计数问题竞赛讲义题二

计数问题竞赛讲义二

解排列、组合题的基本策略与方法

（1）合理分类与准确分步（2）有序排列，无序组合（3）排列、组合混合问题先选后排

（4）特殊元素、特殊位置优先（5）正难则反，等价转化（6）相邻问题捆绑处理

（7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略一．有条件限制的排列组合问题

例1.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

例 2. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）

A.150种

B.180种

C.300种

D.345种

例3.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有

________________种（用数字作答）．

例4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为（）

A．360 B．520 C．600 D．720

例5.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）

A. 36

B. 32

C.28

D.24

例6.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )

.A168.B96.C72.D144

例7.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种？（用数字作答）。

解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符

合题设条件的填法共有722−72−16×72=3960种。

例8.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.

二．鞋子配对问题

例1．现有5双型号不同的鞋，从中任取4只，按下列条件各有多少种不同的取法？

（1）互不配对（2）恰有1双配对（3）恰有2双配对

例2．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有多少？

三．分组分配问题

本类问题主要集中了三类问题：分组问题，不定向分配问题，定向分配问题

例1.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种(用数字作答)？

例2.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

A. 540

B. 300

C. 180

D. 150

例3.星期天，有3家人约好外出自驾游，每家都有三口人（两个大人一个孩子），现在他们准备开A,B,C 三辆车，并且规定：（1）每辆车限坐4人；（2）每辆必须有一个大人开车；（3）三个孩子不能乘坐同一辆车。问满足上述三个条件的乘车方法有多少种？（9180）

四．插空处理题型

例1．马路上有编号为1～10的十盏路灯，为节电又不影响照明，可以将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问有多少满足条件的关灯方案？（20）

例2．某仪表显示屏上有7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中三个小孔，但相邻两孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示多少不同的信号？（80）

例3. 一排有14个具有编号的座位，现3个人来坐，要求他们都不坐两边且两人之间必须至少有1个空位，问有多少种不同的坐法？（720）

例4. 一排有14个具有编号的座位，现3个人来坐，要求他们每两人之间必须至少有3个空位，问有多少种不同的坐法？（336）

例5．5个数码1和4个数码0组成一个二进制的9位数.

（1）其中奇数有多少个？ （70） （2）数码0不排在一起的偶数有多少个？（10）

（3）恰有两个0连在一起，其余0不连在一起的有多少个？（20）

例6．某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？

（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起；

（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起．

五．隔板模型问题

不定方程)(21k n n x x x k ≥=+++ 的正整数解的组数为11--k n C ，非负整数解的组数为1

1--+k k n C

例1．将20个完全相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒子，每个盒中至少有一个小球，那么这20个球有多少种不同的投放方案？

例2．将20个完全相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒子，每个盒子的小球数不小于编号数，那么这20个球有多少种不同的投放方案？

例3．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额，则不同的分配方法共有多少种？ 例4．（2008）将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有多少种？

解析：设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程：12324x x x ++=．

的正整数解的个数，2532

23=C ．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

例5．设两个集合},,,,{15321a a a a A =，},,,,{10321b b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且)()()(1521a f a f a f ≤≤≤ ，则这样的映射共有多少个？

例6．在1，2，3，…，14中，按数从小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足412≥-a a ，423≥-a a ，则满足条件的不同取法有多少种？

例7．求不等式10<++z y x 的正整数解的个数．（84）

例8．方程3210321=++++x x x x 有多少个非负整数解.（174）

解析:注意到1x 是重根，且只能取1，或2.

例9．（2005）如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若2005=n a ，则=n a 5 。

六．容斥原理：设全集U 是有限集合，n A A A ,,,21 是U 的子集，则有