上任一固定点的角动量守恒.(6) 一质点动量守恒, 它对空间任一固定点的角动量是否守恒? 如质点对空间某一固定点角动量守恒, 该质点动量是否守恒?(7) 当质点做匀速直线运动时, 其动量是否守恒? 角动量是否守恒?(8) 在固定的直角坐标系Oxyz 中, 质量为m 的质点的速度k v j v i v v z y x++=, 所受合力为k F j F i F F z y x ++=. 能否将质点的动能定理r F mv d )21(d 2⋅=向x 轴方向投影而得出分量方程x F mv x x d )21(d 2= 该方程是否正确?思考题解答(1) 仅(4)式正确.(2) 甲正确. 乙错在角度不可以定义为从动线指向定线.(3) 乙的方程正确. 甲错在空气阻力亦应为yk -，y 取负值，y k -取正值. (4) 仅对固定方向才有动量守恒的分量形式. 径向和横向均不是空间固定方向. (5) (1)对；(2)错. (6) 一质点动量守恒，则对空间任一固定点角动量守恒. 质点对空间某一固定点角动量守恒，其动量不一定守恒.(7) 质点作匀速直线运动时，其动量和角动量均守恒.(8) 动能定理是标量方程，不可能投影而得出分量方程. 但xF mv x d )21(d 2=是正确的. 仿照动能定理的导出，用x t v x d d =乘牛顿第二定律的x 分量方程x xF t v m=d d 即可证明.质点动力学习题及参考解答【1】研究自由电子在沿x 轴的振荡电场中的运动. 已知电场强度i t E E)cos(0ϕω+=,ϕω,,0E 为常量. 电子电量为e -, 质量为m . 初始时, 即当0=t 时i x r00=, i v v 00=. 忽略重力及阻力, 求电子的运动学方程.【解】力为时间的函数，积分两次可得)cos(200ϕωω+++=t m eE t V X x ，其中ϕωcos 2000m eE x X -=，ϕωsin 00m eE v V +=.【2】 以很大的初速度0v自地球表面竖直上抛一质点, 设地球无自转并忽略空气阻力, 求质点能达到的最大高度. 已知地球半径为R , 地球表面处重力加速度为g .【解】以地心O 为原点，建立x 轴经抛出点竖直向上. 质点受万有引力沿x 轴负方向. 所以2x GMm xm -= . 因为2R GMmmg =，故g R GM 2=. 故有22x g R x -= . 做变换)2(d d d d d d d d 2x x x x x t x x x x ===，则x x g R x d )2(d 222-= . 积分并用0=t 时R x =，0v x = 定积分常数，得到 )11()(212202R x g R v x -=- . 质点达最大高度时H R x +=，0=x，可求出 1220)21(2--=Rg v g v H .三点讨论：(1)令∞=H ，对应Rg v 20=为第二宇宙速度.(2)若Rg v 220<<，则回到重力场模型所得结果. (3)题中不考虑地球自转及空气阻力，均不大合理，试进一步讨论之.【3】 将质量为m 的质点竖直上抛, 设空气阻力与速度平方成正比, 其大小22gv mk F R =.如上抛初速度为0v , 试证该质点落回抛出点时的速率2201v k v v +=.【解】质点运动微分方程为（Oy 轴竖直向上）；上升阶段22y g mk mg y m--=，下降阶段22y g mk mg ym +-=. 【4】向电场强度为E 、磁感应强度为B 的均匀稳定电磁场中入射一电子. 已知B E⊥, 电子初速0v 与E 和B 均垂直, 如题4图所示. 试求电子的运动规律. 设电子电量为e -.题4图【解】令m eB=ω，电子运动微分方程为y xω-=， （1） m eEx y-= ω， （2）0=z . （3）对（2）式求导，利用（1）式得02=+y yω，解出)sin(αω+=t A y . 0=t 时0=y 故0=α，由t A y ωωcos = ，且0=t 时m eBv Ee y0+-= ，故B Bv E A 0+-=，则t B Bv E y ωsin 0+-= . 积分得)cos 1()(20t m eB eB Bv E m y -+-=. 代入（1）式积分可得t m eB eB Bv E m t B E x sin )(20--=.【5】 旋轮线如题5图所示, 可理解为一半径为a 的圆轮在直线上做无滑滚动时轮缘上一点P 的轨迹, 其参数方程为)sin (ϕϕ+=a x , )cos 1(ϕ-=a y . 在重力场中, 设y 轴竖直向上, 一质点沿光滑旋轮线滑动, 试证质点运动具有等时性(绕O 点运动周期与振幅无关).题5图【解】(旋轮线是如图圆轮在直线AB 上作无滑滚动时P 点的轨迹，曲线上P 点切线方向即为轮上P 点速度方向. 因无滑，0P 为瞬心，故P 点切线与P P 0垂直，因此可知P 点切线与x 轴夹角为2ϕ. )以曲线最低点(0=ϕ)为自然坐标原点，弧长正方向与t e 一致. 质点运动微分方程为2sinϕmg s m -= .对曲线参数方程求微分，得ϕϕd )cos 1(d +=a x 和ϕϕd sin d a y =，所以ϕϕd 2cos 2d d d 22a y x s =+=，积分并用0=ϕ时0=s 定积分常数，得2sin 4ϕa s =. 代入质点运动微分方程消去ϕ，得到4=+s a gs ，s 作简谐振动而具有等时性. 其解为)cos(0αω+=t A s ，a g40=ω与振幅无关.【6】 一小球质量为m , 系在不可伸长的轻绳之一端, 可在光滑水平桌面上滑动. 绳的另一端穿过桌面上的小孔, 握在一个人的手中使它向下做匀速运动, 速率为a , 如题【6图所示. 设初始时绳是拉直的, 小球与小孔的距离为R , 其初速度在垂直绳方向上的投影为0v . 试求小球的运动规律及绳的张力.题6图【解】小球运动微分方程为T F r r m -=-)(2θ ， （1） 0)2(=+θθr r m ， （2）a r-= . （3） 由（3）式求出at R r -=，代入（2）式求出)/(0at R t v -=θ，再由（1）式求出3220)(at R R mv F T -=.【7】 一质量为m 的珠子串在一半径为R 的铁丝做成的圆环上, 圆环水平放置. 设珠子的初始速率为0v , 珠子与圆环间动摩擦因数为μ, 求珠子经过多少弧长后停止运动 (根据牛顿第二定律求解).【解】珠子的运动微分方程为2b 2n d d N N F F t v m+-=μ， （1）n 2/N F mv =ρ， （2）mg F N -=b 0， （3）R =ρ（约束方程）. （4）把（2）、（3）、（4）式代入（1）式，作变换sv t v d /)21(d d d 2=，可求出]/)ln[()2/(224020Rg g R v v R s ++=μ.【8】 质量为m 的小球沿光滑的、半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆弧滑下, 此椭圆弧在竖直平面内且短轴沿竖直方向. 设小球自长轴端点开始运动时其初速度为零. 求小球达到椭圆弧最低点时对椭圆弧的压力 (根据牛顿第二定律求解). 【解】以椭圆最低点为自然坐标原点O ，弧长正方向指向小球初始位置，θ为切向与水平方向的夹角，小球的运动微分方程为θsin mg vm -= ， （1） θρcos /2mg F mv N -=. （2）Oy 竖直向上，将s y d /d sin =θ代入（1）式得s y g s v v d /d d /d -=，积分可求出小球达最低点时gb v 22=. 由轨道方程22x a a by --=求出当0=x 时0='y ，2/a b y =''，由公式可求出22/32)1(1a b y y ='+''=ρ. 再由（2）式求出0=θ时)/21(/cos 22a b mg mv mg F N +=+=ρθ.【9】 力1F 和2F分别作用在长方体的顶角A 和B 上, 长方体的尺寸和坐标系如题【9图所示. 试计算1F 和2F对原点O 及3个坐标轴的力矩.题9图【解】11bF M x =，11aF M y -=，01=z M ，2222/b a bcF M x +=，2222/b a acF M y +-=，02=z M .【10】 已知质量为0m 的质点做螺旋运动, 其运动学方程为t r x ωcos 0=, t r y ωsin 0=,kt z =,k r ,,0ω为常量. 试求: (1)t 时刻质点对坐标原点的角动量；(2) t 时刻质点对过),,(c b a P 点, 方向余弦为),,(n m l 的轴的角动量.【解】由运动学方程求出→v ，根据定义即可求出→→→→→→++--=⨯=k r m j t t t r km i t t t r km v r m L ωωωωωωω200000000)sin (cos )cos (sin ，)]cos ()sin )([(]cos )()sin ([000000),,(a t r k t r c kt m m t r c kt b t r k l m L n m l -+-----=ωωωωωω)sin cos (00200t br t ar r n m ωωωωω--+.【11】 如题【11图所示, 质量为m 的小球安装在长为l 的细轻杆的A 端, 杆的B 端与轴21O O 垂直地固连. 小球在液体中可绕21O O 轴做定轴转动, 轴承1O 和2O 是光滑的. 转动中小球所受液体阻力与角速度成正比, ωαm F R =,α为常量. 设初始角速度为0ω,试求经多少时间后, 角速度减小为初始值的一半,以及在这段时间内小球所转圈数.(忽略杆的质量及所受阻力.)题 11图【解】由对21O O 轴的角动量定理ωαωm l ml t -=)(d d2，积分可得lt /0e αωω-=，求出α/)2ln (l t =. 将角动量定理化为l /d d θαω-=，积分可以求得αωαωθπ4/)r a d (2/00l l ==（圈）【12】 质量为m 的质点沿椭圆轨道运动, 其运动学方程为kt a x cos =, kt b y sin = (k b a ,,为常量). 用两种方法计算质点所受合力在0=t 到k t 4π=时间内所做的功.【解】(1)由动能定理)(4121212222122b a mk mv mv W -=-=.(2)用曲线积分算⎰⎰+=⋅=→→2121)d d (y ym x x m r d F W ，把轨道参数方程kt b y kt a x sin ,cos ==代入，则曲线积分化为对t 的积分，可得同样结果.【13】 试用动能定理求解7题.【解】珠子的动能定理为sF F mv N N d )21(d 2b 2n 2--=μ，参见3.7提示【14】 有一小球质量为m , 沿如题【14图所示的光滑的水平的对数螺旋线轨道滑动. 螺旋线轨道方程为θa e r r -=0, a 为常数. 已知当极角0=θ时,小球初速为0v . 求轨道对小球的水平约束力N F 的大小. (用角动量及动能定理求解, 图中δ为θe 与v 方向间夹角,a =δtg.)题14图【解】因机械能守恒，小球动能不变，因此0v v =.过O 点作z 轴竖直向上(垂直纸面向外)，质点对z 轴的角动量δcos rmv L z =. 质点所受对z 轴力矩δsin N z rF M -=. 由对z 轴的角动量定理得δδsin )cos (d d0N rF rmv t -=.由于θθθθθ ar ar t r r v a r -=-===-e d d d d 0，θθ r v =. 故a v v r =-=θδtan . 将它代入角动量定理方程，得到N N arF rF rmv -=-=δtan 0 . 而δδsin sin 0v v v r r -=-== ，所以θδδδa N a r mv a r mv ar mv ar mv F e 11tan 1tan sin 2020220222020+=+=+==.【15】 已知质点所受力F 的3个分量为z a y a x a F x 131211++=,z a y a x a F y232221++=, z a y a x a F z 333231++=,系数)3,2,1,(=j i a ij 都是常量. 这些ij a 满足什么条件时与力F相关的势能存在? 在这些条件被满足的条件下, 计算其势能.【解】当0=⨯∇→F 时势能存在，要求311332232112,,a a a a a a ===. 以原点为势能零点，则)222(21132312233222211xz a zy a xy a z a y a x a V +++++-=.【16】 一带有电荷q 的质点在电偶极子的场中所受的力为3c o s 2r pq F r θ=,3sin r pq F θθ=,p 为偶极距, r 为质点到偶极子中心的距离.试证此力场为有势场.【解】)/cos (d d d )d d (d 2r pq r F r F e r e r F r F r r θθθθθ-=+=+⋅=⋅→→→→→，故为有势场 【17】 如题17图所示, 自由质点在Oxy 平面内运动, 静止中心A 和B 均以与距离成正比的力吸引质点M , 比例系数为k . 试证明势能存在并求出质点的势能.v题【17图【解】y ky x kx y ky ky x b x k b x k r F d 2d 2d )(d )]()([d --=--+--+-=⋅→→)](d [22y x k +-=.故势能存在. 以O 为势能零点，则)(22y x k V +=.【18】 试用机械能守恒定律求解8题.【解】根据机械能守恒定律，以椭圆弧最低点为势能零点，mgbmv =221，可知gb v 2=，参见3.8提示.【20】 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。
理论力学(机械工业出版社)第九章质点动力学习题解答
习 题9-1 如图9-9所示，一质量为700kg 的载货小车以v=1.6m/s 的速度沿缆车轨道下降，轨道的倾角a=15°，运动总阻力系数f =0.015；求小车匀速下降时缆索的拉力。
又设小车的制动时间为t=4s ，在制动时小车作匀减速运动，试求此时缆绳的拉力。
图9-90sin 1T =-+αmg F F)cos (sin cos sin sin 1T αααααf mg fmg mg F mg F -=-=-=N 1676)15cos 015.015(sin 8.9700=︒⨯-︒⨯⨯=2m/s 4.0406.1=-=amamg F F =-+αsin 2TN19564.07001676sin 1T 2T =⨯+=+=+-=ma F ma F mg F α9-2 小车以匀加速度a 沿倾角为a 的斜面向上运动，如图9-10所示。
在小车的平顶上放一重W 的物块，随车一同运动，试问物块与小车间的摩擦因数μ应为多少？图9-10y 方向0s i n c o s c o s N =--αααF W Fαμαt a n t a n N N F W F W F +=+= αμt a n 1N -=W Fx 方向ma W F F =-+αααsin cos sin NmaW F F =-+ααμαsin cos sin N N a g W W F =-+ααμαsin )cos (sin N a g W W W=-+-ααμααμsin )cos (sin tan 1 g a=--+ααμαμαsin tan 1cos sing a=-+-+αμααμααμαtan 1sin tan sin cos sin g a =-+αμαααμtan 1sin tan cos g a =-αμαμtan 1cos /1 g a =-αμαμsin cos 1 )sin (cos αμαμ-=g ag a a +=ααμsin cos 分析得 g a a +≥ααμsin cos9-3 如图9-11所示，在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg ，曲柄长300mm ，绕O 轴匀速转动，转速为n=120r/min 。
力学第二章质点运动学思考题答案
力学第二章质点运动学思考题答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章 质点运动学思考题质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。
如图所示。
若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。
“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确如何正确表述瞬时速度的定义我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。
因为瞬时速度与一定的时刻相对应。
瞬时速度的定义是质点在t 时刻的瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ∆∆，当△t →0时的极限，即dt r d t r lim v 0t=∆∆=→∆。
很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。
试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。
是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小答：,dt dv t v lim a xx 0t x =∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。
同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。
质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。
《理论力学》第九章_质点动力学_习题解
AC
g l AC
( cos )
F
n
TAC W cos man W an g
W an g
TAC W cos TAC W cos
W W 2 a n W cos l AC AC g g
初瞬时， AC 0 ，故： TAC W cos （2）求小球 A 运动到铅垂位置时，AC 绳中的拉力 小球运动到铅垂位置时，由上一步骤可知：
dx 9 cos(2t )d (2t ) dt
2
dx 9 sin(2t ) C1 dt
x 9 sin(2t ) C1
x |t 0 x0 9 sin(2 0) C1 C1 0
dx 9 sin(2t ) dt 9 x sin(2t )d (2t ) 2 9 x cos(2t ) C 2 2 9 9 x |t 0 x0 cos(2 0) C 2 C 2 4.5(m) C 2 (m) 0.04(m) 2 2
y
v0
30 0
1m
地面
v x v0 cos 30 0 dx 13 3 dt 2 x 13 3 t C1 2
13 3 (m / s ) 2
mg
O
x
x |t 0
13 3 0 C1 C1 0 2
x
13 3 t 2
v y v0 sin 30 0 gt 6.5 9.8t
x
y
5
[习题 9-4] 通过光滑圆环 C 的绳索将物体 A 与 B 相连，已知 m A 7.5kg ， mB 6.0kg ， 物体 A 与水平面的摩擦因素 f 0.6 ， 在图示瞬时， 物体 B 具有朝右上方的速度 v B 2m / s 。 若在此时突然剪断墙与物体间的绳子，求该瞬时物体 A 的加速度 a A 解： （1）求 AB 间绳子的拉力 以 B 为研究对象，其受力如图所示。
理论力学质点动力学的运动方程
消去t, 得轨迹方程 由初始条件：t＝0时，q0＝0，
代入上式得
如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。
分析: 由(1)、(2)式可得:
3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成
角。
作用下从甲板上起飞
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的 小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
初始条件为
a a t 0 :x 0 y 0 0 ,v 0 x v 0 c o s,v 0 y v 0 s i n
确定出积分常数为：
a a C 1 v 0 c o s,C 2 v 0 s i n ,C 3 C 4 0
于是物体的运动方程为：
xv0tcoas
y
v0t
1 2
gt2
轨迹方程为：
有 mr 2 F l 2 r2 l
得 F mr 2 2 l 2 r 2
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 F eE 作用。
质点动力学课后习题答案
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量
2-10
设F
7i
6 jN
．(1)
当一质点从原点运动到
r
3i
4j
16km 时，求 F
所作
的功．(2)如果质点到 r 处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．
2-11 质量为16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 f x ＝6 N， f y
x 向： Fmin cos fmax 0
y 向： N Fmin sin Mg 0
还有
fmax s N
解以上三式可得要推动木箱所需力 F 的最小值为
习题 2-1 图
习题 2-1 图
Fmin
s Mg cos s sin
在木箱做匀速运动情况下，如上类似分析可得所需力 F 的大小为
BR
a
m
G
讨论：当 t 时，V VT 。
VX 4.0m / s ax 0.当t 0, x 0. x vxt
又因方程2 y x2 y 0.5(vxt)2
2-3 vy
dy dt
8.0m / s
即a y v16vmx i a axi
/s vy ay j
j
4.0i
16 j (m
8.0 / s2)
j (m
/
s)
2-4 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，由牛顿定律及初始条件，有
F ma mdv / dt t
v
理论力学：10第九章 质点动力学的基本方程
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.
动力学分类:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
3
4
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
第九章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
5
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
§9-1 动力学的基本定律
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的 关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在 总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律
c3 c4 0
则运动方程为 :
x
v0t
cos 0 ,
y
v0t
sin
0
1 2
gt2
则轨迹方程为:
y
xtan0
1 2
g
v0 2
x2 c os2
0
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动力学
第九章 质点动力学的基本方程
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin 0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
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动力学
第九章 质点动力学的基本方程
理论力学哈工大第八版答案
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理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
理论力学第十章质点动力学教学PPT解答
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x v0m sin kFra bibliotekkt m
例题6
弹簧－质量系统，物块的质量为m ,弹簧的刚度系数为k,物 块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。
l0 k
m v0
● 求解第二类问题,是积分过程.
m
d2z dt 2
Fz
必须注意,在求解第二类问题时, 方程的积分中要出现积分常数,
m
d2s dt 2
Fτ
,
v2
m Fn ,
0 Fb
为了完全确定质点的运动,必须 根据运动的初始条件定出这些积
分常数.
解题步骤
根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。 根据运动特点选取坐标系。若需要建立运动微分方 程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动 量之间的关系。 受力分析，画受力图。 建立动力学方程组并求解。
即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向, 等于所受的力。上式称为质点动力学基本方 程。
矢量形式
设有可以自由运动质点 M，质量 是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a。
d2r m dt2 F
z
M
F
r
a
O
y x
这就是质点的运动微分方程的矢量形式
直角坐标形式
把上式投影到固定直角坐标系 Oxyz 的各轴,得
ma=F
由微分方程可以解决自由质点动力学的
m
d2r dt 2
F
m
d2x dt 2
Fx
两类问题.第一类问题:已知运动,求力;第 二类问题:已知力,求运动.
质点动力学的基本方程
质点动力学的基本方程一、是非题1. 已知力求运动时，在下列质点运动微分方程的左边不应冠以正负号。
（ √ ） ⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑Z z m Y y m X x m2. 质点在常力作用下，一定作匀加速直线运动。
（ × ）3. 当质点运动轨迹未知时，不能运用自然形式的质点运动微分方程。
（ × ）4. 由于自然轴系的原点始终与运动质点重合，所以在建立自然轴系的运动微分方程时，加速度在各自然轴上的投影为零。
（ × ）5. 两个质量相同的质点，只要一般位置受力图相同；选择坐标形式相同，则运动微分方程也必相同。
（ √ ）6. 在质点相对运动中，判断下述说法是否正确：A. 若0,0==r r v a ，则必有0=+eg F F （ √ ）B. 若0=+eg F F ，则必有0,0==r r v a （ × ）7. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就完全确定了。
（ × ）8. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。
（ √ ）9. 作用于质点上的力越大，质点运动的速度越高。
（ × ）10. 牛顿定律适用于任意参考系。
（ × ）11. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力的方向。
（ × ）二、选择题1. 质点从某一高度处沿水平方向抛出，所受介质阻力为R = - k v, 如图所示，质点的运动微分方程为 B 。
A. x k xm -=-, y k mg y m +-=-B. x k xm -=, y k mg y m --= C. x k xm -= , y k mg y m +-= D. x k x m =, y k mg y m +-=-2. 质点在重力和介质阻力R =－k v 作用下，沿铅垂方向运动，质点 的运动微分方程为 B 。
理论力学试题库-填空题
理论力学试题库题型：A填空题，B选择题，C简答题，D判断题，E计算题，F综合题，G作图题。
编号A04001中，A表示填空题，04表示内容的章节号即题目内容属于第04章，001表示章节题号的序号，即此题是第04章填空题的001号题。
填空题：01:静力学公理和物体的受力分析A01001. （2分）作用在物体上的力可分为两类：一类是，一类是。
答案：主动力，被动力。
02:平面力系A02001. （4分）如图A02001所示桁架, 不经计算，试直接判断图A02001桁架中的零力杆为。
答案：3，9，11图A02001A02002. （4分）如图A02002所示桁架, 不经计算，试直接判断图A02003中零力杆为。
答案：1,2,5,7,9图A02002A02003. （6分）如图A02003所示桁架。
已知力、 和长度a 。
不经计算，则杆1内力1F =_________； 杆2内力2F =_________； 杆3内力3F =_________。
答案：0，-p ，0图A02003A02004. （3分）图A02004所示一等边三角形，边长为a ，沿三边分别作用有力F1、F2和F3，且F1=F2=F3=F ，则该力系的简化结果是 ，大小为 ，方向或转向为 。
答案：力偶，Fa 23，逆时针图A02004A02005 (3分)不经计算，试直接判断图A02005示桁架中的零杆为 。
答案：1,2,5，11,13图A02005A02006.(6分) 如图A02006所示，判断各平衡结构是静定的还是静不定的。
图(a) ，图（b ） ，图(c) ，图(d) ，图(e) 。
答案：静不定，静不定，静定，静不定，静不定图A02006A02007.（3分）有一平面一般力系，简化结果与简化中心无关，则该力系的简化结果为 。
答案：力偶03:空间力系A03001. （6分）如图A03001所示六面体三边长分别为4、4、cm ；沿AB 连线方向作用了一个力F ，则力F 在x 轴的投影为 ，对x 轴的23力矩为 。