北师大版高中数学选修4-4模块综合测试

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高中数学模块综合测评北师大版选修44

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫10，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－10，－2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫10，2π3 【解析】 ρ＝－2＋－532＝10，又tan θ＝－53－5＝ 3.因点(－5，－53)在第三象限，∴θ＝4π3.∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3. 【答案】 B2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A. 2B.1C.22D.12【解析】因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边).故最大值必大于1，排除B ，C ，D.【答案】 A3.若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A.60°B.120°C.300°D.150°【解析】参数方程化为普通方程为y －y 0＝－3(x －x 0)，斜率k ＝－3，倾斜角为120°.故选B.【答案】 B4.极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是( )【导学号：12990038】A.2B. 2C.5D. 5【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】 D5.柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A.(3，－1,1)B.(3，1,1)C.(1，3，1)D.(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.故应选C.【答案】 C6.在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A.ρsin θ＝2 B.ρcos θ＝2 C.ρcos θ＝4D.ρcos θ＝－4【解析】如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，ρsin θ＝2表示直线y ＝2，ρcos θ＝4表示直线x ＝4，ρcos θ＝－4表示直线x ＝－4，均不与圆相切，只有B 符合.【答案】 B7.(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 2【解析】直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.故选D.【答案】 D 8.在平面直角坐标系中，点集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，α，β∈R，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为( )A.4πB.3πC.2πD.与α，β有关【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，两式平方相加得x 2＋y 2＝1＋1＋2sin αcos β－2cos αsin β，即x 2＋y 2＝2＋2sin (α－β). 由于－1≤sin(α－β)≤1， ∴0≤2＋2sin(α－β)≤4，∴点集M 所覆盖的平面图形的面积为2×2×π＝4π. 【答案】 A9.若直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ有交点，则k 的取值范围是( ) A.k ≤－34B.k ≥－34C.k ∈RD.k ∈R 且k ≠0【解析】由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.若满足题意，只需k ≤－34即可.故应选A.【答案】 A10.已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )⎪⎪⎪y x·yx －2＝－1，C ＝ (ρ，θ)⎪⎪⎪ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z ，D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z，下列等式成立的是( )A.A ＝BB.B ＝DC.A ＝CD.B ＝C【解析】集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2). 【答案】 B11.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )A.5B.6C.4D.3【解析】极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝3，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x ＋3y ＝2.则圆心到直线x ＋3y ＝2的距离d ′＝|0＋0－2|1＋32＝22＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d ′＋3＝1＋3＝4. 【答案】 C12.已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|≤π4，则点(a ，b )的轨迹是( )A.椭圆弧B.圆弧C.双曲线弧D.抛物线弧【解析】由题⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ，a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.又|θ|≤π4，∴表示抛物线弧. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.球坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________.【解析】由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，314.(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________.【解析】由参数方程得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝015.在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________.【解析】依题意，题中直线与圆的直角坐标方程分别是x ＋y －22＝0，x 2＋y 2＝16，则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离等于222＝2.因此该直线被圆截得的弦长等于216－22＝4 3. 【答案】 4 316.在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________.【导学号：12990039】【解析】 ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2， ∴|AB |min ＝5－2＝3. 【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长.【解】 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )，得y ＝33x .(2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，所以y 1＝0，y 2＝1，|MN |＝3＋1＝2.18.(本小题满分12分)已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【解】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72，即A ，B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3).故圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π). 【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.21.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ). 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 22.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解】 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。

【高中教育】最新高中数学模块综合测评北师大版选修4

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学模块综合测评北师大版选修4______年______月______日____________________部门(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1。

若a>b>c,则的值( )A。

大于0B。

小于0C。

小于或等于0D。

大于或等于0解析:因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以,所以>0,故选A。

答案:A2。

不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是( )A。

{x|-3≤x<2}B。

RC。

⌀D。

{x|x<-3或x>2}解析:令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图像如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀。

故原不等式的解集是⌀。

答案:C3。

若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是( )A。

P≤3B。

P<3C。

P≥3D。

P>3解析:因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以=3,即P<3。

答案:B4。

不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为( )A。

B。

C。

D。

解析:由已知2∉M,可得2∈∁RM,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B。

答案:B5。

某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选( )A。

1楼B。

2楼C。

3楼D。

4楼解析:设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时取等号。

答案:C6。

若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是( )A。

高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：模块综合测评2

模块综合测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1ρ∈R)和ρcos θ=1,圆ρ=2cos θ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.2.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可以是()A. B.D.(1,π),圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标可以是.3.在极坐标系中,点到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为()A.2B.C. D.ρ=2cos θ在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,).故圆心(1,0)与(1,)的距离为d=.4.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线=1表示圆,θ=π(ρ≥0)表示一条射线.5.直线(t为参数)上与点P(3,4)的距离等于的点的坐标是()A.(4,3)B.(2,5)C.(4,3)或(2,5)D.(-4,5)或(0,1)化为普通方程得x+y-7=0,由解得故所求点的坐标为(4,3)或(2,5).6.若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为()A.B.C.+4D.2b(2cos φ,b sin φ),代入x2+2y=4cos2φ+2b sin φ=-+4+,当0<b<4时,(x2+2y)max=+4;当b≥4时,(x2+2y)max=-+4+=2b.7.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()B.2C.3D.4C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=且3-,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.8.直线3x-4y-9=0与圆(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心x2+y2=4,可求得该圆的圆心(0,0),半径r=2.显然圆心不在直线3x-4y-9=0上,又由点到直线的距离公式知,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=<r,故选9.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.B.C.1D.(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和为d=|sin θ|+|cos θ|,不妨设θ∈,则d=|sin θ|+|cos θ|=sin θ+cos θ=sin,故最大值为.10.经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长为()A.B.C.D.(1,1),倾斜角为135°的直线的参数方程为(t为参数),代入椭圆的方程可得=1,化简得5t2+6t+2=0.设两根为t1,t2.根据根与系数的关系可得t1+t2=-,t1t2=,则弦长为|t1-t2|=.11.导学号73144050已知双曲线C的参数方程为(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①⑤(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A.①③⑤B.①②⑤C.①②④D.②④⑤,a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=±x.检验所给直线的参数方程可知①③⑤适合条件.12.极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于()A.-1B.-1C.1D.ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-1.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共点到极点的距离为.ρ(ρ-1)=1⇒ρ=,又ρ≥0,故所求为.14.已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为点C,点P的极坐标为,则|CP|=.ρ=4cos θ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.15.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.16.导学号73144051如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.=tan θ(x≠0),y=x tan θ,由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,则y=x tan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,当θ=时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为(θ为参数).(θ为参数)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.,在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.19.(本小题满分12分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),点M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此点M为(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)点M到坐标原点的距离d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.20.导学号73144052(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).点M是C1上的动点,点P满足=2,点P的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的参数方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=(ρ≥0)与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.设点P为(x,y),则由条件知点M为.由于点M在C1上,所以即则曲线C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=(ρ≥0)与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ,射线θ=(ρ≥0)与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)点P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P.又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).22.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标.(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R,且t为参数),求a,b的值.圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为.(注:极坐标系下点的表示不唯一)(2)由(1)可得,点P与点Q的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1.所以解得a=-1,b=2.。

【高中教育】2020高中数学模块综合测评北师大版选修4

【20xx精选】最新高中数学模块综合测评北师大版选修4(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1。

若a>b>c,则的值( )A。

大于0B。

小于0C。

小于或等于0D。

大于或等于0解析:因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以,所以>0,故选A。

答案:A2。

不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是( )A。

{x|-3≤x<2}B。

RC。

⌀D。

{x|x<-3或x>2}解析:令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图像如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀。

故原不等式的解集是⌀。

答案:C3。

若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是( )A。

P≤3B。

P<3C。

P≥3D。

P>3解析:因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以=3,即P<3。

答案:B4。

不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为( )A。

B。

C。

D。

解析:由已知2∉M,可得2∈∁RM,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B。

答案:B5。

1楼B。

2楼C。

3楼D。

4楼解析:设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时取等号。

答案:C6。

若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a 的取值范围是( )A。

(-∞,-1)∪(3,+∞)B。

(-∞,0)∪(3,+∞)C。

(-1,3)D。

[-1,3]解析:|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,故它的最小值为2,∵原不等式解集为⌀,∴a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3,故选C。

北师大版高中数学选修4-4章末综合测评(二).docx

高中数学学习材料唐玲出品章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上【解析】曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.【答案】 B2.直线⎩⎨⎧x ＝t sin 70°＋3，y ＝－t cos 70°(t 为参数)的倾斜角是( )A.20°B.70°C.110°D.160°【解析】令t ′＝－t ，直线的参数化为标准形式：⎩⎨⎧x ＝t ′cos 160°＋3，y ＝t ′sin 160°(t ′为参数)，则直线的倾斜角为160°，故选D. 【答案】 D3.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan φ，y ＝1cos φ( φ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan φ，y ＝1cos φ⇒y 2－x 23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.【答案】 C4.直线⎩⎨⎧ x ＝4t ，y ＝2－2t (t 为参数)与椭圆⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的交点坐标是( )A.(0,2)或(2,0)B.(4,0)或(0,4)C.(0,2)或(4,0)D.(4,2)【解析】法一：直线参数方程消去参数t ，得x ＋2y －4＝0. 椭圆参数方程消去θ，得x 216＋y 24＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴直线与椭圆的交点坐标为(4,0)或(0,2). 法二：∵两曲线相交∴⎩⎨⎧ 4t ＝4cos θ，2－2t ＝2sin θ，即⎩⎨⎧t ＝cos θ，1－t ＝sin θ.两式平方相加，消去θ，得 t 2＋(1－t )2＝1. 整理，得2t (t －1)＝0. 解得t 1＝0，t 2＝1.分别代入直线的参数方程，得交点坐标为(0,2)或(4,0). 【答案】 C5.若直线l 与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，且弦AB的中点坐标是N (1，－2)，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3【解析】圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为M (0，－1)，半径为2.因为弦AB 的中点坐标是N (1，－2)，所以直线垂直MN ，k MN ＝－2－(－1)1－0＝－1，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.【答案】 B6.下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( )【导学号：12990036】A.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tB.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2tC.⎩⎨⎧ x ＝|t |，y ＝t2 D.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t【解析】普通方程中的x ∈R ，y ≥0，A 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，得x 2y ＝1，故A 不正确；C 中x ＝|t |≥0，不正确；D 中x ＝cos t ∈[－1,1]，不正确，故选B.【答案】 B7.已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】设线段AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)，∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ， ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144，整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆. 【答案】 C8.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )【解析】由x ＝1t 得t ＝1x ，代入y ＝1t t 2－1，得当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0，对照选项，可知D 正确.【答案】 D9.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ【解析】把x 2＋y 2＝1化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 21－y 21，y ＝x 1y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ＝12sin 2θ，故选C.【答案】 C10.设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x－3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 ∵曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010＜3，141010＞3， ∴有两个点. 【答案】 B11.在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A.2 B.6 C.2 3D.215 【解析】圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.【答案】 C12.已知点(4,2)是直线l 被曲线⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ所截的线段中点，则l 的方程是( )A.x ＋2y ＝0B.x ＋2y －4＝0C.2x ＋3y ＋4＝0D.x ＋2y －8＝0【解析】曲线化为普通方程是x 236＋y 29＝1. 设曲线l 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1.①②①－②得：136(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－19(y 1－y 2)(y 1＋y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－936×2×42×2＝－12， ∴直线l 的斜率为－12，由点斜式方程可得l 方程. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________.【解析】将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0).【答案】 (1,0)14.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.【解析】设圆上一点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈R ，则x －y ＝2cos θ－2sin θ＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ.当⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1时，(x －y )max ＝2 2.【答案】 2 215.已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【导学号：12990037】【解析】根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，依题意知△MEF 为正三角形，由⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋3cos 60°＝p ，得p ＝2.【答案】 216.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________. 【解析】由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1，消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4. 【答案】 4三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t (t 为参数).⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值.【解】由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0). ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2，即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433.18.(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数).(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围. 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，即x 216＋y 29＝1. (2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)(θ由tan θ＝83确定). ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73].19.(本小题满分12分)已知一个参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.【解】 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t (α－sin α)，y ＝t (1－cos α)(α为参数). 20.(本小题满分12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线与圆x 2＋y 2＝25交于B ，C 两点.(1)求BC 的中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标.【解】 (1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t(t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.设BC 的中点为M ，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.(2)设切线方程为⎩⎨⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0，Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0， cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点的切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. 又t 切＝－b2a ＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【解】椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.22.(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2，与曲线x 216＋y 212＝1交于A ，B 两点.(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A |·|PB |的最大值.【解】 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2， ∴y x －2＝t sin αt cos α＝tan α， ∴直线l 的普通方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0).(2)∵l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点的坐标为P (2,0)，∴3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0，即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点， ∴直线l 恒与椭圆有两个交点， ∴t 1·t 2＝－363＋sin 2α，由直线参数方程t 的几何意义， ∴|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝363＋sin 2α，∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin 2α<1，因此|P A |·|PB |的最大值为12.。

高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+检测：模块复习模块标准测评

模块标准测评(满分：150分测试时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是 ( A )A ．⎝⎛⎭⎫5，π3 B ．⎝⎛⎭⎫5，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫5，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫5，－8π3 解析：由极坐标的定义可知选A ，⎝⎛⎭⎫－5，π3与⎝⎛⎭⎫5，π3关于极点对称．故选A ． 2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心极坐标是 ( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析：可化为直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1或化为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，这是ρ＝2r cos (θ－θ0)形式的圆的方程．故选A ．3．极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)表示的曲线是( D ) A ．圆B ．直线C ．圆和直线D ．圆和射线解析：由极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)，可得ρ＝1或θ＝0.ρ＝1表示到极点的距离为1的点的轨迹，是圆．θ＝0表示极角为0的点的集合，是射线．故选D ．4．(2016·安徽一模)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M 的极坐标是(2，θ)，圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t为参数)，点M 与圆C 的位置关系是( D )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．在圆上或圆外解析：圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t 为参数)，化作普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.点M 的极坐标是(2，θ)，其直角坐标为(2cos θ，2sin θ)，则点M 到圆心C (1,0)的距离d ＝(2cos θ－1)2＋(2sin θ)2＝5－4cos θ ∈ [1,3]．因此点M 在⊙C 的外部或圆上．故选D ．5．已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( D ) A ．2B ．455＋1C ．1D ．455－1解析：易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1,0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝455－1.6．已知参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ (a ，b ，λ均不为零，0≤θ＜2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( C )A ．①，②，③均是直线B ．只有②是直线C ．①②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆解析：①t 为参数，原方程可化为y －λsin θ＝ba(x －λcos θ)，表示直线；②λ为参数，原方程可化为y －bt ＝(x －at )·tan θ，表示直线；③θ为参数，原方程可化为(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，表示圆．故选C ．7．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D )A ．2B ．4C ．5D ．10解析：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC |＝|BC |＝4，则|AB |＝42，|CD |＝ 12|AB |＝22，|PC |＝|PD |＝12|CD |＝2，|P A |＝|PB |＝|AD |2＋|PD |2＝ (22)2＋(2)2＝10，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10＋102＝10.故选D ．8．直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)．∴|AB |＝1＋3＝2.故选B ．9．若P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心C (1,0)，所以k CP ＝－1.所以弦所在的直线的斜率为1.所以弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)，即为x －y －3＝0.故选C ．10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( C )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(－2)2＋(2)2·|t |＝2，解得t ＝±22，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．故选C ．11．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( D )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，设方程两根为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3.故选D ． 12．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( C )A ．(－22，0)B ．(0,22)C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(1,22)解析：曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，问题可转化为以原点为圆心，2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，则|PQ |的最小值为1.解析：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ |的最小值为1.14．(2016·湖南雅礼中学月考)已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝⎛⎭⎫4，π6到圆心的距离为解析：将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0,2)，而点A ⎝⎛⎭⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，由两点间距离公式可得d ＝(23)2＋(2－2)2＝2 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，那么常数a 的值为3.解析：直线和椭圆的普通方程分别为x －y －a ＝0，x 29＋y 24＝1.把椭圆的右顶点(3,0)代入直线方程x －y －a ＝0，得到a ＝3.16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 3解析：椭圆、直线、圆化为直角坐标方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝b 2，由题意得m ＝a 2－b 2＝c ，|m |2＝b ，∴c ＝2b ，∴c 2＝2(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ (θ为参数，r ＞0)．(1)求圆心C 的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 解析：(1)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0.由⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 得圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫－22，－22. ∴圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4. (2)圆C ：⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 的圆心到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－22－22－12＝1＋22.∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴1＋22＋r ＝3，r ＝2－22. ∴当r ＝2－22时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 18．(12分)(2015·山西三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解析：(1)圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)，消去参数可得(x －1)2＋y 2＝1.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简，得ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程． (2)由直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3，化为普通方程为直线l ：y ＋3x ＝33，射线OM ：y ＝3x . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝33，y ＝3x ，解得 ⎩⎨⎧x ＝32，y ＝332，即Q ⎝⎛⎭⎫32，332.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，(x －1)2＋y 2＝1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或 ⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32. ∴P ⎝⎛⎭⎫12，32.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫12－322＋⎝⎛⎭⎫32－3322＝1＋3＝2 19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．解析：(1)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y ＝sin α，两式两边平方相加得⎝⎛⎭⎫x 32＋y 2＝1，即曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin(θ＋π4)＝42，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42，即ρsin θ＋ρcos θ＝8，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，设椭圆上的动点P 的坐标为()3cos α，sin α(0≤α＜2π)，则P 到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－82，∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时，d 取得最小值32，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12 20．(12分)(2016·江苏卷)在平面角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1得⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0得t 1＝0，t 2＝－167，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝16721．(12分)(2016·江西上饶一模)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)代入圆的方程得t 2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.∵曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ， ∴Δ＝16(sin α＋cos α)2－16＞0，∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4|sin α＋cos α|＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎝⎛⎦⎤22，1. ∴|PM |＋|PN |的取值范围是(]4，42.22．(12分)在直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos ty ＝1＋a sin t化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0 由已知得tan θ＝2，∴16cos 2θ－8sin θcos θ＝0从而1－a 2＝0⇒a ＝1，a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点且在C 3上，故a ＝1.。

北师大版高中数学选修4-4模块综合测试.docx

高中数学学习材料唐玲出品模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是( ) A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析：直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析：本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象．答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析：所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3) 所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)．答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5－32tB ．⎩⎨⎧ x ＝1－12ty ＝5＋32tC ．⎩⎨⎧x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析：根据直线参数方程的定义，易得⎩⎨⎧x ＝1＋t ·cos π3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5，所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2 ＝(32)2＋4×3＝30，故选B ．答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ． 2C ． 5D ．22解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析：由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋4sin φ)，y ＝2(sin φ－4cos φ).(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ).(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(θ－sin θ)，y ＝4(1－cos θ).(θ为参数)解析：圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ).(φ为参数). 答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析：对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析：直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案： π6或56π.15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析：直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 2 2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程．解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0 即⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．(2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为： ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程． 19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.(3)由参数t 的几何意义，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2＝5873.21．(12分)如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ ①将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tna φ ② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ. ⑤4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数)．当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解析：椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t为⎩⎨⎧x ＝55t ′y ＝m ＋255t ′(t ′为参数)．代入椭圆方程得(m ＋255t ′)2＋4⎝⎛⎭⎫55t ′2＝4⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0，即－22<m <2 2.方程有两不等实根t ′1，t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝640－80m 28依题意知＝640－80m 28＝6，解得m ＝±455.。

数学北师大版高中选修4-4选修4-4坐标系与参数方程测试题

坐标系与参数方程考试时间2014年5月13日满分：74分一、选择题（每小题5分，共30分）1．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2，6π）的直角坐标是（）A ．（2，1）B ．（3，1）C ．（1，3）D ．（1,2）2．在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（）（A ）过极点的直线（B ）半径为2的圆（C ）关于极点对称的图形（D ）关于极轴对称的图形3．在极坐标系中，点(2,)3π-到圆2cos ρθ=-的圆心的距离为（）A.2B.249π+ C.299π+D.74．在空间坐标系中的点M （x ，y ，z ），若它的柱坐标为，则它的球坐标为（）A.B. C.D.5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．0θ=(R ρ∈)和cos ρθ＝2B ．θ＝2π(R ρ∈)和cos ρθ＝2 C ．θ＝2π(R ρ∈)和cos ρθ＝1D ．θ＝0(R ρ∈)和cos ρθ＝16．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线二、填空题（每小题5分，共20分）7．柱坐标A （2，，5）化为直角坐标是．直角坐标B （﹣3，，﹣）化为柱坐标是．8．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2=ρ上到直线1)4cos(=-πθρ的距离为1的点的个数是．9．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C ：2cos =θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝10．在极坐标系中，已知两点B A ,的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6,4,3,3ππB A ,则OBA ∆（其中O 为极点）的面积为．班级姓名座号得分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7 8 9 10三、解答题11．已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线:30l kx y++=与圆C相切.求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值.．12．在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos40ρρθ-+=相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．。

北师大版高中数学选修4-4章末综合测评(一).docx

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x【解析】由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. ∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( )A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线【解析】 ∵sin θ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线. 【答案】 B3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 【解析】由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故选D.【答案】 D4.点A 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，34π，则它的直角坐标为( )【导学号：12990019】A.(－1,1，－2)B.(－1,1，2)C.(－1，－1，2)D.(1,1，－2)【解析】 x ＝r sin φcos θ＝2sin 34πcos 34π＝－1， y ＝r sin φsin θ＝2sin 34πsin 34π＝1， z ＝r cos φ＝2cos 34π＝－ 2.所以直角坐标为(－1,1，－2)，故选A. 【答案】 A5.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( )A.x 2＋y 2＝3B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)【解析】设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝y x －1(x ≠1). 又k P A ＋k PB ＝－1，即y x ＋1＋y x －1＝－1，得 x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)，故选B. 【答案】 B6.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )图1A.ρ＝1B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ【解析】由题图可知ρcos(π－θ)＝1，即ρ＝－1cos θ，故选C. 【答案】 C7.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B. 2 C.2D.2 2【解析】圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2，在Rt △COD 中， ∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4， ∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B8.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 【解析】点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 【答案】 A9.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【解析】方程ρcos θ＝2sin 2θ可化为ρcos θ＝4sin θcos θ，即cos θ＝0或ρ＝4sin θ，方程cos θ＝0即θ＝k π＋π2，表示y 轴，方程ρ＝4sin θ即x 2＋y 2＝4y ，表示圆，故选C.【答案】 C10.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r【解析】圆ρ＝r 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝r 2，① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ).两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ).∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .【答案】 D11.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( ) A.ρ＝2a cos θ B.ρ＝－2a cos θ C.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ【解析】法一：根据对称规律，把⎩⎨⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin (－θ)，即ρ＝－2a sin θ. 法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3π2，半径仍为a ，其方程应为：ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2，即ρ＝－2a sin θ. 【答案】 C12.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直D.重合【解析】直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin (θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上) 13.点M 的直角坐标为(－1，3，2)，那么它的柱坐标为________.【解析】设柱坐标为(r ，θ，z )，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，又tan θ＝－3，∴θ＝2π3，故柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2 14.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 115.已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________.【解析】设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，3π3，2π3，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22π3，π4，2π3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，33π，23π ⎝ ⎛⎭⎪⎫223π，π4，23π 16.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.【导学号：12990020】【解析】依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12，∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， ∴y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2，∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2). 【答案】 (6－2，6＋2)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图2建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心).图2【解】 ∵O 是△BCD 的中心，∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.【解】将⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14，故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.19.(本小题满分12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.20.(本小题满分12分)如图3，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图3【解】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).依题意，有P (－1，－1)，∴p ＝12，故抛物线的方程为 x 2＝－y .设B (x ，－2)，则x ＝2，∴|O ′B |＝1＋ 2. 所以水池的直径为2(1＋2)≈5(m). 即水池的直径至少应设计为5 m.21.(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程. 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)，故圆C 的极坐标为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求.22.(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 【解】 (1)法一：∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二：设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22.∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2，又|OA |＝|OB |＝2， ∴|AB |＝2 2.(2)法一：∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二：设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角，则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4，当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ，由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin 34π，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————桑水同理，当∠PCO ＝π4时，极坐标方程也为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。

高中数学模块综合测试北师大版选修4-4(2021学年)

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模块综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题５分,共6０分,每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列有关坐标系的说法,错误的是（）A.在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B．在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D.同一条曲线可以有不同的参数方程解析: 直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中,伸缩变形可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆;而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程.答案: C2．把函数y=＼ｆ(1,２)sin２x的图象经过＿___＿＿__变化，可以得到函数y＝错误!sｉｎx的图象．( ）Ａ.横坐标缩短为原来的＼f(1,２)倍,纵坐标伸长为原来的2倍B．横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍Ｃ.横坐标缩短为原来的错误!倍,纵坐标缩短为原来的错误!倍D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的错误!解析: 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知，把函数y=错误!ｓin２ｘ的图象的横坐标伸长为原来的２倍可得ｙ=错误!ｓin x的图象,再把纵坐标缩短为原来的错误!,得到y=错误!sｉn x的图象．答案: D3．极坐标方程ρ2-ρ(2+sinθ)＋2ｓiｎθ=0表示的图形是（)Ａ．一个圆与一条直线B．一个圆C.两个圆Ｄ.两条直线解析：所给方程可以化为(ρ-2）(ρ－sinθ)=0,即ρ＝2或ρ＝sinθ.化成直角坐标方程分别为ｘ２+y2=4和x２+ｙ2－y=0,可知分别表示两个圆.答案: C４．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝４cosθ+6sｉnθ,那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（)A．ρｓｉnθ＝3 B．ρｓiｎθ=-3C．ρcoｓθ=2 ﻩ D.ρｃosθ=-2答案：A5．将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为( )A．y=ｘ-２ﻩＢ.y＝x+2Ｃ.y=x－2(2≤x≤３) ﻩ D.y=x+2（0≤ｙ≤1）解析: 由错误!知x=２＋y（2≤x≤3)所以y＝ｘ－2 (2≤x≤3）．答案: C6.经过点M（1，5）且倾斜角为错误!的直线，以定点Ｍ到动点P的位移t为参数的参数方程是( )A.错误!B.错误!C．错误!ﻩD．错误!解析: 根据直线参数方程的定义,易得错误!，即错误!。

数学北师大版选修4-4 模块测试附答案含解析精品

数学北师版选修4—4模块测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )． A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆2．直线l 的参数方程为,x a t y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )．A ．|t 1|B ．2|t 1|C 1|D ．1|2t 3．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )．A ．ρ＝2cos(θ－π4)B ．ρ＝2sin(θ－π4)C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)4．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程1,23x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线5．点M 的直角坐标是(－1，则点M 的一个极坐标是( )．A ．π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π2,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )6．已知点M 的球坐标为3π3π4,,44⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标是( )．A ．(－2,2，-)B ．(2，－2，-C ．(2，－2，D ．(－1，1)7．直线ρcos θ＝2关于直线π4θ=对称的直线方程为( )．A ．ρcos θ＝－2B ．ρsin θ＝2C ．ρsin θ＝－2D ．ρ＝2sin θ8．设x ，y ∈R ，x 2＋2y 2＝6，则x ＋y 的最小值是( )．A ．-．C ．－3D ．72- 9．过点(0,2)且与直线21x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)的夹角为30°的直线方程为( )．A ．y ＝xx ＝0 B ．yx ＋2和y ＝0 C ．yx ＋2和x ＝0 D ．yx +x ＝0 10．点P (1,0)到曲线2,2x t y t⎧=⎨=⎩(t 是参数)上的点的最短距离为( )．A ．0B ．1CD ．2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．渐开线4(cos sin ),4(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程是________．12．直线3,14x at y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)过定点__________．13．已知圆极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是__________．14．若动点(x ，y )在曲线222=14x y b+(0＜b ＜2)上变化，则x 2＋2y 的最大值为__________．15．在极坐标系中，点P π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭到直线l ：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在下列平面直角坐标系中，分别作出(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形． (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12. 17．(12分)已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 18．(12分)在极坐标系中，求经过极点O (0,0)，A π6,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 9π4⎛⎫ ⎪⎝⎭三点的圆的极坐标方程．19．(12分)已知椭圆C 1：2cos ,x m y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(φ为参数)及抛物线C 2：y 2＝6(x －32)．当C 1∩C 2≠∅时，求m 的取值范围．20．(13分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3，π6)，半径r ＝1，点Q 在圆C 上运动． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在线段OQ 延长线上运动，且OQ ∶QP ＝2∶3，求动点P 的轨迹方程．21．(14分)已知直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C的参数方程为2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．定点A (0，，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左，右焦点．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程．(2)在(1)条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长．参考答案1．答案：C ρcos θ＝2sin 2θ⇒ρcos θ＝4sin θcos θ.∴cos θ＝0或ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ. 则θ＝k π＋π2(k ∈Z )或x 2＋y 2＝4y . 2．答案：C P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |1|.3．答案：C 由已知得圆心在相应的直角坐标下的坐标为(cos 1，sin 1)，所以圆在直角坐标下的方程为(x －cos 1)2＋(y －sin 1)2＝1，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入上式，得ρ2－2ρcos(θ－1)＝0.所以ρ＝0或ρ＝2cos(θ－1)，而ρ＝0表示极点，适合方程ρ＝2cos(θ－1)，即圆的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．4．答案：A ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．∵1,23,x t y t =--⎧⎨=+⎩∴3x ＋y ＋1＝0表示直线．5．答案：C ρ2，tan θ＝=1--∴θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． 6．答案：A 3π3π4sin cos =424422x ⎛⨯- ⎝⎭＝＝－，3π3π4sinsin =4244y ＝，3π=4cos =4(4z ⨯--则点M 的直角坐标为(－2,2，-)． 7．答案：B ∵直线x ＝2关于直线y ＝x 对称的直线是y ＝2， ∴直线方程为ρsin θ＝2.8．答案：C不妨设,x y αα⎧⎪⎨⎪⎩(α为参数)，则x ＋yαα＝3sin(α＋φ)(其中tan ϕ．∴x ＋y 的最小值为－3.9．答案：C直线=2,=1x t y +⎧⎪⎨+⎪⎩的斜率k ，倾斜角为60°.故所求直线的倾斜角为30°或90°.10．答案：B 设点P (1,0)到曲线上的点(t 2,2t )的距离为d ，则dt 2＋1≥1.∴d min ＝1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．答案：22=114416x y + 由渐开线方程知基圆的半径为4，则基圆的方程为x 2＋y 2＝16，把横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆方程29x ＋y 2＝16，即22=114416x y +. 12．答案：(3，－1) 由=3,=14x at y t +⎧⎨-+⎩得14=3y x a +-.∴－(y ＋1)a ＋4x －12＝0对任意a 都成立．故y ＝－1.此时t ＝0，∴x ＝3，所以直线过定点(3，－1)．13．答案：5由圆方程ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. 即x 2＋y 2＝2x ，所以(x －1)2＋y 2＝1.圆心(1,0)，半径r ＝1.直线2x ＋y ＝1.所以圆心到直线的距离d. 14．答案：4＋24b 曲线方程化为参数方程为=2cos ,=sin x y b θθ⎧⎨⎩(θ为参数)．则x 2＋2y ＝(2cos θ)2＋2b sin θ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝4(1－sin 2θ)＋2b sin θ＝－4sin 2θ＋2b sin θ＋4＝－4(sin θ－4b )2＋4＋24b .∵0＜b ＜2，∴10<<42b .∴当sin =4b θ时，x 2＋2y 取最大值为24+4b .15．1 点P (2，π6-)的直角坐标为－1)，将直线l ：ρsin(θ－π6)＝1化为直角坐标方程为=122xy -，即x ＋2＝0，∴点P 到直线l 的距离d ＝1.16．答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：17．答案：解：(1)设圆的参数方程为=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)．则2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)．＋1≤2x ＋y 1.(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0恒成立． ∴a ≥－(x ＋y )恒成立．设f (x )＝－(x ＋y )＝－(sin θ＋cos θ＋1)＝sin(θ＋π4) 1.∴a －1. 18．答案：解：将三点的极坐标化为直角坐标为O (0,0)，A (0,6)，B (6,6)， ∴△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形．∴圆心(3,3)，半径r ＝∴圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0. 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0.即圆的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭. 19．答案：解：将椭圆C 1的参数方程代入C 2：y 2＝6(x －32)，整理得3sin 2φ＝6(m ＋2cos φ－32)， ∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3，即(cos φ＋2)2＝8－2m .∵1≤(cos φ＋2)2≤9，∴1≤8－2m ≤9.解之，得1722m -≤≤. ∴当C 1∩C 2≠∅时，m ∈17,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．答案：解：(1)设M (ρ，θ)为圆C 上的任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝|θ－π6|，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2ρ·3cos|θ－π6|，化简并整理，得ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0为圆C 的极坐标方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有21ρ－6ρ1cos(θ1－π6)＋8＝0①.设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ. 又θ1＝θ，即112,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入①，得4252ρ－6×2πcos()56ρθ-＋8＝0，整理，得ρ2－15ρcos(θ－π6)＋50＝0为点P 的轨迹方程．21．答案：解：(1)由圆锥曲线C 的参数方程知其普通方程为2243x y +＝1. A (0，，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴直线l的斜率k l ：yx ＋1)．∴直线l 的极坐标方程为ρsin θcos θ.即2ρsin(θ－π3)(2)联立221,431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+)⎩得5x 2＋8x ＝0. ∴|EF |165. 即弦EF 的长为165.。

【试卷】高二数学北师大版高中数学选修4-4模块检测题及答案解析

模块学习评价一、选择题1．直线3x －4y ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t(t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．300°D ．150°5．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t值为( )A ．±1B ．0C ．±12D ．±328．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2π4－θ2(θ为参数，(0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点(－1，12)D ．抛物线的一部分，且过点(1，12)10．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·yx －2＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝D C ．A ＝C D ．B ＝C二、填空题12．(2013·广东高考)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．14．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．15．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.17．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1、C 2的极坐标方程，并求出圆C 1、C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 18．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x－4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. xKb 1. Com将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.19．(本小题满分13分)(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．20．(本小题满分13分 )已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y )中，x ·y 的最大值和最小值．【解】 (1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos αcos π4＋sin αsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos α－4ρsin α＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos α，y ＝ρsin α，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程，设cos α＝2x －22，sin α＝2y －22，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos α)·(2＋2sin α) ＝4＋22(cos α＋sin α)＋2cos α·sin α ＝3＋22(cos α＋sin α)＋(cos α＋sin α)2.② 设t ＝cos α＋sin α，则t ＝2sin(α＋π4)，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1. w W w .x K b 1.c o M当t ＝－2时，xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9.21．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为α的弦AB ，若要同时满足：(1)AB 弦长不超过8；(2)AB 弦所在直线与椭圆3x 2＋2y 2＝2相交．求倾斜角α的取值范围．【解】因为F (1,0)，所以直线AB ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．①将①代入y 2＝4x ，得t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 直线与抛物线有两个公共点应满足：⎩⎪⎨⎪⎧sin α≠0Δ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin α≠0sin 2α＋cos 2α＞0⇔sin α≠0⇔α≠0.因为|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4cos αsin 2α2＋16sin 2α＝4sin 2α，所以4sin 2α≤8，即|sin α|≥22.将①代入3x 2＋2y 2＝2，得(2＋cos 2α)t 2＋6t cos α＋1＝0. 由Δ≥0，即9cos 2α－(2＋cos 2α)≥0，所以cos 2α≥14.由⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sin α≠0|sin α|≥22|cos α|≥120≤α≤π⇔π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4. 由此可得倾斜角α的取值范围π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4.。

高中数学模块综合测试北师大版选修4-4

模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是( ) A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析：直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析：本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象．答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析：所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3)所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)．答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5－32tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t y ＝5＋32tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t y ＝5－32tD ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5＋32t解析：根据直线参数方程的定义，易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ·cos π3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝5＋32t .答案： D7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3x，后所得图形的焦距( ) A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5，所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝22＋4×3＝30，故选B ．答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ． 2C ． 5D ．22解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析：由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋4sin φ，y ＝φ－4cos φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝－cos θ(θ为参数)解析：圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φφ为参数答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析：对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析：直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案：π6或56π. 15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析：直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 2 2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程．解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．(2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为：ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π6＋8＝0①设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程．19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.(3)由参数t 的几何意义，|AB |＝|t 2－t 1|＝t 2＋t 12－4t 1t 2＝5873. 21．(12分)如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ①将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tna φ ②又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4， ④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤4×④－3×②得x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数)．当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解析：椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′y ＝m ＋255t ′(t ′为参数)．代入椭圆方程得(m ＋255t ′)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0，即－22<m <2 2.方程有两不等实根t ′1，t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝640－80m 28依题意知＝640－80m28＝6，解得m ＝±455.。

北师大版选修4_42021学年高中数学模块综合测试卷(二)

模块综合测试卷(二)[时间：120分钟满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北京高二检测)极坐标方程ρ＝－4cos θ化为直角坐标方程是( ) A ．x －4＝0 B ．x ＋4＝0 C ．(x ＋2)2＋y 2＝4 D ．x 2＋(y ＋2)2＝4答案 C解析极坐标方程ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，所以化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝－4x ，即(x ＋2)2＋y 2＝4.2．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是( ) A ．2 B. 2 C ．5 D. 5答案 D解析 ρ＝2cos θ是圆心在(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(2，π2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.3．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( )A ．ρ＝sin θ＋cos θB ．ρ＝sin θ－cos θC ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ答案 D解析设M(ρ，θ)为直线上任意一点，θ≠π4，在△OPM 中，ρsin π4＝1sin （θ－π4），∴ρ＝1sin θ－cos θ.4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝b ＋2t 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋bcos θ，y ＝3＋bsin θ(θ为参数)平分，则曲线围成图形的面积为( ) A ．3π B ．4π C ．6π D ．9π答案 D解析直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝b ＋2t 的普通方程为y ＝－2x ＋b ＋4，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋bcos θ，y ＝3＋bsin θ(θ为参数)的普通方程为(x －2)2＋(y －3)2＝b 2，所以圆的圆心的坐标为(2，3)，依题意，得3＝－4＋b ＋4，即b ＝3，所以圆的面积为9π.5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案 C解析 ∵x＝2＋sin 2θ，∴x ∈[2，3]，把sin 2θ＝y 代入x ＝2＋sin 2θ，得y ＝x －2，x ∈[2，3]，故选C.6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋32t ，y ＝12t (t 为参数，且a>0)被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，方程为ρ＝2acos θ的曲线所截得的弦长为( ) A ．a B ．2a C.2a D.3a答案 D解析直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)过点A(2a ，0)，倾斜角α＝30°，方程ρ＝2acos θ表示圆心为C(a ，0)，半径r ＝a 的圆，如图，在△ACB 中，CA ＝CB ＝a ，∠ACB ＝120°，故|AB|＝3a.7．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1答案 B解析在极坐标系中，圆心坐标(1，0)，半径r ＝1.故左切线θ＝π2或3π2.右切线满足cosθ＝2ρ，∴ρcos θ＝2.即切线方程为θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－tsin30°，y ＝－1＋tsin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC|的值为( ) A ．27 B.30 C ．7 2 D.302答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－tsin30°，y ＝－1＋tsin30°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0.∴|BC|＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2 ＝（32）2＋4×3＝30，故选B.9．已知直线l 1的极坐标为2ρsin (θ－π4)＝2 014，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2 014＋tcos 34π，y ＝2 014＋tsin 34π，(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．垂直 B ．平行 C ．相交但不垂直 D ．重合答案 A解析由2ρsin (θ－π4)＝2 014，得2ρ(22sin θ－22cos θ)＝2 014， ρsin θ－ρcos θ＝2 014，所以y －x ＝2 014，即y ＝x ＋2 014，把直线l 2的参数方程化为普通方程为 y －2 014x ＋2 014＝tsin 34πtcos 34π＝－1，即y ＝－x ，所以kl 1·kl 2＝1×(－1)＝－1，所以l 1⊥l 2.10．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2答案 D解析由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.11．已知点P 在方程ρcos (θ－π4)＝2的曲线上，点Q 在方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－2－t(t 为参数)的曲线上，则|PQ|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析把ρcos (θ－π4)＝2化为直角坐标方程，得22x ＋22y ＝2，即x ＋y ＝2 2.把⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－2－t(t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝－ 2. 故两条直线平行，|PQ|min ＝d ＝322＝3.12．点集M ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数，0<θ<π)}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋b}，若M∩N≠∅，则b 应满足( ) A ．－32≤b ≤3 2 B ．－32<b<－3 C ．0≤b ≤3 2 D ．－3<b≤3 2答案 D解析集合M 表示x 2＋y 2＝9的圆，其中y>0，集合N 表示的是一条直线，画出集合M 和N 表示的图形，可知－3<b≤32，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．答案22解析极点的直角坐标为O(0，0)，ρsin (θ＋π4)＝22⇒ρ(22sin θ＋22cos θ)＝22.∴ρsin θ＋ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离为 d ＝|0＋0－1|12＋12＝22，即极点到直线ρsin (θ＋π4)＝22的距离为22.14．(2016·荆州高二检验)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3－2t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin (θ＋π4)，则直线l 与曲线C 相交的弦长为________．答案2305解析把直线l 的参数方程化为普通方程得2x ＋y ＝5，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程得(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离为25，则弦长为22－45＝265＝2305. 15．(2013·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cost ，y ＝2sint(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．答案 ρsin (θ＋π4)＝ 2解析曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，其在点(1，1)处的切线l 的方程为x ＋y ＝2，对应的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin (θ＋π4)＝ 2. 16．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，π]，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝bsin θ－cos θ.若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．答案 [1，2)解析曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1(0≤y≤1)，表示单位圆的上半圆，曲线C 2的普通方程为y ＝x ＋b ，表示倾斜角为π4的平行线族，如图所示，若直线与上半圆相切，则|b|2＝1.∴b ＝2或b ＝－2(舍去)．若直线y ＝x ＋b 过点(0，1)，则b ＝1. 结合图形知1≤b<2为所求．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17．(10分)求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)和直线l 2：x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q(1，－5)的距离．解析将⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t代入x －y －23＝0，得t ＝2 3.得P 点的坐标是P(1＋23，1)． ∴|PQ|＝（23）2＋62＝4 3. 18．(12分)已知定点P(4，π3)． (1)将极点移至O ′(23，π6)处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解析 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图．可知：|OO ′|＝23，|OP|＝4， ∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23cos π6＝4， ∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝23π，∴∠PO ′x ′＝23π.∴P 点的新坐标为(2，23π)．(2)如图，设P 点坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点坐标为(4，π2)．19．(12分)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝4＋tsin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解析 (1)由已知得直线l 经过的定点是P(3，4)，而圆C 的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，得圆C 的圆心是C(1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝4＋tsin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k|k 2＋1<2，由此解得k>2120. 直线l 的斜率的取值范围为(2120，＋∞)．20．(12分)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故α变化时，P 点的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．∴P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.∴P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．21．(12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t ，(其中t 为参数)，曲线C 1：ρ2cos2θ＋3ρ2sin 2θ－3＝0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；(2)在曲线C 1上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P ；若不存在，请说明理由．解析 (1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t ，(t 为参数)，所以直线l 在直角坐标系中的方程为y ＝x ＋1.由曲线C 1：ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ－3＝0以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，消去ρ，θ可得曲线C 1在直角坐标系下的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意可知C 1：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ，(其中φ为参数)，∵点P 到l 的距离d ＝|3cos φ－sin φ＋1|2＝|2sin （φ－π3）－1|2，∴d max ＝32＝322，此时sin (φ－π3)＝－1，φ－π3＝2k π－π2，φ＝2k π－π6，k ∈Z.∴x P ＝3cos φ＝32，y P ＝sin φ＝－12，即P(32，－12)．22．(12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos (θ＋π4)． (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M 为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解析 (1)因为直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0，曲线C 的直角坐标方程为(x －22)2＋(y ＋22)2＝1，所以圆心(22，－22)到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离． (2)设M(22＋cos θ，－22＋sin θ)，则x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋π4)∈[－2，2]．。

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