应力强度因子的计算

第二章应力强度因子的计算K--应力、位移场的度量=K的计算很重要,计算K值的几种方法：1. 数学分析法：复变函数法、积分变换；2. 近似计算法：边界配置法、有限元法；3. 实验标定法：柔度标定法；4. 实验应力分析法：光弹性法.§ 2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算、无限大板I型裂纹应力强度因子的计算K] =lim ■ 2px桩Z I计算K的基本公式，适用于型裂纹X? 01. 在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离x = _b处各作用一对集中力p.y；「x 二ReZ i - y Im Z I；「y 二ReZ i y Im Z Ixy =_yReZ l选取复变解析函数:2 pz a2b2二(z2_b2)边界条件:a. zb. zca,出去z = ±b处裂纹为自由表面上c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p2 p (匕 +a) Ja 2+孑二[(a)2-b 2] ； (2a)2p 、、 a二(a 2-b 2)2. 在无限大平板中,具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，在距离x= _印的 范围内受均布载荷q 作用.yb.11yqn____ r~Kq 1旺x------ ►J 2 a利用叠加原理：a2q\a i . ---------------- dxo _ / 2 2、二(a -x )令x=acos : a 2-x 2= acosv , dx = acos 二当整个表面受均布载荷时，c -• a. =K i = 2^-s in3. 受二向均布拉力作用的无限大平板，在x 轴上有一系列长度为2a ，间距为2b的裂纹.以新坐标表示:K i微段 > 集中力qdx > dK i2q烏 dx 护(a 2_x 2)-K isin 4(J)广;)竺吗=a cos^二0, -a ::: x ::: a, -a 二2b ：：： x ：：： a 二2b 在区间内；-y =°,，xy =c.所有裂纹前端；匚y.匚单个裂纹时又Z应为2b的周期函数采用新坐标：=z-an ..-sin ( a) 2b当© t 0时,sin 二© =厶Jcos 厶© =12b 2b 2b迟JL乜JL JL乜= sin——( a) =sin—— cos一a cos一sin — a 2b2b 2b 2b 2b边界条件是周期的：a. z —二二xb.在所有裂纹内部应力为零.y~2 2z - a-sin2b二a、2(Sin" %2b 仙2b)JI u 31ji.二 a 二 sin - 2b 1 -a . -a ——cos ——sin — 2b 2b 2b =；「2b tan a \ 2b—a, 2b tan ：aYn a2b2a 1若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（兰乞丄）可不考虑相互作用，按单个裂纹2b 5计算•二、无限大平板n>m 型裂纹问题应力强度因子的计算1. u 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:心计吋（人尹2. 无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切 力作用.JT JT cos a sin a 2b 2b2bfTTfTTfTTfTTHTfTTfTT.. 2 ■22 2[sin (a)] = ( ) cos a 2 cos a sin a (sin a) 2b2b 2b 2b 2b 2b2b•2：:.2[%(a)] -(sin2b a)JI=2 -2bn Jicos asin a2b 2b:二 sin2b—2/ ?.a .二 acos ——sin2b 2b2b 修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K ］的影响.二a 2 药）心=帆 J 2 兀©Z (©) = i V^a J^tan 舒3.川型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:4.周期性裂纹:sin二z 2b n ： …sin ( a) 2bZ()二訓n 2?+a)]2-伽訝H Z 2伽亦）一伽§ 2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力 和应变，得到椭圆表面上任意点，沿y 方向的张开位移为：2 2 1x z . 2 y =y 0（1 2 2）a c2（1 -」2）；「a 其中：yo =（丘丿.-为第二类椭圆积分•有Ji | 2 2=o 2、1-c；asin 2d 「（于仁东书丿匹 a^2 二 2[sin 2「（-）2cos 2] d （王铎书丿 0c1962年,lrwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子xz2 2 2 2 2N 二 Qcos : ,x ,-『sin :2 2 X i 乙-2~~2acacc 2sin 2「a 2cos 2假设：椭圆形裂纹扩展时，其失径「的增值r 与「成正比.边缘上任一点p （x ,z ）,有:x j (「r)sin 炉=(1 f^?sin 》=(1 f)x iz = r)cos 即=(1 f )z 1=■ p (x ；z), p (M,Z i )均在 y=0 的平面内.— ,:2 ・2-2 24 2 2・2 ・2=c x a z (i f)ac a c=新的裂纹面仍为椭圆•长轴c =(i • f)c ,短轴a '=(i • f)a .=y 向位移2 2原有裂纹面：二 二,上）2=ia c y o2 2扩展后裂纹面：笃•务•（工）2=i a c y o以x'x i , z'z,代入=原有裂纹面的边缘y 向位移y ,有原裂纹面y o2(i 」2)二 a2(i-」2)ri f)aE=(i f)y oc 2片2a 2zj 二 a 2c 2sin 2「亠 a 2cos2 :2 2 2 2 2 2「-（1-2门笃一（1一2门刍=1一笃一乌2f （笃吕）ac a ca c=2f二 y 2=2fy °2=2f （1 f ）2y o 2L 2fy 。

2又 f =二 J c 2sin 2 ® + a 2cos 2申 ac '2 ____________________—^/c 2s in 2 ® +a 2ac '设各边缘的法向平面为平面应变，有:= KiJ 厂昱）2y 2,c 2sin 2 : a 2cos 2「4 1 — 4 ac（a ）2（c 2sin 2「a 2cos 2）^ 9 c＞椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当a=c 时r 圆片状裂纹，二—：K | = 2…沁a2y o2（l 72）；「aE在椭圆的短轴方向上，即：2，有 心二 Klmax危险部位cos 2 :Jc 2sin 2申 + a 2cos 2申 ac '16（1」2）2K 2二 K I当"二时其中k =3-4」2§ 2-3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算、表面浅裂纹的应力强度因子＞椭圆片状表面裂纹A 处的K |值、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面=使裂纹尖端的弹性约束减少=裂纹容易 扩展=K |增大= K I（表面）=Me K （埋藏）其中：Me —弹性修正系数，应大于1,由实验确定 一般情况下Me = M “ M 2当aL B （板厚），线裂纹=可以忽略后自由表面对 A 点应力强度的影响 欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹 K I 与深埋椭圆裂纹的K I 之比等于边裂纹平板与中 心裂纹平板的K I值之比K |表—K i 边Ki 埋 K i 中又有:2~ A 10.1si n 仏=(1 W K 冲丄兀A tan —— W其中：A----裂纹长度；W---板宽度A 当—L 1时si W.2二A sin W 2二 A ，tanWW W仏=1.1K |埋 =K|表=1. K I 埋1. 16 a* z其中：M i —前自由表面的修正系数M2 —后自由表面的修正系数关于Me表达式两种形式的论述1. 巴里斯和薛a. 0时二接近于单边切口试样M1=1.12b. a c》1时=接近于半圆形的表面裂纹M1 =1利用线性内插法M1 =1 • 0.12(1 -旦)c利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数12B 兀a ?=M 2= ( tan )2兀a 2BB —板厚a—裂纹深度c—裂纹长度当aL B时M2: 1=浅裂纹不考后自由表面的影响2. 柯巴亚希.沙.莫斯a 2M1=1 0.12(1 )22c2B 兀a 3M 2 = ( tan )2兀a 2B二•表面裂纹的应力强度因子(应为最深点处)：K^M^—a、 § 2-4其他问题应力强度因子的计算I . I 型复合问题应力强度因子的计算复变数：z =x iy , z =x - iy取复变解析函数： x(z)二 p iq ,(z) =5 iq !取应力函数：2 ■■!⑵ 呼⑵• zx(z) zx(z)或 =Ref-： (z) - zx(z)]= 满足双调和 方程分析第一应力不变量:二x r 二匕 —=4Re[x '(z)] ex cy 对于I . U 型复合裂纹I 型：二x 二 ReZ |「y Im Z ； , ；「y 二 ReZ , y Im Z ,K(二x 二 y )l L 0 二 2|m Z I I — = 2Im —1 7=I 、U 型复合裂纹在裂纹前端处的不变量KK(J r), 1 十 2Re —2；丨”加一2"“。

取复数形式的应力强度因子.K 二K I -iK 口— K二(J C I 广 2Re(—2—川,0又(J 二)=4Re[x(Z)] =吧2.、云-x(Z)若采用 z 坐标：—Z-“ 选择x (z)满足具体问题的应力边界条件=这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子• f =F i (Z) F i (Z) ZF 4(Z) ZF 4(Z)(F I (Z),F 4(Z)为解析函数)---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式). 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题 •(推导过程略)II 型：二x =21 m Z ,, Lx r )i | | 刃=2ReZ ||-=2Re .F-| | >0+ y ReZ 'i 6 = -yReZ n二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况：应看成有限宽计算•，必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响• ＞在理论上得不到完全解•》通过近似的简化或数值计算方法＞数值解.方法:边界配置法，有限单元法等.针对有限宽板问题：寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.边界配置法：将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件，但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K值.边界配置法：计算平面问题的单边裂纹问题，只限于讨论直边界问题. 以三点弯曲试样为例进行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams应力函数：j i . (~1)-(r,巧八C j r2[—cos(j-1户七COS(. 1)可2 t满足双调和方程I4(rj)=O.HT边界条件：裂纹上、下表面(V = _…)，^和^y均为零.=上式满足.2在边界上的边界条件的满足如下确定：在有限宽板的边界上选取足够的点, 如图,使这一点的边界条件满足=C j2 2其中：B -试件厚度,W -试件宽度.‘ 卫"D j B j (r,RBW j^ j j：：2 '■又因为当二=0时,COST =1 ,当j =1时在乘.2二r 后与r 无关,而当-j a--------------------------------------------- k为了计算方便引入无量纲量：D j二C j BW 2pA j 二pW 二[ — cos(j —1戸；：2'-j(-1)j2 j 1 2cos(j 1户]厂 BwJ j AjE)Q Qxy.x .y(2) K 的计算针对I 型裂纹：二K ]3 二cos —(1—si n — si n ) 2 2 2C yK j3丁cos — (1 十 s in —sin —K l( r > 0) 、2「：r2j =2,3,4川：:时在乘.、2二r 后与r 有关,当r > 0时都为零.-一云 P D iB . W应利用边界条件确定D i ,边界条件只个边界各点的应力，可利用不同的边界（3）借用无裂纹体内的边界条件求系数 D j取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是 样的.取m 个点分析，以2m 有限级数代替无限级数精度足够.对于不同的点有：2m•xyi D j E1j =[ xy ]1其中E 1 j 已知，[xy ]1由材料力学计算.B^v j 』=K i—F(旦) BW W13 5 7 9aa ；a ； a ： a ：F( ) =11.6( )2-18.4( )287.2( )2-150.4( )2154.8( )2WW WW W W其中s =4W 标准试件，此式为美国SEM-E399规范1=■ Ki = lim D i ()2T BW W1 1 12 忖 C (2—1)1}条件,a.应力.b. （ n 为法向）.c.「，二（为切向） PBW2mZ j 生 D j A 1 j -卜 y ]1§ 2-5 确定应力强度因子的有限元法不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的 .一些实验方法、解 析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力 和位移场,而应力和位移场与K 密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强 度因子的计算•一、位移法求应力强度因子I 型：u(rp) =0J 丄［(2k —1)cos?—cos 岂］4G Y 2兀2 2K I4G、应力法求应力强度因子有限元法=；「y（r,0）= K I -；「y・.2rK I > r 的关系曲线外推=K I 的准确值.应力法与位移法比较：利用刚度法求应力时，应力场比位移场的精度低（因应力是位移对坐标的偏 导数）•三、间接法求应力强度因子（应变能释放率法）利用有限兀法确定G= Ki . 四、J 积分法有限元法=裂纹尖端位移=■Gy(rc)~7~ 丁 \ 2 ［(2k d)sin--s i nr,二 ），这种方法为外推法K II-:围绕裂纹尖端的闭合曲线• T ：积分边界上的力.U ：边界上的位移.uJ 积分为：J 二[Wdy -T ds]p ■ x1其中W = Gy [y 为应变能密度.2线弹性问题：J 二G = $ .E利用有限样方法计算回路积分二K.§ 2-6 叠加原理及其应用K i 的叠加原理及其应用 1. &的叠加线弹性叠加原理：当n 个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点 上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和叠加原理适用于K ]证明：；© 二 lim 、、2二 r ；「y|些设在T l 载荷作用下,有：巧⑴|世，Ki ⑴=1四V 2忌⑴y |甘 设在T 2载荷作用下,有：6⑵|曲，Ki ⑵=四72^⑵y £ 由叠加原理有:;「y |甘二；「y ⑴•匚⑵y k_0=Ki = Ki （1）- Ki ⑵> 满足叠加原理计算复杂载荷下应力强度因子的方法：将复杂载荷分解成简单载荷，简单载 荷可查心手册.叠加原理：K i ⑻=K i （b ）- Ki© -K i（d ）=K i ⑻二丄（心（5 • K i （c ））2其中：心⑼乂、、蔦•（昔） D 为圆孔直径,可查应力强度因子手册2板有宽度：F （a ）「sec£ --- 板宽的修正.W V W2.实例:铆钉孔边双耳裂纹的 心值这里：…，即有效裂纹长度. =K® 滿(詈)~2确定K z (c):无限板宽中心贯穿裂纹受集中力p 作用.、应力场叠加原理及其应用 1. 应力场叠加原理T o :无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场 叠加原理：K i (a)二 K i(b) - K i (c) = K i(c)-应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没 有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应二(a °)2a 为有效裂纹长度a f J(D 2a)2有限板宽:■: (D 2a)F (W )「I Sec 2W=K i(c)二(2a D) 二 K i(a)二(D a)Sec2W-W 二(D 2a) —sec兀(号+a)2W何叫二.(計D 2Wa)Ki =二；(D 2a)=K i =(c)(b)(a)力T o 所致的应力强度因子 如图2.实例：旋转叶轮（或轴）内孔端裂纹的©以等角速度••运转的叶轮，在内孔面有一长为2a 的贯穿裂纹，求裂纹前段的 应力强度因子•（1）求解无裂纹时，旋转体在无裂纹部位的内应力• 有弹性力学有：R 22其中：f 为叶轮密度，• •为角速度，R 为叶轮内径，R 2为叶轮外径，r 为计算点- ■'（平面应力） 「口（平面应变）3±8f ■2R 22(1TaAB8般情况下唱讣L5^(訝-a 比较小:(匸)2L 1.R 2f 和22(1真)r⑵根据类比原则：比较(d)与(b):内孔半径一致，裂纹大小及组态一样，裂纹面上下受力一致，外 边界无约束，唯一不同的是一个是有限体，一个是无限体，由于边界是自由的二宀 K (d)I I 3(注意无裂纹时),由弹性力学知:3 •根据叠加原理带中心孔的无限大板 ,受双向拉应力f 「2R 22时,孔边附近的应力»af(自K(a)= K (c)I I§ 2.7 实际裂纹的近似处理利用断裂力学进行安全评价时，首先确定缺陷的大小，部位和形状，偏于安全考虑：夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹 =裂纹应针对实际问题进行分析.一、缺陷群的相互作用1. 垂直外应力的并列裂纹并列裂纹的作用使©下降=工程上偏安全考虑(1)并列裂纹作为单个裂纹考虑；⑵对于密集的缺陷群，假定它们在空间规则排列，并可把空间裂纹简化成平面裂纹.2. 与外应力垂直的面内共线裂纹如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上，可做为单个裂纹处理，否则必须考虑修正：M W .二、裂纹形状的影响通过探伤手段=缺陷的”当量尺寸”及其部位，而缺陷的具体形状及实际尺寸难以确定二裂纹形状的影响.1. 探伤结果是面积当缺陷的面积相同时，色=丄的椭圆裂纹心最大=以a = ~的椭圆裂纹分析c 2 c 2是偏于安全的.2. 探伤的结果是最大线尺寸(1) 当最大直径相同时，圆裂纹的K比椭圆裂纹大=以圆裂纹估算偏于安全.(2) 当缺陷长度一样时,贯穿裂纹K比其它裂纹的K大=以贯穿裂纹估算偏于安全.§ 2.8 塑性区及其修正小范围屈服：屈服区较小时（远远小于裂纹尺寸）.=线弹性断裂力学仍可用 一、塑性区的形状和大小 1.屈服条件的一般形式屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件. a. 简单情况：单向拉压：G-二 薄壁圆筒扭转：.一S • b. 复杂情况:2,二 3）= C f （二x ,；「y»z , xy , ・xz , yz ） =C 用主应力表示 f （二1,二有：最大正应力条件，最大切应力条件， VOn.Mises 屈服条件（变形能条件）,Tresca 屈服（切应力条件）. 2. 根据屈服条件确定塑性区形状大小a.利用米塞斯（von.mises ）屈服条件.当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密 度,材料屈服，即：2 2 2 2（二1一匚2）（匚2 -6） （6 -匚1）=2J对于I 型裂纹的应力公式：cr + cr J a -cr nx y ./ x y ）2 .2xyK I cos —[1±s in —] 2 2 二3 =0（平面应力,薄板或厚板表面）K I 22 d2 =-7 cos 2 [1 二 3si n 2—] 22 2s--平面应力下，I 型裂纹前端屈服区域的边界方程•当二=0时，r 0 二丄（0 ）2平面应变（厚板中心）二3二J ^<C 2）匚cos 22［（1-“）2跖“誇］--平面应变下，I 型裂纹前端屈服区的边界方程•2, 2「r当V - 0时，r =0.16 1 (心)2( — 0.3)2兀 C T Sb.利用Tresca （屈雷斯加）屈服条件.在复杂受力下，当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力，材料即屈 服•比较发现：平面应变塑性区尺寸小，平面应变处于三向拉伸状态不易屈服. 平面应变的有效屈服应力、二y S比二S高,塑性区中的最大应力G"「yS平面应变匚1 =—考虑实际情况匚ys 二-2 J2；「3平面应力二1- ；「y S- ；「S3. 应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛（应力松弛:应变量不变，应力随时间降低） 应力松弛 > 塑性区尺寸增大，依据:单位厚含裂纹平板，在外力作用下发生 局部屈服后，其净截面的内力应当与外界平衡•K 2 K i 2虚线表示发生塑性变形前，二-0的平面内法向应力C y的分布规律.（图中虚线所示）72兀r此曲线下的面积为h =二 y (x)dx 二外力应力松弛后：F ?二二 y"dx =外力二ys 二 "J （平面应变）屈服区内的最大应力称为有效屈服应力 二ys ,（平面应力） 1r ys 为二yl m»ys 时的 r 值，r ys(—) =；「y (x)dx= ；：y dx又BD 与CE 下的面积应相等. -FB 下的面积与ABC 下的面积相等.即:y A*■.7 ysFrD■^o■ . --------- ---------- rx■ ■--------- w -a畑 r■K 1、22 二上 ys ys ysxy(x)dx 二 0r ysc ys丄（鱼）2二r°（平面应又r ys力）=在平面应力条件下，考虑应力松弛，x 轴的屈服区扩大1倍. 平面应变条件下：j 二.r^cs 可得qi —1一（冬）24>/2 兀 6注意:上述分析没有考虑材料强化。