(完整版)线性代数吴赣昌第二章
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交换律，即在一般情形下，AB BA，要
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
令
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
Ax b
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1, x2, , xn 与变量 y1, y2, , ym 之间的关系式:
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
称为变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym 的线性变换。
行向量），称只有一列的矩阵 （又称列向量）。
b1
A
b2
bn
为列矩阵
3、单位矩阵
1 0 0
称
n
阶方阵
En
0
1
0
为
n
阶单位矩阵，
0 0 1
简记为 E 。
4、对角矩阵
1
称 n阶方阵
0
0
2
0
0
为对角矩阵，
0 0 n
记作 diag(1,2 ,,n ) 。
第二节 矩阵的运算
第二章 矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义
在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成
一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
这种数表就是我们所说的矩阵。
二、数乘运算 1、定义
定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
记作 A 或 A 。
2、运算法则
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
定义1： 由 m n个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成
的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
a11
通常记作
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
，以
aij
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。
定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负
矩阵，记作 A。
定义3： A B A (B)
注意： A (A) O 2、运算法则
（1）A B B A；
（2）(A B) C A (B C)；
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵 A称为 n 阶矩
阵或 n阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵
称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
yn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则 （1） (AB)C A(BC) （2） (AB) (A)B A(B) （3） A(B C) AB AC (B C)A BA CA （4） Em Amn Amn Amn En Amn
为
am1 am2 amn
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
5、方阵的幂运算
设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak1 Ak A
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第
二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
4 1 0
例1：Leabharlann 求矩阵A1 2
积 AB 。
0 1
3 0
21
，B
1 2 1
1 0 3
3 14
的乘
例2：
已知
A
2 1
42
，B
2 3
4 6
，求
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
令
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
Ax b
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1, x2, , xn 与变量 y1, y2, , ym 之间的关系式:
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
称为变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym 的线性变换。
行向量），称只有一列的矩阵 （又称列向量）。
b1
A
b2
bn
为列矩阵
3、单位矩阵
1 0 0
称
n
阶方阵
En
0
1
0
为
n
阶单位矩阵，
0 0 1
简记为 E 。
4、对角矩阵
1
称 n阶方阵
0
0
2
0
0
为对角矩阵，
0 0 n
记作 diag(1,2 ,,n ) 。
第二节 矩阵的运算
第二章 矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义
在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成
一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
这种数表就是我们所说的矩阵。
二、数乘运算 1、定义
定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
记作 A 或 A 。
2、运算法则
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
定义1： 由 m n个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成
的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
a11
通常记作
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
，以
aij
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。
定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负
矩阵，记作 A。
定义3： A B A (B)
注意： A (A) O 2、运算法则
（1）A B B A；
（2）(A B) C A (B C)；
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵 A称为 n 阶矩
阵或 n阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵
称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
yn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则 （1） (AB)C A(BC) （2） (AB) (A)B A(B) （3） A(B C) AB AC (B C)A BA CA （4） Em Amn Amn Amn En Amn
为
am1 am2 amn
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
5、方阵的幂运算
设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak1 Ak A
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第
二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
4 1 0
例1：Leabharlann 求矩阵A1 2
积 AB 。
0 1
3 0
21
，B
1 2 1
1 0 3
3 14
的乘
例2：
已知
A
2 1
42
，B
2 3
4 6
，求
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足