(完整版)线性代数吴赣昌第二章
线性代数讲稿
安康学院讲稿2010～2011 学年第一学期课程名称线性代数院系数学系教研室应用数学适用专业园林授课年级10级专升本授课教师刘铁教材名称《线性代数》吴赣昌等著二○一○年九月目录目录第一章行列式 (1)第一节二阶与三阶行列式 (1)第二节N阶行列式的定义 (1)第三节行列式的性质 (3)第四节行列式按行(列)展开 (6)第五节克莱姆法则 (8)第二章矩阵 (10)第一节矩阵的概念 (10)第二节矩阵的运算 (11)第三节逆矩阵 (16)第四节矩阵分块法 (18)第五节矩阵的初等变换 (22)第六节矩阵的秩 (25)第三章线性方程组 (29)第一节消元法 (29)第二节向量组及其线性组合 (29)第三节向量组的线性相关性 (31)第四节向量组的秩 (33)第五节向量空间 (34)第六节线性方程组解的结构 (36)第四章矩阵的特征值与特征向量 (2)第一节向量的内积 (2)第二节方阵的特征值与特征向量 (40)第三节相似矩阵 (43)第四节实对称矩阵的对角化 (46)第五章二次型 (47)第一节二次型及其矩阵 (47)第二节化二次型为标准形 (48)第三节正定二次型 (50)第二章 矩阵第一章 行列式第一节 二阶与三阶行列式内容分布图示 ★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式 ★ 例2-例3★ 三元线性方程组 ★ 例4内容要点: 一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331a a a a a a + 132132132231112332122133.a a a a a a a a a a a a +---三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
线性代数吴赣昌第五版1-2资料
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
第二节 n阶行列式
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.
若将 t个偶排列的前两个数对换,则这 t个偶排列
全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s. 故必有s t.
定理3 n阶行列式也可定义为
其中
D
i1i2 in ,
j1 j21sai1jjn1ai是2 j2 两a个in jn n级排列，s为行
1N1 2n 1 n 1N n!,
Nn 1n 221n
n 2 n 3 2 1
n 1n 2 2
n1n2
Dn 1 2 n!.
小结
1. n级排列有n！个，逆序数的定义和计算； 排列奇偶性；对换；任意两个元素对换，排列 改变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
线性代数 第二章 第2节
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加法运算满足下列运算规律（ 加法运算满足下列运算规律（设A、B、C 都是 运算满足下列运算规律 、 、
m×n 矩阵）： × 矩阵）： (1). A+ B = B+ A ; (2). ( A+ B) + C = A+ (B+ C). = 设矩阵 A= (aij ), 记 − A = (−aij ), 负矩阵。 显然， − A称为 A 的负矩阵。 显然，A+ (−A) = 0.
线性变换（ 线性变换（5）可以看着是先作线性变换（4） 可以看着是先作线性变换（ 再作线性变换（ 的结果。称线性变换（ 再作线性变换（3）的结果。称线性变换（5）为线 乘积。相应地， 性变换（ 与线性变换（ 性变换（3）与线性变换（4）的乘积。相应地，把 线性变换（ 所对应的矩阵定义为（ ）、（4 线性变换（5）所对应的矩阵定义为（3）、（4）所 对应的矩阵的乘积 矩阵的乘积， 对应的矩阵的乘积，即：
数与矩阵的乘积满足下列运算规律（ 数与矩阵的乘积满足下列运算规律（设 A、B 为 满足下列运算规律 、 ) m×n 矩阵 λ, µ是数 : ×
(1). (2). (3).
(λµ)A =λ(µA); (λ + µ)A =λA+ µA ; λ( A+ B) =λA+ λB.
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矩阵的相加与数乘矩阵合起来， 矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵 线性运算。 的线性运算。 注意： 注意： a11
6 44 4 4 4 4 7 4 4 8 a11 a12 L a1s b11 a21 a22 L a2s b21 L L L L L a b m1 am2 L ams s1
[院校资料]线性代数课件第二章_OK
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13
例2.1的消元过程用矩阵初等行变换形式可简洁地表示为：
1 2 3 7
1 2 3 7
2 1
1 3
2 0
8 7
r2 2r1
r3 r1
10
定义2.1 矩阵的初等行变换
（1）交换矩阵某两行的对应元素（交换第 i, j 两行对应 元素，记作 ri rj ）；
（2）以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素（第 i 行乘以数 k ，记作 ri k ）；
（3）把矩阵的某一行元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记作ri krj）。
17
对矩阵 C 继续进行初等行变换
1 4 3 7
r1 4r2
C 0 1
14
3
1
143r3
0 0 143 0
1 0 59 5 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5
rr125194rr33 0
1
0
3
0 0 1 0
1 0 0 5 D 0 1 0 3
0 0 1 0
x1 2x2 3x3 7
x2 3x3 14
5x2 4x3 6
1 2 3 7 0 1 3 14 0 5 4 6
5
x1 2x2 3x3 7
x2 3x3 14
5x2 4x3 6
1 2 3 7 0 1 3 14 0 5 4 6
（3）把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的5倍，得
1 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0 1
微积分 经管类. 第四版 课件 (吴赣昌) 第二章
f ( x) f ( x ) f ( 0) lim lim f ( 0 ). x 0 x 0 x x0
三、左右导数 左导数
右导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x 0 f ( x ) f ( x0 ) lim ; x x0 x x0 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x 0 f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( 2 x ) f ( 2a ) f ( x) ( 2) lim (1) lim 其中 f (0) 0. ; , x a x 0 xa x f ( 2 x ) f ( 2 a ) f ( 2 x ) f ( 2 a ) 解 (1) lim 2lim x a x 2 a 1 xa ( 2 x 2a ) 2 f ( 2 x ) f ( 2a ) (2a ). 2 2lim 2 f x 2 a 2 x 2a
(sin x ) x cos x x 2 . 2 4 4
例6 求函数 y x ( n为正整数 ) 的导数.
n
( x h) x 解 ( x ) lim h0 h n( n 1) n 2 n1 n1 lim [ nx x h h ] h0 2! n 1 nx , 即 ( x n ) nx n1. 更一般地 ( x ) x 1 ( R ).
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6 .
9
9
完
作业
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概率论与数理统计课后习题答案第二章(理工类_第四版)吴赣昌主编
第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},得λe-λ=λ22e-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52;(2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110,P{X=4}=C32⋅1C53=310,P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p),所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量. 解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1),所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它,求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1};(3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴B=-1.(2)P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣,求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C,使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22),所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12,所以c-32=0,故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102),先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-Φ(x-400060)=0.1,所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x,使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x,即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36),则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01,而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99,查标准正态表得x-1706>2.33,故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102);第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42),求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为Y-101P2*******习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数. 解答：fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e),其反函数为x=lny,可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1,于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0,综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0,这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0,综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2),已知θ=5(T-32)/9,试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2).θ=59(T-32),反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k,P(Ak)=ck,k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20}=1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7),而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：(1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X,则X∼b(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然X∼b(300,0.03),即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,P{X=0}=e-3/2≈0.223;X-101pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0,故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x).显然，当x<0时，F(x)=0,当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它,计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1.证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0,分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5),所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去),所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取. 习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率.解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.习题19设随机变量X的分布律为由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1),则Y的取值范围为[1,2).当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.。
线性代数（经管类完整版）教学大纲
《线性代数》（经管类）课程教学大纲学时数：36学分数：2适用专业：经济类本科执笔：吴赣昌编写日期：2009年6月课程的性质、目的和任务本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的代数基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
课程教学的主要内容与基本要求一、行列式主要内容：二阶行列式与三阶行列式，n阶行列式的定义；行列式的性质，行列式按行（列）展开法则；克莱姆法则。
基本要求：1、会求n元排列的逆序数；2、深入领会n阶行列式的定义；3、熟练掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简行列式，利用“三角化”计算行列式；4、理解行列式元素的子式、余子式和代数余子式的概念，灵活掌握行列式按行（列）展开法则（降价法）；5、理解克莱姆法则，并会用克莱姆法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。
二、矩阵主要内容：矩阵的概念及应用，熟悉几种特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、单位矩阵数量矩阵；矩阵的运算：线性运算、乘法、线性变换、转置及其运算规律，方阵的幂，对称矩阵与共轭矩阵；逆矩阵的概念，伴随矩阵及其与逆矩阵的关系，逆矩阵的运算性质，矩阵方程及其解法，*矩阵多项式及其运算；分块矩阵的概念，分块矩阵的运算；矩阵的初等变换，初等矩阵，求逆矩阵的初等变换法；矩阵的秩及其求法。
基本要求：1、深入理解矩阵的概念及应用；2、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、共轭矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质；3、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、线性变换、转置运算，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵的行列式；4、理解逆阵的概念，掌握逆阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆阵；5、了解分块矩阵及其运算；6、了解共轭矩阵；7、掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；8、清楚矩阵秩的概念，重点掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
线性代数--吴赣昌-第四版--课后习题答案
线性代数（理工类第四版吴赣昌主编）（中国人民大学出版社）第一章习题1-11.（1）= x3—X2—1-（5）解原式= 11 —・log* = 0.2.（1）解原式= 1x1x1 +3x3 x 3 + 2 x 2x2一2x1x3-3x2x1—1x3x2 =18.（3）GLv r H +;・)z —H肥峠—— f f ——Ex ——x mi f E I .rHEH —(A ・+X)itrfH「H1E(H + .¥)—E£——A4・J J —严g l s r D I J gexEHuIm —qqq I尊厨X L I -X Q X E I O x s x n —) —守 X E X (I ——)+o x o x =+【X S X I H M ^*r(2)二ny 严<亠*-T雷■严< « J sJ ® S915 -N 5 i s J S AH IA +gN ('f lft r g Fz */-!- (寸・*<£1 ^3 ss 村气* 喘If!"帖+ = H寸《c^l Tr村來?l第X - i sTJ W 2A r u•n u口T c f fA f e J W ^ - A s r J H # EN H k s n ■ N ・r s ^& g・ J s用『A x* </代 </N s n *uE和 ■ t i -,-km J 8Pn A JL H-cL i c L r ® I L ?啊叫==o/fd ?T T T TT巧鎂 r 曲!1^_曲亦7^犬+BSrh q — ■ ) j /v (冇 "*夕性F*孑才吉换堵样K 丰”习题1-31=1OOO < 34工■吕 一>=—<> I 2^<)<»<> ■(2)Fi 23 1 2 31 2 =o 1 2 =0 «111o -1 -2(3)ab CTCb cebd z=5b —</ Qbf</he—e—11 1—1 1 11 —111 1 11 1 — 111—1—1U o■= adfbcc1 O 2=4122. ( 1)曲于SUVI £I 黔2 <><><>23^tZ 1 W 28092I OOO 1 <M><>=1 OOOK4N 1 牙 ^WOOZ12 2 212 2 012 0 0( l)<ff_ 11 JI !.(4)(5)1- I 1 I --(2)3. 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( 1)6 —41 o—4n —G2 , J O| =1 SG 、5 7297<> 101 2 4寸_f=i5 2*>■ i -xr-丈1 = />i _ 1 3/>2 124r/> —62 _3,工2 -r>-- -------------- 厶626 =3 22 41 - 274=53 +6 =5 — 1 -2 -5—322 4 = 1S9,8632-6 -263 27427412 51522. ( 1)32 4-2-152(2)(>(2)N C II I n ih餐怕IN寸寸9村"赳IIII忆M付寸百料汽n0<N N NOIIO *II2仪E11Q =215------=O1U4> —21 B O 4 -22=—30 弓Qi = =S = =d5」歼以矛帝SL AH-•5AI1/> =1 j.e1 — f-t —Q 丸 I £“1齐木逐，l 土力■韦罡箕宜黃N 洛％祸,JCJ ZJ = O, W // — //Z = o// = O NC /L ■= 1 ,□K 皿马SrwiE, 当 // = <)*«. ^ = i H^r , 运务壽圮谢匕屮生力■毛上直硒NT 勻民竽如.总复习题一1. 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( 1)(431、r、r4x7+3x2+1x1解1-232lx 7 + (-2) x 2 + 3x17 0丿I 5x7+7x240x1=6(49丿(2)(123)f-1 -2 -4 r o <)u)2 4 6 —1 -2-40 ()0■(369丿I1 2 4lo ()0 >(3)(3)解(1,2,3) 2=(1 x 3 + 2 x 2 + 3x1)11< ■丿二（叭(4)<3\<3 6 9)解2 (1 2 3)= 2 4 6 .d丿U 2 3丿(5)(6)厂% «12為八V（工］字兀£,兀3）^12 «22 ^23X,«21幻3宀丿丿4解 3AR-2A=3 1/ 0 5 3 0-5 U 9 8A ( 1 6 -2 10 12 3 >2 4-21 5 1 >13 _ 17 29 (1 1 n (12 3](0 5 811 一 1 -1 -24 — 0 -5 6-1 1丿< 0 5 1><2 9 0丿1,其几何M-XX:在线性凭换A TB ^(1) y = Ax(1 oyi5 0丿"一⑴—W 丿5齢止上5量“⑴的投影，见下图. 解(2) y - Ax -y = Ax下、向量$ = 22 > 20 , -2,在反皿由上(U)(04),其几何意义是：在线性变换是平面斗处2上的向量％1 00 0.在X 】轴上的反射，见卞EL 0(14)1o(1厂1)< -6 112-4 l —10 —I[r = -6 訂[+ 签—►X2=12Z1-4Z2+9Z3.L = - IO ZJ- z2+ 16J37解如国，设—fycx^OP}二**丿5丿/cos^? - sin^ Vx1< sin <p co$^9 J V v2>f x} cos ip— x1 sin <p ]sin <p -vx2cos^> 丿为方便起见’利用极生标表示-春tXi = F3Si&X尸“彻炉则有f ”、( r cos 6^ cos r sin 0 sin <p\ rsin 0 sin <p+ r cos^cos <p (r sin(^ +俨)丿从几何上君,在线性疾换y = Ax^F.向-^y = OP.^^x^rx = OP f 披依逆时针方向旅砖了(p甬(即将点1\決原点为中心逆时针雄转炉并)的结果.因此,本题所讨论的线性变换被荷为扯转銮换.8. ( 1)x n + 3X 2I即r 2X … + 5X 21 =4 I + 3*21 = 2分别琳上进阿于右程组碣2-23 0 8(2)<2\3I 石丿WT3t 扌奂白勺灵巨眸K X —21HP12 — b 、-V 2i —济以与力 ET 手t 按白勺绘梓K （常 ：）•21 人 22 u 1222X|］十 5X 2I 2X 12+ 5XX|2 + 3兀2x 11 — 2，21 0, x 1223 丁22-2 1v 2 =3, V 3 — 22* 11 -Y 122-v 12 + 5AT 21 *12 +3* 22 —乂1】+ >*12 心1 + ^221o1oIo1o1oIo1o1o1o1o1o1o1o1□=10. (1)解/I2-3oo厂I\7oA-oMoo厂)2)oftAB =^12 IIII解aA = aii *12力+屈=“11 十方11 a\2"12 佝3+ 〃13«22 + A22 仏 + H 盘33 +*33> 叫丿^33 >*11*22 *23為3丿%11如 5如十％血2 %1如+糾血$ +5僞3幻如+5勺3 所以,aA.A + B.AB仍为同阶同£害构上三角形矩阵.14<^11 曰12角军吃殳/t —a 21 a 2223<^31 a M”33 丿(—ma\ i 贝U —mA = —ma2l1一"恆站—ma\r—以⑷八—ma22 ~ w^2j一wa^一丿从而| —mA | =—w«n — mni2 — ma\y ——ma iz —ma2^ —ma3X - ma32—丽席阳二—wp \A \ ——nt4.^ii =5, yiji = 2 x ( —1), >4 |2 = 2 x ( —1), A 22习题2-31.(1)5 z4*r4 [ | —h^4 21 =-2,=1, ^41 = o ,力1工=o> ^22 = 1 , ^32 =—2, ^42 =1,儿3 = th仏3 =心3 =1 ,/心= 一2，^14 = 0,」34 =»,如= 1,< 1 -210、11 —21故AI■⑶故 A~A\(2)丿 A\ = l1—22. ( 1)-X42XIJo2XIJz11zflx\丿6o\7oloooo1loo4.(1)『123(x2 2 5勺=2<3 5 1>(x 、鼻1厂 12 3、 1⑴rn"X |— 1 故— 2 2 52—,从而4x 2 = 0宀丿<3 5 134丿x, = 0J 3(2)(1 -1 -iVx^(2、解芳程组可表示为2 -1 _3 J =1<32 - §丿1心丿<1-1-01f 2、 <5>! = 5 故—2 -1 -31 —0 勺从而*X, = (11 *3丿22 -5；<0；.3丿A\ = 3L3解宙题设 儿丿兀2l 打 2 2 3 1 3 2从而 儿=r 21)353 X 2K 丿 丿1尸3丿-7 6 -4 3 2 9Y -7 -4 八X J-7心 6心 +3X 2 3A ：［ + 2X 2—4X 2 + 9X 37兀34兄［⑷『宀［⑷T,（击”-4 0 0 ) 0 -2 -4 0 -6 -10>解 因为|/|=2, 所以/可逆•由求逆公式彳鼻又由 AA~^E^- |/||"i| = |E|,_i即1/ UfTT ，Ml代入|川|得 |才| =国八善=凶2 = 4・ Ml7.（1）由 AB = A \ 2K —(/<- 2F)« = A. 放R ="-2E )r(-233、 -1c0 3 3=1 -11 1 0< ■ -12 1 >l - -1 23 j* 0 3 3、 -1 2 3 < 110>解因（才）"=（|丄|/"）-1 =Ml解由方程AR \ A1 \ R、合并含科未知矩阵B的项得(A-E)B = A2-E = (A-E)(A十E),f 0 0 1 ]又A-E=010,<i o oj其行列式|昇—E|=—1工0, ^A-E可送，用(A-E) 1左乘上式两边，即得r 2 o 1R = A + E =0 3 0 *< '0 2 丿2-41. ( 1)M 由方程十E=卫2+号，合并含科耒如夫巨阵〃的项厲寻(A- E)B = A2-E = (A - E)(A + E).r o o 1 >又A-E=010,1 0 0 >其行列式|乂-£|=-1工0,故zi-E可送，用(zi-E)7左乘上式两边，即得r2 0 1 >B =A +E =030.」° 2丿(2)解原式二< a li ac0 、0 a0 ac1 0 c + bd0 1 0 1 0 c^ bd )。
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使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
令
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
Ax b
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1, x2, , xn 与变量 y1, y2, , ym 之间的关系式:
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
称为变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym 的线性变换。
行向量），称只有一列的矩阵 （又称列向量）。
b1
A
b2
bn
为列矩阵
3、单位矩阵
1 0 0
称
n
阶方阵
En
0
1
0
为
n
阶单位矩阵，
0 0 1
简记为 E 。
4、对角矩阵
1
称 n阶方阵
0
0
2
0
0
为对角矩阵，
0 0 n
记作 diag(1,2 ,,n ) 。
第二节 矩阵的运算
第二章 矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义
在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成
一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
这种数表就是我们所说的矩阵。
二、数乘运算 1、定义
定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
记作 A 或 A 。
2、运算法则
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
定义1： 由 m n个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成
的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
a11
通常记作
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
，以
aij
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。
定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负
矩阵，记作 A。
定义3： A B A (B)
注意： A (A) O 2、运算法则
（1）A B B A；
（2）(A B) C A (B C)；
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵 A称为 n 阶矩
阵或 n阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵
称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
yn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则 （1） (AB)C A(BC) （2） (AB) (A)B A(B) （3） A(B C) AB AC (B C)A BA CA （4） Em Amn Amn Amn En Amn
为
am1 am2 amn
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
5、方阵的幂运算
设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak1 Ak A
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第
二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
4 1 0
例1：Leabharlann 求矩阵A1 2
积 AB 。
0 1
3 0
21
，B
1 2 1
1 0 3
3 14
的乘
例2：
已知
A
2 1
42
，B
2 3
4 6
，求
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足