线性代数(同济大学第五版)行列式讲义例题

线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题

第一章行列式

行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计

算方法.

§1全排列及其逆序数

一、排序及其逆序数定义

对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.

定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序.

例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.

定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数,

用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数.

根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：

设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前

第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个

数之和就是这个排序的逆序数．即为

n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti.

i?1基准1排序排序45321的逆序数.

解因为4排在首位,故其逆序数为0；

比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为

(45321)002349．

定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.

(i1,i2,,in)=i2前面大于i2的元素个数+i3前面大于i3的元素的个

数in前面大于in的元素的个数,比如:

(2341)0033,逆序数为3,?(2341)为奇排列.?(4321)?1?2?3?6,逆序数为

6,?(4321)为偶排列.

定义4把一个排序中某两个数码i和j交换边线,而其余数码不颤抖,就

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获得一个崭新排序.对一个排序所颁布的这样一个转换叫作一个重新排列.

例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为2341??(2?,4)?4321定理1对换改变排列的奇偶性.

证明先证相连重新排列

设排列为a1?alabb1?bm对换a与b.a1?albab1?bm当a?b时,经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;当a?b时,经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.

再证非相连重新排列,现设排序为a1?alab1?bmbc1?cn现来重新排列a与b

am次相邻对换1?alab1?bmbc1?cna1?alabb1?bmc1?cnam?1次相邻对换

1?alabb1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cn

a2m1次相连重新排列1?alab1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cn

因此对换两个元素,排列改变奇偶性.

也就是说,只要经过一次重新排列,奇排序变为偶排序,而也时排序变为奇排

第3页列.

推断奇排序变为标准排序的重新排列次数为奇数,偶排序变为标准排序的重新排列次数为偶数.

二、排列及其逆序数性质与定理

性质1设i1i2?in和j1j2?jn就是n个数码的任一两个排序,那么总可以通过一系列重新排列由i1i2?in得出结论j1j2?jn.

引理1对换的可逆性――即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列i1i2?in可经过一系列对换变为自然排列12?n.而自然排列12?n可经一系列对换变为任意一个n元排列j1j2?jn.

事实上,由定理1所述：任一一个n元排序j1j2?jn可以经一系列重新排列

变为自然排列12?n,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.

定理2n?2时,n个数码的排序中,奇排序与也时排序的个数成正比,均为

n!2个.

证明：设n个数的排序中,奇排序存有p个,偶排序存有q个,则p?q?n!,对p个雷排序,颁布同一重新排列,则由定理1获得p个偶排序.（而且就是p个

不同的偶排列）因为总共有q个偶排列,所以p?q.

同理q?p.

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所以p?q?n！2.

§2行列式的定义

开场白三阶行列式的形成规律为：

a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a31a32a33?a13a22a31?a12a21a33? a11a23a32

a11a12a13其中：符号aa22a22123是由3个元素aij构成的三行、

三列方表,a31a32a33纵排叫行,横排叫列；在上述形式下元素aij的第一个负号叫行负号,第二个负号叫列负号.从形式来看,三阶行列式就是上述特定符号则表示的一个数,这个数由一些项的和而得：

1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；

2）项数：三阶行列式就是3！=6项的代数和；

3）项的符号：每项的一般形式可以写成a1j1a2j2a3j3时,即行标为自

第5页然排序时,该项的符号为(?1)?(j1j2j3),即为由列标排序j1j2j3的奇偶性然

定.

一、n阶行列式的定义定义5n阶行列式定义为

a11a12?a1na?a21a22?a2nj1j2?jn)??(i1i2?in)(?1)?(ai1j1ai2j2?ainjni1i2?inaj 1j2?jnn1an2?ann