计数问题竞赛讲义题二

计数问题竞赛讲义二解排列、组合题的基本策略与方法（1）合理分类与准确分步（2）有序排列，无序组合（3）排列、组合混合问题先选后排（4）特殊元素、特殊位置优先（5）正难则反，等价转化（6）相邻问题捆绑处理（7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略一．有条件限制的排列组合问题例1.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )例 2. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）A.150种B.180种C.300种D.345种例3.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．例4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720例5.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A. 36B. 32C.28D.24例6.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( ).A168.B96.C72.D144例7.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种？（用数字作答）。

解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。

所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72=3960种。

例8.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.二．鞋子配对问题例1．现有5双型号不同的鞋，从中任取4只，按下列条件各有多少种不同的取法？（1）互不配对（2）恰有1双配对（3）恰有2双配对例2．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有多少？三．分组分配问题本类问题主要集中了三类问题：分组问题，不定向分配问题，定向分配问题例1.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种(用数字作答)？例2.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 150例3.星期天，有3家人约好外出自驾游，每家都有三口人（两个大人一个孩子），现在他们准备开A,B,C 三辆车，并且规定：（1）每辆车限坐4人；（2）每辆必须有一个大人开车；（3）三个孩子不能乘坐同一辆车。

问满足上述三个条件的乘车方法有多少种？（9180）四．插空处理题型例1．马路上有编号为1～10的十盏路灯，为节电又不影响照明，可以将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问有多少满足条件的关灯方案？（20）例2．某仪表显示屏上有7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中三个小孔，但相邻两孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示多少不同的信号？（80）例3. 一排有14个具有编号的座位，现3个人来坐，要求他们都不坐两边且两人之间必须至少有1个空位，问有多少种不同的坐法？（720）例4. 一排有14个具有编号的座位，现3个人来坐，要求他们每两人之间必须至少有3个空位，问有多少种不同的坐法？（336）例5．5个数码1和4个数码0组成一个二进制的9位数.（1）其中奇数有多少个？ （70） （2）数码0不排在一起的偶数有多少个？（10）（3）恰有两个0连在一起，其余0不连在一起的有多少个？（20）例6．某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起；（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起．五．隔板模型问题不定方程)(21k n n x x x k ≥=+++ 的正整数解的组数为11--k n C ，非负整数解的组数为11--+k k n C例1．将20个完全相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒子，每个盒中至少有一个小球，那么这20个球有多少种不同的投放方案？例2．将20个完全相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒子，每个盒子的小球数不小于编号数，那么这20个球有多少种不同的投放方案？例3．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额，则不同的分配方法共有多少种？ 例4．（2008）将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有多少种？解析：设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程：12324x x x ++=．的正整数解的个数，253223=C ．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．例5．设两个集合},,,,{15321a a a a A =，},,,,{10321b b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且)()()(1521a f a f a f ≤≤≤ ，则这样的映射共有多少个？例6．在1，2，3，…，14中，按数从小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足412≥-a a ，423≥-a a ，则满足条件的不同取法有多少种？例7．求不等式10<++z y x 的正整数解的个数．（84）例8．方程3210321=++++x x x x 有多少个非负整数解.（174）解析:注意到1x 是重根，且只能取1，或2.例9．（2005）如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若2005=n a ，则=n a 5 。

六．容斥原理：设全集U 是有限集合，n A A A ,,,21 是U 的子集，则有（1）n A A A 21()n n n k j i k j i n i j i j ii A A A A A A A A A 2111111||+<<≤=≤<≤-+-+-=∑∑∑（2）n A A A 21＝n A A A 21＝U －n A A A 21特别地，当2=n 时，212121A A A A A A -+=；当3=n 时，321A A A =323121321A A A A A A A A A ---+++321A A A ． 例1．一次会议有2001位数学家参加，每人至少有1335位合作者，证明：可以找到4位数学家，他们中每两位都合作过。

解析：设与i a 合作过的数学家的集合为i A ，并且设数学家21a a 与合作过，则0200113351335||||||||212121>-+≥-+=A A A A A A所以有数学家213A A a ∈，即213,a a a 与都合作过。

又因为||||||||321321321A A A A A A A A A -+=|||||||||32121321A A A A A A A A --++=32001213353=⨯-⨯≥所以必有3214A A A a ∈，即4a 与321,,a a a 都合作过。

所以总有4位数学家，他们中每两位都合作过。

例2.由数字1，2，3组成的n 位数中，要求1，2，3每个数字至少出现一次，求所有这种n 位数的个数． 解析：由数字1，2，3组成的n 位数的集合记作S ，nS 3||=。

设S 中所有不含k 的n 位数的集合记作)3,2,1(=k A k ，则k A 是S 中所有含有数字k 的n 位数的集合。

321A A A 即是S 中同时含有数字1,2和3的n 位数的全体构成的集合，有公式2得：321A A A ||||||||||||||||321313221321A A A A A A A A A A A A S -+++---= 因为k A 是S 中所有不含k 的n 位数的集合，所以nk A 2||= j i A A 是所有不含数字j i ,的n 位数的集合，所以31,1||≤<≤=j i A A j i因为0||321=A A A 所以满足条件的n 位数的个数为3233||321+⨯-=nn A A A例3.有4对夫妇站成一排，没有任何一对夫妇相邻的站法有多少种？ 解析：记}8{人的全排列=S ，),4,3,2,1}{==i i S A i （对夫妇相邻的排列中第则,||88A S =7722||A A A i ⋅=，原题即求||4321A A A A ，易算得：）41(||662222≤<≤⋅⋅=j i A A A A A j i）41(||55222222≤<<≤⋅⋅⋅=k j i A A A A A A A k j i444224321)(||A A A A A A ⋅= 所以由公式可算得13824||4321=A A A A例4．（贝努利装错信封问题）若（1，2，…，n ）的一个排列（1i ，2i ，…，n i ）满足11≠i ，22≠i ，…，n i n ≠，则称（1i ，2i ，…，n i ）为（1，2，…，n ）的一个错位排列．试求（1，2，…，n ）的所有错位排列的个数. 解析：)!1)1(!31!21!111(!n n n -++-+- ． 例5．设)(n ϕ（n 为正整数）表示小于n 且与n 互素的数的个数，求)(n ϕ．分析：1)2(=ϕ，2)3(=ϕ，2)4(=ϕ，4)10(=ϕ，当p 是素数时，1)(-=p p ϕ注意到算术基本定理：对任意不小于2的正整数n 都可以唯一表示为k k p p p n ααα 2121=，其中i p 为n 的质因数，i α是正整数解：由算术基本定理可得 k k p p p n ααα 2121=，其中i p 为n 的质因数，i α是正整数，设U ={1，2，3，…，n }，{}U a p a a A i i ∈==),(mod 0，=i 1，2，3，…，k ，注意i A 实际上是i p 的倍数的集合，则i A 是指不是i p 的倍数的集合，k A A A 21即表示从1到n 中与n 互素的数的个数，注意到 ii p n A =，j i j i p p n A A ⋅= ，…，k k p p p n A A A 2121= 于是)(n ϕ=n A A A 21＝n A A A 21＝U －n A A A 21=n －k k j i j i k i i A A A A A A2111)1(-+-+∑∑≤<≤= =k k k j i j i k i i p p p n p p n p n n 2111)1(-+-⋅+-∑∑≤<≤==)11()11)(11(21kp p p n --- ． 七．递推方法1．（斐波那契数列）一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一 对小兔子来．如果所有兔都不死，那么刚出生的一对小兔子一年以后通过繁殖可以得到多少对兔子？理解：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加．2．（汉诺塔问题）设有5个银圈，大小不同，从大到小排列在三根金棒中的一根．这些银圈要搬到另一根金棒上，每次搬一个．第三根金棒作为银圈暂时摆放用．在搬动过程中，仍要保持大圈在下，小圈在上，问至少要搬动多少次，才能将所有银圈从一根棒搬到另一根，且搬完后银圈相对位置不变？（121+=-n n a a ）3．（贝努利装错信封问题）推导（1，2，…，n ）的所有错位排列的个数为)!1)1(!31!21!111(!n n n -++-+-． 提示：))(1(21--+-=n n n a a n a ，其中01=a ，12=a ，23=a4．（环形涂色问题）一个圆形花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n ),3(+∈≥N n n 份，种植m 种不同颜色的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图1，圆环分成的3等份为321,,a a a ，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为4321,,,a a a a ，有多少不同的种植方法？（2）如图3，圆环分成的n 等份为n a a a a ,,,,321 ，有多少不同的种植方法？分析可得：⎪⎩⎪⎨⎧--=--==-+nn n m a m m a m m m A a 1133)1()2)(1( ])1()1)[(1(1n n n m m a -+--=-]八．其它的排列组合1．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出k 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为kA k n ． 例1．有5对夫妻围圆桌就座，任何一对夫妻都必须相邻，问有多少种不同的入座方法？（768）例2．用F E D C B A ,,,,,六种不同的颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？（230）2．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++ 21），这n 个元素全部取出的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!!!!21s p p p n ⋅⋅⋅ 例3．现有10张卡片，每张卡片上写有1、2、3、4、5中的某个数字，其中3张1，3张2，2张3，1张4，1张5，任意取出4张，可组成多少个不同的四位数？3．可重复组合（1）从n 个元素，每次取出允许重复的k 个元素，并成一组叫从n 个元素取出k 个的可重复组合．（2）定理：从n 个元素每次取出k 个元素有重复的组合数为：k k n k n C H )1(-+=．。