中考数学二轮复习专题 《第4课时 规律探索性问题》导学案(精讲+专练)
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题《第4课时
中考二轮专题复习：第5课时 规律探索性问题第一部分 讲解部分 一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+； 272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝ 31(10×11×12－9×10×11)，∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
九年级数学上册22.3实践与探索第4课时 精品导学案 华东师大版5
22.3实践与探索第四课时【学习目标】掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．【学习重点】如何全面地比较几个对象的变化状况．【学习难点】某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理【复习引入】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?（总利润=每件平均利润×总件数）【自主学习】自探１某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．【运用拓展】新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?【归纳小结】【作业】1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？2、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的27，求这个两位数。
2024年中考数学第二轮复习学案专题四规律探索题
九年级 数学科目_复习_课型 第__章 第__课时，总第___课时 月 日 周教学内容：专题四 规律探索题教学目标：1、能够根据题中所给条件，找出其中蕴含的规律，从而解决相关问题2、能够熟练进行公式的推理及证明；3、能够熟记相关公式，从而应用到规律探索中去；重点：能够根据题中所给条件，找出其中蕴含的规律，从而解决相关问题 难点：能够熟记相关公式，从而应用到规律探索中去；学习内容及导学流程方法指导或 行为提示一、目标导学今天，我们将进行数学中考专题复习四－－规律探索题，本节课的学习目标是―― 二、自主梳理考点一：相关公式1、数的倍数关系式：一个数a 的n 倍表示为 ；2、奇数与偶数的表示方法：偶数： ； 奇数： 或 ； 3、数的平方的表示：一个数a 的平方表示为 ；4、等差数列求和公式： = ； 考点二： 步骤与方法1、将图形转化为数字；2、观察数与数之间的联系；3、根据数与数之间的联系用恰当的公式表示；4、用归纳出的公式验证几个继续下去的数，看是否符合题设条件。
三、典例剖析例1、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚．例2、如图所示是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小棒．例3、观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋202420231⨯ .例4：正整数按下图的规律排列．请写出第24行，第25列的数字 ．四、巩固提升1、有一列数1234251017--，，，，…，那么第7个数是 ． 2、如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．3、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( )A ．38B ．52C ．66D ．744、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
人教版九年级数学下册中考总复习第二轮《探索性问题》教学设计
中考专题复习《探索性问题》一、【教材分析】二、【教学流程】例精例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图②，点M，N在反比例函数xky （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试探究MN与EF的位置关系．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图③所示，试探究MN与EF的位置关系．置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法.学生通过探究新知→应用新知，培养学生的探究应用能力．A BDC图①G H击中考2. 已知点A(－1，－1)在抛物线y=(k2－1)x2－2(k－2)x+1上，（1）求抛物线的对称轴；（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由.练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．2．本这节课你收获了什么？作业一、必做题：1、如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A .2B .3C .4D .52、已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数xky 图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的值可为___________.（只需写出符合条件的一个．．k的值）第1、2题学生课下独立完成，延续课堂.以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个二、选做题：3、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)保持图1中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；(3)保持图2 中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.第3题课下交流讨论有选择体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐.性完成.三、【板书设计】四、【教后反思】。
中考数学考试考点解密探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数学关系是否存在地题目．探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线地顶点为A(O，1)，矩形CDEF地顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线地解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A地一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴地垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR地形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点地三角形和以点Q、R、M为顶点地三角形相似，若存在，请找出M点地位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2). 设抛物线地解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c ===∴此抛物线地解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+. 其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+(2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN＝a .∴PN=PS —NS=2114a -在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR. ∴12∠=∠， 又∵13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+.∴222()()SR b c b c =+--∴SR =假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR＝x .若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x=即20x bc -+=∴12x x =∴SR ＝∴M 为SR 地中点. 若使△PSM ∽△QRM ，则有b x =.∴x =.∴1MR x c QB ROMS x b BP OS ==-===. ∴M 点即为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．方法二：若以P 、S 、M 为顶点地三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况.当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°.∴90PMQ ∠=︒. 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．∴MN 为直角梯形SRQP 地中位线,∴点M 为SR 地中点当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==.又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合.∴点M 为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM.点拨：通过对图形地观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax 2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它地坐标为（a ，14 a 2+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出地几何图形求出PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等地各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应地图形； （2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l ）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△ BOP 、△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间地距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们地面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H，由上面得到地结论可知：SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边地结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相等．【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线地顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线地解析式；⑵求点B地坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上地动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰地等腰三角形地另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴地垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR地面积为S．求S与x之间地函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2地点？若存在，求点P地坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为抛物线地顶点为M（2，－4）所以可设抛物线地解析式为y=（x－2）2－4．因为这条抛物线过点A（－1，5）所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．所以所求抛物线地解析式为y=（x—2）2－4（2）设直线AM地解析式为y=kx+ b．因为A（－1，5）, M（2，－4）所以524k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得k=－3，b=2．所以直线AM地解析式为y=3x＋2．当y=0时，得x= 23，即AM与x轴地交点B（23,0）（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕当动点P （x ，y ）使△POQ 是以P 为顶点、PO 为腰且另一顶点Q 在x 轴上地等腰三角形时，由对称性有点 Q （2x ，0）因为动点P 在x 轴下方、顶点M 左方，所以0＜x ＜2．因为当点Q 与B （23 ，0）重合时，△PQR 不存在，所以x ≠13 ，所以动点P （x ，y ）应满足条件为0＜x ＜2且x ≠13 ，因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R ， 所以R 点地坐标为（2x ，－6x+2） 如图2－6－9所示，作P H ⊥OR 于H ， 则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR 地面积=12 QR ·P H= 12 |62|x x -+下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时，即0＜x ＜13 时，当R 在 x 轴上方，所以－6x ＋2＞0． 所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ；②当点Q 在点B 右方时，即13 ＜x ＜2时点R 在x 轴下方，所以－6x ＋2＜0． 所以S=12 [－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ；即S 与x 之间地函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时，应有－3x 2+x =2，即3x 2－x+ 2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x 2－x =2，即3x 2－x －2=0，解得x 1 =1，x 2＝－23 当x=l 时，y= x 2－4x=－3，即抛物线上地点P （1，－3）可使S ΔPQR =2； 当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．所以存在动点P ，使S ΔPQR =2，此时P 点坐标为(1,－3)点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中地点B是直线AM与x轴地交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴地交点B．(3)问中注意地是Q点所处位置地不同得出地S与x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第n个图中小黑点地个数为y．解答下列问题：⑴填下表：⑵当n=8时，y=___________；⑶根据上表中地数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11地平面直角坐标系中描出相应地各点（n，y），其中1≤n≤5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上地动点（与点A、B不重合），Q是BC边上地动点（与点B、C不重合）．⑴如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC地中点时，求线段CP地长；⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ地长地取值范围，若不可能，请说明理由．4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x及动直线l：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方2部分地面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分地面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应地S地值．5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F 上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径地圆地一段弧点E是边AD上地任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆地切线，交边DC于点F石为切点．⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF地中点；⑵设AE=x，FC=y，求y关于x地函数解析式；并写出函数地定义域；⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图2－6－18为备用图）7．（10分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上地对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你地结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)，当实数a 变化时，它地顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点地横坐标减少1a，纵坐标增加1a ，得到A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点地坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)上．⑴请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点所在直线地解析式； ⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理由.9．已知二次函数地图象过A （－3，0），B （1，0）两点．⑴当这个二次函数地图象又过点以0，3）时，求其解析式；⑵设⑴中所求M次函数图象地顶点为P，求SΔAPC：SΔABC地值；⑶如果二次函数图象地顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD地值确定吗？为什么？10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC地垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B地大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你地结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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中考数学（通用版）复习专题学案：规律探究问题
规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。
中考数学探索性问题专题复习导学案
中考数学探索性问题专题复习导学案第二轮复习探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(，1)，矩形DEF的顶点、F在抛物线上，D、E在轴上，F交轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点，使得以点P、S、为顶点的三角形和以点Q、R、为顶点的三角形相似，若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴B＝2，∵矩形DEF面积为8，∴F=4∴点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，(-2．2)，F(2，2)。
得解得∴此抛物线的解析式为方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴B＝2，∵矩形DEF面积为8，∴F=4∴点坐标为(一2，2)。
中考数学复习专题讲座探究型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
中考数学专题复习探索性问题导学案
中考数学专题复习探索性问题导学案学习目标：1.掌握探索性问题的特点及类型，熟练运用探索性问题的解题策略解决有关问题.2.培养学生分析问题和探索解决问题的能力.问题情境：猜数字游戏：小明写出如下一组数2481632,,,,13579根据此规律你知道第七个数是几吗？第十个呢？第n个呢？探究一：规律探究型1.（2013泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34+……+32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．7思考：根据上面探究的规律，计算2+22+23+24+……+22013末位数字是多少？2.如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）探究二：条件探究型1.如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ） A.AB ∥DC B.AC=BD C.AC ⊥BD D.AB=DC2．如图，已知AC ＝FE ，BC ＝DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是________．3.如图，∠1=∠2，添加一个条件 使得△ADE ∽△ACB 探究三：结论探究型1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F,连接CF （1）求证：AF=DC ； （2）若AB ⊥AC,试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.22221..4411..44nn A cm B cm n C cm D cm -⎛⎫⎪⎝⎭F ED C BA2.如图①，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)保持图①中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图②中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧)．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；(3)保持图②中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图③中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧)．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．3.如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）abc ＞0；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4.如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.。
中考数学复习专题教案中考中的探索性问题[
中考复习专题教案——中考中的探索性问题江苏省清江中学 钱旭东探索性问题主要是相对于封闭性问题而言的，它的形式多种多样，取材广泛。
近几年来，探索性问题在中考试卷中频频出现，成为中考试卷中的一个亮点。
解决这类问题，往往需要我们展开观察、试验、类比、归纳、猜想等一系列的探索活动。
通过探索性问题的解题活动，不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，有利于思维品质的提高，也有利于自主探索、创新精神的培养。
一、探索数据规律例1.(2003年北京市)观察下列顺序排列的等式:9×0＋1=1 9×1＋2=11 9×2＋3=21 9×3＋4=31 9×4＋5=41 猜想:第n 个等式(n 为正整数)应该为 . 答案：91109()n n n -+=-（或911011()()n n n -+=-+）例2．观察下列等式，你会发现什么规律？3×5＝15而15＝４２－15×7＝35而35＝6２－17×9＝63而63＝8２－1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： 。
答案：（2n －1）×（2n ＋1）＝(2n)2 －1说明：在解决这种探索数据规律的问题时，我们通常是先考察一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论。
在解题的过程中，我们往往需要对题目中的数据进行适当变化，以使得数据的规律更加明显。
二、探索函数关系例3．(2004年常州市)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。
设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x 。
④③②①（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S 与x 之间的关系式。
答：S= 。
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点。
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考二轮专题复习：第4课时 规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：；；；；；…；∴第n （n 为正整数）个数为．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：13,25579,,10172621211211⨯-=+23221521⨯-=+252311031⨯-=+272411741⨯-=+219251265+⨯-=2211n n -+1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n ＋1) ＝ ______________；1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式；照此方法，同样有公式：．解：（1）∴1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．31313131)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n 3131313131（2）．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果 那么a+c b+d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
解答：＞，＞，＜，＞；证明：∴a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋ c ．又∴c ＞d ，∴b ＋ c ＞b ＋d ，∴a ＋ c ＞ b ＋d ．点评：本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力．区分度较好．考点二：点阵变化规律在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．例1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律、若前n 行点数和为930，则n=（ ）A ．29B ．30C ．31D ．32分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n 行点数和也就是前n 个偶数的和。
解答：解：设前n 行的点数和为s ．则s=2+4+6+…+2n==n（n+1）．若s=930，则n （n+1）=930．∴（n+31）（n ﹣30）=0．)2)(1(31++n n n ⎩⎨⎧>>d c b a ,(22)2n n+∴n=﹣31或30．故选B．点评：主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力．例2观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s为（）A.3n﹣2B.3n﹣1C.4n+1D.4n﹣3考点：规律型：图形的变化类。
专题：规律型。
分析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．解答：解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．点评：此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．考点三：循环排列规律循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。
例1：（2007广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（）A．B．C．D．考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2007被4整除后余数是3，从而确定是第3个图形．解答：解：根据题意可知笑脸是1，2，3，4即4个一循环．所以2007÷4=501…3．所以是第3个图形．故选C．点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．例2：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2012个梅花图案中，共有个“”图案．考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个．考点四：图形生长变化规律探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.例1（2010四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为Sn ．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1= ；（2）通过探究，用含n 的代数式表示Sn ，则Sn= ．分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．解答：解：（1）∴第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，又∴直角三角形一个角为30°，∴三角形的一条直角边为=， ∴三角形的面积为×÷2=，∴S1=1+；（2）∴第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，∴S2=（1+）•，依此类推，S3∴（1+）••，即S3∴（1+）•，Sn=（n为整数）．点评：本题重点考查了勾股定理的运用．例2（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ．下列结论正确的有（ ）121234343434343423()413(1()4n -⋅①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形AnBnCnDn 的面积是．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5 的周长；④根据四边形AnBnCnDn 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．解答：解：①连接A1C1，B1D1．∴在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ，∴A1D1∴BD ，B1C1∴BD ，C1D1∴AC ，A1B1∴AC ；∴A1D1∴B1C1，A1B1∴C1D1，∴四边形ABCD 是平行四边形；∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2 是菱形；故本选项错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AB ，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BC ，∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b ）＝；故本选项正确；④∴四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，4a b +12n ab+121212121212121212121212184a b+∴S 四边形ABCD ＝ab ；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是；故本选项错误；综上所述，②③④正确；故选C ．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．例3：（2009锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n 个图中所有圆的面积之和Sn ＝ ．分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．解答：根据图形发现：第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为1，S1=πr2=π；第二个图中，共4个圆，圆的半径等于正方形边长的，为×2=； S2=4πr2=4π（）2=π，依次类推，则第n 个图中，共有n2个圆，所有圆的面积之和Sn=n2πr2=n2π（）2=π， 即都与第一个图中的圆的面积都相等，即为π．点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．考点五：与坐标有关规律这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。